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1.9三角函数的简单应用 教案(北师大版必修4)


§ 9 三角函数的简单应用

●三维目标 1.知识与技能 用三角函数研究简单的实际问题,将实际问题抽象为三角函数问题,尤其是周期性问题. 2.过程与方法 通过用三角函数解决实际问题,提高分析问题、解决问题的能力. 3.情感、态度与价值观 通过本节内容的学习,使学生感受到生活离不开数学,培养学生健康向上的高尚情操. ●重点难点 重点:三角函数在实际生活中的应用. 难点:将实际问题抽象为三角函数模型.

(教师用书独具)

●教学建议 1.本节学习的重点是用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题,教学中注 意引导学生学会从实际问题中发现周期变化的规律,并将所发现的规律抽象为恰当的三角函 数模型. 2.教师在课堂上引导学生归纳运用三角函数模型解决问题的几种类型: (1)由图像求解析式:首先由图像确定解析式的基本形式,例如:y=A sin(ωx+φ),然后根 据图像特征确定解析式中的字母参数,在求解过程中还要结合函数性质. (2)由图像研究函数性质:观察分析函数图像,易求单调性、奇偶性、对称性、周期性, 然后求最值、周期、频率、相位、初相等. (3)利用三角函数研究实际问题:首先分析、归纳实际问题,抽象概括出数学模型,再利 用图像及性质解答数学问题,最后解答出实际问题. 3.解决这类题目的通法如下:

-1-

●教学流程

创设问题情境,引出问题:三角函数模型的常见应用类型有哪些?引导学生联想生活具有周 期性变化的现象.?引导学生探究:你如何应用三角函数模型来解决上述这些问题呢?在应 用过程中应注意些什么呢??通过例 1 及其变式训练,使学生掌握用三角函数模型解决实际 问题的方法思路及注意事项.?通过例 2 及其变式训练,使学生掌握三角函数模型在物理现 象中的应用方法.?归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识.?完成当堂双基 达 正 标 , 巩 固 所 学 知 识 并 进 行 反 馈 矫 .

三角函数在实际生活中的应用 π 已知某地一天从 4 点到 16 点的温度变化曲线近似满足函数 y=10sin( x 8 - 5π )+20,x∈[4,16]. 4 (1)求该地区这一段时间内温度的最大温差; (2)若有一种细菌在 15 ℃到 25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌能生存多长 时间? 【思路探究】 (1)只需根据时间 x 的变化范围求出最高温度和最低温度;(2)可令 y=15 和 25,分别求出相应的时刻 x,便得细菌存活的时间. π 5π 3π 3π π 5π π 【自主解答】 (1)x∈[4,16] ,则 x- ∈[- , ].由函数图像易知,当 x- = , 8 4 4 4 8 4 2

-2-

π 5π π 即 x=14 时,函数取最大值即最高温度为 30 ℃,当 x- =- ,即 x=6 时,函数取最小值 8 4 2 即最低温度为 10 ℃,所以,最大温差为 30 ℃-10 ℃=20 ℃. π 5π π 5π 1 26 (2)令 10sin( x- )+20=15,可得 sin( x- )=- ,而 x∈[4,16],所以,x= . 8 4 8 4 2 3 π 5π π 5π 1 34 令 10sin( x- )+20=25,可得 sin( x- )= ,而 x∈[4,16],所以,x= . 8 4 8 4 2 3 34 26 8 故该细菌的存活时间为 - = (小时). 3 3 3

1.现实生活中许多具有周期性的现象都可建立三角函数模型.如本题中一天从 4 点到 16 点的气温,具有周而复始的特征,所以可用三角函数模型描述. 2.建立三角函数模型解决实际问题的步骤是: (1)收集与角有关的信息,确定相应的三角模型;(2)建立三角函数关系式;(3)求解;(4) 作答.

图 1-9-1

如图为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8 m,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60 秒转 动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB ,设 B 点与地面距离为 h. (1)求 h 与 θ 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB ,求 h 与 t 之间的函数解析式,并求缆车第一 次到达最高点时用的最少时间是多少?

