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函数的定义域和值域2-2


高考调研 ·高三总复习·数学(理)

第2课时 函数的定义域与值域

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…2017 考钢下载…
1. 了解构成函数的要素, 会求一些简单函数的定义域和值域. 2.了解简单的分段函数,并能简单应用.

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请注意 定义域是函数的灵魂,高考中考查的定义域多以选择、填空 形式出现, 难度不大; 有时也在解答题的某一小问当中进行考查; 值域是定义域与对应法则的必然产物,值域的考查往往与最值联 系在一起,三种题型都有,难度中等.

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课前自助餐

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函数的定义域 (1)求定义域的步骤: ①写出使函数式有意义的不等式(组); ②解不等式(组); ③写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出)

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(2)基本初等函数的定义域: ①整式函数的定义域为 R. ②分式函数中分母不等于 0. ③偶次根式函数被开方式大于或等于 0. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R. ⑤函数 f(x)=x0 的定义域为{x|x≠0}. ⑥指数函数的定义域为 R. ⑦对数函数的定义域为(0,+∞).

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函数的值域 基本初等函数的值域: (1)y=kx+b(k≠0)的值域是 R. (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当 a>0 时,值域为{y|y≥ 4ac-b2 4a };当 a<0 时,值域为{y|y≤ 4ac-b2 4a }.

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k (3)y= (k≠0)的值域是{y|y≠0}. x (4)y=ax(a>0 且 a≠1)的值域是(0,+∞). (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R.

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1.函数 y=

1 x+1



1

定义域是________.

1+x-1

答案 (-1,0)∪(0,+∞) 解析
? ? ?x+1>0, ? ??x≠0, -1 ? ?1+x ≠0 ?

?x>-1, ?-1<x<0 或 x>0. ?x≠-1

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2 . (2016· 江 苏 改 编 ) 函 数 y = ln(3 - 2x - x2) 的 定 义 域 是 ________.

答案

(-3,1)

解析 由 3-2x-x2>0 解得-3<x<1.

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3.(2017· 郑州质检)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2 016],则 f(x+1) 函数 g(x)= x-1 的定义域是( )

A.[-1,2 015] C.[0,2 016]

B.[-1,1)∪(1,2 015] D.[-1,1)∪(1,2 016]

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答案 B 解析 要使函数 f(x+1)有意义,则 0≤x+1≤2 016,解得- 1≤x≤2 015,故函数 f(x+1)的定义域为[-1,2 015],所以函数
? ?-1≤x≤2 g(x)有意义的条件是 ? ? ?x-1≠0

015,

解得-1≤x<1 或 1<x≤2

015.故函数 g(x)的定义域为[-1,1)∪(1,2 015].

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4.函数 y=log0.3(x2+4x+5)的值域为________.

答案

(-∞,0]

解析 设 u=x2+4x+5=(x+2)2+1≥1, ∴log0.3u≤0,即 y≤0,∴y∈(-∞,0].

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x2+x+1 5.函数 y= x+1 的值域为________.

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答案

(-∞,-3]∪[1,+∞)

解析 方法一:判别式法 x2+x+1 由 y= ,得 x2+(1-y)x+1-y=0. x+1 ∵x∈R,x≠-1,∴Δ=(1-y)2-4(1-y)≥0. 解得 y≤-3 或 y≥1. 当 y=-3 时,x=-2;当 y=1 时,x=0. 所以,函数的值域为(-∞,-3]∪[1,+∞).

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方法二:分离常数法 x2+x+1 (x+1)2-(x+1)+1 1 y= = =(x+1)+ -1, x+1 x+1 x+1 1 1 又(x+1)+ ≥2 或(x+1)+ ≤-2, x+1 x+1 ∴y≥1 或 y≤-3. ∴函数的值域为(-∞,-3]∪[1,+∞).

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授 人 以 渔

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题型一 函数的定义域(微专题)
微专题 1:具体函数的定义域 (1)(2017· 衡水调研 )函数 y= 1 log0.5(x-2) + (2x-

5)0 的定义域为________.

