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2013届人教A版文科数学课时试题及解析(23)平面向量的概念及其线性运算


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课时作业(二十三) [第 23 讲 平面向量的概念及其线性运算] [时间:35 分钟 分值:80 分] 基础热身 → → → 1. 如图 K23-1,正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF=( )

图 K23-1 → → → A.0 B.BE C.AD D.CF → → → 2.AO+BC+OB等于( ) → → → A.AB B.AC C.0 D.AO 3.设 a 是非零向量,λ 是非零实数,下列结论中正确的是( A.a 与 λa 的方向相反 B.a 与 λ2a 的方向相同 C.|-λa|≥|a| D.|-λa|=|λ|· a

)

→ → 4. 如图 K23-2 所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=(

)

图 K23-2 → → → → A.OH B.OG C.FO D.EO 能力提升 5.已知 λ∈R,则下列命题正确的是( ) A.|λa|=λ|a| B.|λa|=|λ|a C.|λa|=|λ||a| D.|λa|>0 6.对于非零向量 a,b,“a+2b=0”是“a∥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 → → → → → → 7. 已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0, 若存在实数 m 使得AB+AC=mAM成立, 则 m=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 → → 8.如图 K23-3,△ABC 中,AD=DB,AE=EC,CD 与 BE 交于 F,设AB=a,AC=b, → AF=xa+yb,则(x,y)为( ) 1 1 2 2 ? ? ? A.? ?2,2? B.?3,3? 1 1? ?2,1? , C.? D. 3 3 ? ? ?3 2?

图 K23-3

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图 K23-4

9.如图 K23-4 所示,四边形 ABCD 和 BCED 都是平行四边形, → (1) 写 出 与 BC 相 等 的 向 量 ________________________________________________________________________. → (2) 写 出 与 BC 共 线 的 向 量 ________________________________________________________________________. → → → 10.化简:AB+BC-DC=________.

: :

图 K23-5 → → → 1→ 11.在△OAB 中,延长 BA 到 C,使AC=BA,在 OB 上取点 D,使DB= OB,DC 与 3 → → → → OA 交于 E,设OA=a,OB=b,用 a,b 表示向量OC=________,DC=________. → → → 12.(13 分)已知 O 为△ABC 内一点,且OA+OB+OC=0,求证:O 为△ABC 的重心.

难点突破 → 3→ 1 → 13.(12 分)若 M 为△ABC 内一点,且满足AM= AB+ AC,求△ABM 与△ABC 的面积 4 4 之比.

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课时作业(二十三) 【基础热身】 → → → → → → → → → → [解析] BA+CD+EF=DE+CD+EF=CD+DE+EF=CF,所以选 D. → → → → → → → → → +BC 2.B [解析] AO +OB=AO+OB+BC=AB+BC=AC. 3.B [解析] λ 可正可负,故 A 不正确;而 λ≠0,故 λ2>0,所以 a 与 λ2a 的方向相同, B 正确;又|λ|与 1 的大小不确定,故 C 不正确;D 中前者是一个数值,后者是一个向量. → → → → 4.C [解析] 令 a=OP+OQ,利用平行四边形法则作出向量OP+OQ,再平移即发现 → a=FO. 【能力提升】 5.C [解析] 当 λ<0 时,|λa|=λ|a|不成立,A 错误;|λa|应该是一个非负实数,而非向 量,所以 B 错误;当 λ=0 或 a=0 时,|λa|=0,D 错误. 6.A [解析] “a+2b=0”? “a∥b”,但“a∥b”? / “a+2b=0”,所以“a+2b=0”是“a∥b”的充分不必要条件. → 7. B [解析] 由题目条件可知, M 为△ABC 的重心, 连接 AM 并延长交 BC 于 D, 则AM 2→ = AD①, 3 → → → → 因为 AD 为中线,则AB+AC=2AD=mAM②, 联立①②可得 m=3,故 B 正确. 8.C [解析] ∵AD=DB,AE=EC, → 1→ ∴F 是△ABC 的重心,则DF= DC, 3 1 → → → → → → 1 → → ∴AF=AD+DF=AD+ DC=AD+ (AC-AD) 3 3 2 → 1 → 1→ 1 → = AD+ AC= AB+ AC, 3 3 3 3 1 1 ∴x= ,y= . 3 3 1.D → → → → → → → → → 9.(1)AD、DE (2)CB,AD,DA,DE,ED,AE,EA [解析] 由相等向量和共线向量概念可求. → → → → → → → → → 10.AD [解析] AB+BC-DC=AC-DC=AC+CD=AD. 5 → 1 → → → → 11.2a-b 2a- b [解析] 因为 A 是 BC 的中点,所以OA= (OB+OC),即OC=2OA 3 2 → -OB=2a-b; 2 5 → → → → 2→ DC=OC-OD=OC- OB=2a-b- b=2a- b. 3 3 3

→ → → → → → → → → 12. [解答] 证明: 因为OA+OB+OC=0, 所以OA=-(OB+OC), 即OB+OC是与OA方 向相反且长度相等的向量,如图所示,以 OB、OC 为相邻两边作平行四边形 OBDC. → → → → → 则OD=OB+OC,所以OD=-OA, 在平行四边形 OBDC 中,设 BC 与 OD 相交于 E, → → → → 则BE=EC,OE=ED,
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→ → 所以 AE 是△ABC 的 BC 边的中线,且|OA|=2|OE|, 根据平面几何知识知 O 是△ABC 的重心. 【难点突破】

13.[解答] → 3→ 1 → ∵AM= AB+ AC, 4 4 1 → → → 3 → → ∴AM= (MB-MA)+ (MC-MA), 4 4 3→ 1→ ∴ MB+ MC=0, 4 4 S△ABM 1 → → ∴MC=3BM,∴ = . S△ABC 4

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