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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学2-8


基础巩固强化 一、选择题 1.下列函数图象与 x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的 是( )

[答案] C [解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续

不断,并且有 f(a)· f(b)<0.A、B 选项中不存在 f(x)<0,D 选项中零点两 侧函数值同号,故选 C. 2.(文)方程 2x+x-4=0 的解所在区间为( A.(-1,0) C.(1,2) [答案] C [解析] 令 f(x)=2x+x-4,∵f(1)· f(2)=-2<0, ∴f(x)在(1,2)内有零点. (理)(2013· 保定调研)函数 f(x)=log3x+x-2 的零点所在的区间为 ( ) A.(0,1) C.(2,3) [答案] B [解析] 解法 1:函数 f(x)=log3x+x-2 的定义域为(0,+∞), B.(1,2) D.(3,4) B.(0,1) D.(2,3) )

并且在(0,+∞)上递增、连续,又 f(1)=-1<0,f(2)=log32>0,∴函 数 f(x)=log3x+x-2 有唯一的零点且零点在区间(1,2)内. 解法 2:作出函数 y=log3x 与 y=-x+2 的图象(图略),不难看 出其交点的横坐标在区间(1,2)内,故选 B. 3.(文)(2013· 黄山月考)已知函数 f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x) =x- x-1 的零点分别为 x1, x2, x3, 则 x1, x2, x3 的大小关系是( A.x1<x2<x3 C.x1<x3<x2 [答案] A [解析] 令 f(x)=x+2x=0,因为 2x 恒大于零, 所以要使得 x+2x=0,x 必须小于零,即 x1<0; 令 g(x)=x+lnx=0,要使得 lnx 有意义,则 x 必须大于零,又 x +lnx=0 所以 lnx<0,解得 0<x<1, 即 0<x2<1; 令 h(x)=x- x-1=0,得 x= x+1>1,即 x3>1, 从而可知 x1<x2<x3. (理)已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零 点依次为 a,b,c,则( A.a<b<c C.b<a<c [答案] B [解析] 1 1 由于 f(-1)=2-1=-2<0,f(0)=1>0,故 f(x)=2x+x
? ?

)

B.x2<x1<x3 D.x3<x2<x1

) B.a<c<b D.c<a<b

?1? 1 的零点 a∈(-1,0);∵g(2)=0,故 g(x)的零点 b=2;h?2?=-1+2= ?1 ? 1 -2<0,h(1)=1>0,故 h(x)的零点 c∈?2,1?,因此,a<c<b. ? ?

4.(2013· 河北教学质量监测)若 f(x)是奇函数,且 x0 是 y=f(x)+ ex 的一个零点,则-x0 一定是下列哪个函数的零点( A.y=f(-x)ex-1 C.y=exf(x)-1 [答案] C [解析] 由已知可得 f(x0)=-ex0,则 e-x0f(x0)=-1,e-x0f(- x0)=1,故-x0 一定是 y=exf(x)-1 的零点. 5. (文)(2012· 天津理)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个 数是( A.0 [答案] B [解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性,考 查分析问题、解决问题的能力. ∵f(x)=2x+x3-2,0<x<1, ∴f ′(x)=2xln2+3x2>0 在(0,1)上恒成立, ∴f(x)在(0,1)上单调递增. 又 f(0)=20+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,f(0)f(1)<0,则 f(x)在(0,1)内至少有一个零点, 又函数 y=f(x)在(0,1)上单调递增,则函数 f(x)在(0,1)内有且仅有 一个零点. [ 点评 ] 共点个数. (理)已知函数 f(x)=ax-x-a(a>0,a≠1),那么函数 f(x)的零点个 数是( ) B.1 个 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公 ) B.1 C.2 D.3 B.y=f(x)e-x+1 D.y=exf(x)+1 )

A.0 个

C.2 个 [答案] D

D.至少 1 个

[解析] 在同一坐标系中作出函数 y=ax 与 y=x+a 的图象,a>1 时,如图(1),0<a<1 时,如图(2),故选 D.