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【解析】

? 0<x-2<1, ? 2<x<3, ? ? ? ?log0.5(x-2)>0, 由? ?? 5 ?? 5 ? ?2x-5≠0 ?x≠ ?x≠ . ? 2 ? 2

5 5 【答案】 (2, )∪( ,3) 2 2

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(2) 函 数 y =

1 loga(x-1)

(a>0 且 a≠1) 的 定 义 域 为

________.

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【解析】 当 a>1 时,由 loga(x-1)>0,得 x-1>1,∴x>2. 当 0<a<1 时,由 loga(x-1)>0,得 0<x-1<1,∴1<x<2. ∴函数的定义域:当 a>1 时为(2,+∞); 当 0<a<1 时为(1,2). 【答案】 当 a>1 时为(2,+∞);当 0<a<1 时为(1,2)

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x+2x2 (3)函数 f(x)= 的定义域为________. lg(|x|-x)

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【解析】 要使函数 f(x)有意义,必须使 ?x+2x2≥0, ? ?|x|-x>0, ?|x|-x≠1, ? 1 解得 x<- . 2

1 ∴函数 f(x)的定义域为{x|x<- }. 2 1 【答案】 {x|x<- } 2

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★状元笔记 具体函数定义域的求法 (1)给定函数的解析式, 求函数的定义域的依据是基本解析式 的意义, 如分式的分母不等于零, 偶次根式的被开方数为非负数, 零指数幂的底数不为零,对数的真数大于零且底数为不等于 1 的 正数以及三角函数的定义域等. (2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题. 在解不等 式组时要细心,取交集时可借助数轴,并且要注意端点值或边界 值.

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思考题 1 求下列函数的定义域: (1)y= + 2-|x| 1 x2-1;

(2)y=

25-x2+lgcosx.

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【解析】

? 2, ?2-|x|≠0, ? ?x≠± (1)由? 2 得? ? ?x -1≥0, ? ?x≤-1或x≥1.

所以函数的定义域为{x|x≤-1 或 x≥1 且 x≠± 2}.
2 ? ?25-x ≥0, ? (2)由? 得? ? ?cosx>0, ?2kπ

?-5≤x≤5, π π - <x<2kπ + .(k∈Z) 2 2 ?

π π 3π 3 所以函数的定义域为[-5,- π )∪(- , )∪( ,5]. 2 2 2 2

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【答案】 (1){x|x≤-1 或 x≥1 且 x≠± 2} 3π π π 3π (2)[-5,- )∪(- , )∪( ,5] 2 2 2 2

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微专题 2:抽象函数的定义域 (1)若函数 f(x)的定义域为[0,1],求 f(2x-1)的定义域. (2)若函数 f(2x-1)的定义域为[0,1],求 f(x)的定义域. (3)已知函数 y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数 y=f(2x -1)的定义域.

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1 【解析】 (1)由 0≤2x-1≤1,得 ≤x≤1, 2 1 ∴函数 f(2x-1)的定义域为[ ,1]. 2 (2)∵函数 f(2x-1)的定义域为[0,1],∴0≤x≤1, ∴-1≤2x-1≤1. ∴函数 f(x)的定义域为[-1,1].

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(3)因为函数 y=f(2x+1)的定义域为[1,2],即 1≤x≤2,所 以 3≤2x+1≤5,所以函数 y=f(x)的定义域为[3,5].由 3≤2x -1≤5,得 2≤x≤3,所以函数 y=f(2x-1)的定义域为[2,3]. 1 【答案】 (1)[ ,1] 2 (2)[-1,1] (3)[2,3]

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★状元笔记 抽象函数定义域的求法 (1)若已知 y=f(x)的定义域为[a,b],则 y=f[g(x)]的定义域 由 a≤g(x)≤b,解出. (2)若已知 y=f[g(x)]的定义域为[a,b],则 y=f(x)的定义域 即为 g(x)的值域.

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思考题 2

(1)已知函数 f(x)=ln(-x-x2),则函数 f(2x+

1)的定义域为________.

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【解析】 由题意知,-x-x2>0,∴-1<x<0,即 f(x)定义 域为(-1,0). 1 ∴-1<2x+1<0,则-1<x<- . 2 1 【答案】 (-1,- ) 2

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(2)若函数 f(2x)的定义域是[-1,1],求 f(log2x)的定义域.
【解析】 对于函数 y=f(2x),-1≤x≤1, ∴2-1≤2x≤2. 则对于函数 y=f(log2x),2-1≤log2x≤2,∴ 2≤x≤4. 故 y=f(log2x)的定义域为[ 2,4]. 【答案】 [ 2,4]

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题型二
求下列函数的值域: 1-|x| (1)y= ; 1+|x|

函数的值域

(2)y=

-2x2+x+3;

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x2+x+1 (3)y= x ; (4)y=2x+ 1+x;

(5)y=x+

4-x2;

(6)y=|x+1|+|x-2|.

