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浙江省温州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


浙江省温州市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目陶 秋的) 1. (4 分)已知全集 U={1,2,3,4},A={2,4},则?UA=() A.? B.{1} C.{2,4} D.{1,3} 2. (4 分)下列图形中,不可能是函数图象的是()

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A.

B.

C.

D.

3. (4 分)圆的半径变为原来的 2 倍,而弧长也增大到原来的 2 倍,则() A.扇形的面积不变 B. 扇形的圆心角不变 C. 扇形的面积增大到原来的 2 倍 D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍 4. (4 分)某林区 2010 年初木材蓄积量约为 200 万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使木 材蓄积量的年平均增长率达到了 5%左右,则 2015 年初该林区木材蓄积量约为()万立方米. 5 6 A.200(1+5%) B.200(1+5%) C.200(1+6×5%) D.200(1+5×5%) 5. (4 分)若 f(x)满足 f(﹣x)=f(x) ,且在(﹣∞,﹣1]上是增函数,则() A. C. D. B.

6. (4 分)满足 tanA>﹣1 的三角形内角 A 的取值范围是() A.(0, (0, ) ,π) B.(0, )∪( , ) C. ( ,π) D.

)∪(

7. (4 分)已知函数 f(x)=log5x+x﹣3,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

8. (4 分)设函数 f(x)=log2(2 +m) ,则满足函数 f(x)的定义域和值域都是实数 R 的实数 m 构成的集 合为() A.{m|m=0} B.{m|m≤0} C.{m|m≥0} D.{m|m=1} 9. (4 分)已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足:①对任意实数都有 f(x+2)=f(x) ;②当 x∈时, f(x)=cos 范围为() A.(2,3) x.若关于 x 方程 f(x)=a 在区间上恰有三个不同的实数解 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3 的取值

x

B.(3,4)

C.(4,5)

D.(5,6)

10. (4 分)x 为实数,表示不超过 x 的最大整数,如=1,=﹣2.若函数 f(x)=sinx﹣,则下列结 论中: ①函数 f(x)是最小正周期为 2π 的周期函数; ②函数 f(x)在上递减; ③函数 f(x)为奇函数; ④函数 f(x)的值域为. 其中正确的结论的个数是() A.1 B.2 C .3 D.4

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 11. (4 分)计算: +lg2+lg =.

12. (4 分)已知点(2,

)在幂函数 f(x)=x (a 为常数)的图象上,则 f(9)=.

a

13. (4 分)已知函数 f(x)=cos(2x+φ) (0≤φ<π)是奇函数,则 f(x)在上的最大值与最小值的和为.

14. (4 分)已知 tanα=2,则

=.

15. (4 分)函数 f(x)=

的单调递减区间为.

16. (4 分)已知函数 f(x)= 围为.

是实数集 R 上的增函数,则实数 a 的取值范

三、解答题(共 4 小题,满分 36 分,。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (7 分)已知集合 A={x| ≤2 ≤2},B={x|x≥a}. (1)若 a=0 时.求 A∩B,A∪B; (2)若 A?B,求实数 a 的取值范围.
x

18. (9 分)在半径为 1 的半圆中,作如图所示的等腰梯形 ABCD,CE 垂直下底 AD 于 E,设 DE=x(0<x <1) ,CE=h,梯形 ABCD 的周长为 L. (1)求 h 关于 x 的函数解析式,并指出定义域; (2)试写出 L 与关于 x 的函数解析式,并求周长 L 的最大值.

19. (9 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π) .若 f(x)的图象过点 M(

,1)及 N(



﹣1) ,且 f(x)在区间上时单调的. (1)求 f(x)的解析式; (2)将 f(x)的图象先向左平移 t(t>0)个单位,再向上平移一个单位后所得图象对应函数为 g(x) , 若 g(x)的图象恰好过原点,求 t 的取值构成的集合. 20. (11 分)设函数 f(x)=x|x﹣a|,a>0 (1)若 a=1 时,判断 f(x)的奇偶性; (2)写出函数的单调区间; (3)若关于 x 的方程 f(x)=a﹣ 在区间上恰有两个不同的实数根,求实数 a 的取值范围.

