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新人教版八上数学培优讲义(15讲)


第一讲
考点?方法?破译

三角形

1.了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线),会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2.知道三角形两边的和大于第三边,两边之差小于第三边. 3.了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4.掌握三角形三内角和等于 180° ,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5.会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题. 6.会从复杂的图形中找到基本图形,从而寻求解决问题的方法.

经典?考题?赏析
【 例1 】若的三边分别为 4 , x , 9 ,则 x 的取值范围是 ______________ ,周长 l 的取值范围是 ______________ ;当周长为奇数时,x=______________. 【变式题组】 1.若△ABC 的三边分别为 4,x,9,且 9 为最长边,则 x 的取值范围是______________,周长 l 的取值范 围是______________. 2.设△ABC 三边为 a,b,c 的长度均为正整数,且 a<b<c,a+b+c=13,则以 a,b,c 为边的三角形,共 有______________个. 3.用 9 根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形(不许折断)并全部用完,能摆出不同形状的三角形个数 是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 【例2】已知等腰三角形的一边长为 18cm,周长为 58cm,试求三角形三边的长.

【变式题组】 1.已知等腰三角形两边长分别为 6cm,12cm,则这个三角形的周长是( ) A.24cm B.30cm C.24cm 或 30cm D.18cm 2.已知三角形的两边长分别是 4cm 和 9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( ) A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm 3.等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成 12 和 10 两部分,则此等腰三角形的腰长为 ______________. 【例3】 如图 AD 是△ABC 的中线, DE 是△ADC 的中线, EF 是△DEC 的中线, FG 是△EFC 的中线, 若 S△ GFC 2 =1cm ,则 S△ ABC=______________.
A E G B D F C

1

【变式题组】 1.如图,已知点 D、E、F 分别是 BC、AD、BE 的中点,S△ ABC=4,则 S△ EFC=______________.
A E F B D (第 1题图 ) C
B D (第 2题图 ) E F C A

A

D

F B (第 3题图 ) E C

2.如图,点 D 是等腰△ABC 底边 BC 上任意一点,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,若一腰上的高为 4cm,则 DE+DF=______________. 3.如图,已知四边形 ABCD 是矩形(AD>AB) ,点 E 在 BC 上,且 AE=AD,DF⊥AE 于 F,则 DF 与 AB 的数量关系是______________. 【例4】已知,如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =______________.
A E

B C (例 4题图 )

D

【变式题组】 1.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =______________. 2.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F=______________. 3.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F =______________. A A
D B (第 1题图 ) E C

A D

B E F (第 3题图 )

E D B (第 2题图 ) F C

C

【例5】如图,已知∠A=70° ,BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB.则∠BOC = ______________.
A O B C

2

【变式题组】 1.如图,∠A=70° ,∠B=40° ,∠C=20° ,则∠BOC=______________.
A O B (第 1题图 ) C

A P O B (第 3题图 ) C

3.如图,∠O=140° ,∠P=100° ,BP、CP 分别平分∠ABO、∠ACO,则∠A=______________. 【例6】如图,已知∠B=35° ,∠C=47° ,AD⊥BC,AE 平分∠BAC,则∠EAD=______________.
A

B

ED (例 6题图 )

C
A D F

【变式题组】 1.(改)如图,已知∠B=39° ,∠C=61° ,BD⊥AC,AE 平分∠BAC,则∠BFE =__________. 2.如图,在△ABC 中,∠ACB=40° ,AD 平分∠BAC,∠ACB 的外角平分线 交 AD 的延长线于点 P,点 F 是 BC 上一动点(F、D 不重合) ,过点 F 作 EF⊥BC 交于点 E,下列结论:①∠P+∠DEF 为定值,②∠P-∠DEF 为定值 中,有且只有一个答案正确,请你作出判断,并说明理由.

C

A

E (第 1题图 )

B

B

F D E

C G

P (第 2题图 )

B'

* 【例7】 如图, 在平面内将△ABC 绕点 A 逆时针旋转至△AB′C′, 使 CC′∥AB, 若∠BAC=70° ,则旋转角 α=______________.

C'

C

A

B

【变式题组】 1.如图,用等腰直角三角形板画∠AOB=45° ,并将三角板沿 OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点 M 逆时 针方向旋转 22° ,则三角板的斜边与射线 OA 的直角 α=______________.

