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[20150203校对稿]福州市2015年高三3月份质检数学答案(文科)


2015 年福州市高中毕业班质量检测 文科数学能力测试参考答案及评分细则
一、选择题:本题共有 12 个小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1.A 2.A 3.C 4.D 5.D 6.C 7 .C 8.B 9.D 10.B 11.B 12.D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分. 1 13. ??1? 14. 15.2 16.55 3 三

、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. 本小题主要考查三角函数的图象与性质(对称性、周期性、单调性)、二倍角的余弦公式等基础知 识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.满分 12 分. 【解析】(Ⅰ)因为 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0, x ? R) , 所以 f ( x) ? 2sin(? x ? ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 6 所以 f ( x)max ? 2 . 因为函数 f ( x) 与直线 y ? 2 的相邻两个交点之间距离为 ? , 所以 T ? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2? 所以 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? ? ,解得 ? ? 2, ·

?

?

所以 f ( x) ? 2sin(2x ? ) . 6 令 2k? ?

?

?

2

剟2 x ? 剟x

?

解得 k? ?

?
6

6

2k? ?

?
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ,k ?Z , ·

k? ?

?
3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ,k ?Z. ·

所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 [k? ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 , k? ? ], k ? Z . · 6 3 ? ?? ? ?? ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ? ? ? 2sin(? ? ) ,因为 f ? ? ? , 6 ?2? ?2? 3 ? 1 所以 sin(? ? ) ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 6 3 ?? ?? ? ? 所以 cos ? 2? ? ? ? cos 2 ? ? ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 3? 6? ? ? ?? ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 6? ? 7 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? .· 9 18.本小题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然与 或然思想.满分 12 分. 【解析】 (Ⅰ)计算 10 名被采访者的综合指标,可得下表: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 人员编号 4 4 6 2 4 5 3 5 1 3 综合指标 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 1 由上表可知:成就感为三级(即 0 剟w 1 )的只有 A9 一位,其频率为 . · · · · · · · · · · · · · · 3分 10 1 用样本的频率估计总体的频率,可估计该群体中成就感等级为三级的人数有 200 ? ? 20 . 10 高三文科数学答案 -1- (共 6 页)

?

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ) 设事件 A 为 “从成就感等级是一级的被采访者中随机抽取两人, 他们的综合指标 w 均为 4” . 由 (Ⅰ) 可知成就感是一级的( w …4 )有: A1 , A2 , A3 , A5 , A6 , A8 ,共 6 位,从中随机抽取两人,所有可能的结果为:

? A1 , A2 ?,? A1 , A3?,? A1 , A5?,? A1, A6 ?,?A1, A8 ?,? A2 , A3?,?A2 , A5 ?,?A2 , A6 ?,?A2 , A8 ?,?A3 , A5 ?,?A3 , A6 ?, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? A3 , A8?,? A5 , A6 ?,?A5 , A8 ?,?A6 , A8 ? ,共 15 种. ·
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? A1 , A2 ?,? A1 , A5?,? A2 , A5 ? ,共 3 种, ·

其中综合指标 w ? 4 有: A1 , A2 , A5 ,共 3 名,事件 A 发生的所有可能结果为: 所以 P( A) ?

3 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? .· 15 5 19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,以及几何体的体积等基础知识,考查空间想象 能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.满分 12 分. 证明:(Ⅰ)连结 BD . 因为 ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,且 AB ? BC ? 2 , 所以四边形 ABCD 是正方形, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 所以 AC ? BD . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 因为在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, D1 C1 BB1 ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD , P A1 B1 所以 AC ? BB1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 因为 BD ? 平面 BB1 D1 D , BB1 ? 平面 BB1 D1 D , 且 BD BB1 ? B , 所以 AC ? 平面 BB1 D1 D .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
D C 因为 BP ? 平面 BB1 D1 D , 所以 AC ? BP · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 A B (Ⅱ)点 P 到平面 ABC 的距离 AA1 ? 4 , 1 ?ABC 的面积 S?ABC ? ? AB ? BC ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 1 1 8 所以 VP ? ABC ? S?ABC ? AA1 ? ? 2 ? 4= . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 3 3 在 Rt△ BB1 P 中, BB1 ? 4, B1 P ? 2 ,所以 BP ? 3 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
2 1 同理 CP ? 3 2 .又 BC =2 ,所以 ?PBC 的面积 S?PBC ? ? 2 ? 3 2 ? 12 ? 17 .· · · · · 10 分 2 设三棱锥 A ? PBC 的高为 h ,则 1 8 因为 VA? PBC ? VP ? ABC ,所以 S PBC ? h ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 3 3 17 8 8 17 h ? ,解得 h ? 所以 . 3 3 17 8 17 即三棱锥 A ? PBC 的高为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 17 20.本小题主要考查数列、等差数列、等比数列、不等式等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、 应用意识,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分 12 分. 解:(Ⅰ)设第 n 年初 M 的价值为 a n , 1 依题意,当 1 剟n 3 时,数列 ?an ? 是首项为 20,公比为 的等比数列, 2 n ?1 ?1? 所以 an ? 20 ? ? ? ? 5 ? 23? n .故 a2 ? 10 , a3 ? 5 ,所以 a3 ? a2 ? a1 . ?2? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 当 n …4 时,数列 ?an ? 是以 a 4 为首项,公差为 4 的等差数列,又 a4 ? a3 ? 4 ? 9 ,所以

? ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 an ? 9 ? ? n ? 4? ? 4 ? 4n ? 7 . · 高三文科数学答案 -2- (共 6 页)

27 ,又因为 n ? N* ,所以 n …7 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 4 因此,第 7 年初 M 开始的价值 a n 超过原购买的价值.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 S (Ⅱ)设 Sn 表示前 n 年初 M 的价值的和,则 Tn ? n n n ? ?1? ? 20 ? ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? 3? n ? ? ? 40 ? 5 ? 23? n , T ? 40 ? 5 ? 2 ①; 由(Ⅰ)知,当 1 剟n 3 时, Sn ? n 1 n 1? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? n ? 3?? 9 ? 4n ? 7 ? ? 2n 2 ? 5n ? 32 当 n …4 时,由于 S3 ? 35 ,故 Sn ? S3 ? ? a4 ? a5 ? ... ? an ? ? 35 ? , 2 2n2 ? 5n ? 32 32 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 Tn ? ? 2n ? ? 5 .② · n n 35 当 1 剟n 3 时,由①得, T1 ? 20 , T2 ? 15 , T3 ? ,所以 T1 ? T2 ? T3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 3 32 32 32 ? 5 …2 2n ? ? 5 ? 11 ,当且仅当 2n ? 当 n …4 时,由②知, Tn ? 2n ? ,即 n ? 4 时等号成立.即 n n n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ?Tn ?min ? T4 ? 11 . ·
令 an ? 20 ,得 n ? 由于 T3 ? T4 ,故在第 4 年初 Tn 的值最小,其最小值为 11.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 21.本小题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分 12 分. e x ? m ? x ? e x e x (1 ? x) ? m x ? 解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? x ,所以 f ?( x) ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · 1分 (e x ? m) 2 (e x ? m) 2 e ?m m ? 0 ,· 由 x ? 1 是 f ( x) 的极值点,得 f ?(1) ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (e ? m) 2 解得 m ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 x 此时 f ( x) ? x ,经检验, x ? 1 是 f ( x) 的极值点. e 所以所求的实数 m 的值为 0. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 x e (1 ? x) ? 1 x (Ⅱ)证明:取 m ? ?1 时, f ( x) ? x ,此时 f ?( x) ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (e x ? 1) 2 e ?1 构造函数 h( x) ? ex (1 ? x) ? 1 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 所以 h?( x) ? e x (1 ? x) ? e x (?1) ? ? xe x 在 (0, ??) 上恒负, 所以 h( x) 在 (0, ??) 上单调递减, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 所以 h( x) ? h(0) ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 x 故 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立,说明 f ( x) ? x 在 (0, ??) 上单调递减. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 e ?1 b a 所以当 0 ? a ? b ? 1 时, b ,又因为 eb ? ea ? 1 ,所以 eb ? 1 ? 0,ea ? 1 ? 0 , ? e ? 1 ea ? 1 所以 b(ea ? 1) ? a(eb ? 1) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 所以 bea ? a ? aeb ? b 成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 22.本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、 数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分 14 分. 【解析】(Ⅰ)设椭圆 ? 的半焦距为 c ,则 c 1 ? ?e ? ? , a 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? ? AF ? a ? c ? 3, ? 高三文科数学答案 -3- (共 6 页)

