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2013年北京海淀区高三二模理科数学试题




1



2



3



4



海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理) 2013.5

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B

8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. 2 12. 2 ;
3 ?1 2

10. c ? b ? a 13. [ 0 ,1]

11.

(1,

3)

14.②③; 2

?

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 s in ( x 所以 x
? π 4
? π 4 ) ? 0

? kπ, k ? Z | x ? kπ+
2

……………………2 分
π 4 , k ? Z}

所以函数的定义域为 { x
2

……………………4 分 ……………………6 分

(II)因为

f (x) ? 1 ?

c o s x ? s in x s in x ? c o s x

= 1+ (c o s x ? s in x )

= 1?

2 s in ( x ?

π 4

)

……………………8 分
(2kπ ? π 2 π 2 , 2kπ ? π 2 )

又y 令

? s in x

的单调递增区间为
π 2 ? x? π 4 ? 2kπ ?

,k ? Z

2kπ ?

5



解得

2kπ ?

3π 4

? x ? 2kπ ?
π 4

π 4

……………………11 分

又注意到 x 所以

? kπ+

,

f ( x ) 的单调递增区间为 ( 2 k π ?

3π 4

, 2kπ ?

π 4

)



k?Z

…………………13 分

16. 解: (I)设至少一张中奖为事件 A 则 P ( A)
? 1 ? 0 .5 ? 0 .7 5
2

…………………4 分

(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 ? 则 ? 可以取 5, 0, ? 4 5, ? 1 4 5
? ?
P

…………………6 分

的分布列为
5
50 %

0
50 % ? 2 % ? p

?45
2%

?145

p

…………………8 分 所以 ? 的期望为 E ?
? 5 ? 50 % ? 0 ? ( 50 % ? 2 % ? p ) ? ( ? 4 5 ) ? 2 % ? ( ? 1 4 5 ) ? p ? 2 .5 ? 9 0 % ? 1 4 5 p

…………………11 分 …………………12 分

所以当 所以当 0

1 .6 ? 1 4 5 p ? 0

时,即 p

?

8 725

? p ?

8 725

时,福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13 分

17.解: (I)因为点 P 在平面 A B C 上的正投影 H 恰好落在线段 A C 上 所以 P H ? 平面 A B C ,所以 P H ? A C 因为在直角梯形 A B C D 中, ? A B C
BC ? 2
? ? D AB ? 90
?

…………………1 分 ,?CAB
? 30
?



, AD ? 4
? 60
?

所以 A C ? 4 , ? C A B 所以 H 是 A C 中点, 所以 H E / / P C 同理可证 E F / / P B 又HE

,所以 ? A D C 是等边三角形, …………………2 分 …………………3 分

? EF ? E ,CP ? PB ? P

6



所以 E F H / / P B C 平面 P B C (II)在平面 A B C 内过 H 作 A C 的垂线 如图建立空间直角坐标系, 则 A(0, ? 2, 0) , P (0, 0, 2
3)

…………………5 分

,B(

3 ,1, 0 )

…………………6 分

因为 E ( 0 , ? 1,

3)

,HE

????

z
? ( 0 , ? 1, ? 3)

P E A
3)

设平面 P H B 的法向量为 n
???? 因为 H B ? (

? (x, y, z)

???? 3 ,1, 0 ) , H P ? ( 0 , 0 , 2

H F x B

C

y

???? ?HB ? 所以有 ? ???? ?HP ?

? ?n ? 0 ? ?n ? 0
x ?

,即 ?

? ?

3x ? y ? 0

?z ? 0 ?




? n ? ( 3 , ? 3, 0 )

3,



y ? ? 3,

所 …………………8 分



? ???? cos ? n, H E ??

? ???? n ?HE 3 ? ????? ? ? ? | n | ?| H E | 2 ?2 3

3 4

…………………10 分 所
3 4





线

HE







P

H

所 B















…………………11 分 …………………12 分
1 2 PA ? 2

(III)存在,事实上记点 E 为 M 即可
E 因为在直角三角形 P H A 中, H ? PE ? EA ?



…………………13

分 在直角三角形 P H B 中,点 P B 所 等 18.解: (I) 因为 S ( t )
? 1 2 |t ? a |e
t

? 4, E F ?

1 2

PB ? 2





E









P,

O,

C, 的

F 距





…………………14 分 ,其中 t ? a …………………2 分

7



当 a ? 0 , S (t )

?

