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函数求值域的方法


不同函数类型值域求解方法归纳
题型一:二次函数的值域: 配方法(图象对称轴) 例1. 求

f ( x) ? x 2 ? ax ? 6 的值域
2 2

a? a2 a2 ? ?6? 解答:配方法: f ( x) ? x ? ax ? 6 ? ? x ? ? ? 6 ? 2 4 4 ? ?

? ? a2 , ? ?? 所以值域为 ?6 ? 4 ? ?
例2. 求

1?上的值域 f ( x) ? x 2 ? x ? 6 在 ?? 1,
2 2

1 ? 23 ? 解答:函数图像法: f ( x) ? x ? x ? 6 ? ? x ? ? ? 2? 4 ? 1 23 2 画出函数的图像可知, f ( x) ? x ? x ? 6 在 x ? 时取到最小值 ,而在 2 4
? 23 ? 8? 。 x ? ?1 时取到最大值 8,可得值域为 ? , 4 ? ?
例3. 求

1?上的值域 f ( x) ? x 2 ? ax ? 6 在 ?? 1,

解答:由函数的图像可知,函数的最值跟 a 的取值有关,所以进行分类讨论: ① 当a

? ?2 时,对称轴在 x ? ?1 的左侧,所以根据图像可知,

f max ? f (1) ? 7 ? a , f min ? f (?1) ? 7 ? a , 此时值域为 ?7 ? a, 7 ? a? .
② 当? 2 ? a

? 0 时,对称轴在 x ? ?1 与 y 轴之间,所以根据图像可知,

f max ? f (1) ? 7 ? a , f min
③ 当0

? a2 ? a a2 7 ? a? . ? f ( ) ? 6 ? ,此时值域为 ?6 ? , 4 2 4 ? ?

? a ? 2 时,对称轴在 y 轴与 x ? 1 之间,所以根据图像可知,

f max ? f (?1) ? 7 ? a , f min

a a2 ? f( ) ?6? , 2 4

? a2 ? , 7 ? a? 所以此时值域为 ?6 ? 4 ? ?
1

④ 当2

? a 时,对称轴在 x ? 1 的右侧,所以根据图像可知,

f max ? f (1) ? 7 ? a , f min ? f (?1) ? 7 ? a
所以此时的值域为

?7 ? a, 7 ? a?

题型二:指数、对数函数的值域: 采用换元法
例4. 求

f ( x) ? log2 x 2 ? 2x ? 6 的值域
? x 2 ? 2 x ? 6 ,则由例 1 可知, t ? ?5,???

?

?

解答:复合形式用换元:令 t

根据单调性,可求出 log2 t 的值域为 例5. 求

?log2 5,???
x

f ( x) ? 4 x ? 2 x?1 ? 6 的值域
x

?0,??? 2 则原函数变为 t ? 2t ? 6 ,可以根据二次函数值域的求法得到值域为 ?6,???
解答:因为 4

? 2x

? ? ,所以,采用换元法,令 t ? 2
2

,则 t ?

题型三:分式函数的值域
分式函数的值域方法:(1)
f ( x) ?
分离变量(常数)法;(2) 反函数法(中间变量有界

法);(3) 数形结合(解析几何法:求斜率);(4) 判别式法(定义域无限制为 R); 例6. 求函数

2x ? 3 的值域 x ?1 2t ? 1 1 ? 2 ? ,由反比例函数的性质可知,值域为 t t

解法一:分离变量法。将分式中分子部分的变量分离出去。则可以换元,令

t ? x ? 1 ,原函数变为

?? ?,2? ? ?2,???
解法二:反函数法。利用原函数的值域就是反函数的定义域,来求值域。令

y ? f ( x) ?

3? y 2x ? 3 ,则 yx ? y ? 2 x ? 3 ,得到 x ? ,可知 y ? 2 y?2 x ?1
f ( x) ? 2x ? 3 1? 的值域 在 ?0, x ?1
? x ? 1 , t ? ?1,2?,原函数变为

例7. 求函数

解法一:分离变量之后采用函数图像法。令 t

2

1 2t ? 1 1 ? 2 ? ,可以画出 2 ? 的图像,或者根据单调性直接可以得到值域为 t t t

?5 ? , 3 ? ?2 ? ?
解法二:反函数法。将 x

?