-3-

【解】

(1)以圆心 O 为原点,建立如图所示的坐标系,

π 则以 Ox 为始边,OB 为终边的角为 θ- . 2 π π 故 B 点坐标为(4.8cos(θ- ),4.8sin( θ- )). 2 2 π ∴h=5.6+4.8sin(θ- ). 2 π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 弧度/秒 30 π 故 t 秒转过的弧度数为 t, 30 ∴h=5.6+4.8sin( π π t- ),t∈[0,+∞). 30 2

到达最高点时,h=10.4 m. 由 sin( π π π π π t - ) =1 得 t - = , 30 2 30 2 2

∴t=30. ∴缆车第一次到达最高点时,用的最少时间为 30 秒. 三角函数在物理学中的应用

图 1-9-2 π 已知电流 I=Asin(ωt+φ)(A >0,ω>0,|φ|< )在一个周期内的图像如图 2 1-9-4, (1)根据图中数据求 I=A sin(ωt+φ)的解析式; 1 (2)如果 t 在任意一段 秒的时间内,电流 I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那 150 么 ω 的最小正整数值是多少? 【思路探究】 可先根据图像确定电流 I 的解析式,再由函数的性质确定 ω 的值. 1 1 12 1 【自主解答】 (1)由图像可知 A =300,T=2[ -(- )]= = . 180 900 900 75

-4-

∴ω =

2π 2π = =150π. ∴I=300sin(150πt+φ). T 1 75 1 1 π π ,0),∴0=300sin[150π×(- )+φ].∴sin(- +φ)=0. 令- +φ 900 900 6 6

∵函数图像过( - π =0,∴φ= , 6

π ∴I=300sin(150πt+ ),t∈[0,+∞). 6 1 2π 1 (2)由题意得 T≤ ,即 ≤ . 150 ω 150 ∴ω≥300π,∴ω 的最小正整数值是 943.

三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度随时间变化规律等问题中, 此类问题中要弄清振幅、频率、周期、初相的定义和表示方法.

(2013· 大连高一检测 ) 电 流强度 I( 安 ) 随 时间 t( 秒 ) 变化 的函数 I = A sin(ωt + φ)(A >0 , π 1 ω>0,0<φ< )的图象如图所示,则当 t= 秒时,电流强度是________安。 2 50

图 1-9-3 T 4 1 1 2 2π A =10, = - = ,T= = ?ω=100π, 2 300 300 100 100 ω

【解析】

∴I=10sin(100πt+φ), 1 1 π π 当 t= 时,100π× +φ= ?φ= , 300 300 2 6 π ∴I=10·sin(100πt+ ), 6 1 当 t= 秒时,I=5 安. 50 【答案】 5

-5-

转化与化归思想在三角函数模型问题中的应用

(12 分)下表是芝加哥 1951~1981 年月平均气温(华氏). 月份 平均气温 1 21.4 2 26.0 3 36.0 4 48.8 5 59.1 6 68.6

月份 平均气温

7 73.0

8 71.9

9 64.7

10 53.5

11 39.8

12 27.7

以月份为 x 轴,x=月份-1,以平均气温为 y 轴. (1)描出散点图. (2)用正弦曲线去拟合这些数据. (3)这个函数的周期是多少? (4)估计这个正弦曲线的振幅 A . (5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据? y πx ① =cos( ); A 6 ③ y-46 πx =cos( ); -A 6 ② y-46 πx =cos( ); A 6

y-26 πx ④ =sin( ). A 6

【思路点拨】 (1)(2)建立直角坐标系即可;(3)找出气温的最大值和最小值的月份,作差, T 可求得 ;(4)找出气温的最大值和最小值,作差,求出 2A ;(5)将表中数据代入检验. 2 【规范解答】 (1)(2)如图所示.