3

A
B

E D α

α
A' B'

22° O M B (第 1题图 )
A O (第 2题图 )

A B (第 3题图 ) C

2.如图,在平面内将△AOB 绕点 O 顺时针旋转 α 角度得到△OA′B′,若点 A′在 AB 上时,则旋转角 α= ______________.(∠AOB=90° ,∠B=30° ) 3 .如图,△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着 AB 边, AC 边翻折 180° 形成的,若∠BAC = 130° ,则∠α= ______________.

演练巩固?反馈提高
1.如图,图中三角形的个数为( ) A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 2.如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是 ( )

A

B

D

E

C

G F A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 3. 有 4 条线段, 长度分别是 4cm, 8cm, 10cm, 12cm, 选其中三条组成三角形, 可以组成三角形的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.下列语句中,正确的是( ) A.三角形的一个外角大于任何一个内角 B.三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和 C.三角形的外角中,至少有两个钝角 D.三角形的外角中,至少有一个钝角 5.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 6.若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 7.如果等腰三角形的一边长是 5cm,另一边长是 9cm,则这个三角形的周长是______________. 8 .三角形三条边长是三个连续的自然数,且三角形的周长不大于 18 ,则这个三角形的三条边长分别是 ______________. 9. 如图, 在△ ABC 中, ∠A=42° , ∠B 与∠C 的三等分线, 分别交于点 D、 E, 则∠BDC 的度数是______________.

4

A
A

A 2

D E B (第 9题图 ) C
α

β γ (第 10题图)



E F


B

D (第 11题图 )

C

B

1

3 4 C D (第 12题图 )

10.如图,光线 l 照射到平面镜上,然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射,已知∠α=55,∠γ=75° ,∠β= ______________. 11.如图,点 D、E、F 分别是 BC、AD、BE 的中点,且 S△ EFC=1,则 S△ ABC=______________. 12.如图,已知: ∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63° ,则∠DAC=______________. 13. 如图, 已知点 D、 E 是 BC 上的点, 且 BE=AB, CD=CA, ∠DAE= 求∠BAC 的度数
B D E (第 13题图 ) C

1 ∠BAC, 3

A

培优升级?奥赛检测
1.在△ ABC 中,2∠A=3∠B,且∠C-30° =∠A+∠B,则△ ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.有一个角是 30° 的直角三角形 D.等腰直角三角形 B. C. 2.已知三角形的三边 a、b、c 的长都是整数,且 a≤b≤c,如果 b=7,则这样的三角形共有( A.21 个 B.28 个 C.49 个 D.54 个 3.在△ ABC 中,∠A=50° ,高 BE、CF 交于 O 点,则∠BOC=______________. 4.在等腰△ ABC 中,一腰上的高与另一腰的夹角为 26° ,则底角的度数为______________. 5.如图,BP 平分∠ABC 交 CD 于点 F,DP 平分∠ADC 交 AB 于点 E,若∠A=40° , A ∠C=38° ,则∠P= ______________.
P E F C

)

D G B

6.如图,已知 OABC 是一个长方形,其中顶点 A、B 的坐标分别为(0,a)和(9,a).点 E 在 AB 上 ,且 AE=

1 1 AB.点 F 在 OC 上 ,且 OF= OC,点 G 在 OA 上,且使△ GEC 的面积为 16,试求 α 的值. 3 3
y A E B

G O F C

x

5

7.如图,已知四边形 ABCD 中,∠A+∠DCB=180° ,两组对边延长后分别交于 P、Q 两点,∠P、∠Q 的 平分线交于 M,求证 PM⊥QM.
Q D C M A B P

第二讲
考点·方法·破译

全等三角形的性质与判定

1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同; 2.全等三角形性质:①全等三角形对应边相等,对应角相等;②全等三角形对应高、角平分线、中线 相等;③全等三角形对应周长相等,面积相等; 3.全等三角形判定方法有:SAS,ASA,AAS,SSS,对于两个直角三角形全等的判定方法,除上述方法外, 还有 HL 法; 4.证明两个三角形全等的关键,就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件,具体分析步骤是先 找出两个三角形中相等的边或角,再根据选定的判定方法,确定还需要证明哪些相等的边或角,再设法对它 们进行证明; 5. .证明两个三角形全等,根据条件,有时能直接进行证明,有时要证的两个三角形并不全等,这时需 要添加辅助线构造全等三角形,构造全等三角形常用的方法有:平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取 等等.

