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高中数学第一章导数及其应用1.3导数的应用1.3.1导数的应用课件新人教B版选修2


1.3.1 利用导数判断函数的单调性 1.理解可导函数单调性与其导数的关系,会用导数确定函数的单 调性. 2.通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性. 用函数的导数判定函数单调性的法则 1.如果在(a,b)内,f'(x)>0,则f(x)在此区间是增函数,(a,b)为f(x)的单 调增区间; 2.如果在(a,b)内,f'(x)<0,则f(x)在此区间是减函数,(a,b)为f(x)的单 调减区间. 名师点拨1.在(a,b)内,f'(x)>0(<0)只是f(x)在此区间是增(减)函数的 充分条件而非必要条件. 2.函数f(x)在(a,b)内是增(减)函数的充要条件是在(a,b)内 f'(x)≥0(≤0),并且f'(x)=0在区间(a,b)上仅有有限个点使之成立. 【做一做1】 已知函数f(x)=1+x-sin x,x∈(0,2π),则函数f(x)( ) A.在(0,2π)内是增函数 B.在(0,2π)内是减函数 C.在(0,π)内是增函数,在(π,2π)内是减函数 D.在(0,π)内是减函数,在(π,2π)内是增函数 解析:f'(x)=1-cos x,当x∈(0,2π)时,f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,2π)内 是增函数. 答案:A 【做一做2】 设f'(x)是函数f(x)的导数,f'(x)的图象如图所示,则f(x) 的图象最有可能是( ) 解析:由f'(x)的图象知,x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)的 增区间为(-∞,0),(2,+∞).同理可得f(x)的减区间为(0,2). 答案:C 1 2 1.函数的单调性与其导数有何关系? 剖析:(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间,只需求出其导函数 f'(x)>0(或f'(x)<0)的区间. (2)若可导函数f(x)在(a,b)内是增函数(或减函数),则可以得出函数 f(x)在(a,b)内的导函数f'(x)≥0(或f'(x)≤0). 1 2 2.利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么? 剖析:(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的 定义域,解决问题时只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断 函数的单调区间. (2)在对函数划分单调区间时,要注意定义域内的不连续点和不可 导点. (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调 区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开. 题型一 题型二 题型三 题型四 求函数的单调区间 【例题 1】 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x-x3; (2)f(x)= - 2 ( > 0). 分析:先求f'(x),再解不等式f'(x)>0得单调增区间,解不等式 f'(x)<0得单调减区间. 解: (1)f'(x)=1-3x2. 令 1-3x2>0,解得 ? 3 3 < < 3 . 3 3 3 , 3 3 因此函数 f(x)的单调增区间为 令 1-3x2<0,解得 x<? 3 3 或x> 3 . 3 . 因此函数 f(x)的单调减区间为 -∞,- 3 3 和 3 ,+∞ 3 . 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)由 ax-x2≥0 得 0≤x≤a, 即函数的定义域为[0,a]. f'(x)= - 2 + × 1 1 -42 +3 ( ? 2) 2 · (a-2x)= , 2 2 -2 令 f'(x)>0,得 0<x< 4 ; 3 令 f'(x)<0,得 x<0 或 x> 4 . 又 x∈[0,a]

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