3? y 3? y ? 1 不等式,可 1? 中,求解 0 ? 代入 ?0, y?2 y?2

以得到值域范围 ?

?5 ? , 3? 。 2 ? ?

x 2 ? 3x ? 3 例8. 求函数 f ( x) ? 的值域 x ?1
t2 ? t ?1 1 ? t ? ?1 解法一:分离变量法,令 t ? x ? 1 ,原函数变为 t t
由均值不等式可知当 t 的值域为

1 1 ? 0, t ? ? 2 ,当 t ? 0, t ? ? ?2 ,可以得到原函数 t t

?? ?,?1? ? ?3,???

x 2 ? 3x ? 3 2 解法二:判别式法。令 y ? f ( x) ? ,则 yx ? y ? x ? 3x ? 3 , x ?1
整理得关于 x 的一元二次方程 x 方程的判别式 ? ?
2

? ?3 ? y ?x ? 3 ? y ? 0 ,满足方程有解,该

?3 ? y?2 ? 4?3 ? y? ? 0 可得 y ? ?1或y ? 3 , 即函数的值 域为 ?? ?,?1? ? ?3,???
x 2 ? 3x ? 3 1? 的值域 例9. 求函数 f ( x) ? 在 ?0, x ?1
解答:此题限制了定义域,导致判别式法失效,采用分离变量法,画出函数图 像来求函数的值域。

t2 ? t ?1 1 ? t ? ? 1 画对勾函数图像, 1,2?,原函数变为 令 t ? x ?1, t ?? t t
可得 t

1 ? 5? ? 7? ? 的值域范围是 ?2, ? ,则函数的值域为 ?3, ? t ? 2? ? 2?

3

题型四:三角函数的值域
求三角函数的值域方法: (1)二次换元配方; (2)三角函数有界性; (3)数形结合(单位圆求斜率) 。 例:求函数

f ( x) ? 3sinx ? 4cosx ? 2 的值域

解答:使用辅助角公式, 知函数的值域为 例10. 求函数

f ( x) ? 3sinx ? 4cosx ? 2 ? 5 sin?x ? ? ? ? 2 ,可

?3, 7?

f ( x) ? 3sin2x ? 4cos2 x ? 2 的值域

解答: 先 化 简 , 再 转 为一 次 三 角 函 数 后 使 用 辅 助 角 公 式 ,

f ( x) ? 3sin2x ? 4cos2 x ? 2 ? 3 sin 2x ? 2 cos2x ? 2 ? 2 ? 13 s i ?n 2x ? ? ? ? 4
可知函数的值域为 例11. 求函数

?4 ?

13 , 4 ? 13

?

f ( x) ? cos2x ? 4cosx ? 2 的值域

解答:先化为同角的三角函数,再换元为二次函数求解值域。

f ( x) ? cos2x ? 4cosx ? 2 ? 2 cos2 x ? 1 ? 4 cos x ? 2 ? 2 cos2 x ? 4 cos x ? 1
令t

? cos x, t ? ?? 1,1? ,则原函数化为 2t 2 ? 4t ? 1 ? 2?t ? 1? ? 1,则按前面
2

的例题可得函数的值域为 例12. 求函数

?? 1, 3? ,
2

f ( x) ? sin2x ? 2cosx ? 2 sin x 值域

?,则原函数化为 ? t 2?。 二次函数的值域求法,可得结果 ?? 1 ? 2,
令t

f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2?sin x ? cos x? ? 1 ? ?sin x ? cos? ? 2?sin x ? cos x?
? sin x ? cos x, t ? ? 2, 2

?

2

? 2t ? 1 ,同理,按

注意:用

2 2 ? sin x ? cos x ? ? 1 1 ? ?sin x ? cos x ? sin x cos x ? ?