经典·考题·赏析
【例1】如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90° ,AB=CD,那么图中有全等三角形( A.5 对 B.4 对 C.3 对 D.2 对 ) A E 【变式题组】 1. (武汉 2011)下列判断中错误的是( ) A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D.有一边对应相等的两个等边三角形全等 D

B

F

C

6

2. (黄冈)已知命题:如图,点 A、D、B、E 在同一条直线上,且 AD=BE,∠A=∠FDE,则△ABC≌△ DEF.判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明;如果是假命题,请添加一个适 当条件使它成为真命题,并加以证明. C

A

D

B

E

F

3.(上海)已知线段 AC 与 BD 相交于点 O, 连接 AB、DC,E 为 OB 的中点,F 为 OC 的中点,连接 EF(如 图所示). ⑴添加条件∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,求证:AB=DC; ⑵分别将“∠A=∠D”记为①, “∠OEF=∠OFE”记为②, “AB=DC”记为③,添加①、③,以②为 结论构成命题 1;添加条件②、③,以①为结论构成命题 2.命题 1 是______命题,命题 2 是_______ 命题(选择“真”或“假”填入空格). A D O E F

B

C

【例2】已知 AB=DC,AE=DF,CF=FB. 求证:AF=DE.

A

D

C

E

F

B

【变式题组】 1.如图,AD、BE 是锐角△ABC 的高,相交于点 O,若 BO=AC,BC=7,CD=2,则 AO 的长为( A.2 B.3 C.4 D.5 A E B 第 2 题图 E A D C C



O B 第 1 题图 D

2.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90° ,AE 是过 A 点的一条直线,AE⊥CE 于 E,BD⊥AE 于 D, DE=4cm,CE=2cm,则 BD=__________. \
7

3. (孝感 2013)已知:如图,在△ABC 中,∠ ACB=90° ,CD⊥AB 于点 D,点 E 在 AC 上,CE=BC,过 点 E 作 AC 的垂线,交 CD 的延长线于点 F. 求证:AB=FC. F

B D A E C

【例3】如图①,△ABC≌△DEF,将△ABC 和△DEF 的顶点 B 和顶点 E 重合,把△DEF 绕点 B 顺时针方 向旋转,这时 AC 与 DF 相交于点 O. ⑴当△DEF 旋转至如图②位置,点 B(E) 、C、D 在同一直线上时,∠AFD 与∠DCA 的数量关系是 ________________; ⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时,⑴中的结论成立吗?请说明理由_____________. A C B D 图① A E B(E) F F O C 图② D B(E) C 图③ D A

F

【变式题组】 1. (绍兴 2013)如图,D、E 分别为△ABC 的 AC、BC 边的中点,将此三角形沿 DE 折叠,使点 C 落在 AB 边上的点 P 处.若∠CDE=48° ,则∠APD 等于( ) A.42° B.48° C.52° D.58° 2.如图,Rt△ABC 沿直角边 BC 所在的直线向右平移得到△DEF,下列结论中错误的是( ) A.△ABC≌△DEF B.∠DEF=90° C. AC=DF D.EC=CF C A D A E G D

P 第 1 题图

B

B

E

第 2 题图

C

F

3.一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两种三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如下图形式,使点 B、 F、C、D 在同一条直线上. ⑴求证:AB⊥ED; ⑵若 PB=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并证明.

8

A A E C E M F B B F C D P N

D

【例4】 (第 21 届江苏竞赛试题)已知,如图,BD、CE 分别是△ABC 的边 A C 和 AB 边上的高,点 P 在 BD 的延长线,BP=AC,点 Q 在 CE 上,CQ=AB. 求证:⑴ AP=AQ;⑵AP⊥AQ A E
1

P D

F Q

B

2 【变式题组】 1.如图,已知 AB=AE,∠B=∠E,BA=ED,点 F 是 CD 的中点,求证:AF⊥CD. A B E C

D C F 2. (湖州市竞赛试题)如图,在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离 MA 为 am, 此时梯子的倾斜角为 75° ,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子顶端距地面的垂直距离 NB 为 bm,梯子倾斜角为 45° ,这间房子的宽度是( ) A.

a?b m 2

B.