4分
-6-

(3)1 月份的气温最低为 21.4,7 月份的气温最高为 73.0, T 根据图知, =7-1=6,∴T=12. 2 (4)2A =最高气温-最低气温=73.0-21.4=51.6, ∴A =25.8 8分 (5)∵x=月份-1,∴不妨取 x=2-1=1,y=26.0, y 26.0 π 代入①,得 = >1≠cos ,∴①差距明显; A 25.8 6 y-46 26.0-46 π 代入②,得 = <0≠cos ,∴②差距明显; A 25.8 6 y-26 π 代入④,得 =0≠sin ;∵④差距明显,不适合; A 6 y-46 26-46 π 代入③,得 = ≈0.78,与 cos 较接近,拟合性更好,∴③相对最适合这些数 -A -25.8 6 据 12 分 6分

三角函数应用题在阅读理解实际问题时,应注意以下几点: (1)反复阅读,通过关键语句领悟其数学本质. (2)充分运用转化思想,深入思考,联想所学知识确定变量与已知量. (3)结合题目的已知和要求建立数学模型,确定变量的性质与范围以及要解决的问题的结 论.

-7-

1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、 自然界中的周期现象(运动)中有着广泛的应用. 2.三角函数模型构建的步骤: (1)收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象; (2)制作散点图,选择函数模型进行拟合; (3)利用三角函数模型解决实际问题; (4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验.

1.某人的血压满足函数关系式 f (t)=24sin 160πt+110,其中 f (t)为血压,t 为时间,则此 人每分钟心跳的次数为( A.60 C.80 【解析】 【答案】 ∵T = C ) 2π 1 1 = ,∴f = =80. 160π 80 T ) B.70 D.90

2.如图 1-9-4 所示为一简谐振动的图像,则下列判断正确的是(

图 1-9-4 A.该质点的振动周期为 0.7 s B.该质点的振幅为 5 cm C.该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时振动速度最大 D.该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时的加速度为零 【解析】 由图像可知, 该质点的振动周期是 2(0.7-0.3)=0.8, 故 A 不正确; 振幅为 5 cm, 故选 B. 【答案】 B

-8-

图 1-9-5 3.如图 1-9-5,是一弹簧振子作简谐振动的图像,横轴表示振动的时间,纵轴表示振 子的位移,则这个振子振动的函数解析式是________.

【解析】 ∴ω =

A =2,T=2×(0.5-0.1)=0.8,

2π 5 5 π π = π,又 π×0.1+φ= ,∴φ= , 0.8 2 2 2 4

5 π ∴解析式为 y=2sin( πt+ ). 2 4 【答案】 5 π y=2sin( πt+ ) 2 4

4.如图 1-9-6 ,某地夏天 8 ~14 时用电量变化曲线近似满足函数 y =A sin(ωx+φ)+ π b.(A >0,ω>0,|φ|< ) 2

图 1-9-6 (1)求这一天的最大用电量及最小用电量; (2)写出这段曲线的函数解析式. 【解】 (1)由图可知一天最大用电量为 50 万度,最小用电量为 30 万度;

30+50 (2)b= =40,A ×1+40=50?A =10, 2 T 由图可知 =14-8=6, 2 2π π 则 T=12,ω= = , T 6

-9-

π 则 y=10 sin( x+φ)+40, 6 π 代入(8,30)得 φ= , 6 π π ∴解析式为 y=10sin( x+ )+40,x∈[8,14]. 6 6

一、选择题 π 1 1. 电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I=5sin(100πt+ ), 则当 t= 时, 电流 I 为( 3 200 A.5 C.2 【解析】 【答案】 t= B B. 5 2 D.-5 1 π π π 5 代入 I=5sin(100πt+ )=5sin( + )= ,故选 B. 200 3 2 3 2 )

2.某城市 6 月份的平均气温最高,为 29.45 ℃;12 月份平均气温最低,为 18.35 ℃. 若 x 月份的平均气温为 y ℃,满足条件的一个模拟函数可以是( A.y=23.9-5.55sin π x 6 )

