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【创新方案】2015高考数学(文)一轮热点题型突破:第5章 第5节 数列的综合问题]


第五节

数列的综合问题

考点一

等差、等比数列的综合问题

[例 1] 在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0). * (1)设 bn=an+1-an(n∈N ),证明:{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; * (3)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证明:此时对任意的 n∈N ,an 是 an+3 与 an+6 的等差中项. [自主解答] (1)证明:由题设 an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),得 an+1-an=q(an-an-1), 即 bn=qbn-1,n≥2. 又 b1=a2-a1=1,q≠0, 所以{bn}是首项为 1,公比为 q 的等比数列. - (2)由(1),得 a2-a1=1,a3-a2=q,?,an-an-1=qn 2(n≥2). 将以上各式相加,得 - an-a1=1+q+q2+?+qn 2(n≥2). n,q=1, ? ? 所以当 n≥2 时,有 an=? 1-qn-1 1+ ,q≠1. ? 1-q ? 上式对 n=1 也成立, n,q=1, ? ? 所以数列{an}的通项公式为 an=? 1-qn-1 1+ ,q≠1. ? 1-q ? (3)由(2),得当 q=1 时,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,故 q≠1. 由 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,即 2a3=a6+a9, 可得 2q2=q5+q8, 由 q≠0,得 q6+q3-2=0, 整理,得(q3)2+q3-2=0, 解得 q3=-2 或 q3=1(舍去). 3 于是 q=- 2. - + + 1-qn 1 1-qn 2 1-qn 5 而 an=1+ ,an+3=1+ ,an+6=1+ , 1-q 1-q 1-q + + + + 1-qn 2? 1-qn 5? 2-qn 2-qn 5 ? ? 所 以 an + 3 + an + 6 = ?1+ =2+ ? + ?1+ 1-q ? = 2 + 1-q ? 1-q ? ? ? - - - - - - n 1 2-q3×qn 1-q6×qn 1 2-?-2?qn 1-?-2?2qn 1 2-2qn 1 ? 1-q ? =2+ =2+ =2?1+ =2an. 1-q ? 1-q 1- q 1- q ? ? 所以对任意的 n∈N*,an 是 an+3 与 an+6 的等差中项. 【方法规律】 解决等差、等比数列的综合问题的方法 对于等差、等比数列的综合问题,应重点分析等差、等比数列的通项,前 n 项和以及等 差、等比数列项之间的关系,往往用到转化与化归的思想方法.

已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数 列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn (2)设数列{cn}对 n∈N*均有 + +?+ =an+1 成立,求 c1+c2+c3+?+c2 013. b1 b2 bn 解:(1)由已知有 a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d, ∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得 d=2(∵d>0). ∴an=1+(n-1)· 2=2n-1. 又 b2=a2=3,b3=a5=9, - - ∴数列{bn}的公比为 3,∴bn=3· 3n 2=3n 1. c1 c2 cn (2)由 + +?+ =an+1,得 b1 b2 bn cn-1 c1 c2 当 n≥2 时, + +?+ =an. b1 b2 bn-1 cn 两式相减得:n≥2 时, =an+1-an=2. bn - ∴cn=2bn=2· 3n 1(n≥2). c1 又当 n=1 时, =a2,∴c1=3. b1 ? 3 , n = 1 , ? ∴cn=? n-1 ?2· 3 ,n≥2. ? 6-2×32 013 ∴c1+c2+c3+?+c2 013=3+ =3+(-3+32 013)=32 013. 1-3 考点二 数列在实际问题中的应用

[例 2] 某工业城市按照“十二五”(2011 年至 2015 年)期间本地区主要污染物排放总 量控制要求,进行减排治污.现以降低 SO2 的年排放量为例,原计划“十二五”期间每年的 排放量都比上一年减少 0.3 万吨,已知该城市 2011 年 SO2 的年排放量约为 9.3 万吨. (1)按原计划,“十二五”期间该城市共排放 SO2 约多少万吨? (2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召,决定加大减排力度.在 2012 年刚好按原计划完成减排任务的条件下,自 2013 年起,SO2 的年排放量每年比上一年 减少的百分率为 p, 为使 2020 年这一年 SO2 的年排放量控制在 6 万吨以内, 求 p 的取值范围.

? 8 2 9 2 ?参考数据: ≈0.950 5, ≈0.955 3 3 ?

9?

? ?

[自主解答] (1)设“十二五”期间,该城市共排放 SO2 约 y 万吨, 依题意,2011 年至 2015 年 SO2 的年排放量构成首项为 9.3,公差为-0.3 的等差数列, 5×?5-1? 所以 y=5×9.3+ ×(-0.3)=43.5(万吨). 2 所以按原计划“十二五”期间该城市共排放 SO2 约 43.5 万吨. (2)由已知得, 2012 年的 SO2 年排放量为 9.3-0.3=9(万吨), 所以 2012 年至 2020 年 SO2 的年排放量构成首项为 9,公比为 1-p 的等比数列. 由题意得 9×(1-p)8<6,由于 0<p<1, 8 2 , 3 所以 1-p<0.950 5,解得 p>4.95%. 所以 SO2 的年排放量每年减少的百分率 p 的取值范围为(4.95%,1). 【方法规律】 解决数列应用题应注意的问题 所以 1-p<

