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第19讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式


1.理解同角三角函数的基本关系式: sinx sin x ? cos x ? 1, ? tan x. cosx 2.能利用单位圆中的三角函数线推
2 2

导正弦、余弦、正切的诱导公式. 3.能灵活应用同角公式、诱导公式进 行简单三角函数的化简、求值与证明.

1.同角三角函数关系式:
2 2 1 平方关系: sin ? ? cos ? ? ① __________. ??

tan ? ? ② __________. ? 2 ? 商数关系: 2.三角函数的诱导公式 (巧记口诀:奇变偶不变,符号看象限) 注意:记忆公式中始终假视为锐角

公式一:
? 正弦 2kp+? sin? -? ④_____ p-? sin? p+? -sin? 2p-? -sin?

余弦 正切

③____ tan?

cos?
-tan?

-cos? ⑤_____

-cos? tan?

⑥____ -tan?

公式二:
? 正弦 余弦 -? ⑦_____ sin? +? cos? ⑧_____ p-? ⑨_____ -sin? p+? -cos? ⑩_____

【要点指南】 sin? ①1;② ;③ cos ?;④ ? sin ?; cos? ⑤ ? tan ?;⑥ cos ?;⑦ cos ?; ⑧ ? sin ?;⑨ ? cos ?;⑩ sin ?

4 1.α 是一个三角形的内角,且 sinα= ,则 tanα 的值等于( 5 4 A.- 3 3 C. 4 3 B.- 4 4 D.± 3

)

3 【解析】 cosα=± 1-sin α =± , 5
2

sinα 4 所以 tanα= =± .故选 D. 3 cosα

1+sinα 1 cosα 2.已知 =- ,则 的值为( 2 cosα sinα-1 1 A. 2 C.2 1 B.- 2 D.-2

)

cosα?1+sinα? cosα cosα 【解析】 =- =- =- 2 sinα-1 1-sinα 1-sin α cosα?1+sinα? 1+sinα 1 =- = . 2 2 cos α cosα 故选 A.

π 1 7 3.已知- <x<0,sinx+cosx= ,则 sinx-cosx 的值为 - . 2 5 5

1 【解析】由 sinx+cosx= , 5 1 平方得 sin x+cos x+2sinxcosx= , 25
2 2

1 24 所以 1+2sinxcosx= ,所以 2sinxcosx=- , 25 25 24 49 所以(sinx-cosx) =1-2sinxcosx=1+ = , 25 25
2

π 7 又- <x<0,所以 sinx-cosx<0,所以 sinx-cosx=- . 2 5

π 3 5π 3 4.已知 cos(6+θ)= 3 ,则 cos( 6 -θ)= - 3

.

5π π 【解析】因为 -θ+ +θ=π, 6 6 5π π π 3 所以 cos( -θ)=cos[π-( +θ)]=-cos( +θ)=- . 6 6 6 3

1 3π 1 5.cos(π+α)=- ,则 sin( +α)= - . 2 2 2

1 【解析】由 cos(π+α)=-cosα,得 cosα= , 2 3π 1 所以 sin( +α)=-cosα=- . 2 2



诱导公式的应用

16π 【例 1】(1)求 sin(- )的值; 3 (2)化简: sin2?π+α?cos?-α?cos?π+α? . 3π tan?π-α?cos3?-π-α?sin? -α?tan?-2π-α? 2

16π 16π 4π 4π 【解析】 (1)sin(- )=-sin =-sin(4π+ )=-sin = 3 3 3 3 π π 3 -sin(π+ )=sin = . 3 3 2 sin2αcosα?-cosα? (2)原式= sin?π-α? sin?-2π-α? 3 · ?-cosα? ?-cosα? cos?π-α? cos?-2π-α? =-1.

【点评】(1)求任意角三角函数值的过程可以归纳为“负化 正,大化小,化成锐角再查表”,求值时,一定要认真审 题,选择恰当公式,找出最佳途径,完成求值. (2)三角函数的化简是各类考试重点的内容之一,要注 意灵活,准确地使用诱导公式.

素材1

1 已知 cos(75° +α)= ,其中 α 为第三象限角,求 cos(105° 3 -α)+sin(α-105° )的值.

【解析】cos(105° -α)=cos[180° -(75° +α)] 1 =-cos(75° +α)=- , 3 sin(α - 105° ) =- sin(105° - α) =- sin[180° - (75° + α)] = -sin(75° +α). 1 因为 cos(75° +α)= ,且 α 为第三象限角, 3 所以角 75° +α 为第四象限角.

所以 sin(75° +α)=- 1-cos2?75° +α ? =- 12 2 2 1-? ? =- , 3 3

1 2 2 2 2- 1 则 cos(105° -α)+sin(α-105° )=- + = . 3 3 3

【点评】解答本题的关键是分析所求式和已知式中的角度,寻 找到 75° +α 与 105° -α 之间的关系,即(105° -α)+(75° +α ) =180° ,从而为应用诱导公式化简找到入手之处.



利用同角公式进行弦切转化

sinα-3cosα 【例 2】(1)已知 tanα=2,求 的值; sinα+cosα 1 (2)化简:tanθ(cosθ-sinθ)+sinθ· (tanθ+ ). tanθ

【解析】 (1)tanα=2,显然 cosα≠0, sinα-3cosα tanα-3 2-3 1 = = =- . 3 sinα+cosα tanα+1 2+1 sinθ sinθ cosθ (2)原式= · (cosθ-sinθ)+sinθ( + ) cosθ cosθ sinθ sin2θ sin2θ =sinθ- + +cosθ cosθ cosθ =sinθ+cosθ.

