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1.5 函数y=Asin(wx+φ)的图象(2)


课前练习
1.把y ? sin(2 x ? )的图象向右平移 个单位, 所得的函数为 3 6 A. y ? sin(2 x ? ); B. y ? sin(2 x ? ) 2 6 3 C. y ? sin(2 x ? ); D. y ? sin 2 x 2

?

?

?

?


?

?

x ? x 2.要得到函数y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 的图象 2 6 2 A. 向右平移 ; B. 向左平移 6 6 C. 向右平移 ; D. 向左平移 3 3

?

?

?

?

?

?

? 个单位 图象向左平移 y ? sin x

? ? 0,

y ? sin ?x

y ? sin x y ? sin x

横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 横坐标伸长到原来的 倍,纵坐标不变

y ? sin(?x ? ? ) ? (? ? 0) 图象向左或右平移 个单位 ? ? ? 1, 1

图象向右平移 ? 个单位 ? x ?x?

? ? 0,

y ? sin(x ? ? )

?

? ? 1, ? 1
A ? 1, ?

y ? sin ?x(? ? 0) y ? A sin x( A ? 0)

纵坐标伸长到原来的A倍, 横坐标不变

纵坐标缩短到原来的A倍, 横坐标不变

A ? 1,

1.5 函数y=Asin(?x+?)的图象(2)

X

2 x ? ) 的图象? 例1.如何由 y ? sinx 变换得y ? 3 sin ( 3 ? (按? , ? , A顺序变换 ) 方法1: 向左平移 ? 3
y
3
2

?

1

y=sin(x+ ) 的图象 函数 y=sinx 1 3 ? 横坐标缩短到原来的 2 y=sin(2x+ ) 的图象 倍 纵坐标不变 3 ? 纵坐标伸长到原来的3倍 y=3sin(2x+ )的图象 3 横坐标不变 y=sinx ?
7 ? 6
5? 3

o
?

2?

?
3

?

? y=3sin(2x+ ) 3 -2
-3

? 6 -1

? 6

? 3

2 5? 7 ? ? 12 3 6

x

y=sin(2x+ )

?

y=sin(x+ )

?

3

3

2 x ? ) 的图象? 例1.如何由 y ? sinx 变换得y ? 3 sin ( 3 ( 按 ? , ? , A 顺序变换 ) 方法2: 1
y 3 2 1
? ? 6

?

横坐标缩短到原来的 2 函数 y=sinx y=sin2x的图象 ? 倍 纵坐标不变 ? y=3sin(2x+ ) ? 向左平移 3 6 y=sin(2x+ ) 的图象 3? 纵坐标伸长到原来的3倍 y=3sin(2x+ )的图象 3 横坐标不变 y=sinx ?
? 3
5? 6

o

? 3

5? 3

2? x

-1 -2 -3

y=sin2x y=sin(2x+ )

?

3

y=sinx的图象
沿x轴向左(? ? 0)向右(? ? 0) 平移 | ? | 个单位得到

横坐标伸长(0 ? ? ? 1)或缩短(? ? 1) 1 为原来的 倍就得到 ?

横坐标伸长(0 ? ? ? 1)或缩短(? ? 1) 1 为原来的 倍就得到 ?

沿x轴向左(? ? 0)向右(? ? 0) ? 平移 | | 个单位得到 ?

纵坐标伸长( A ? 1)或缩短(0 ? A ? 1) 纵坐标伸长(A ? 1)或缩短(0 ? A ? 1) 为原来的A倍就得到

为原来的A倍就得到

解 : (画法一)

1 ? 例2 画出函数y ? 2 sin( x ? )的简图. 3 6
?
6 个单位长度,

(1)先把正弦曲线上所有点向右平移 得到y ? sin( x ?

?

6 ( 2)再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍 1 ? (纵坐标不变 ), 得到y ? sin( x ? )的图象; 3 6 (3)再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 1 ? (横坐标不变 )而得到函数y ? 2 sin( x ? )的图象. 3 6

)的图象;

y
3 2 1

? y=sin(x- )① 6
?
y=sinx

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6
1 ? y ? sin( x ? ) ② 3 6
2?
7? 2 13? 2

o
?
-1

6

? 2

x

函数y ? sin x

y ? sin( x ? )的图象 6 1 ? (2)横坐标伸长到原来的 3倍 y ? sin( x ? )的图象 3 6 纵坐标不变 (3)纵坐标伸长到原来的 2倍 y ? 2 sin(1 x ? ? )的图象 3 6 横坐标不变

(1)向右平移

?
6

?

1 ? (画法二 )利用"五点法 "画函数y ? 2 sin( x ? )在 3 6 2? 一个周期(T ? 1 ? 6? )内的图象 .
3

1 ? ? 令X ? x ? , 则x ? 3( X ? ). 3 6 6 ? 3? 当X 取0, , ? , , 2? 时, 可求得相对应的x和y 2 2 的值, 得到"五点", 再描点作图 .然 . . 后 将 简 图 再 , "描 点
X x y
0
?
2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2

2?

5?

0

2

0

?2

0

(1)列表 :

X x y

0
?
2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2

y

2?

5?

0

2

0

?2

0
2

(2)描点 :

O -2

?
2

2?

? 7? 13? ( ,0), (2? ,2), ( ,0), (5? ,?2), ( ,0) 2 2 2
(3)连线:

7? 2

5?