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【解析】 (1)方法一:分离常数法: 1-|x| 2 y= =-1+ , 1+|x| 1+|x| 2 ∵|x|≥0,∴|x|+1≥1,∴0< ≤2. |x|+1 2 ∴-1<-1+ ≤1. 1+|x| 即函数值域为(-1,1].

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方法二:反解法: 1-|x| 1-y 由 y= ,得|x|= . 1+|x| 1+y 1-y ∵|x|≥0,∴ ≥0,∴-1<y≤1,即函数值域(-1,1]. 1+y (2)配方法:y= 1 25 -2(x- )2+ , 4 8

5 2 5 2 ∴0≤y≤ ,∴值域为[0, ]. 4 4

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x2+x+1 1 (3)y= =x+ +1 x x 方法一:基本不等式法 1 1 由 y=x+ +1(x≠0),得 y-1=x+ . x x
? ?1? 1? ? ? ? ∵?x+x?=|x|+? ?x?≥2 ? ? ? ? ?1? ? ? |x|· ?x?=2, ? ?

∴|y-1|≥2,即 y≤-1 或 y≥3.

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方法二:判别式法 1 由 y=x+ +1,得 x2+(1-y)x+1=0. x ∵方程有实根,∴Δ=(1-y)2-4≥0. 即(y-1)2≥4,∴y-1≤-2 或 y-1≥2. 得 y≤-1 或 y≥3.

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方法三:导数法(单调性法) 1 (x+1)(x-1) 令 y′=1- 2= <0, x x2 得-1<x<0 或 0<x<1. ∴函数在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,此时 y≥3; 函数在(-1,0)上递减,在(-∞,-1)上递增, 此时 y≤-1.∴y≤-1 或 y≥3. 即函数值域为(-∞,-1]∪[3,+∞).

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(4)方法一:单调性法: 定义域为{x|x≥-1},函数 y=2x,y= 1+x均在[-1,+ ∞)上递增,故 y≥2×(-1)+ 1+(-1)=-2. 方法二:换元法: 令 1+x=t,则 t≥0,且 x=t2-1. 1 17 ∴y=2t2+t-2=2(t+ )2- ≥-2(t≥0). 4 8 ∴函数值域为[-2,+∞).

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(5)三角换元:由 4-x2≥0,得-2≤x≤2. ∴设 x=2cosθ(θ∈[0,π ]),则 y=2cosθ+ 4-4cos2θ= π 2cosθ+2sinθ=2 2sin(θ+ ). 4 π π 5π ∵θ+ ∈[ , ], 4 4 4 π 2 ∴sin(θ+ )∈[- ,1],∴y∈[-2,2 2]. 4 2

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(6)方法一:绝对值不等式法: 由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 所以函数值域为[3,+∞).

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方法二:数形结合法: ?-2x+1(x<-1), ? y=?3(-1≤x≤2), ?2x-1(x>2). ? 画出此分段函数的图像如图,可知值域为[3,+∞).

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【答案】 (1)(-1,1]

5 2 (2)[0, ] 4

(3)(-∞,-1]∪[3,+∞) (4)[-2,+∞) (5)[-2,2 2] (6)[3,+∞)

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★状元笔记 求函数值域的一般方法 ①分离常数法;②反解法;③配方法;④不等式法;⑤单调 性法;⑥换元法;⑦数形结合法;⑧导数法.

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2x-1 思考题 3 1 (1)①函数 y=( ) 的值域为________. 2 x+1

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2x-1 2(x+1)-3 3 【解析】 = =2- , x+1 x+1 x+1 2x-1 1x 所以 ≠2.结合函数 y=( ) 在(-∞,2)∪(2,+∞)上单 2 x+1 1 2x-1 1 1 调性.可知函数 y=( ) x+1 值域为(0, )∪( ,+∞). 2 4 4 1 1 【答案】 (0, )∪( ,+∞) 4 4

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x2+2x+3 ②函数 y= x-1 (x>1)的值域为________.

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【解析】 换元法:令 x-1=t>0,∴x=t+1. (t+1)2+2(t+1)+3 t2+4t+6 6 ∴ y= = = t + + 4≥2 6 t t t 6 +4,当且仅当“t= ”时等号成立. t 即 t= 6时,取最小值 2 6+4. ∴函数值域为[2 6+4,+∞). 【答案】 [2 6+4,+∞)

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x2+3 ③函数 y= 的值域为________. x2-1

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【解析】 (不等式法)设 x2-1=t(t≥0), x2-1+4 4 4 4 2 则 y= = x -1+ 2 =t+ ≥4, 当且仅当 t= , 2 t t x -1 x -1 即 t=2,x=± 5时取等号. ∴函数的值域为[4,+∞). 【答案】 [4,+∞)

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x2+3 (2)求函数 y= 的值域时有以下四种解法,判断哪种 x2+2

解法是正确的.

