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上海市位育中学2014-2015学年高二数学上学期期中试题(新)


位育中学 2014 学年第一学期高二年级期中考试数学试卷
一、填空题(本大题满分 42 分,每小题 3 分) 1.已知矩阵 A ? ?

? 2 ?5 ? ? 1 10 ? ?,B ?? ? ,则 A?2B=_______________. ?9 1 ? ? ?2 1 ?

2.下列关于算法的说法,正确的序号是_______________. (1) 一个问题的算法是唯一的; (2) 算法的操作步骤是有限的; (3) 算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义; (4) 算法执行后一定产生确定的结果.
4 2 k 3.三阶行列式 ?3 5 4 第 2 行第 1 列元素的代数余子式的值为?10,则 k=_______________. ? 1 1 ?2

4.已知直线 l 的倾斜角为?,则直线 l 的一个方向向量为_______________. ??? ? ? ??? ? ? ???? ? ???? 5.O 为平行四边形 ABCD 内一点,已知 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,则 OD ?_______________. 6.已知直线 l 的倾斜角是直线 y?2x ?3 倾斜角的 2 倍,则直线 l 的斜率为_______________. 7.在数列 {an } 中, a1 ? 2 且
1 an ?1 3 ? 0 ,若 S n 是 {an } 的前 n 项和,则 lim S n ?_______________. n?? an

? ? ? ? 8.已知 a ? (?2, ?1), b ? ( ?,1) ,若 a 与 b 夹角为钝角,则实数?取值范围是_______________. ??? ? ??? ? 9.?ABC 的 AB 边中点为 D,AC?1,BC?2,则 AB ? CD 的值为_______________.
10.直线 ax?by?ab(a>0,b<0)不经过第_______________象限. 11.点(a,b)在直线 x?2y?1?0 上,则 a ?b 的最小值为_______________.
2 2

12.已知向量 a ? (cos

?

? 3x 3x x x ,sin ) , b ? (cos , ? sin ) , x ? [0, ? ] , 2 2 2 2
B

则 a?b 的 C

? ?

取值范围为_______________. ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? O A OA 与 OC 的 13. 如图, 平面内有三个向量 OA 、OB 、OC , 其中 OA 与 OB 的夹角为 120?, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 夹角为 30?,且 | OA |?| OB |? 1 , | OC |? 2 3 ,若 OC ? xOA ? yOB( x, y ? R) ,则(x,y)?___________. 14.设 a,, b c 是平面内互不平行的三个向量, x ? R ,有下列命题: ①方程 ax2 ? bx ? c ? 0 不可能有两个不同的实数解; ②方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实数解的充要条件是 b 2 ? 4a ? c ? 0 ;

? ? ?
? ?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

? b ?2 2 ? ? ?2 ③方程 a x ? 2a ? bx ? b ? 0 有唯一的实数解 x ? ? ? ; a ? ? ? ? ④方程 a 2 x2 ? 2a ? bx ? b 2 ? 0 没有实数解.
其中真命题有_______________.(写出所有真命题的序号)
1

二、选择题(本大题满分 12 分,每小题 3 分) 15.有矩阵 A3?2 、 B2?3 、 C3?3 ,下列运算可行的是 A.AC B.BAC C.ABC D.AB?AC ( ) ( )

16.下列命题中,正确的是 ? ? ? ? ? ? A.若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ? ? ? ? ? ? C.若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b

? 2 ?2 ? ? ? ? B.若 a / / b ,则 a ? b ? (a ? b)2
? ? ? ? D.若 a / / b ,则存在实数 k,使 b ? ka

17.若直线 l1:mx?y?1?0,l2:4x?my?m?4?0,则“m?2”是“直线 l1? l2” 的 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件





??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 18.O 是?ABC 所在平面上的一点,若 PO ? ( PA ? PB ? PC ) (其中 P 为平面上任意一点) , 3

则点 O 是?ABC 的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心





三、解答题(本大题满分 46 分) 19. (本题满分 8 分)第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分. 若根据右面的框图,产生数列{an}. (1) 当 x0 ?
49 时,写出所产生数列的所有项; 65

开始 输入 A←x0 A←(4A?2)/(A?1) 打印 A A??1 No

(2) 若要产生一个无穷常数列,求 x0 的值.

20. (本题满分 8 分)第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分.
1 ? ? x? ? ?2 ? ? 1 ? ?m Q ? ? ? ,M ? ? ? ,N ? ? 已知矩阵 P ? ? ?, ?, 3 m ? m y m ? ? ? ? ? m ? 3? ? ?

Yes 结束 若

PQ?M?N.
(1) 写出 PQ?M?N 所表示的关于 x、y 的二元一次方程组; (2) 用行列式解上述二元一次方程组.

21. (本题满分 10 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题 y x

满分 6
2

分. 直角坐标系 xOy 中,点 A 坐标为(?2,0),点 B 坐标为(4,3),点 C 坐标为(1,?3),且 AM ? t AB (t ∈R) . (1) 若 CM⊥AB,求 t 的值; (2) 当 0≤ t ≤1 时,求直线 CM 的斜率 k 和倾斜角 θ 的取值范围.

???? ?

??? ?

22. (本题满分 10 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分. (1) 直线 kx?y?1?3k,当 k 变动时,所有直线都通过一个定点,求这个定点; ??? ? ??? ? (2) 过点 P(1,2)作直线 l 交 x、y 轴的 正半轴于 A、B 两点,求使 PA ? PB 取得最大值时,直线 l 的方程.