解决数列应用问题, 要明确问题属于哪一种类型, 即明确是等差数列问题还是等比数列 问题,是求 an 还是 Sn,特别是要弄清项数. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2 000 万元, 将其投入生产, 到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同. 公 司要求企业从第一年开始, 每年年底上缴资金 d 万元, 并将剩余资金全部投入下一年生产. 设 第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1 与 an 的关系式; (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元, 试确定企业每年上缴资 金 d 的值(用 m 表示). 解:(1)由题意得 a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d, 3 5 a2=a1(1+50%)-d= a1-d=4 500- d. 2 2 3 an+1=an(1+50%)-d= an-d. 2 3 (2)由(1)得 an= an-1-d 2 3?3 = ?2an-2-d? ?-d 2 3?2 3 =? ?2? an-2-2d-d ? 3?n-1 ? 3 ?3?2 ?3?n-2? =? ?2? a1-d?1+2+?2? +?+?2? ?. 3?n-1 ??3?n-1-1? 整理得 an=? (3 000 - d ) - 2 d ?2? ??2? ? 3 - n 1 ? =? ?2? (3 000-3d)+2d. 由题意,am=4 000, 3?m-1 即? ?2? (3 000-3d)+2d=4 000. ??3?m-2?×1 000 + ??2? ? 1 000?3m-2m 1? 解得 d= = . 3m-2m ?3?m-1 ?2? + 1 000?3m-2m 1? 故该企业每年上缴资金 d 的值为 时,经过 m(m≥3)年企业的剩余资金为 3m-2m 4 000 万元. 高频考点 考点三 数列与函数、不等式的综合问题

1.数列与函数、 不等式的综合问题是每年高考的重点,多为解答题,难度偏大,属中 高档题. 2.高考对数列与函数、不等式的综合问题的考查常有以下两个命题角度: (1)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题; (2)考查与数列问题有关的不等式的证明问题. 2 2 [例 3] (2013· 江西高考)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)= 0. (1)求数列{an}的通项公式 an; n+1 5 * (2)令 bn= . 2 2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明:对于任意的 n∈N ,都有 Tn< 64 ?n+2? an

2 2 [自主解答] (1)由 S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0, 2 得[Sn-(n +n)](Sn+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n2+n. 于是 a1=S1=2, n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 综上,数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)证明:由于 an=2n,故 1 ? n+1 n+1 1 ?1 2- bn= = 2 2= n ? n + 2?2?. 16 ? ?n+2?2a2 4 n ? n + 2 ? n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn= 1- 2+ 2- 2+ 2- 2+?+ - + 2- 16 3 2 4 3 5 ?n-1?2 ?n+1?2 n ?n+2?2 1 1 1 1 = ?1+22-?n+1?2-?n+2?2? 16? ? 1? 5 1? < ?1+22?= . 16 64

数列与函数、不等式的综合问题的常见类型及解题策略 (1)数列与不等式的恒成立问题.此类问题常构造函数,通过函数的单调性等解决问题. (2)与数列有关的不等式证明问题.解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法,如比 较法、综合法、分析法、放缩法等. 7 1.已知数列{an}为等比数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4=- ,且对于任意的 n 16 ∈N*,有 Sn,Sn+2,Sn+1 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; b1? ?b2? ?b3? 2 ?bn? (2)已知 bn=n(n∈N*),记 Tn=? ?a1?+?a2?+?a3?+?+?an?,若(n-1) ≤m(Tn-n-1) 对于 n≥2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)设数列{an}的公比为 q. ∵S1,S3,S2 成等差数列, ∴2S3=S1+S2, 1 ∴2a1(1+q+q2)=a1(2+q),解得 q=- , 2 7 又 a1+a4=a1(1+q3)=- , 16 1?n 1 - ∴a1=- ,∴an=a1qn 1=? ?-2? . 2 1?n (2)∵bn=n,an=? ?-2? , bn? ∴? 2n, ?an?=n· ∴Tn=1· 2+2· 22+3· 23+?+n· 2n,① + 2 3 4 2Tn=1· 2 +2· 2 +3· 2 +?+(n-1)· 2n+n· 2n 1,② 2 3 n n+1 ①-②,得-Tn=2+2 +2 +?+2 -n· 2 , n+1 2 - 2 + ? + -n· 2n 1? ∴Tn=-? 2n 1+2. ?=(n-1)· ? 1-2 ? 若(n-1)2≤m(Tn-n-1)对于 n≥2 恒成立, + 则(n-1)2≤m[(n-1)· 2n 1+2-n-1], + (n-1)2≤m(n-1)· (2n 1-1), n-1 ∴m≥ n+1 , 2 -1

x-1 令 f(x)= x+1 , 2 -1 可判断 f(x)在 x∈[2,+∞)上是减函数. n-1 1 则 f(n)= n+1 的最大值为 f(2)= , 7 2 -1 1 ∴m≥ . 7 1 ? 故实数 m 的取值范围为? ?7,+∞?. ——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 2 种思想——函数思想与转化化归思想 (1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性). (2)转化化归思想,an 与 Sn 转化,一般数列与特殊数列的转化等. 3 个注意点——数列与函数、不等式、解析几何相结合应 注意的问题 (1)数列与解析几何结合时注意递推. (2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩. (3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时,应准确构造相应的函数,注意数列中相 关限制条件的转化.


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