浙江省温州市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参 考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小 题 4 分,满分 4 0 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目陶 秋的) 1. (4 分)已知全集 U={1,2,3,4},A={2,4},则?UA=() A.? B.{1} C.{2,4} D.{1,3} 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由全集 U 及 A,求出 A 的补集即可. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4},A={2,4}, ∴?UA={1,3}, 故选:D. 点 评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键. 2. (4 分)下列图形中,不可能是函数图象的是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的概念及其构成要素. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的定义和图象之间的关系进行判断即可. 解答: 解:由函数的定义可知,对于定义域内的任意 x,都有唯一的 y 与 x 对称, 则 B 中,y 值不满足唯一性, 故不可能是函数图象的 B, 故选:B. 点评: 本题主要考查函数图象的识别,根据函数的定义是解决本题的关键. 3. (4 分)圆的半径变为原来的 2 倍,而弧长也增大到原来的 2 倍,则() A.扇形的面积不变 B. 扇形的圆心角不变 C. 扇形的面积增大到原来的 2 倍 D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍 考点: 扇形面积公式;弧长公式. 专题: 计算题. 分析: 设原来的半径和弧长分别为 r 和 l,则扩大后分别变为 2r,2l,由面积公式和圆心角的定义验证选 项即可. 解答: 解:设原来的半径和弧长 分别为 r 和 l, 则扩大后分别变为 2r,2l, ∴原扇形的面积为 lr,后来 ?2l?2r=2lr, 面积变为原来的 4 倍,故 A 和 C 错误; 原扇形的圆心角为 ,后来为 = ,

故选:B. 点评: 本题考查扇形的面积公式和圆心角的求法,属基础题. 4. (4 分)某林区 2010 年初木材蓄积量约为 200 万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使木 材蓄积量的年平均增长率达到了 5%左右,则 2015 年初该林区木材蓄积量约为()万立方米. 5 6 A.200(1+5%) B.200(1+5%) C.200(1+6×5%) D.200(1+5×5%) 考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意知,2011 年初该林区木材蓄积量约为 200+200?5%=200(1+5%)万立方米,从而依次写出 即可. 解答: 解:由题意,2010 年初该林区木材蓄积量约为 200 万立方米, 2011 年初该林区木材蓄积量约为 200+200?5%=200(1+5%)万立方米, 2 2012 年初该林区木材蓄积量约为 200(1+5%) 万立方米,

2013 年初该林区木材蓄积量约为 200(1+5%) 万立方米, 4 2014 年初该 林区木材蓄积量约为 200(1+5%) 万立方米, 5 2015 年初该林区木材蓄积量约为 200(1+5%) 万立方米, 故选:A. 点评: 本题考查了有理指数幂的运算化简,属于基础题. 5. (4 分)若 f(x)满足 f(﹣x)=f(x) ,且在(﹣∞,﹣1]上是增函数,则() A. C. D. B.

3

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题. 分析: 观察四个选项,是三个同样的函数值比较大小,又知 f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,由 f(﹣ x)=f(x) ,把 2 转到区间(﹣∞,﹣1]上,f(2)=f(﹣2) , 比较三个自变量的大小,可得函数值的大小. 解答: 解:∵f(﹣x)=f(x) ,∴f(2)=f(﹣2) , ∵﹣2<﹣ <﹣1,又∵f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数, ∴f(﹣2)<f(﹣ )<f(﹣1) . 故选 D. 点评: 此题考查利用函数单调性来比较函数值的大小,注意利用奇偶性把自变量转化到已知的区间上. 6. (4 分)满足 tanA>﹣1 的三角形内角 A 的取值范围是() A.(0, ( ,π) ) B.(0, )∪( , ) C. ( ,π) D. (0, )∪

考点: 三角函数线. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 根据 0<A<π ,且正切函数 tanA 的图象在(0, (0, )时,总有 tanA>tan0=0>﹣1,在( ) , ( ,π)单调递增.分情况讨论,当 A∈ ,π) ,综上可得 A

,π)内要有 tanA>﹣1,则 A∈(

的取值范围. 解答: 解:∵0<A<π ∵正切函数 tanA 的图象在(0, ∴A∈(0, ) , ( ,π)单调递增.

)时,总有 tanA>tan0=0>﹣1,

又∵tanA>﹣1=tan( ∴在(

)=tan

, ,π) ,

,π)内要有 tanA>﹣1,则 A∈( )∪( ,π)

综上可得:A∈(0,

故选:D. 点评: 本题主要考查了正切函数的图象和性质,属于基础题. 7. (4 分)已知函数 f(x)=log5x+x﹣3,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由函数 f(x)=log5x+x﹣3 可得 f(2)=log52﹣1<0,f(3)=log53>0,利用零点的判定定理可 得结论. 解答: 解:∵f(x)=log5x+x﹣3, ∴函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=log52﹣1<0,f(3)=log53>0, 满足 f(2)f(3)<0, ∴f(x)在区间(2,3)内必有零点, 故选:C 点评: 本题考查函数零点的判断,属基础题. 8. (4 分)设函数 f(x)=log2(2 +m) ,则满足函数 f( x)的定义域和值域都是实数 R 的实数 m 构成的 集合为() A.{m|m=0} B.{m|m≤0} C.{m|m≥0} D.{m|m=1} 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由函数 f(x)的定义域为 R 可得 m≥0,又由函数 f(x)的值域也是 R 可得 m≤0;从而解得. x 解答: 解:∵2 +m>m, ∴若使函数 f(x)的定义域为 R, ∴m≥0; 又∵函数 f(x)的值域也是 R, x 则 2 +m 取遍(0,+∞)上所有的数, 故 m≤0; 综上所述,m=0; 故选 A. 点评: 本题考查了函数的定义域与值域的求法及其应用,属于基础题. 9. (4 分)已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足:①对任意实数都有 f(x+2)=f(x) ;②当 x∈时, f(x)=cos 范围为() A.(2,3) x.若关于 x 方程 f(x)=a 在区间上恰有三个不同的实数解 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3 的取值
x