1 2

|t |e 1 2

t

,其中 t ? 0 , S '( t )
),

当 t ? 0 时, S ( t ) 所 增, 当 t ? 0 时, S ( t ) 令 S '( t ) 令 S '( t )
? ? ? ? 1 2 1 2

?

te

t

?

1 2

( t ? 1) e
0 所

t


S (t )



S ' t ?(





(0, ? ? )





…………………4 分
? ? 1 2 ( t ? 1) e ? 0
t

te

t

, S '( t )

? ?

1 2

( t ? 1) e

t



, 解得 t ? ? 1 ,所以 S ( t ) 在 ( ? ? , ? 1) 上递增 , 解得 t ? ? 1 ,所以 S ( t ) 在 ( ? 1, 0 ) 上递减 ……………7 分

( t ? 1) e ? 0
t

综上, S ( t ) 的单调递增区间为 ( 0 , ? ? ) , ( ? ? , ? 1)
S (t )

的单调递增区间为 ( ? 1, 0 )
t

(II)因为 S ( t )

?

1 2

|t ? a |e

,其中 t ? a
? 1 2 ( a ? t )e
t

当 a ? 2 , t ? [ 0 , 2 ] 时, S ( t ) 因为 ? t 0 ? [ 0 , 2 ] ,使得 S ( t 0 )
S '( t ) ? ? 1 2 [ t ? ( a ? 1) ]e
t

? e

,所以 S ( t ) 在 [ 0 , 2 ] 上的最大值一定大于等于 e , 令
S' t ? (



)



0

t ? a ?1

…………………8 分

当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时
S '( t ) ? ? 1 2 [ t ? ( a ? 1) ]e ? 0
t

对 t ? ( 0 , 2 ) 成立, S ( t ) 单调递增
? 1 2 ( a ? 2 )e
2

所以当 t ? 2 时, S ( t ) 取得最大值 S ( 2 ) 令 所
a ? 3
1 2 (a ? 2 )e ? e
2

,解得

a ?

2 e

? 2

, 以

…………………10 分 当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时
S '( t ) ? ? 1 2 [ t ? ( a ? 1) ]e ? 0
t

对 t ? (0, a

? 1)

成立, S ( t ) 单调递增

8



S '( t ) ? ?

1 2

[ t ? ( a ? 1) ]e ? 0
t

对 t ? (a

? 1, 2 )

成立, S ( t ) 单调递减
1 2 e
a ?1

所以当 t ? a ? 1 时, S ( t ) 取得最大值 S ( a 令 S (a 所
l ? a
? 1) ? 1 2 e
a ?1

? 1) ?

? e

,解得 a ? ln 2 ? 2 以
n ?

…………………12 分 综
l ? ? a n


2


2





…………………13 分 19.解:(I)因为椭圆 M :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的四个顶点恰好是一边长为 2,

一内角为 6 0 ? 的菱形的四个顶点, 所
x
2


? y
2

a ?

3 b ? ,

,

1





M









?1

…………………4 分
1 2
? ? x 2 , y1 ? y 2

3

(II)设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 因为 A B 的垂直平分线通过点 ( 0 , ?

)

, 显然直线 A B 有斜率,

当直线 A B 的斜率为 0 时,则 A B 的垂直平分线为 y 轴,则 x 1
1 2 x1 3
2

所以 S ? A O B = 因为
2

| 2 x 1 || y 1 |? | x 1 || y 1 |? | x 1 |

1?

?

x 1 (1 ?
2

x1 3

2

) ?

1 3

x1 ( 3 ? x1 )
2 2

x1 ( 3 ? x1 ) ?
2

x1 ? ( 3 ? x1 )
2 2

?

3 2

, 时, S ? A O B 取得最大值为
? kx ? t
3 2

2
|?

所以 S ? A O B

?

3 2

,当且仅当 | x 1

6 2

………………6 分

当直线 A B 的斜率不为 0 时,则设 A B 的方程为 y

? y ? kx ? t ? 2 2 2 所以 ? x 2 ,代入得到 ( 3 k ? 1) x ? 6 k t ? 3 t ? 3 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 3

当?

? 4(9 k

2

? 3 ? 3t ) ? 0
2

,

即 3k 2

?1? t ①
2

9



方程有两个不同的解 又
x1 ? x 2 2 ? ? 3k t 3k
2

x1 ? x 2 ?

?6kt 3k
2

?1

, …………………9

?1

分 所以
y1 ? y 2 2
y1 ? y 2 ? 1

? 3k

t
2

?1





2 0?

