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高中数学 《从力做的功到向量的数量积》教案 北师大版必修4


从力做的功到向量的数量积
梁珊珊 【教学目标】 (1)通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几 何意义. (2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系. (3)掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用. (4)能运用数量积表示 两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系. 【教学重、难点】 重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义;运算律. 难点: 运算律的理解 【设疑自探】 (学生阅读教材) 思考:请同学们回忆物理学中做功的含义,回答对 F 一般的向量 a 和 b,如何定义这种运算? ? 1.力做的功:
s

2.定义:平面向量数量积(内积)的定义:

(规定 0 与任何向量的数量积为 0)。? 3.向量夹角的概念: 范围

两个向量的数量积与向量同实数积有哪些区别?

【解疑合探】 (探究一)射影的概念是如何定义的?并指出应注意哪些问题?

B O b O O ? a B1 O A

B O b ? B1 O O O a A

B O b ? O (B ) 1 OO a A
-1-

射影定义: 注意:①射影也是一个数量,不是向 量。 ②当?为锐角时射影为正值; 当?为钝角时射影为负值; 当?为直角时射影为 0; 当? = 0?时射影为 |b|; 当? = 180?时射影为 ?|b|. (探究二) 如何定义向量数 量积的几何意义?由向量数量积的几何意义你能得 到两个向量的数量积哪些的性质?

几何意义:

性质:

(探究三) 根据向量数量积的定义,你能否验证下列向量的数量积是否满足下列运算定律? . 1.交换律:a?b = b?a

2.数乘结合律:(

?

a) ?b = ? (a?b) = a? ( ? b)

3.分配律:(a + b) ?c = a?c

+ b?c

例 1.已知: a

? 2 , b ? 3 , a与 b的夹角为 120

0

2

, 求 (1) a

? b .( 2 ) a ? b .

2

-2-

b 例 2.已知 a、 都是非零向量,且 a

? 3 b与 7 a ? 5 b

垂直,

a ? 4 b与 7 a ? 2 b

b 垂直,求 a、 的夹角。

例 3.用向量方法证明:菱形对角线互相垂直。

【质疑再探】同学们还有哪些疑问?

【课堂检测】 1、判断下列各题正确与否: ①若 a = 0,则对任一向量 b,有 a?b = 0. ②若 a ? 0,则对任一非零向量 b,有 a?b ? 0. ③若 a ? 0,a?b = 0,则 b = 0. ④若 a?b = 0,则 a 、b 至少有一个为零. ⑤ 若 a ? 0,a?b = a?c,则 b = c. ⑥若 a?b = a?c,则 b = c 当且仅当 a ? 0 时成立. ⑦对任意向量 a、b、c,有(a?b) ?c ? a? (b?c). ⑧对任意向量 a,有 a2 = |a|2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2、用力 F 推动一物体水平运动 s ,力 F 与水平面的夹角为 ? ,则力对物体所做的 功为( A、 )
F ? s F ? s cos ? F ? s ? cos ?

B、

C、 F

? s ? sin ?

D、

3、已知两个力 F1 , F 2 的夹角是直角,且知它们的合力 F 与 F 1 的夹角是 60°,|F| =10N,求
F1 , F 2

的大小.

-3-

4、 已知向量 求证:

OP 1

、OP 2 、

OP 3

满足:

OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 0

, 且

OP 1 ? OP 2 ? OP 3



? P1 P2 P3

是正三角形。

[学习小结] (学生总结,其它学生补充)

-4-


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