B.(3,4)

C.(4,5)

D.(5,6)

考点: 专题: 分析: 解答:

根的存在性及根的个数判断. 函数的性质及应用. 根据函数的周期性,作出函数 f(x)的图象,利用函数的对称性以及数形结合即可得到结论. 解:由 f(x+2)=f(x)得函数的周期为 2; x.

当 x∈时,f(x)=cos

作出函数 f(x)在区间上的图象如图, ∵关于 x 方程 f(x)=a 在区间上恰有三个不同的实数解 x1,x2,x3, ∴不妨设 x1<x2<x3, 则满足 0<x1<1,x2,x3,关于 x=2 对称,即 x2+x3=4, 则 x1+x2+x3=4+x1, ∵0<x1<1,∴4<4+x1<5, 即 x1+x2+x3 的取值范围为(4,5) , 故选:C

点评: 本题主要考查函数与方程的应用, 利用函数的周期性和对称性, 利用数形结合是解决本题的关键. 10. (4 分)x 为实数,表示不超过 x 的最大整数,如=1,=﹣2.若函数 f(x)=sinx﹣,则下列结论中: ①函数 f(x)是最小正周期为 2π 的周期函数; ②函数 f(x)在上递减; ③函数 f(x)为奇函数; ④函数 f(x)的值域为. 其中正确的结论的个数是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 y=sinx 和 y=的周期都是 2π,可得函数 f(x)是最小正周期为 2π 的周期函数,求出它在一 个周期上的解析式,分析可得结论. 解答: 解:由于 y=sinx 和 y=的周期都是 2π,故函数 f(x)=sinx﹣是最小正周期为 2π 的周期函数,故 ①正确.

函数 f(x)=sinx﹣在一个周期上的解析式为 f(x)=



由 f(x)的解析式可得函数 f(x)在上递减,故②正确.

由于函数 y=是非奇非偶函数,故③错误. 由 f(x)的解析式可得函数 f(x)可得 f(x)的值域为上的最大值与最小值的和为 0. 考点: 余弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据 f(x)是奇函数得到 φ= ,利用三角函数的图象和性质即可得到结论.

解答: 解:∵函数 f(x)=cos(2x+φ) (0≤φ<π)是奇函数, ∴φ= ,即函数 f(x)=cos(2x+ )=﹣sin2x,

∵x∈,∴2x∈, 即当 2x= 时,f(x)取得最小值﹣1,当 2x= 时,函数 f(x)取得最大值 1,

∴f(x)在上的最大值与最小值的和 1﹣1=0, 故答案为:0 点评: 本题主要考查三角函数的奇偶性和最值的求解,根据条件求出 φ 的值是解决本题的关键.

14. (4 分)已知 tanα=2,则

=﹣ .

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 计算题;三角函数的求值. 由诱导公式,同角三角函数基本关系式化简所求后代入已知即可求值. 解:∵tanα=2, = = = =﹣ .

故答案为:﹣ . 点评: 本题主要考查了诱导公式,同角三角函数基本关系式的应用,属于基础题. 15. (4 分)函数 f(x)= 的单调递减区间为(1, ].

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据复合函数“同增异减”判断其单调性,从而得到不等式组,解出即可. 解答: 解:由题意得: ,

解得:1<x≤ , 故答案为: (1, ]. 点评: 本题考查了复合函数的单调性,考查了对数函数,二次函数的性质,是一道基础题.

16. (4 分)已知函数 f(x)= 围为(1,3].

是实数集 R 上的增函数,则实数 a 的取值范

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 根据已知条件,x<1 时,函数(3a﹣1)x﹣5 是增函数,x≥1 时,a 是增函数,所以便有

,解该不等式组即得 a 的取值范围.