2

2

换元。

题型五:绝对值函数的值域:
绝对值函数值域: (1)零点分类讨论法(2)数形结合:利用绝对值几何意义。 例13. 求函数

f ( x) ? x ? 5 ? x ? 1 的值域
? 1 时, f ( x) ? 6 ; 当 x ? ?5 时, f ( x) ? ?6 ;
4

解法一: 零点分类讨论法。 当x

当?5 ?

6? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x ? 4 。所以函数的值域为 ?? 6,

解法二:利用绝对值的几何意义,画出数轴,

x ? 5与 x ? 1 分别表示 x 到-5

与 1 的距离,根据数轴图像,可以直接得到值域为 例14.求函数

?? 6, 6?

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? x 2 ? 2 x ? 3 的值域

解答:零点分类法将十分麻烦,利用换元法,令 t 原函数化为

? x 2 ? 2 x, t ? ?? 1,???,则

t ? t ? 3 ,则根据数轴法,可以得到函数的值域为 ?? 3, 3?

题型六:根式函数的值域
根式函数的值域方法: ( 1)代数换元法; (2)三角换元法; (3)解析几何法: 距离、切距等。 (3)单调性法。 例15. 求函数

f ( x) ? x ? 1 ? x 的值域 ? 1 ? x , t ? ?0,??? ,则原函数化为 ? t 2 ? t ? 1 ,根据
?5 ? ,?? ? 。 ?4 ?

解法一:换元法,令 t

二次函数值域的求法,可得原函数值域为 ? 例16. 求函数

f ( x) ? x ? 1 ? x 的值域

解法一、解法二同上一例题,注意换元时的等价性,结果

?? 1,???
?? 1,??? ,代

解法三:单调性法,题目中函数为单调递增,根据函数的定义域 入可得函数的值域 例17. 求函数

?? 1,??? 。
的值域

f ( x) ? x ? 1 ? x 2

解法一:三角换元法,令 x

? ? ?? ? sin ? , ? ? ?? , ? ,这样换元既可以保证换元 ? 2 2?

的等价性,同时可以使得开方后的表达式去掉绝对值符号,

?? ? x ? 1 ? x 2 ? sin ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin ? ? cos? ? sin ? ? cos? ? 2 sin?? ? ? 4? ?
注意 ?

? ? ?? ? ?? , ? ,画出三角函数图像可得值域为 ? 1, 2 。 ? 2 2?

?

?

5

例18. 求函数

f ( x) ? x ? 2 1 ? x 2

的值域

解法一:三角换元,类似于上一道题,令 x

? ? ?? ? tan? , ? ? ? ? , ? ,这样可以 ? 2 2?
2 s i n? ? 2 ? , co s? co s?

得到

x ? 2 1 ? x 2 ? t an? ? 2 1 ? t an2 ? ? t an? ?

化为三角分式, 在利用解析几何法将其转化为两点的斜率可以做出图像得到值域 为

? 3,???

?x 1 ? ?x 1 ? ? ?? ? ? ?1 进行换元,令 解法三:对勾换元法,利用 ? ? ? 2 2x ? ? 2 2x ? t 1 t 1 ? t 1 ? 3t 1 x ? ? , t ? ?0,?? ? ,则原函数化为 ? ? 2? ? ? ? ? ,根 2 2t 2 2t ? 2 2t ? 2 2t
据均值不等式可得值域

2

2

? 3,???

题型七:对勾函数: y = ax +

b (a > 0,b > 0,x > 0)的 值域。 x

均值不等式法:转化成型如 y = ax +

b (a>0,b>0),利用均值不等式求值域 x

注意:利用均值不等式求最值或求值域时要满足:一正 二定 三相等

例2. 当x > 2时,求y =
2

x2 - 4x + 5 的最小值; 2x - 4
x-2 1 =1 2 2 ? x - 2?

? x - 2 ? +1 x - 2 1 解:y = ?2 = + 2 ? x - 2? 2 2 ? x - 2?
当且仅当

x-2 1 = 时 即x = 3时取“=” 2 2 ? x - 2?
2x 的最大值. x - x +1 1 ? 2 当且仅当x = 时 ?即x = 1? 取“=” x
2

变式:若x > 0,y =

解:y =

2 1 x + -1 x

变式2.求f ? x ? = sinx +

1 ?1 7 ? .? x ? ?0, π?? 的值域. ? , ? sinx + 5 ?5 6 ?