6.(文)若函数 f(x)在区间[-2,2]上的图象是连续不断的曲线,且 f(x)在(-2,2)内有一个零点,则 f(-2)· f(2)的值( A.大于 0 C.等于 0 [答案] D [解析] 若函数 f(x)在(-2,2)内有且仅有一个零点,且是变号零 B.小于 0 D.不能确定 )

点,才有 f(-2)· f(2)<0,故由条件不能确定 f(-2)· f(2)的值的符号. (理)偶函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0, 则方程 f(x)=0 在区间[-a,a]内根的个数是( A.3 [答案] B [解析] ∵f(0)· f(a)<0, ∴f(x)在[0, a]中至少有一个零点, 又∵f(x) 在[0,a]上是单调函数,∴f(x)在[0,a]上有且仅有一个零点.又∵f(x) 是偶函数, ∴f(-x)=f(x),∴f(x)在[-a,0)中也只有一个零点,故 f(x)在[-a, B.2 C.1 ) D.0

a]内有两个零点, 即方程 f(x)=0 在区间[-a, a]内根的个数为 2 个. 故 选 B. 二、填空题 7.(2013· 荆州市质检)函数 f(x)=xex-a 有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 1 [答案] (-e,0) [解析] 令 f ′(x)=(x+1)ex=0,得 x=-1,则当 x∈(-∞,- 1)时,f ′(x)<0,当 x∈(-1,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)在(-∞,-1) 上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,要使 f(x)有两个零点,则极 1 小值 f(-1)<0,即-e-1-a<0,∴a>-e,又 x→-∞时,f(x)>0,则 1 a<0,∴a∈(-e ,0). 8.(文)定义在 R 上的偶函数 y=f(x),当 x≥0 时,y=f(x)是单调 递 增 的 , f(1)· f(2)<0. 则 函 数 y = f(x) 的 图 象 与 x 轴 的 交 点 个 数 是 ________. [答案] 2 [解析] 由已知可知,在(0,+∞)上存在惟一 x0∈(1,2),使 f(x0) =0,又函数 f(x)为偶函数,所以存在 x′0∈(-2,-1),使 f(x′0)= 0,且 x′0=-x0.故函数的图象与 x 轴有 2 个交点. (理)(2013· 长春调研)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(x+5)= 16,当 x∈(-1,4]时,f(x)=x2-2x,则函数 f(x)在[0,2013]上的零点个 数是________. [答案] 604 [解析] 由 f(x)+f(x+5)=16,可知 f(x-5)+f(x)=16,则 f(x+5) -f(x-5)=0,所以 f(x)是以 10 为周期的周期函数.∵x∈(-1,4]时,

1 x2∈[0,16],2x∈(2,16],∴x2-2x<16,∴x∈(-1,4]时,f(x)<16. ∴当 x∈(4,9]时,x-5∈(-1,4],∴f(x-5)<16, f(x)=16-f(x+5)=16-f(x-5)>0,∴f(x)在(4,9]上无零点,因此 在一个周期(-1,9]上,函数 f(x)=x2-2x 在区间(-1,4]内有 3 个零点, 在(4,9]区间内无零点,故 f(x)在一个周期内仅有 3 个零点,由于区间 (3,2013]中包含 201 个周期,且在区间[0,3]内也存在一个零点 x=2, 故 f(x)在[0,2013]上的零点个数为 3×201+1=604. 9.(文)有一批材料可以建成 200m 长的围墙,如果用此批材料在 一边靠墙的地方围成一块矩形场地, 中间用同样材料隔成三个面积相 等的矩形(如图所示), 则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度 不计).

[答案] 2500m2 200-x [解析] 设所围场地的长为 x,则宽为 4 ,其中 0<x<200,场 200-x 1?x+200-x?2 ? =2500m2,等号当且仅当 x= 地的面积为 x× 4 ≤4? 2 ? ? 100 时成立. (理)某农场,可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物, 且产品全部供应距农场 d(km)(d<200km)的中心城市,其产销资料如

表:当距离 d 达到 n(km)以上时,四种农作物中以全部种植稻米的经 济效益最高.(经济效益=市场销售价值-生产成本-运输成本),则 n 的值为________.