解答: 解:f(x)为 R 上的增函数;





∴解得 1<a≤3; ∴实数 a 的取值范围为(1,3]. 故答案为: (1,3]. 点评: 考查分段函数在定义域上单调时需满足的条件,以及一次函数、指数函数的单调性. 三、解答题(共 4 小题,满分 36 分,。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (7 分)已知集合 A={x| ≤2 ≤2},B={x|x≥a}. (1)若 a=0 时.求 A∩B,A∪B; (2)若 A?B,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用;并集及其运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)先求出集合 A={x|﹣1≤x≤1},由 a=0 得出集合 B,从而进行交集、并集的运算即可; (2)由 A?B 即可得到 a≤﹣1. 解答: 解: (1)A={x|﹣1≤x≤1},a=0; ∴B={x|x≥0}; ∴A∩B={x|0≤x≤1},A∪B={x|x≥﹣1}; (2)∵A?B; ∴a≤﹣1; ∴实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣1]. 点评: 考查指数函数的单调性解不等式,交集、并集的运算,以及子集的概念. 18. (9 分)在半径为 1 的半圆中,作如图所示的等腰梯形 ABCD,CE 垂直下底 AD 于 E,设 DE=x(0<x <1) ,CE=h,梯形 ABCD 的周长为 L. (1)求 h 关于 x 的函数解析式,并指出定义域; (2)试写出 L 与关于 x 的函数解析式,并求周长 L 的最大值.
x

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据图形,便有 (2)容易求出 长 L 的最大值.
2

,并且定义域为(0,1) ; ,对该函数解析式配方即可求出周

,|BC|=2﹣2x,所以周长 L=
2 2

解答: 解: (1)h =1﹣(1﹣x) =﹣x +2x; ∴ ,定义域为(0,1) ; ;

(2)如图,|CD|= |BC|=2﹣2x; ∴ 即 L= ∴ =

= ,x∈(0,1) ;

,x∈(0,1) ;

,即 x= 时,L 取最大值 5.

点评: 考查根据实际问题求函数解析式的方法,直角三角形边的关系,梯形周长的概念,以及配方求函 数最大值的方法.

19. (9 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π) .若 f(x)的图象过点 M(

,1)及 N(



﹣1) ,且 f(x)在区间上时单调的. (1)求 f(x)的解析式; (2)将 f(x)的图象先向左平移 t(t>0)个单位,再向上平移 一个单位后所得图象对应函数为 g(x) , 若 g(x)的图象恰好过原点,求 t 的取值构成的集合. 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由题意可求得周期 T=2( 解得 φ 的值,即可求得 f(x)的解析式. (2)由题意先求得函数 g(x)的解析式,由 g(x)的图象过原点,可得 sin(2t+ t 的取值构成的集合. 解答: 解: (1)f(x)的周期是 2( )=π,故可求得 ω=2. )=﹣1,从而可求得 )=π,求得 ω 的值,由 f(x)的图象过点 M( ,1) ,

又 f(x)的图象过点 M( 又 0<φ<π,得:φ= ,

,1) ,得 2×

φ=2kπ

,得 φ=2kπ+

,k∈Z.

所以可得:f(x)=sin(2x+

) .

(2)由题意得 g(x)=sin+1, 因 g(x)的图象过原点, 所以 sin(2t+ )=﹣1,得 2t+ =2k ,k∈Z}. ,

得 t 的取值集合是:{t|t=kπ+

点评: 本题主要考查了函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,正弦函数的图象和性质,属于基础题. 20. (11 分)设函数 f(x)=x|x﹣a|,a>0 (1)若 a=1 时,判断 f(x)的奇偶性; (2)写出函数的单调区间; (3)若关于 x 的方程 f(x)=a﹣ 在区间上恰有两个不同的实数根,求实数 a 的取值范围.

考点: 函数奇偶性的性质;函数的单调性及单调区间;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)求 f(﹣1)=﹣2,f(1)=0,所以根据奇函数、偶函数的定义便知函数 f(x)此时非奇非 偶; (2)去绝对值,然后根据二次函数的单调性即可写出函数 f(x)的单调区间; (3)可画出 f(x)的图象,根据图象便容易求出 a 的取值范围. 解答: 解: (1)若 a=1,f(x)=x|x﹣1|; f(﹣1)=﹣2,f(1)=0; ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数; (2)f(x)=x|x﹣a|= ∵a>0,∴x ﹣ax 在 ﹣x +ax 在
2 2



上单调递减,在(

)上单调递增;

∴函数 f(x)的单调增区间为(﹣∞, ) ,

由图象知,符合题意的 a 应满足: ,或 1<a<2,即 2<a<4,或 1<a<2;

①当 2<a<4 时,则



解得



②当 1<a<2 时,则



解得 a∈?; ∴综上得 a 的取值范围为(3, ].

点评: 考查奇函数、偶函数的定义及判断方法,处理含绝对值函数的方法:去绝对值,二次函数的单调 性,以及数形结合解题的方法.


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