1 变式3.求f ? x ? = x - .? x ? 1? 的值域.?0, + ∞? x
6

题型七:高次函数、超越复杂函数值域
高次函数、超越复杂函数值域:求导法结合单调性。
例 25: y ? x ? 5 x ? 5 x ? 2 , x ?[?1, 2]
5 4 3

例析求函数值域的方法
常用的方法有:直接法、配方法、判别式法、基本不等式法、逆求法(反函 数) 、换元法、图象法、利用函数单调性等。 (一)方法讲解 1、求值域的常用方法; (1)观察法:从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围 (2)单调性法:如果 f ( x) 在 [a, b] 上单调递增,则其值域为 [ f (a), f (b)] ;如果 f ( x) 在
a [a, b] 上单调递减,则其值域为 [ f (b), f (a)] 。如一次函数,形如 y ? x ? (a ? 0) 的函数。 x

t ?d (3) 换元法:形如 y ? ax ? b ? cx ? d 的函数,可令 cx ? d ? t (t ? 0) ,则 x ? , c
转化为关于 t 的二次函数求值域;形如含有

2

a ? x 的结构的函数,可用三角换元,令
2

2

2

x ? a cos t 求解。如 f ( x) ? x ? 1 ? x ,可设 t ? 1 ? x ,化为 y ? ?t ? t ? 1(t ? 0) ;又如
y ? x ? 1 ? x ,可设 x ? cos? (0 ? ? ? ? ) 化为 y ? sin ? ? cos ? 。
元必换限!
2

注意:换

(4)反表示法:形如 y ?

cx ? d ( a ? 0) ,可以把 y 关于 x 的函数化为 x 关于 y 的函数。 ax ? b
x

x?2 y?2 e ?1 如y? ,可化为 x ? ,由 1 ? 2 y ? 0 ,可求得 y 的范围;再如 y ? x ,可 2x ?1 1? 2 y e ?1
化为 e ?
x

x 1? y ,利用 e 的有界性可求得 y 的范围。 1? y

(5)配方法:试用于二次函数或可化为二次函数形式的函数。注意:配方、画图、截段! (6)判别式法:如 y ?
a1 x ? b1 x ? c1 a2 x ? b2 x ? c2
2 2

,其中 a1 , a2 不全为 0。

注意:用此方法求值域时函数的定义域一定要求为 R !

k ? (7)不等式法:利用函数 y ? x ? (k ? 0) 在 ??, ? k ? ? 和 ? k , ?? 上单调递增,在 x

?

?

? ? k , 0 和 0, k ? 上单调递减来求解。 ? ?

? ?

(8)求导法:当一个函数在定义域上可导时,可根据其导数求最值,再得值域;高次函
7

数可用导数求值域。

(9)几何意义法(数形结合法) :由数形结合,转化斜率、距离等求值域。 (二)方法运用。
一、直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围。 例 1:求函数 y ?

x ? 1的值域。
∴函数 y ?

解:∵ x ? 0 ,∴ x ? 1 ? 1 ,

x ? 1的值域为 [1, ??) 。

二、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如 F ( x) ? af 2 ( x) ? bf ( x) ? c 的函数的值域问题,均可使用配方法。 例 2:求函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域。 解: y ? ? x2 ? 4x ? 2 ? ?( x ? 2)2 ? 6 , ∵ x ?[?1,1] ,∴ x ? 2 ?[?3, ?1] ,∴ 1 ? ( x ? 2) ? 9
2

∴ ?3 ? ?( x ? 2) ? 6 ? 5 ,∴ ?3 ? y ? 5
2

∴函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域为 [?3,5] 。 三、 反函数法: 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系, 通过求反函数的定义域, 得到原函数的值域。 例 3:求函数 y ?

1 ? 2x 的值域。 1 ? 2x
解得 2 ?
x

1 ? 2x 解:由 y ? 1 ? 2x
∵ 2 ? 0 ,∴
x

1? y , 1? y
∴函数 y ?