a ?b m 2
B

C.bm C

D.am

M N

D 75° 45° C 第 2 题图

A

B

A 第 3 题图

E

3.如图,已知五边形 ABCDE 中,∠ ABC=∠AED=90° ,AB=CD=AE=BC+DE=2,则五边形 ABCDE 的面积为__________

演练巩固·反馈提高
9

1. (海南 2011)已知图中的两个三角形全等,则∠α 度数是( A.72° B.60° C.58° D.50° 50° a c a α A/ B B/



A C O

A P B D 第 3 题图

58°

72° b 第 1 题图 c

第 2 题图

C

2.如图,△ACB≌△A/C/B/,∠ BCB/=30° ,则∠ACA/的度数是( ) A.20° B.30° C.35° D.40° 3.尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下:以 O 为圆心,任意长为半径画弧交 OA、OB 于 C、D,再分别以 点 C、D 为圆心,以大于

1 CD 长为半径画弧,两弧交于点 P,作射线 OP,由作法得△OCP≌△ODP 2

的根据是( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 4. (武汉 2012)如图,已知 AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC 的是( A. CB=CD B.∠BAC=∠DAC C. ∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90° D A B 第 4 题图 C C A 第 5 题图 B E D D N C 第 6 题图 E B 1 M 2 A



5.有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE,将它们的一个锐角顶点放在一起,将它们的一个锐 角顶点放在一起,如图,当 A、B、D 不在一条直线上时,下面的结论不正确的是( ) A. △ABE≌△CBD B. ∠ABE=∠CBD C. ∠ABC=∠EBD=45° D. AC∥BE 6.如图,△ABC 和共顶点 A,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E. BC 交 AD 于 M,DE 交 AC 于 N,小华说: “一定有△ABC≌△AED.”小明说: “△ABM≌△AEN.”那么( ) A. 小华、小明都对 B. 小华、小明都不对 C. 小华对、小明不对 D.小华不对、小明对 7 .如图,已知 AC = EC, BC = CD, AB = ED, 如果∠ BCA = 119 °,∠ ACD = 98 ° , 那么∠ ECA 的度数是 ___________. 8.如图,△ABC≌△ADE,BC 延长线交 DE 于 F,∠B=25°,∠ACB=105°,∠DAC=10°,则∠DFB 的度数为_______. 9.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90° , DE⊥AB 于 D, BC=BD. AC=3,那么 AE+DE=______

10

E

D A E C 第 7 题图 D F O A C B A D E 第 9 题图 C B B A E 第 10 题图

D

第 8 题图

C

B

10.如图,BA⊥AC, CD∥AB. BC=DE,且 BC⊥DE,若 AB=2, CD=6,则 AE=_____. 11.如图, AB=CD, AB∥CD. BC=12cm,同时有 P、Q 两只蚂蚁从点 C 出发,沿 CB 方向爬行,P 的速度 是 0.1cm/s, Q 的速度是 0.2cm/s. 求爬行时间 t 为多少时,△APB≌△QDC. A P Q D B

.

.
C

12.如图, △ABC 中,∠BCA=90°,AC=BC,AE 是 BC 边上的中线,过 C 作 CF⊥AE,垂足为 F,过 B 作 BD⊥BC 交 CF 的延长线于 D. A ⑴求证:AE=CD; D ⑵若 AC=12cm, 求 BD 的长. F B E C

13. (吉林)如图,AB=AC,AD⊥BC 于点 D,AD 等于 AE,AB 平分∠DAE 交 DE 于点 F, 请你写出图中 三对全等三角形,并选取其中一对加以证明. E F B D C A

14.如图,将等腰直角三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直线 l 上,从另两个顶点 A、B 分别作 l 的垂线,垂足 分别为 D、E. ⑴找出图中的全等三角形,并加以证明; E C D l ⑵若 DE=a,求梯形 DABE 的面积.(温馨提示:补形法) A B

15.如图,AC⊥BC, AD⊥BD, AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是 E、F.求证:CE=DF. C D

11

A

E

F

B

培优升级·奥赛检测
1.如图,在△ABC 中,AB=AC,E、F 分别是 AB、AC 上的点,且 AE=AF,BF、CE 相交于点 O,连接 AO 并延长交 BC 于点 D,则图中全等三角形有( ) A.4 对 B.5 对 C.6 对 D.7 对 A E O B D 第 1 题图 C O F D E B B A D F 2 第 3 题图 3 C A E A E 2 1 N F 第 6 题图 B C