解得 a ? 2, c ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 2 x y 所以椭圆 ? 的方程为 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ?1. · 4 3 (Ⅱ)方法一:依题意得, PQ 与坐标轴不垂直.设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? .因为点 Q 与点 Q? 关于 x 轴对称, 所以 Q? ? x2 , ? y2 ? .由(Ⅰ)讨论可知, A? 2,0? , F ? ?1,0? . 因为 PF∥AQ? ,所以直线 FQ 与直线 AQ ? 的斜率相等,故 解得 x2 ?
y2 ? y2 ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 x2 ? 1 x2 ? 2

1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 3 5 3 又因为点 Q ? x2 , y2 ? 在椭圆 ? 上,所以 y2 ? ,或 y2 ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 5.· 4 4 y 5 3 由椭圆对称性,不妨取 y2 ? . 5 ,则直线 PQ 的斜率 k ? 2 ? x2 ? 1 2 4
所以直线 PQ 方程为 y ?
5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? x ? 1? . · 2

? 5 7 3 5? ?y ? ? x ? 1? , 得点 P 坐标为 ? 由? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? ,? ? ? .· 2 ? 4 8 ? ?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12, ? ? ?

81 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 64 81 2 2 2 2 2 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 AQ? ? ? x2 ? 2? ? y2 ? ? x2 ? 2? ? k 2 ? x2 ? 2? ? 1 ? k 2 ? x2 ? 2? ? . · 16 1 所以 PF ? AQ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 2 方法二:依题意得, PQ 与坐标轴不垂直.
所以 PF ? ? x1 ? 1? ? y12 ? ? x1 ? 1? ? k 2 ? x1 ? 1? ? 1 ? k 2
2 2 2 2

?

? ? x ? 1?
1

2

?

?

?

设 l 方程为 y ? k ? x ? 1? ( k ? 0 ), P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? . 因为点 Q 与点 Q? 关于 x 轴对称,所以 Q? ? x2 , ? y2 ? . 又因为椭圆关于 x 轴对称,所以点 Q? 也在椭圆 ? 上. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
? y ? k ? x ? 1? , 由? 2 消去 y 得 3 ? 4k 2 x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . 2 ?3x ? 4 y ? 12,

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8k 2 4k 2 ? 12 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 因为 PF∥AQ? ,所以直线 AQ ? 的方程为 y ? k ? x ? 2? .
所以 ? ? 0, x1 ? x2 ? ?
? y ? k ? x ? 2? , 由? 2 消去 y 得 3 ? 4k 2 x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 . 2 ?3x ? 4 y ? 12,

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因为直线 AQ ? 交椭圆于 A ? 2,0? , Q? ? x2 , ? y2 ? 两点, 所以 2 ? x2 ?

16k 2 ? 12 8k 2 ? 6 ,故 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 x ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 8k 2 ? 6 8k 2 8k 2 ? 6 4k 2 ? 12 所以 ? ? 0, x1 ? x2 ? x1 ? , ?? , x1 ? x2 ? x1 ? ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 5 7 解得 k 2 ? , x1 ? ? . 4 4 8k 2 ? 6 1 所以 x2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? .· 3 ? 4k 2 2 81 2 2 2 2 2 所以 PF ? ? x1 ? 1? ? y12 ? ? x1 ? 1? ? k 2 ? x1 ? 1? ? 1 ? k 2 ? x1 ? 1? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 64 高三文科数学答案 -4- (共 6 页)

?

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2 AQ? ? ? x2 ? 2? ? y2 ? ? x2 ? 2? ? k 2 ? x2 ? 2? ? 1 ? k 2 2 2 2 2

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?? x

2

? 2? ?
2

81 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 16

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 AQ? . · 2 方法三:依题意,得 PQ 与坐标轴不垂直.
所以 PF ? 设 l 方程为 y ? k ? x ? 1? ( k ? 0 ), P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? . 因为点 Q 与点 Q? 关于 x 轴对称,所以 Q? ? x2 , ? y2 ? . 又因为椭圆关于 x 轴对称,所以点 Q? 也在椭圆 ? 上. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
? y ? k ? x ? 1? , 由? 2 消去 x 得 3 ? 4k 2 y 2 ? 6ky ? 9k 2 ? 0 . 2 3 x ? 4 y ? 12, ? 6k 所以 ? ? 0, y1 ? y2 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 3 ? 4k 2 因为 PF∥AQ? ,所以直线 AQ ? 的方程为 y ? k ? x ? 2? .