π B. y=23.9-5.55cos x 6 C.y=23.9-5.55tan π x 6

π D.y=23.9+5.55cos x 6 【解析】 【答案】 将 x=6,x=12 分别代入验证可知,只有 B 符合要求,故选 B. B

- 10 -

图 1-9-7 1 3.如图 1-9-7 是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 周期后,乙 2 的位置将移至( A.甲 C.丙 【解析】 【答案】 ) B.乙 D.丁 因为相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期. C

4.一根长 l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm) 与时间 t(s)的函数关系式是 s=3cos( 是 1 s 时,线长 l 等于( A. C. g π g 2 π g B. 2π g D. 2 4π ∵T = 2π g l ,∴ g 2π = =2π, l T ) g π t+ ),其中 g 是重力加速度,当小球摆动的周期 l 3

【解析】

∴l =

g 2. 4π D

【答案】

5.一半径为 10 的水轮,水轮的圆心到水面的距离为 7,已知水轮每分钟旋转 4 圈,水轮 上的点 P 到水面距离 y 与时间 x(秒)满足函数关系式 y=A sin(ωx+φ)+7,则( A.ω= C.ω= 2π ,A =10 15 2π ,A =17 15 T= A 60 2π =15,ω= ,A =10. 4 15 B.ω= ) 15 ,A =10 2π 15 ,A =17 2π

D.ω=

【解析】 【答案】

二、填空题 6. 据市场调查, 某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上, 按月呈 f(x)=Asin(ωx+φ) π +B (A >0,ω>0,|φ|< )的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,7 月份价格最低 2
- 11 -

为 5 千元,根据以上条件可确定 f(x)的解析式为________. 【解析】 由题意知

? ? ?A +B =9, ?A =2, ? 解得? ?-A +B =5, ? ? ?B =7.

T 2π π 再结合题意可得 4= ,T=8= ,ω= , 2 ω 4 π 故 f (x)=2sin( x+φ)+7. 4 3π 3π π 把(3,9)代入上式得 sin( +φ)=1,即 +φ= +2k π,k ∈Z, 4 4 2 π π 又∵|φ|< ,∴φ=- . 2 4 π π 故 f (x)=2sin( x- )+7. 4 4 【答案】 π π f (x)=2sin( x- )+7 4 4

π 7. 交流电的电压 E (单位: V)与时间 t(单位: s)的关系可用 E =220 2sin(100πt+ )来表示, 6 则电压值的最大值是________,第一次获得这个最大值的时间是________. 【解析】 由 E =220 π 2sin(100πt+ ), 6

π ∵t∈[0,+∞),当 sin(100πt+ )=1 时, 6 E ma x=220 2(V).

π π 1 第一次获得最大值时,100πt+ = 得:t= (s). 6 2 300 【答案】 220 2 V 1 s 300

8.某时钟的秒针端点 A 到中心的距离为 5 cm,秒针均匀地绕 O 点旋转到 B 点,当时间 t =0 时,点 A 与钟面上标 12 的点重合,将 A 、B 两点间的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则 d =________,其中,t∈[0,60]. 【解析】 ∴d=10sin 【答案】 三、解答题 9.如图 1-9-8,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一 部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=A sin ωx(A >0,ω>0),x∈[0,4]的图像,且图像的最高 π 由题意易知 A =10,ω= , 60 π t. 60 10sin π t 60

- 12 -

点为 S(3,2

3); 赛道的后一部分为折线段 MNP . 为保证参赛运动员的安全, 限定∠MNP =120° .

求 A ,ω 的值和 M,P 两点间的距离.