1

M

C 第 2 题图

2.如图,在△ABC 中,AB=AC,OC=OD,下列结论中:①∠A=∠B ②DE=CE,③连接 DE, 则 OE 平 分∠AOB,正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 3.如图,A 在 DE 上,F 在 AB 上,且 AC=CE , ∠1=∠2=∠3, 则 DE 的长等于() A.DC B. BC C. AB D.AE+AC 4.下面有四个命题,其中真命题是( ) A.两个三角形有两边及一角对应相等,这两个三角形全等 B.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 5.在△ABC 中,高 AD 和 BE 所在直线相交于 H 点,且 BH=AC,则∠ABC=_______. 6.如图,EB 交 AC 于点 M, 交 FC 于点 D, AB 交 FC 于点 N,∠E=∠F=90° ,∠B=∠C, AE=AF. 给出 下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF; ③△ACN≌△ABM; ④CD=DB,其中正确的结论有___________. (填序号) 7.如图,AD 为在△ABC 的高,E 为 AC 上一点,BE 交 AD 于点 F,且有 BF=AC,FD=CD. ⑴求证:BE⊥AC; ⑵若把条件“BF=AC”和结论“BE⊥AC”互换,这个命题成立吗?证明你的判定. A F B E

D

C

8.如图,D 为在△ABC 的边 BC 上一点,且 CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 是△ABD 的中线. 求证:AC=2AE. A

B

E

D

C

12

9. 如图,在凸四边形 ABCD 中, E 为△ACD 内一点, 满足 AC=AD, AB=AE, ∠BAE+∠BCE=90° , ∠BAC =∠EAD.求证:∠CED=90° . B E D C

A

10.如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=180° . AH⊥AH 于 H,HA 的延长线交 DE 于 G. 求证:GD =GE. G D E A B C

H

第三讲
考点·方法·破译

角平分线的性质与判定

1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.角平分线的判定定理:角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3.有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.

经典·考题·赏析
【例1】如图,已知 OD 平分∠AOB,在 OA、OB 边上截取 OA=OB,PM⊥BD, O PN⊥AD.求证:PM=PN
1 2

B

M P A

3 4

D

N

13

【变式题组】 1.如图,CP、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM、∠CBN.求证:点 P 在∠BAC 的平分线上.
M C P

A

B N

2.如图,BD 平分∠ABC,AB=BC,点 P 是 BD 延长线上的一点,PM⊥AD,PN⊥CD.求证:PM=PN

A M B DN P C

【例2】 (天津竞赛题)如图,已知四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD,CE⊥AB 于点 E,且 AE=

D

C

1 (AB+AD),如果∠D=120°,求∠B 的度数 2

A

E

B

【变式题组】

S 1.如图,在△ABC 中,CD 平分∠ACB,AC=5,BC=3.求 ?ACD S?CBD
A

C

D

B

2.(河北竞赛)在四边形 ABCD 中,已知 AB=a,AD=b.且 BC=DC,对角线 AC 平分∠BAD,问 a 与 b 的 大小符合什么条件时,有∠B+∠D=180°,请画图并证明你的结论.

【例3】 如图, 在△ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC, BE 平分∠ABC, CE⊥BE.求证: CE=

1 BD 2
A

F E

1 2

D

3

B

C

14

【变式题组】 1.如图,已知 AC∥BD,EA、EB 分别平分∠CAB、∠DBA,CD 过点 E,求证:AB=AC+BD.

C A

E

D

B

2.如图,在△ABC 中,∠B=60°,AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线,AD、CE 相交于点 F. ⑴请你判断 FE 和 FD 之间的数量关系,并说明理由; B ⑵求证:AE+CD=AC.

E A

F

D C

演练巩固·反馈提高
1.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BD 平分∠ABC 交 AC 于 D,若 CD=n,AB=m,则△ABD 的面积 是( ) A.

1 mn 3

B.