作物 项目 市场价格(元/kg) 生产成本(元/kg) 运输成本(元/kg· km) 单位面积相对产量(kg) [答案] 50

水果

蔬菜

稻米

甘蔗

8 3 0.06 10

3 2 0.02 15

2 1 0.01 40

1 0.4 0.01 30

[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效 益分别为 y1、y2、y3、y4,则 y1=50-0.6d,y2=15-0.3d,y3=40- 0.4d,y4=18-0.3d, y ≥y , ? ?y ≥y , 由? y ≥y , ? ?d<200.
3 3 1 2 3 4

?50≤d<200,故 n=50.

三、解答题 10.(文)某加工厂需定期购买原材料,已知每公斤原材料的价格 为 1.5 元,每次购买原材料需支付运费 600 元.每公斤原材料每天的 保管费用为 0.03 元,该厂每天需消耗原材料 400 公斤,每次购买的 原材料当天即开始使用(即有 400 公斤不需要保管). (1)设该厂每 x 天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1(元)关于 x 的函数关系式; (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用

y(元)最少,并求出这个最小值. [解析] (1)每次购买原材料后,当天用掉的 400 公斤原材料不需 要保管,第二天用掉的 400 公斤原材料需保管 1 天,第三天用掉的 400 公斤原材料需保管 2 天,第四天用掉的 400 公斤原材料需保管 3 天,?,第 x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的 400 公 斤原材料需保管 x-1 天. ∴每次购买的原材料在 x 天内的保管费用为 y1=400×0.03[1+2+3+?+(x-1)]=6x2-6x. (2) 由 (1) 可知,购买一次原材料的总的费用为 6x2 - 6x + 600 + 1.5×400x=6x2+594x+600(元), ∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为 600 y= x +6x+594≥2 600 6x+594=714. x ·

600 当且仅当 x =6x,即 x=10 时,取得等号. ∴该厂 10 天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最 少,最少费用为 714 元. (理)当前环境问题已成为问题关注的焦点, 2009 年哥本哈根世界 气候大会召开后,为减少汽车尾气对城市空气的污染,某市决定对出 租车实行使用液化气替代汽油的改装工程, 原因是液化气燃烧后不产 生二氧化硫、 一氧化氮等有害气体, 对大气无污染, 或者说非常小. 请 根据以下数据:①当前汽油价格为 2.8 元/升,市内出租车耗油情况是 一升汽油大约能跑 12km;②当前液化气价格为 3 元/千克,一千克液 化气平均可跑 15~16km;③一辆出租车日平均行程为 200km. (1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即 省钱);

(2)假设出租车改装液化气设备需花费 5000 元,请问多长时间省 出的钱等于改装设备花费的钱. [解析] (1)设出租车行驶的时间为 t 天, 所耗费的汽油费为 W 元, 耗费的液化气费为 P 元, 200t 140t 由题意可知,W= 12 ×2.8= 3 (t≥0 且 t∈N), 200t 200t × 3 ≤ P ≤ 16 15 ×3 (t≥0 且 t∈N), 即 37.5t≤P≤40t. 140t 又 3 >40t,即 W>P,所以使用液化气比使用汽油省钱. 140t (2)①令 37.5t+5000= 3 ,解得 t≈545.5, 又 t≥0,t∈N,∴t=546. 140t ②令 40t+5000= 3 ,解得 t=750. 所以,若改装液化气设备,则当行驶天数 t∈[546,750]时,省出 的钱等于改装设备的钱. 能力拓展提升 一、选择题 11.(文)函数 f(x)在[-2,2]内的图象如图所示,若函数 f(x)的导函 数 f ′(x)的图象也是连续不间断的,则导函数 f ′(x)在(-2,2)内有零 点( )

A.0 个 C.2 个 [答案] D

B.1 个 D.至少 3 个

[解析] f ′(x)的零点,即 f(x)的极值点,由图可知 f(x)在(-2,2) 内,有一个极大值和两个极小值,故 f(x)在(-2,2)内有三个零点, 故选 D. (理)(2012· 河南六市模拟)若定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+ 1) = - f(x) , 且 当 x ∈ [ - 1,1] 时 , f(x) = x2 , 函 数 g(x) =
? ?log3?x-1? ?x>1?, ? x 则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点 ?2 ?x≤1?. ?