图 1-9-8 【解】 依题意,有 A =2 T 2π 3, =3,又 T= , 4 ω

π ∴ω = , 6 ∴y=2 π 2π 3sin x. 当 x=4 时,y=2 3sin =3, 6 3

∴M(4,3). 又∵P (8,0),∴|MP |= ?4-8?2 +?3-0?2=5. 10.2013 年的元旦,广州从 0 时到 24 时的气温变化曲线近似地满足函数 y=Asin(ωx+φ) +b(A ,ω>0,|φ|≤π).从天气台得知:广州在 2010 的第一天的温度为 1 到 9 度,其中最高气 温只出现在下午 14 时,最低气温只出现在凌晨 2 时. (1)求函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的表达式; (2)若元旦当天, M 市的气温变化曲线也近似地满足函数 y=A 1sin(ω1 x+φ1)+b1 , 且气温变 化也为 1 到 9 度,只不过最高气温和最低气温出现的时间都比广州迟了四个小时,求 M 市的 温度函数表达式. 【解】 π (1)由已知可得:b=5,A =4,T=24?ω= . 12

又因为最低气温出现在凌晨 2 时, π 则有 2ω+φ=2k π- . 2 2 又因为|φ|≤π?φ=- π, 3 则所求的函数表达式为 y=4sin( π 2 x- π)+5. 12 3

(2)由已知得 M 市的气温变化曲线近似地满足函数 y=4sin[ =4sin( π 2 (x-4)- π]+5 12 3

π x-π)+5. 12

- 13 -

图 1-9-9 11.一个悬挂在弹簧上的小球,被从它的静止位置向下拉 0.2 米的距离,如图所示,此小 球在 t=0 时被放开并允许振动.如果此小球在 1 秒后又回到这一位置.小球在时间 t(秒)时相 对于平衡位置(即静止的位置)的位移 s(米)由 s=A sin(ωt+φ)决定. (1)求出描述此小球运动的函数关系式; (2)求当 t=6.5 秒时小球所在的位置. 【解】 (1)取向上的位移为正,

2π 由题中条件可知 A =0.2,T=1,ω= =2π. 1 又∵t=0 时,s=-0.2,故 0.2sin φ=-0.2, π 取 φ=- , 2 π 故 s=0.2sin(2πt- ), 2 即 s=-0.2cos 2πt,t∈[0,+∞). (2)令 t=6.5,则 s=-0.2cos 13π=0.2, 故 处 当 t = 6.5 秒 时 小 球 在 静 止 位 置 的 上 方 0.2 米 .

(教师用书独具)

如图,在矩形 ABCD 中,AB =1,BC= 3,此矩形沿地面上一直线滚动,在滚动过程中 始终与地面垂直,设直线 BC 与地面所成角为 θ,矩形周边上最高点离地面的距离为 f (θ). 求:(1)θ 的取值范围; (2)f (θ)的解析式; (3)f (θ)的值域.

- 14 -

【解】

π (1)BC 与地面所成的角,就是直线与平面所成的角,显然角 θ 的范围为[0, ]. 2

π (2)连接 BD,则∠DBC= ,过 D 作地面的垂线,垂足为 E ,在 Rt△BED 中,∠DBE =θ 6 π + ,DB =2, 6 π π ∴f (θ)=2sin(θ+ )(0≤θ≤ ). 6 2 π π π π 2π (3)f (θ)=2sin(θ+ )(0≤θ≤ ), ≤θ+ ≤ , 6 2 6 6 3 1 π ∴ ≤sin(θ+ )≤1, 2 6 即 f (θ)的值域为[1,2].

如图所示,某大风车的半径为 2 m,每 12 s 旋转一周,它的最低点 O 离地面 0.5 m,风车 圆周上一点 A 从最低点 O 开始运动,运动 t(s)后与地面的距离为 h(m). (1)求函数 h(t)的关系式; (2)画出函数 h(t)的图像.

【解】 标系.

(1)如图所示,以 O 为原点,过点 O 的圆的切线为 x 轴,OO1 为 y 轴建立直角坐

设 A (x,y),则 h=y+0.5, 2-y 设∠OO1 A =θ,则 cos θ= , 2 所以 y=-2cos θ+2.

- 15 -

2π π 又 θ= t,即 θ= t, 12 6 π π 所以 y=-2cos t+2,则 h(t)=-2cos t+2.5. 6 6 (2)函数 h(t)的图像如下图所示.

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