23. (本题满分 10 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 3 分,第 3 小题满分 3 分. ? ? ? ? 已知向量 u ? ( x, y) 与向量 v ? ( x ? y, x ? y) 的对应关系用 v ? f (u) 表示 . ? ? ? ? ? ? (1) 证明:对于任意向量 a 、 b 及常数 m、n,恒有 f (ma ? nb) ? mf (a) ? nf (b) ; ? ? ? (2) 证明:对于 任意向 量 a , | f (a) |? 2 | a | ; ? ? ? ? ? ? (3) 证明:对于任意向量 a 、 b ,若 a ? b ,则 f (a) ? f (b) .

3

参考答案及评分标准 2014-11-14 一、填空题(本大题满分 42 分,每小题 3 分)
? 0 ?25 ? 1. ? ? ?13 ?1 ?

2.(2),(3),(4)
? ? ? 5. a ? c ? b

3.?14
4 3

4.(cos?,sin?)

6. ?
3 2

7.3

1 8. (? ,2) ? (2, ??) 2

9.

10.四 13.(4,2)

11.

1 5

12.[0,2]

14.①, ④

二、选择题(本大题满分 12 分,每小题 3 分) 15.C 16.B 17.D 18.C

三、解答题(本大题满分 46 分) 19. (本题满分 8 分) 解:(1) a1 ?
11 1 , a2 ? , a3 ? ?1 . 19 5
4an ? 2 ? an ,得 x0?1,或 x0?2. an ? 1

3分 8分

(2) 由 an ?1 ?

20. (本题满分 8 分)
? mx ? y ? ? ?1 ? ?mx ? y ? ?1 解:(1) 由 PQ?M?N,得 ? ; ??? ? ,方程组为 ? ? 3mx ? my ? ? 2m ? 3 ? ?3mx ? my ? 2m ? 3

3分

(2) D ?

m 1 ? ?m(m ? 3) , 3m ?m

Dx ?

?1 1 m ?1 ? ?(m ? 3) , Dy ? ? 2m(m ? 3) 2m ? 3 ? m 3m 2m ? 3

5分

1 ? ?x ? 1?当 m≠0,且 m≠?3 时,D≠0,方程组 有唯一解 ? m ; ? ? y ? ?2
2?当 m?0 时,D?0,但 Dx≠0,方程组无解;
?x ? t 3?当 m ??3 时,D?Dx?Dy?0,方程组有无穷多解 ? (t?R). ? y ? 3t ? 1

8分

4

21. (本题满分 10 分) ??? ? ???? ? ??? ? 解:(1) AB ? (6,3) , AM ? t AB ? (6t ,3t ) , ???? ???? ? ???? ? ??? ? AC ? (3, ?3) , CM ? AM ? AC ? (6t ? 3,3t ? 3) ,
???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 1 ∵ CM ? AB ,∴ CM ? AB ? 45t ? 9 ? 0 ,∴ t ? ; 5

4分

(2) 点 M 在线段 AB 上,AC 的斜率 k1??1,AB 的斜率 k2?2, ∴k??1,或 k?2, 8分 10 分

? ?[arctan 2,

3? ]. 4

(2) 另解:当 t ?

1 时,CM 的斜率不存在; 2

3 t ?1 1 1 1 1 ? ? 2 在区间 [0, ) 和 ( ,1] 单调递减, 当 t ? 时,CM 的斜率 k ? 2t ? 1 2 2t ? 1 2 2 2

7分 10 分

∴k?(??.,?1]?[2,??], ? ?[arctan 2,

3? ]. 4

22. (本题满分 10 分) 解: (1) 对任意的实数 k,(3,1)是直线方程 y?1?k(x?3)的解,∴定点坐标为(3,1); 4 分
2 (2) 直线 l 的斜率存在,设 l:y?2?k(x?1),则 A(1 ? ,0) ,B(2?k,0), k

? 2 ?1 ? ? 0 由? k ,的 k<0, ? ?2 ? k ? 0

6分

??? ? ??? ? 2 PA ? (?1, ?k ) , PB ? (? , ?2) , k
??? ? ??? ? 2 1 PA ? PB ? ? 2k ? ?2(?k ? ) ? ?4 , k ?k

8分

当且仅当 ?k ?

??? ? ??? ? 1 ,即 k??1 时, ( PA ? PB)max ? ?4 , ?k
10 分
5

此时,直线 l 的方程为 y?2??(x?1),即 x?y?3?0.

23. (本题满分 11 分) ? ? ? ? 证:(1) 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 ma ? nb ? m( x1 , y1 ) ? n( x2 , y2 ) ? (mx1 ? nx2 , my1 ? ny2 ) ? ? ∵ f (ma ? nb) ? (mx1 ? nx2 ? my1 ? ny2 , mx1 ? nx2 ? my1 ? ny2 ) ? ? mf (a) ? nf (b) ? m( x1 ? y1 , x1 ? y1 ) ? n( x2 ? y2 , x2 ? y2 )
? (mx1 ? my1 ? nx2 ? ny2 , mx1 ? my1 ? nx2 ? ny2 )

? ? ? ? ∴ f (ma ? nb) ? mf (a) ? nf (b) ; ? ? (2) ∵ | f (a) |2 ?| ( x1 ? y1 , x1 ? y1 ) |2 ? ( x1 ? y1 )2 ? ( x1 ? y1 )2 ? 2( x12 ? y12 ) ? 2 | a |2 ? ? ∴ | f (a) |? 2 | a | ; ? ? ? ? (3) 由 a ? b ,得 a ? b ? 0 ,由(1),(2)结论可得 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? ? ? | f (a) ? f (b) |2 ?| f (a ? b) |2 ? 2 | a ? b |2 ? 2(a ? 2a ? b ? b ) ? 2 | a |2 ?2 | b |2 ?| f (a) |2 ? | ? ? ? ? ∴ f (a) ? f (b) ? 0 , f (a) ? f (b) .

4分

7分

? f (b) |2
10 分

6


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