2 ? ? 1 x1 ? x 2 k 2

,化简得到 3 k 2

? 1 ? 4t




0? t? 4











…………………10 分 又原点到直线的距离为 d
? |t | k
2

?1

| A B |?

1? k

2

| x 1 ? x 2 |?

1? k

2

4(9 k

2

? 3 ? 3t )
2 2

3k

?1
2

所以 S ? A O B = 化
S ?A = 1 4 ?

1 2

| A B || d |?

1 2

|t | k
2

1? k

2

4(9 k

? 3 ? 3t )
2 2

?1

3k

?1


2 O


3 t
B


t 4

(

…………………12 分 因为 0 ? t ? 4 ,所以当 t ? 2 时,即 k 综
3 2
? ? 7 3

时, S ? A O B 取得最大值 积 的 最

3 2





?A

O

面 B







…………………14 分

20.(I)解:法 1:

10



1 ?2

2 1

3 0

?7 1

????? ?

改 变 第 4列

1 ?2

2 1

3 0

7 ?1

????? ?

改 变 第 2行

1 2

2 ?1

3 0

7 1

法 2:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ????? ?
改 变 第 2行

1 2

2 ?1

3 0

?7 ?1

????? ?

改 变 第 4列

1 2

2 ?1

3 0

7 1

法 3:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ????? ?
改 变 第 1列

?1 2

2 1

3 0

?7 1

????? ?

改 变 第 4列

?1 2

2 1

3 0

7 ?1

…………………3 分 (II) 每一列所有数之和分别为 2,0, ? 2 ,0,每一行所有数之和分别为 ? 1 ,1; ①如果首先操作第三列,则
a 2? a a ?1
2

a 2? a

?a a
2

2

1? a

2

则第一行之和为 2 a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2 a , 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以
a ? 1 2

或a
1 2

?

5 2

当a
?a 2? a

?

时,则接下来只能操作第一行,
2

1? a 1? a

?a 2? a

a a

2

2

2

此时每列之和分别为 2 ? 必有 2 ? 当a
a a ? 2

2a,2 ? 2a ,2 ? 2a,2a
2

2

2a

2

? 0

,解得 a ? 0 , ? 1

?

5 2

时,则接下来操作第二行
a ?1
2

a a ? 2

?a ?a

2

a

2

?1

2

此 意. …6 分





4



















………………

11



② 如果首先操作第一行
?a 2? a 1? a 1? a
2

a a ? 2

a a

2

2

2

则每一列之和分别为 2 ? 2 a , 2

? 2a

2

, 2a ? 2 , 2a 2

当 a ? 1 时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当 a ? 1 时, 2 ? 2 a , 2 a ? 2 至少有一个为负数, 所以此时必须有 2 ?
2a
2

? 0

,即 ? 1 ? a ? 1 ,所以 a ? 0 或 a ? ? 1

经检验, a ? 0 或 a ? ? 1 符合要求 综
a ? 0 ?


,


1

…………………9 分 (III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。 证明如下: 记数表中第 i 行第 j 列的实数为 c ij( i
a 1 , a 2 ,? , a m

? 1, 2 , ? , m ; j ? 1, 2 , ? , n

) 各行的数字之和分别为 , ,B
? b1 ? b 2 ? ? ? b n

, 各列的数字之和分别为 b1 , b 2 , ? , b n ,A 个实数之和为 S ,则 S ? A ? B 。记
1 i1

? a1 ? a 2 ? ? ? a m



数表中 m

? n

K ? m in

1? i ? m

?k c

? k 2 c i 2 ? ? ? k n c in

|k

l

? 1或 ? 1( l ? 1, 2 , ? , n ) 且 k 1 c i 1 ? k 2 c i 2 ? ? ? k n c in ? 0

?

T ? m in t1 c 1 j ? t 2 c 2 j ? ? ? t m c m j
1? j ? n

?

|t

s

? 1或 ? 1( s ? 1, 2 , ? , m ) 且 t1 c 1 j ? t 2 c 2 j ? ? ? t m c m j ? 0

?

? ? m in ? K , T

?.

按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起 A (和 B ) 增大,从而也就使得 S 增加,增加的幅度大于等于 2 ? ,但是每次操作都只是改变数表中某 行(或某列) 各数的符号, 而不改变其绝对值,显然,S 必然小于等于最初的数表中 m
? n



实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时,必是所有的行和与 所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号, S 就又会继续上升,导致 矛盾,故结论成立。 ………13 分

12


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