1 mn 2

C. mn

D.2 mn

2.如图,已知 AB=AC,BE=CE,下面四个结论:①BP=CP;②AD⊥BC;③AE 平分∠BAC;④∠PBC =∠PCB.其中正确的结论个数有( )个 A. 1 B.2 C.3 D.4 3.如图,在△ABC 中,P、Q 分别是 BC、AC 上的点,作 PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是 R、S.若 AQ=PQ, PR=PS,下列结论:①AS=AR;②PQ∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是( ) A. ①③ B.②③ C.①② D.①②③ A A E B
A

P D
第2题图

R

A
P

B D
B
第1题图

C
A Q
第3题图

E
S C

F D
第4题图

C

E

B

C

C

第5题图

B

4.如图,△ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E、F,则下列四个结论 中:①AD 上任意一点到 B、C 的距离相等;②AD 上任意一点到 AB、AC 的距离相等;③AD⊥BC 且 BD=CD;④∠BDE=∠CDF.其中正确的是( ) A.②③ B.②④ C.②③④ D.①②③④ 5.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于 E 点, 则∠AEB 的度数为( ) A.50° B.45° C.40° D.35° 6.如图,P 是△ABC 内一点,PD⊥AB 于 D,PE⊥BC 于 E,PF⊥AC 于 F,且 PD=PE=PF,给出下列结 论:①AD=AF;②AB+EC=AC+BE;③BC+CF=AB+AF;④点 P 是△ABC 三条角平分线的交点. 其中正确的序号是( ) A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
15

7.如图,点 P 是△ABC 两个外角平分线的交点,则下列说法中不正确的是( ) A.点 P 到△ABC 三边的距离相等 B.点 P 在∠ABC 的平分线上 C.∠P 与∠B 的关系是:∠P+

1 1 ∠B=90° D.∠P 与∠B 的关系是:∠B= ∠P 2 2
A

A D P B E
第6题图

E
F CB

A C

A

K A
E

P F B
第8题图

D

Q N M

第7题图

C

E

C

第9题图

D

B

B

第10题图 C

8.如图,BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACE,BD 与 CD 相交于 D.给出下列结论:①点 D 到 AB、AC 的距离 相等;②∠BAC=2∠BDC;③DA=DC;④DB 平分∠ADC.其中正确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9.如图,△ABC 中,∠C=90°AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB 于 E,下列结论中:①AD 平分∠CDE; ②∠BAC=∠BDE;③ DE 平分∠ADB;④AB=AC+BE.其中正确的个数有( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.4 个 10.如图,已知 BQ 是∠ABC 的内角平分线,CQ 是∠ACB 的外角平分线,由 Q 出发,作点 Q 到 BC、AC 和 AB 的垂线 QM、QN 和 QK,垂足分别为 M、N、K,则 QM、QN、QK 的关系是_________ 11.如图,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,且 DB=DC.求证:BE=CF
E D B A F C

12.如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F.求证:AD⊥EF.
A

E B D

O

F C

培优升级·奥赛检测
1.如图,直线 l1、l2、l3 表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等, 则可选择的地址有( ) A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 2.已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于 D,若 BC=32,且 BD:CD=9:7,则 D 到 AB 边的距离为( ) A.18 B.16 C.14 D.12 3.如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是△ABC 的平分线,有一个动点 P 从 A 向 B 运动.已知:DC=3cm, DB=4cm,AD=8cm.DP 的长为 x(cm),那么 x 的范围是__________ E B A B A

l1 l2 l3
第1题图

C D

P C G D

F

E

O
第5题图

A

第3题图

P

B

第4题图

C

D

16

4.如图,已知 AB∥CD,PE⊥AB,PF⊥BD,PG⊥CD,垂足分别为 E、F、G,且 PF=PG=PE,则∠BPD =__________ 5.如图,已知 AB∥CD,O 为∠CAB、∠ACD 的平分线的交点,OE⊥AC,且 OE=2,则两平行线 AB、CD 间的距离等于__________ 6.如图,AD 平分∠BAC,EF⊥AD,垂足为 P,EF 的延长线于 BC 的延长线相交于点 G.求证:∠G= ACB-∠B)
A

1 (∠ 2

E B D

P

F C G

7.如图,在△ABC 中,AB>AC,AD 是∠BAC 的平分线,P 为 AC 上任意一点.求证:AB-AC>DB-DC
A P

B

D

C

8.如图,在△ABC 中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q 分别在 BC、AC 上,并且 AP、BQ 分别为∠ BAC、∠ABC 的角平分线上.求证:BQ+AQ=AB+BP
A Q

