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2012年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题


2012 年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题
一.填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分) 1.已知非空集合 A ? ?1,2,?,2012? ,且满足:当 a ? A 时,有 2013 ? a ? A ,则符合题意的集合 A 共有

????? ??
2.已知 P ? a, b ? 关于直线 l 的对称点为 P? ? b

? 1, a ? 1? ,则园 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 0 关于直线 l 对称的园

C? 的标准方程为 ? x ? 2? ? ? y ? 2? ? 10
2 2

3.已知分段函数 f ? x ? ? ? 是程 ? ??, 2 ?

?3? x , x ? 0 ? ,若 f ? x ? ? x ? a 有且仅有三个实数解,则实数 a 的取值范围 ? f ? x ? 1? , x ? 0 ?

4.设 a , b 分别是方 log513 x ? x ? 2012 ? 0 和 513x ? x ? 2012 ? 0 的根,则 a ? b ? 2012 5.已知四面体 A ? BCD 中, AB ? CD ? 2 13, BC ? AD ? 41, AC ? BD ? 61, 则该四面体的体积是 40 6.定义 A * B ? ?

?C ? A? ? C ? B ? , C ? A? ? C ? B ? ? , 已知 A ? ?1,2? , B ? x | x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,其中 C ? A ? 表示集 ?C ? B ? ? C ? A? , C ? A? ? C ? B ? ?

?

?

合 A 中元素的个数,若 A* B ?1 ,由 a 的所有可能值构成的集合是 S ,那么 C ? S ? ? 3 7.已知正三棱锥 P ? ABC 的侧棱长为 3 ? 1 ,底面边长为 2 ,Q 是侧棱 PA 的中点,一条折线从点 A 出发,绕侧面一周到点 Q ,则这条折线长度的最小值是

1 5? 2

5

8.已知函数 y ? f ? x ? 的定义域是 D ,若对于任意的 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则称函数

f ? x? 在

D

上 为 非 减 函 数 , 设 函 数 y? f ?

? x 在 ?0,1?
?1? f ? ?? ? 3?

上 为 非 减 函 数 , 满 足 条

?x? 1 件:? f (0) ? 0 ;? f ? ? ? f ? x ? ;? f ?1 ? x ? ? 1 ? f ? x ? , 则 ?3? 2

? 1 ? 65 f? ?? ? 2012 ? 128

9.(选做题). (必修 3) 6 个产品中有 4 个正品和 2 个次品,现每次取出一个作检查(检查完后不放回),直到 2 个次品 在 都找到为止,则恰好经过 4 次检查将 2 个次品全部找到的概率是

4 15 1 2

(必修 4)如图 1 所示,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,P 是以 A 为圆心,AB 为半径的圆弧 BD 上的任 意一点,设向量 AC ? ? DE ? ? AP ? ?, ? ? R ? , 则 ? ? ? 的最小值是

??? ?

??? ?

??? ?

10.已知 m ? N ,且函数 f ? x ? ? 2x ? m 10 ? x ? m ? 10 存在整数零点,则符合题意的一切 m 的取值构成 的集合是

?0,3,14,30?

二、(本题满分 20 分) 如图 2 所示, KL 和 KN 是 ? C 的两条切线,其中, L, N 为切点.在 KN 的延长线上 取一点 M , ?KML 的外接圆与 ? C 的另一交点为 P , ML 和 ? C 的另一交点为 R ,延长 PR 交 MK 于 T .过 N 作 NQ ? ML 于 Q ,连接 QP . 证明:(1) ?MTR ∽ ?PTM ; (2) ?MPQ ? 2?KML.

证明:(1) 连接 PL. 因为 KL 为切线,所以 ?KLM ? ?RPL. ? ?TMP ? 180? ? ?KLP ? 180? ? ?KLM ? ?PLM ? 180? ? ?RPL ? ?PLR ? ?LRP ? ?TRM ; ?MTR ? ?PTM .??MTR ∽ ?MTP. (2) 连 接 TQ , 由 (1) 知 , ?MTR ∽ ?PTM ; ?TM 2 ? TR ? TP. 由 于 TN 为 ? C 的 切 线 , 则

TN 2 ? TR ? TP,?TM ? TN . ? NQ ? ML, ?T 是 ?MNQ 的斜边中点,?TQ2 ? TN 2 ? TR? TP
? ?TRQ ∽ ?TPQ ? ?TPQ ? ?TQR ? ?KML ? ?MPQ ? 2?KML.
三.(本题满分 20 分) 如图 3 所示,已知单位正方体 ABCD ? EFGH 的棱长 AD 和 BC 上分别有动点 Q,P..若直线 PQ 和 BD 交于点 N,直线 GQ 和平面 BDE 交与点 M,BE 的中点是 S,设 AQ= x ? ? ? x ??? , MN=y.(1) 求证:D,M,S 三点共线;(2)求 y 的最小值关于 x 的解析式. 证明: (1)连接 AF, DG.因为点 Q 在边 AD 上,所以直线 GQ 在平面 ADGF 内.又因为直线 GQ 和平面 BDE

交与点 M,所以 M 是平面 ADGF 和平面 BDE 的交点.而 BE 的中点是 S,故 S 是 AF 的中点,所以 S 是平面 ADGF 和平面 BDE 的交点.显然 D 是平面 ADGF 和平面 BDE 的交点,因此 D,M,S 三点共线. (2)过 M 作 MN ? ? BD 于 N? ,连接 QN? 并延长交直线 BC 于点 P? ,取点 P? 为 P,点 N? 为 N,此 时 y=MN 最小。连接 DS(经过点 M )并延长交 GF 的延长线于 T,连接 TE,则 TE // BD。记 E(也就是 T)

到直线 BD 的距离为 d。由于 ?BDE 是边长为 ? 的正三角形,故 d ? 2 ?