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? y ? k ? x ? 2? , 由? 2 消去 x 得, 3 ? 4k 2 y 2 ? 12ky ? 0 . 2 3 x ? 4 y ? 12, ? 因为直线 AQ ? 交椭圆于 A ? 2,0? , Q? ? x2 , ? y2 ? 两点,

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?12k 12k ,即 y2 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ?12? k 设 FP=? AQ? ( ? ? 0 ),则 ? x1 ? 1, y1 ? ? ? ? x2 ? 2, ? y2 ? ,所以 y1 ? ?? y2 ? .· · 11 分 3 ? 4k 2 12 ?1 ? ? ? k 6k 1 ? 所以 y1 ? y2 ? ,解得 ? ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 1 所以 FP ? AQ? ,即 PF ? AQ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 2 2 方法四:依题意,得 PQ 与坐标轴不垂直.
所以 ? y2 ? 设 l 方程为 y ? k ? x ? 1? ( k ? 0 ), P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? . 因为点 Q 与点 Q? 关于 x 轴对称,所以 Q? ? x2 , ? y2 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 因为 P, F , Q 三点共线,所以 FP ? ? x1 ? 1, y1 ? 与 FQ ? ? x2 ? 1, y2 ? 共线, 所以 ? x1 ? 1? y2 ? ? x2 ? 1? y1 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 因为 PF∥AQ? ,所以可设 FP=? AQ? ( ? ? 0 ),即 ? x1 ? 1, y1 ? ? ? ? x2 ? 2, ? y2 ? , 所以 x1 ? 1 ? ? ? x2 ? 2? , y1 ? ?? y2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 所以 ? ? x2 ? 2? y2 ? ? ? x2 ? 1? y2 ? 0 ,即 ? y2 ? 2x2 ? 1? ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 1 y2 x2 y 2 ?1 ? 因为点 Q ? , y2 ? 在椭圆 ? ? 1 上,所以 ? 2 ? 1 , 16 3 4 3 ?2 ? 3 3 解得 y2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 5 或 y2 ? ? 5 .· 4 4 3 由椭圆对称性,不妨取 y2 ? 5 ,则 OP ? OF ? FP ? ? ?1,0? ? ? ? x2 ? 2, ? y2 ? 4 3 3 x2 y 2 ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 1, ? 5? ? ,因为点 P ? ? ? ? 1, ? 5? ? 在椭圆 ? ? 1 上,所以 4 4 4 3 ? 2 ? ? 2 ?
依题意, y1 ? y2 ? 0 ,所以 x2 ?

? 3 ? ? 3 ? ? ? 2 ? ? 1? ? ? 4 5? ? ? ? ?? ? ? 1 ,解得 4 3

2

2

??

1 或 ? ? ?1 (舍去). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 2

高三文科数学答案 -5- (共 6 页)

1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 AQ? ,即 PF ? AQ? . · 2 2 方法五:依题意,得 PQ 与坐标轴不垂直.
所以 FP ? 设 l 方程为 y ? k ? x ? 1? ( k ? 0 ), P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? . 因为点 Q 与点 Q? 关于 x 轴对称,所以 Q? ? x2 , ? y2 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 直线 PQ ? 过定点 M ? ?4,0? ,理由如下: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
? y ? k ? x ? 1? , 由? 2 消去 y 得 3 ? 4k 2 x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . 2 3 x ? 4 y ? 12, ? 8k 2 4k 2 ? 12 所以 ? ? 0, x1 ? x2 ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ?24k 所以 x2 y1 ? x1 y2 ? x2 ? k ? x1 ? 1? ? x1 ? k ? x2 ? 1? ? 2kx1 x2 ? k ? x1 ? x2 ? ? , 3 ? 4k 2 6k .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 y1 ? y2 ? k ? x1 ? 1? ? k ? x2 ? 1? ? k ? x1 ? x2 ? ? 2k ? 3 ? 4k 2 因为 MP ? ? x1 ? 4, y1 ? , MQ? ? ? x2 ? 4, ? y2 ? ,

?

?

?24k 24k ? ? 0, 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 所以 MP∥MQ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分

所以 ? x2 ? 4? y1 ? ? x1 ? 4? y2 ? ? x2 y1 ? x1 y2 ? ? 4 ? y1 ? y2 ? ?

所以 M , P, Q? 三点共线,即直线 PQ ? 过定点 M ? ?4,0? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 因为 F 为线段 AM 中点, PF∥AQ? ,所以 PF ?
1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 AQ? . · 2

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