B

P

C

第四讲
考点·方法·破译

轴对称及轴对称变换

1.轴对称及其性质 把一个图形沿着某一条直线折叠, 如果它能够与另一个图形重合, 那么就说这两个图形关于这条直线成 轴对称,这条直线叫对称轴. 轴对称的两个图形有如下性质: ①关于某直线对称的两个图形是全等形; ②对称轴是任何一对对应点所 连线段的垂直平分线;③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称 轴上. 2.线段垂直平分线 线段垂直平分线也叫线段中垂线,它反映了与线段的两种关系:①位置关系——垂直;②数量关系——
17

平分. 性质定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 判定定理:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 3.当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高(或垂线) 、或求几条折线段的最小值等情况时,通 常考虑作轴对称变换,以“补齐”图形,集中条件.

经典·考题·赏析
【例1】 (兰州)如图所示,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打 3 个洞,则纸片展开后是( )

【变式题组】 1.将正方形纸片两次对折,并剪出一个菱形小洞后铺平,得到的图形是( )

2. (荆州)如图,将矩形纸片 ABCD 沿虚线 EF 折叠,使点 A 落在点 G 上,点 D 落在点 H 上;然后再沿虚 线 GH 折叠,使 B 落在点 E 上,点 C 落在点 F 上,叠完后,剪一个直径在 BC 上的半圆,再展开,则 展开后的图形为( )

【 例 2】 (襄樊)如图,在边长为 1 的正方形网格中,将△ABC 向右平移两个单位长度得到△A’B’C’, 则与点 B’关于 x 轴对称的点的坐标是( ) A. (0,-1) B. (1,1) C. (2,-1) D. (1,-1)

【变式题组】 1.若点 P(-2,3)与点 Q(a,b)关于 x 轴对称,则 a、b 的值分别是( ) A.-2,3 B.2,3 C.-2,-3 D.2,-3 2.在直角坐标系中,已知点 P(-3,2) ,点 Q 是点 P 关于 x 轴的对称点,将点 Q 向右平移 4 个单位得到点 R,则点 R 的坐标是___________. 3. (荆州)已知点 P(a+1,2a-1)关于 x 轴的对称点在第一象限,则 a 的取值范 围为___________.
18

【例 3】 如图,将一个直角三角形纸片 ABC(∠ACB=90°) ,沿线段 CD 折叠,使点 B 落在 B1 处,若∠ACB1 =70°,则∠ACD=( ) A.30° B.20° C.15° D.10° 【变式题组】 1. (孝感)如图,把一个长方形纸片沿 EF 折叠后,点 D、C 分别落在点 D’、C’的位置.若∠EFB=65°, 则∠AED’等于( ) A.70° B.65° C.50° D.25° 2.如图,△ABC 中,∠A=30°,以 BE 为边,将此三角形对折,其次,又以 BA 为边,再一次对折,C 点 落在 BE 上,此时∠CDB=82°,则原三角形中∠B=___________.

【例 4】如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,EF 是 AD 的垂直平分线,E 为垂足,EF 交 BC 的延长 线于点 F,求证:∠B=∠CAF.

【变式题组】 1.如图,点 D 在△ABC 的 BC 边上,且 BC=BD+AD,则点 D 在__________的垂直平分线上.

2.如图,△ABC 中,∠ABC=90°,∠C=15°,DE⊥AC 于 E,且 AE=EC,若 AB=3cm,则 DC= ___________cm. 3.如图,△ABC 中,∠BAC=126°,DE、FG 分别为 AB、AC 的垂直平分线,则∠EAG=___________. 4.△ABC 中,AB=AC,AB 边的垂直平分线交 AC 于 F,若 AB=12cm,△BCF 的周长为 20cm,则△ABC 的周长是___________cm. 【 例 5】 (荆州)如图,在 3?3 的正方形格点图中,有格点△ABC 和△DEF,且△ABC 和△DEF 关于某直 线成轴对称,请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF.
19

【变式题组】 1.如图,在 2?2 的正方形格点图中,有一个以格点为顶点的△ABC,请你找出格点图中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形,这样的三角形共有___________个. 2.如图甲,正方形被划分成 16 个 全等的三角形,将其中若干个三角形涂黑,且满足下列条件: ⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半; ⑵涂黑部分成轴对称图形。 如图乙是一种涂法,请在图 1-3 中分别设计另外三种涂法. (在所设计的图案中, 若涂黑部分全等,则认为是同一种不同涂法,如图乙与图丙)

【例 6】如图,牧童在 A 处放牛,其家在 B 处,若牧童从 A 处出发牵牛到河岸 CD 处 饮水后回家,试问在何处饮水,所求路程最短?