的个数为( A.9

) B.8 C.7 D.6

[答案] B [解析] ∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=f(x),又 x∈[-1,1]时, f(x)=x2,∴f(x)的图象如图所示,在同一坐标系中作出函数 g(x)的图 象,可见 y=f(x)(-5≤x≤5)与 y=2x(x≤1)有 5 个交点,y=f(x)(- 5≤x≤5)与 y=log3(x-1)(x>1)的图象有 3 个交点,∴共有 8 个交点.

12. (文)(2013· 辽宁五校联考)函数 f(x)=x3-bx2+1 有且仅有两个 不同零点,则 b 的值为( 4 A. 2 33 C.2 2 [答案] C [解析] f ′(x)=3x2-2bx=x(3x-2b),令 f ′(x)=0,则 x1=0, 2b x2= 3 .b<0 显然不合题意,∴b>0.又 f(0)=1>0,因此当曲线 f(x)与 x 2b 33 轴相切时,f(x)有且只有两个不同零点,所以 f( 3 )=0,解得 b=2 2.
? ?0,x≤0 (理)(2013· 乌鲁木齐第一次诊断)已知函数 f(x)=? x , 则使 ?e ,x>0 ?

) 2 B. 2 D.不确定 3

3

函数 g(x)=f(x)+x-m 有零点的实数 m 的取值范围是( A.[0,1) C.(-∞,1]∪(2,+∞) [答案] D B.(-∞,1)

)

D.(-∞,0]∪(1,+∞)

[解析] 函数 g(x)=f(x)+x-m 的零点就是方程 f(x)+x=m 的根,

? ?x,x≤0 作出 h(x)=f(x)+x=? x 的大致图象(图略), 观察它与直线 y ?e +x,x>0 ?

=m 的交点,得知当 m≤0 或 m>1 时有交点,即函数 g(x)=f(x)+x- m 有零点,选 D. [点评] m 的取值范围就是 h(x)的值域. 13.

(2013· 安徽)函数 y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到 f?x1? f?x2? f?xn? n(n≥2)个不同的数 x1,x2,?,xn,使得 x = x =?= x ,则 n 1 2 n 的取值范围为( A.{2,3} C.{3,4} [答案] B [解析] f?x1? f?x2? f?xn? 如图所示 x = x =?= x .可以看作点(x1,f(x1)), 1 2 n ) B.{2,3,4} D.{3,4,5}

(x2,f(x2)),?,(xn,f(xn))与原点(0,0)连线的斜率.

对于 l1,l2,l3 满足条件的 x 分别有 2 个、3 个、4 个,故选 B. 14. (文)(2013· 洛阳统考)已知 x1, x2 是函数 f(x)=e-x-|lnx|的两个 零点,则( ) B.1<x1x2<e D.e<x1x2<10

1 A.e<x1x2<1 C.1<x1x2<10 [答案] A [解析]

在同一坐标系中画出函数 y=e-x 与 y=|lnx|的图象(图

略),结合图象不难看出,在 x1,x2 中,其中一个属于区间(0,1),另 一个属于区间(1,+∞).不妨设 x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有 e- x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e- 1 x1=lnx2+lnx1=ln(x1x2)∈(-1,0).于是有 e-1<x1x2<e0,即e <x1x2<1, 选 A. (理)(2013· 昆明调研)设函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),且当 x≥0 时, 1 1 f(x)=(4)x,又函数 g(x)=|xsinπx|,则函数 h(x)=f(x)-g(x)在[-2,2] 上的零点个数为( A.3 [答案] C [解析] ) B.4 C.5 D.6

1 由题意知 f(x),g(x)均为偶函数,所以函数 h(x)在[-2,2]上的零 1 点个数可转化为在区间[0,2]上的零点个数和在区间(0,2]上的零点个 1 1 1x 数之和. 当 x∈(0,2]时, 令 h(x)=0, 即(4)x=|xsinπx|, 则|sinπx|=x· (4) , 1 1x 画出函数 y=|sinπx|和 y=x· (4) 的图象如图所示, 由图可知两图象有 4 1 1 个交点,且 x=2是其中一个交点,所以函数 h(x)在[-2,2]上有 5 个 零点. 二、填空题 15.(2012· 山西四校联考)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 1 x∈R,都有 f(x)=f(x+4),且当 x∈[-2,0]时,f(x)=(2)x-1,若在区 间(-2,6]内关于 x 的方程 f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实 数根,则 a 的取值范围为________. 3 [答案] ( 4,2) [解析]