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x2+3 [解法一] (不等式法): y= = x2+2 x +2+
2

1 x2+2

≥2,∴值域为[2,+∞).

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1 [解析] 该解法是错的, 因为当且仅当 x +2= 2 时等 x +2
2

号成立,而此时 x2=-1,这不可能.所以 y≥2 的结论是错的, 此例告诫我们,利用基本不等式求值域,一定要考查等号是否成 立.

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[解法二] (判别式法):设

1 x +2=t(t≥ 2),则 y=t+ , t
2

即 t2-ty+1=0,∵t∈R,∴Δ =y2-4≥0,∴y≥2 或 y≤-2(舍 去).

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[解析] 显然这种解法也是错的,问题也是出在等号上,因 为当 y=2 时,t=1?[ 2,+∞),所以等号不能成立,这就告诉 我们,利用判别式法求值域时,要注意“Δ≥0”中的等号能否成 立,若等号成立时,对应自变量的取值在其定义域内,则此法正 确,否则,此法失效.

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1 [解法三] (配方法):令 x +2=t(t≥ 2),则 y=t+ =( t t
2

1 2 - ) +2≥2. t [解析] 此解法仍是错的,原因也是出在等号不成立上. [讲评] 总之利用基本不等式法、判别式法、配方法求值域 时,都要考查“等号”能否成立.

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1 [解法四] (单调性法):易证 y=t+ 在 t≥ 2时是增函数, t 3 3 所以 t= 2时,ymin= 2,故 y∈[ 2,+∞). 2 2 【答案】 解法四正确.

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题型三

定义域与值域的应用

已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]. (1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围.

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【解析】 (1)依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0,对一切 x∈R 恒成立,当 a2-1≠0 时,其充要条件是 ? 2 ? ?a>1或a<-1, ?a -1>0, ? 即? 5 2 2 ? ?Δ=(a+1) -4(a -1)<0, ?a> 或a<-1. ? 3 5 ∴a<-1 或 a> .又 a=-1 时,f(x)=0,满足题意. 3 5 ∴a≤-1 或 a> . 3

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(2)依题意,只要 t=(a2-1)x2+(a+1)x+1 能取到(0,+∞) 上的任何值,则 f(x)的值域为 R,故有 a2-1>0,Δ≥0,解之 5 1<a≤ ,又当 a2-1=0,即 a=1 时,t=2x+1 符合题意;a=- 3 5 1 时不合题意,∴1≤a≤ . 3 5 5 【答案】 a≤-1 或 a> (2)1≤a≤ 3 3

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思考题 4 已知函数 f(x)=lg(2a·x-1)的定义域是(2,+ ∞),则实数 a 的取值集合是________.

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【解析】 由题意得, 不等式 2a· x-1>0 的解集为(2, +∞), 1 1 由 2 x-1>0 可得 x> a,∴ a=2,∴a=-1. 2 2
a

【答案】 {-1}

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求函数的值域与最值没有通性通法,只能根据函数解析式的 结构特征来选择对应的方法求解,因此,对函数解析式结构特征 的分析是十分重要的.常见函数解析式的结构模型与对应求解方 法可归纳为: 1.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)及二次型函数 y=a[f(x)]2 +b[f(x)]+c(a≠0)可用配方法.

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a1x2+b1x+c1 2.形如 y= 2 (其中 a1,a2 不全为 0 且 a2x2+b2x a2x +b2x+c2 +c2≠0)的函数可用判别式法. 3.形如 y=ax+b± cx+d(a,b,c,d 为常数,ac≠0)的函 数,可用换元法或配方法. ax+b 2x-1 sinx-1 4.形如 y= (c≠0)或 y= x 或 y= 的函数,可 cx+d 2 +1 sinx+2 用反函数法或分离常数法.

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k 5.形如 y=x+ (k>0,x>0)的函数可用图像法或均值不等式 x 法. 6.对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如 y=|x-1|+|x +4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法. 7.定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值, 其解题程序为第一步求导,第二步求出极值及端点函数值,第三 步求最大、最小值.

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高考调研 ·高三总复习 ·英语

请做:题组层级快练(五)

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