13? 2

x

小结:
一、作简图的方法: 1、简化五点法 2、利用图象之间的变换作图
二、以函数y=sinx的图象为基础出发,通过A,ω, φ三个参数对图象的变换的影响来实现作图的目的。 特别要注意语言的规范使用。 (1)? ? ? ? A 变换法: ? ? ? ? A 变换法: ( 2)

1

y o
?
?
2

步骤1
-1

3? 2

2?

x

(沿x轴平行移动)

y
步骤2
1

o
-1

3? 2

2?

?
2

?

x (横坐标伸长或缩短)

1

y o
?
2

步骤3
-1

?

3? 2

2?

x

(纵坐标伸长或缩短)
1

y o

?
2

步骤4
-1

?

3? 2

2?

x

1.5 函数y=Asin(?x+?)的图象(3)

X

思考:物理中,简谐运动的图象就是函数y ? A sin( ?x ? ? ) ,

?>0.描述简谐运动的物理 x ? ?0, ? ??的图象,其中A>0,

量有振幅、周期、频率、相位和初相等,你知道这些物 理量分别是指那些数据以及各自的含义吗? A是振幅,它是指物体离开平衡位置的最大距离;

T?

2?

? 的时间;

是周期,它是指物体往复运动一次所需要

的次数;

1 ? f ? ? 是频率,它是指物体在单位时间内往复运动 T 2?

wx + j

称为相位; 称为初相,即x=0时的相位.

?

例2、某简谐运动图象如图 .试根据图象回 答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅, 周期与频率各是 多少; 振幅A=2 周期T=0.8s 频率f=1.25 (2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完 O~D 成了一次往复运动?如从A点算起呢? A ~E (3)写出这个简谐运动的函 数表达式. 5p y = 2 sin x , x ? [0, ) y/cm 2 E 2 A
o

0.4 0.8 B D
C

1.2 F

x/s

小结:
1.作简图的方法: (1)五点法(2)变换法 2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的物理意义 2? 频率:f ? 1 ? ? 振幅:A T? 周期: T 2? ?

?x ?? 相位:

初相:?

3、求y=Asin(ωx+φ)的解析式的一般方法
1、 先 由 图 象 确 定 A与 T 2? 2、 由 ω= 求 ω T 3、 特 殊 点 代 入 法 求 ? (有时也先求A,再求 ? ,最后求ω)

? 练习:如图为函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ), 2
的图象的一部分,则函数的解析式为__________.
解析:由图象知:A=2且图象过点(0,1),
y

1 ?1 ? 2sin(0 ? ? ? ? ) ? sin ? ? , 2

2 1
0 -2
11? 12

? ? ? | ? |? ,?? ? ? y ? 2sin(? x ? ) 2 6 6

x

11? 11? ? 又 图象过点( ,0), ? 2sin(? ? ? )?0 12 12 6

11? ? ?? ? ? ? 2? , 12 6

?? ? 2

(先求A,再求

? ,最后求ω)

? y ? 2sin(2 x ? ) 6

?

例 3.已知函数 y=Asin(ω x+ ? ),x∈R,(其中 A>0, ? ω >0, ? ? )的图象在 y 轴右侧的第一个最高点(函 2 数取最大值的点)为 M(2,2 2 ),与 x 轴在原点右侧 的第一个交点为 N(6,0),求这个函数的解析式 解法 1:根据题意,可知 A= 2 2 , T =6-2=4 2? ? 4 ∴T=16,∴ω = ? T 8 将点 M 的坐标(2,2 2 )代入 y=2 2 sin( ? x+ ? ),
王新敞
奎屯 新疆

? 又∵ ? ? ∴? ? 2 4 ? ? 从而所求的函数解析式是 y=2 2 sin( x+ ),x∈R
8 4

得2

2 =2 2 sin(

?

? ×2+ ? 8

)

即 sin( ? + ? )=1
4

8

例 3.已知函数 y=Asin(ω x+ ? ),x∈R,(其中 A>0, ? ω >0, ? ? )的图象在 y 轴右侧的第一个最高点(函 2 数取最大值的点)为 M(2,2 2 ),与 x 轴在原点右侧 的第一个交点为 N(6,0),求这个函数的解析式 解法 2:将两个点 M(2,2 2 ),N(6,0)的坐标分别代入 y=2 2 sin(ω x+φ)并化简 ? sin( 2? ? ? ) ? 1 得? ? sin( 6? ? ? ) ? 0
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

? ? ∴所求的函数解析式是 y=2 2 sin( x+ ),x∈R 8 4

∴在长度为一个周期且包含原点的闭区间上, ? ? ? ? ?? ? 2 ? ? ? ? ? ? 8 有? 2 ?? ?? ? ? ? 6 ? ? ? ? ? ? ? ? 4

? 练2. 已知 f ( x) ? A sin( ?x ? ? )( A ? 0,? ? 0, ? ? ) 2
大值点和最小值点分别 为

的图象在y轴上的截距为1,它在y轴右侧的第一个最

( x0 ,2) 和 ( x0 ? 3? ,?2).

(1)求f(x)的解析式; 1 ? (1) f ( x) ? 2 sin( x ? ). 3 6 (2)指出函数的周期、振幅、初相; ? (2)T ? 6? , A ? 2,? ? . 6

? 练2. 已知 f ( x) ? A sin( ?x ? ? )( A ? 0,? ? 0, ? ? ) 2
大值点和最小值点分别 为

的图象在y轴上的截距为1,它在y轴右侧的第一个最

( x0 ,2) 和 ( x0 ? 3? ,?2).

(3)说明此函数的图象是由y=sinx, x ? R 上的图象 经过怎样的变换得到的? 1 ? (1) f ( x) ? 2 sin( x ? ). 3 6 ? (2)T ? 6? , A ? 2,? ? . 6


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