依题意得,f(x+4)=f(x),即函数 f(x)是以 4 为周期的函数.关于 x 的方程 f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,等价于函 数 f(x)与 g(x)=loga(x+2)(a>1)的图象恰有三个不同的交点. 结合题意

分别画出函数 f(x)在(-2,6]上的图象与函数 g(x)=loga(x+2)(a>1)的图 象(如图所示),结合图象分析可知,要使两函数的图象有三个不同的 a>1, ? ? 交点,则有?loga?2+2?<3, ? ?loga?6+2?>3, 3 ( 4,2). 三、解答题 16.(文)(2012· 岳阳模拟)已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一 个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点. [分析] 由题意可知,方程 4x+m· 2x+1=0 仅有一个实根,再利 用换元法求解. [解析] ∵f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点, 即方程(2x)2+m· 2x+1=0 仅有一个实根, 设 2x=t(t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ=0 时,即 m2-4=0, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不合题意,舍去), ∴2x=1,x=0 符合题意. 当 Δ>0 时,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 有两正或两负根, 即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意. 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. (理)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4t 时, 每吨为 1.80 元,当用水超过 4t 时,超过部分每吨 3.00 元,某月甲、 乙两户共交水费 y 元,已知甲、乙两户该月用水量分别为 5xt、3xt. 3 由此解得 4<a<2,即 a 的取值范围是

(1)求 y 关于 x 的函数; (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该 月的用水量和水费. 4 [解析] (1)当甲户的用水量不超过 4t 时,即 x≤5,乙户的用水 量也不超过 4t,y=(5x+3x)×1.8=14.4x; 4 4 当甲户的用水量超过 4t,乙户的用水量不超过 4t 时,即5<x≤3, y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8, 4 当乙户的用水量超过 4t 时,即 x>3, y=8×1.8+3×(8x-8)=24x-9.6,

?14.4x,0≤x≤5, ? 4 4 所以 y=?20.4x-4.8,5<x≤3, ?24x-9.6,x>4. ? 3
(2)由(1)可知 y=f(x)在各段区间上均为单调递增, 4 4 当 x∈[0,5]时,y≤f(5)=11.52<26.4; 4 4 4 当 x∈(5,3]时,y≤f(3)=22.4<26.4; 4 当 x∈(3,+∞)时, 令 24x-9.6=26.4,解得 x=1.5, 所以甲户用水量为 5x=7.5t, 付费 S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元); 乙户用水量为 3x=4.5t,付费 S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元).

4

考纲要求 1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判 断一元二次方程根的存在性及根的个数. 2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. 补充说明 1. 解决与函数零点有关的问题主要方法有: (1)零点存在性定理; (2)解方程 f(x)=0;(3)数形结合. 2.数形结合思想在函数零点问题中的应用 e2 [例] 已知函数 f(x)=-x +2ex+m-1,g(x)=x+ x (x>0).
2

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. [分析] (1)y=g(x)-m 有零点即 y=g(x)与 y=m 的图象有交点, 所以可结合图象求解.(2)g(x)-f(x)=0 有两个相异实根?y=f(x)与 y =g(x)的图象有两个不同交点,所以可利用它们的图象求解. e2 [解析] (1)方法一:∵g(x)=x+ x ≥2 e2=2e,

等号成立的条件是 x=e, 故 g(x)的值域是[2e,+∞),

因而只需 m≥2e,则 y=g(x)-m 就有零点. e2 方法二:作出 g(x)=x+ x (x>0)的大致图象如图. 可知若使 y=g(x)-m 有零点,则只需 m≥2e. (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根,即 g(x)与 f(x)的图象有两个 不同的交点, e2 作出 g(x)=x+ x (x>0)的大致图象如图.