1? y ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 1? y

1 ? 2x 的值域为 y ? (?1,1) 。 1 ? 2x

四、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可 以利用反函数法。 例 4:求函数 y ?

1? x 的值域。 2x ? 5 1 7 7 ? (2 x ? 5) ? 1? x 1 2 ?? ? 2 , 解:∵ y ? ? 2 2x ? 5 2x ? 5 2 2x ? 5 7 1 1? x 1 ∵ 2 ? 0 ,∴ y ? ? , ∴函数 y ? 的值域为 { y | y ? ? } 。 2 2x ? 5 2 2x ? 5

五、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的

8

值域,形如 y ? ax ? b ? cx ? d ( a 、b 、c 、 d 均为常数,且 a ? 0 )的函数常用此法求。 例 5:求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。 解:令 t ? 1 ? 2 x ( t ? 0 ) ,则 x ?
2 2 ∴ y ? ?t ? t ? 1 ? ?(t ? ) ?

1? t2 , 2

1 2

5 4

∵当 t ?

1 3 5 5 , 即 x ? 时, ymax ? , 无最小值。 ∴函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] 。 2 8 4 4

六、判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ;通过方程有实数根,判别式

? ? 0 ,从而求得原函数的值域,形如 y ?
值域,常用此方法求解。 例 6:求函数 y ?

a1 x 2 ? b1 x ? c1 ( a1 、 a2 不同时为零)的函数的 a2 x 2 ? b2 x ? c2

x2 ? x ? 3 的值域。 x2 ? x ? 1

解:由 y ?

x2 ? x ? 3 变形得 ( y ?1) x2 ? ( y ?1) x ? y ? 3 ? 0 , 2 x ? x ?1

当 y ? 1 时,此方程无解; 当 y ? 1 时,∵ x ? R ,∴ ? ? ( y ?1)2 ? 4( y ?1)( y ? 3) ? 0 , 解得 1 ? y ?

11 11 ,又 y ? 1 ,∴ 1 ? y ? 3 3

11 x2 ? x ? 3 ∴函数 y ? 2 的值域为 { y |1 ? y ? } 3 x ? x ?1
七、函数的单调性法: 确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。 例 7:求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。 解:∵当 x 增大时, 1 ? 2 x 随 x 的增大而减少, ? 1 ? 2 x 随 x 的增大而增大, ∴函数 y ? x ? 1 ? 2x 在定义域 (??, ] 上是增函数。 ∴y?

1 2

1 1 1 ? 1? 2? ? , 2 2 2

∴函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] 。

1 2

9

练习: (1) y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

; (2) y ? 4x ? 1 ? 2x ? 3 ;

(3)设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足如下两个条件: ①对于任意 x, y ? R ,有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ; ②当 x ? 0 时,f ( x) ? 0 , 且 f (1) ? ?2 . 求函数 f ( x) 在 [?3,3] 上的最大值和最小值。 八、利用有界性:利用某些函数有界性求得原函数的值域。 例 8:求函数 y ?

x2 ?1 的值域。 x2 ? 1

解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为 R ,对函数进行变形可得

( y ?1) x2 ? ?( y ? 1) ,
∵ y ? 1 ,∴ x ? ?
2

y ?1 y ?1 ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 ( x ? R , y ? 1) ,∴ ? y ?1 y ?1

x2 ?1 ∴函数 y ? 2 的值域为 { y | ?1 ? y ? 1} x ?1
九、图像法(数型结合法) :函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据 函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。 例 9:求函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域。

??2 x ? 2 ( x ? ?3) ? 解:∵ y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 |? ?8 (?3 ? x ? 5) , ?2 x ? 2 ( x ? 5) ?
∴ y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的图像如图所示, 由图像知:函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域为 [8, ??) 十、观察法 例 10:求 y ? 十二、求导法 例 12:设 y ? x ? 6 x ? 15x ? 8 ,试求 y 在 [0,3] 上的最大值和最小值
3 2

y

8 o

-3

5

x

1 的值域。 2? x

10


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