3 6 ? , 2 2

?

6 ?1 ? x ? MN DM 1 ? x DM 1 ? x ? ? ?y? ? ,? ? 0 ? x ? 1? 。 d DT 3 ? x 2 ?3 ? x ? MT 2
四、 (本题满分 20 分) (必修 3) 函数 f ? x ? ? log 2 4 ? 16 ? x 2 (1) 求函数的值域; 若在区间 ? ?4,1? (2) .

?

?

上随机取一个数 a,求方程 f 2 ? x ? ? af ? x ? ? 1 ? 0 有实数根的概率。 解: ?1? ? 2,3? 。 (2)设 f(x)=t,则 t 2 ? at ? 1 ? 0 在 ? 2,3? 上有实根。由于两根之积为 1,故该方程在 ? 2,3? 上仅有一根。

10 5 ? 1 10 5 设 g ? t ? ? t 2 ? at ? 1 ,? g ? 2? g ? 3? ? 0, ? ? a ? ? 。故概率是 3 2 ? . 5 6 3 2
? ?? (必修 4)已知对于任意的 x ? ? 0, ? ,sin x ? x 恒成立,利用此结论证明: (1)存在唯一的实数对 ? c, d ? , ? 2? ? ?? 其中 c, d ? ? 0, ? ,使 sin(cosc)=c,cos(sind)=d 成立; (2)在(1)的条件下证明:c<d。 ? 2? ? ?? 证明: (1)构造函数 f ( x) ? sin(cos x) ? x, g ( x) ? cos(sin x) ? x, x ? ? 0, ? . ? 2?

? ? ? ? f (0) ? sin1 ? 0, f ( 2 ) ? ? 2 ? 0 ? ?? ? ,因此由零点定理知:存在 c, d ? ? 0, ? , ?? ? 2? ? g (0) ? 1 ? 0, g ? ? ? ? cos1 ? ? ? 0 ? ? ? 2 ?2? ?

? ?? f (c) ? 0, g (d ) ? 0. 由复合函数的单调性知 f ( x), g ( x) 在 ? 0, ? 上单调递减。因此存在唯一的实数对 ? 2?

? c, d ? ,其中 c, d ? ? 0, ?
?

??

? ,使 sin(cos c) ? c,cos(sin d ) ? d . 2?

? ?? ? ?? (2)? cos(sin d ) ? d ,?sin(cos(sin d )) ? sin d . ? d ? ? 0, ? ,? sin d ? ? 0,1? ? ? 0, ? , 由(1)中的唯一 ? 2? ? 2?
性知, c ? sin d . 而 sin d ? d , 因此 c ? d .

?1, x ? 0 ? 五、 (本题满分 20 分)函数 sgn( x) ? ?0, x ? 0 , f ( x) ? x3 ? x ? log 2 ( x 2 ? 1 ? x). ??1, x ? 0 ?
(1)求证:函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数; (2)对于任意实数 a, b(a ? b ? 0) ,求

? f ? a ? ? f ?b? ? sgn ? ? . 的值。 3 3 ? a ?b ?
解: (1)? x 2 ? 1 ? x ? x,? f ( x) 的定义域是 R。

? f ( ? x) ? ? ? x ? ? ? ? x ? ? log 2
3

? ? x ? x ? log 2
3

? ?

x2 ? 1 ? x
2

??

?

??x?

2

?1 ? ??x?

x2 ? 1 ? x

?

?

x ?1 ? x 1 x2 ? 1 ? x x2 ? 1 ? x
3

? ? x 3 ? x ? log 2 ? ? x 3 ? x ? log 2

?

? ? ? ? f ( x) ? f ( x) ? x ? x ? log ? x ? 1 ? x ?
2 2

? f ( x) 是定义在 R 是的奇函数。

? x ? ? x ? log ?
(2)

( x ? ? 1 ? x)( x ? ? 1 ? x)

? x ? ? x ? log ?

?

x? ? 1 ? x x? ? 1 ? x .

?

因此 f ( x) 在 ?0,?? ? 上显然递增。由于 f ( x) 是定义在 R

的奇函数,因此函数 f ( x) 在 R 上是递增的。

?

a3 ? b 3 2 b ? ?b 2 ? ? a ? ab ? b2 ? ? a ? ? ? ?0 a?b 2? ? ?

2

? f ? a ? ? f ?b ? ? ? f ? a ? ? f ?b ? ? ?sgn ? ? ? sgn ? ?. ? ? a?b ? a ?b ? ? ?

? a ? b ? 0 ? a ? ?b ? f ? a ? ? f ? ?b ? ? f ? a ? ? ? f ? b ? ? f ? a ? ? f ? b ? ? 0; a ? b ? 0 ? a ? ?b ? f ? a ? ? f ? ?b ? ? f ? a ? ? ? f ? b ? ? f ? a ? ? f ? b ? ? 0. ? f ? a ? ? f ?b ? a?b ? f ? a ? ? f ?b ? ? ? f ? a ? ? f ?b ? ? ? 0,? sgn ? ? ? sgn ? ? ? 1. ? ? a?b ? a ?b ? ? ?


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