∵f(x)=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2. ∴其图象的对称轴为 x=e,开口向下, 最大值为 m-1+e2. 故当 m-1+e2>2e, 即 m>-e2+2e+1 时, g(x)与 f(x)有两个交点, 即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. ∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞). [点评] 求函数零点的值,判断函数零点的范围及零点的个数以 及已知函数零点求参数范围等问题,都可利用方程来求解,但当方程 不易甚至不可能解出时,可构造两个函数,利用数形结合的方法进行 求解. 备选习题

1.设 a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数 f(x)=x3+ax-b 在区 间[1,2]上有零点的概率为( 1 A.2 11 C.16 [答案] C [解析] 因为 f(x)=x3+ax-b,所以 f ′(x)=3x2+a.因为 a∈ 5 B.8 3 D.4 )

{1,2,3,4},因此 f ′(x)>0,所以函数 f(x)在区间[1,2]上为增函数.若 存在零点,则
?f?1?=1+a-b≤0 ? ? ,解得 a+1≤b≤8+2a.因此能使函数在区 ?f?2?=8+2a-b≥0 ?

间 [1,2] 上有零点的有: a = 1,2≤b≤10 ,故 b = 2 , b = 4 , b = 8.a = 2,3≤b≤12,故 b=4,b=8,b=12.a=3,4≤b≤14,故 b=4,b=8, b=12.a=4,5≤b≤16,故 b=8,b=12.根据古典概型可得有零点的概 11 率为16. 2.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下的 x、f(x)对应值 表: x f (x ) 1 123.56 2 21.45 3 -7.82 4 11.57 ) B.3 个 D.至少 3 个 5 -53.76 6 -126.49

函数 f(x)在区间[1,6]上的零点有( A.2 个 C.至多 2 个 [答案] D

[解析] 由表知 f(x)在区间(2,3), (3,4), (4,5)内都至少有一个零点, 故选 D.

3.某航空公司经营 A、B、C、D 这四个城市之间的客运业务.它 的部分机票价格如下:A—B 为 2000 元;A—C 为 1600 元;A—D 为 2500 元;B—C 为 1200 元;C—D 为 900 元.若这家公司规定的机票 价格与往返城市间的直线距离成正比,则 B—D 的机票价格为( (注:计算时视 A、B、C、D 四城市位于同一平面内) A.1000 元 C.1400 元 [答案] D [解析] 注意观察各地价格可以发现:A、C、D 三点共线,A、 C、B 构成以 C 为顶点的直角三角形,如图可知 BD=5×300=1500. B.1200 元 D.1500 元 )

4.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函 数是( )

A.f(x)=tanx
2 3

1 1 B.f(x)= x +2 2 -1 D.f(x)=lgsinx

C.f(x)=x [答案] C

[解析] 根据程序框图知,输出的函数 f(x)为偶函数,且此函数 1 1 1 存在零点. f(x)=tanx 为奇函数; f(x)= x +2不存在零点(若 x + 2 -1 2 -1 1 1 1 x x x = 0 ,则 =- ,∴ 2 - 1 =- 2 ,∴ 2 =- 1 与 2 >0 矛盾);f(x) x 2 2 2 -1 π π π =lgsinx 不具有奇偶性(∵x=2时,f(2)=0,x=-2时,f(x)无意义); f(x)=x
2 3

是偶函数,且 f(0)=0,故选 C.

5.定义域为 D 的函数 f(x)同时满足条件:①常数 a、b 满足 a<b, 区间[a,b]?D,②使 f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb](k∈N*),那么 我们把 f(x)叫做[a,b]上的“k 级矩形”函数.函数 f(x)=x3 是[a,b] 上的“1 级矩形”函数,则满足条件的常数对(a,b)共有( )

A.1 对 C.3 对 [答案] C

B.2 对 D.4 对

[分析] 由“k 级矩形”函数的定义可知,f(x)=x3 的定义区间为 [a,b]时,值域为[a,b],可考虑应用 f(x)的单调性解决. [解析] ∵f(x)=x3 在[a,b]上单调递增, ∴f(x)的值域为[a3,b3]. 又∵f(x)=x3 在[a,b]上为“1 级矩形”函数,
?a3=a, ?a=-1, ?a=0, ?a=-1, ? ? ? ? ∴? 3 解得? 或? 或? ?b =b. ? ? ?b=1. ? ?b=0, ?b=1, ?

故满足条件的常数对共有 3 对. [点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型,它能较好地 考查学生对新知识的阅读理解能力, 而这恰是学生后续学习必须具备 的能力,解决这类问题的关键是先仔细审题,弄清“定义”的含义, 把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识.然后加以解决.


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