【点评】(1)在解决关于正弦、余弦的齐次问题时,可逆用商 sinα 数关系式 tanα= 将弦化为切(以减少函数名称),从而达 cosα 到简化运算目的. (2)三角中的化简、 求值及三角恒等式的证明问题常常采 sinα 用“切化弦法”,即利用商数关系 tanα= ,把切函数化 cosα 为弦函数,以达到统一函数名称之目的.

素材2

tanα 已知 =-1,求 sin2α+sinαcosα+2 的值. tanα-1

tanα 1 【解析】由 =-1,得 tanα= , 2 tanα-1
2 2 3sin α + sin α cos α + 2cos α 2 所以 sin α+sinαcosα+2= sin2α+cos2α

3tan2α+tanα+2 = tan2α+1 12 1 3×? ? + +2 2 2 13 = = . 12 5 ? ? +1 2



公式sin2α+cos2α=1的巧用

1 【例 3】已知 sinθ-cosθ= ,求: 2 (1)sinθcosθ; (2)sin3θ-cos3θ; (3)sin4θ+cos4θ.

1 1 【解析】 (1)sinθ-cosθ= ,平方得 1-2sinθcosθ= , 2 4 3 sinθcosθ= . 8 1 (2)sin θ -cos θ =(sinθ -cosθ)(sin θ +sinθcosθ +cos θ)= 2
3 3 2 2

3 11 (1+ )= . 8 16 (3)sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ 9 23 =1-2× = . 64 32

【点评】本例是方程思想在三角中的应用问题,求解中注意 乘方, 因式分解和配方, 一般地, 已知 sinθ+cosθ, sinθ-cosθ, sinθcosθ 中,任何一个都可以用来求出另两个值.

素材3

(1)已知 cosα-sinα=1, 求(cos2013x+sin2013x)2; 1-sin6x-cos6x 3 (2)证明: 4 4 = . 1-sin x-cos x 2
【分析】 遇到条件 cosx - sinx = 1 ,可 运用平方法,求得 sinxcosx,代入求解.

【解析】(1)由 cosx-sinx=1,可得 1-2sinxcosx=1, 则 sinxcosx=0,即 sinx=0 或 cosx=0. 当 sinx=0 时,cosx=1+sinx=1, 得(cos2013x+sin2013x)2=1; 当 cosx=0 时,sinx=cosx-1=-1, 得(cos2013x+sin2013x)2=1. 综上可知,(cos2013x+sin2013x)=1.

(2)证明:因为 sin2x+cos2x=1, 所以 1=(sin2x+cos2x)3,1=(sin2x+cos2x)2, 1-sin6x-cos6x 1-sin4x-cos4x ?sin2x+cos2x?3-sin6x-cos6x = 2 ?sin x+cos2x?2-sin4x-cos4x 3sin4xcos2x+3cos4xsin2x = 2sin2xcos2x 3?sin2x+cos2x? = 2 3 = . 2

【点评】(1)本题看似复杂,其实由条件可求得 sinx 及 cosx 的 值为特殊值,从而使问题快速解决. (2)本题在证明过程中,充分利用三角函数的平方关系, sin2α+cos2α=1,对“1”进行巧妙的代换,使问题迎刃而解.

备选例题

π 1 已知- <x<0,sinx+cosx= . 2 5 (1)求 sinx-cosx 的值; x x 2x 3sin -2sin cos +cos 2 2 2 2 (2)求 的值. sinx cosx + cosx sinx
2x

1 【解析】方法 1:(1)由 sinx+cosx= ,两边平方得 5 1 24 sin x+2sinxcosx+cos x= ,得 2sinxcosx=- , 25 25
2 2

49 所以(sinx-cosx) =1-2sinxcosx= , 25
2

π 又因为- <x<0, 2 所以 sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0, 7 故 sinx-cosx=- . 5

2sin -sinx+1 2 (2)原式= sinx cosx + cosx sinx =sinxcosx(2-cosx-sinx) 12 1 108 =(- )×(2- )=- . 25 5 125

2x

? 1 ?sinx+cosx= 5 方法 2:(1)联立方程组? ?sin2x+cos2x=1 ?

① ②

1 由①得 sinx= -cosx,将其代入②, 5 整理得 25cos2x-5cosx-12=0, 3 4 所以 cosx=- 或 cosx= . 5 5

? ?sinx=- 3 ? 5 π 因为- <x<0,所以? 2 4 ? cosx= ? 5 ?



7 故 sinx-cosx=- . 5

2sin -sinx+1 2 (2)原式= sinx cosx + cosx sinx =sinxcosx(2-cosx-sinx) 3 4 4 3 =(- )× ×(2- + ) 5 5 5 5 108 =- . 125

2x

1.在求值与化简时,常用的方法有:①弦切互化, sinx 主要公式为 tan x ? , sin x ? tan x ? os x; cosx ②和积互化,利用(sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2sin x cos x 的关系进行变形、转化; ③巧用“1”的变换: 1 ? sin 2 x ? cos 2 x. 2.在求值、化简时,要细心观察三角函数式的 特征,灵活、恰当地选用公式.思路一: 切化弦,思路二:化为同名函数. 3.运用诱导公式的关键在于函数名称与符号 的正确判断和使用.


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