【变式题组】 1. (山西)设直线 l 是一条河,P、Q 两地相距 8 千米,P、Q 两地到 l 地距离分别为 2 千米、5 千米,欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站向 P、Q 两地供水.现在如下四种铺设管道方案,图中的实线表示辅设 的管道,则铺设的管道最短的是( )

20

2.若点 A、B 是锐角∠MON 内两点,请在 OM、ON 上确定点 C、点 D,使四边形 ABCD 周长最小,写出 你作图的主要步骤并标明你确定的点.

演练巩固·反馈提高
1. (黄冈) 如图, △ABC 与△A’B’C’关于直线 l 对称, 且∠A=78°, ∠C’=48°, 则∠B 的度数是 ( ) . A.48° B.54° C.74° D.78°

2. (泰州)如图,把一张长方形纸片对折,折痕为 AB,再以 AB 的中点 O 为顶点把平角∠AOB 三等分,沿 平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以 O 为顶点的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全 部展开铺平后得到的平面图形一定是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 3.图 1 是四边形纸片 ABCD,其中∠B=120°,∠D=50°,若将其右下角向内折出△PCR,恰使 CP∥AB, RC∥AD,如图 2 所示,则∠C=( ) A.80° B.85° C.95° D.110°

4.如图,阴影部分组成的图案既是关于 x 轴成轴对称的图形又是关于 y 轴成轴对称的图形,若点 A 的坐标 是(1,3) ,则点 M 和点 N 的坐标分别是( ) A.M(1,-3) ,N(-1,-3) B.M(-1,-3) ,N(-1,3) C.M(-1,-3) ,N(1,-3) D.M(-1,3) ,N(1,-3) 5.点 P 关于 x 轴对称的对称点 P’的坐标是(-3,5) ,则点 P 关于 y 轴对称的对称点的坐标是( ) A. (3,-5) B. (-5,3) C. (3,5) D. (5,3) 06.已知 M(1-a,2a+2)关于 y 轴对称的点在第二象限,则 a 的取值范围是( ) A.-1<a<1 B.-1≤a≤1 C.a>1 D.a>-1 7.如图,镜子中号码的实际号码是___________. 2 8.如图,正方形 ABCD 的边长为 4cm,则图中阴影部分的面积为___________cm . 9.已知点 A(2a+3b,-2)和 B(8,3a+2b)关于 x 轴对称,则 a+b=___________.

21

10.如图,在△ABC 中,OE、OF 分别是 AB、AC 中垂线,且∠ABO=20°,∠ABC=45°,求∠BAC 和∠ ACB 的度数.

11.如图,C、D、E、F 是一个长方形台球桌的 4 个顶点,A、B 是桌面上的两个球,怎样击打 A 球,才能 使 A 球撞击桌面边缘 CF 后反弹能够撞击 B 球?请画出 A 球经过的路线,并写出作法.

12.如图,P 为∠ABC 的平分线与 AC 的垂直平分线的交点,PM⊥BC 于 M,PN⊥BA 的延长线于 N.求证: AN=MC.

13. (荆州)有如图“

”的 8 张纸条,用每 4 张拼成一个正方形图案,拼成的正方形的每一行和每一

列中, 同色的小正方形仅为 2 个 , 且使每个正方形图案都是轴对称图形, 在网格中画出你拼成的图. (画 出的两个图案不能全等)

培优升级·奥赛检测
1. (浙江竞赛试题)如图,直线 l1 与直线 l2 相交,∠α =60°,点 P 在∠α 内(不 在 l1l2 上) .小明用下面的方法作 P 的对称点:先以 l1 为对称轴作点 P 关于 l1 的 对称点 P1,再以 l2 为对称轴作 P1 关于 l2 的对称点 P2,然后再以 l1 为对称轴作 P2 关于 l1 的对称点 P3,以 l2 为对称轴作 P3 关于 l2 的对称点 P4,??如此继续,得 到一系列 P1、P2、P3??Pn 与 P 重合,则 n 的最小值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2. (宜昌)已知:如图,AF 平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为 E,点 D 与点 A 关于点 E 对称,PB 分别与线段 CF、AF 相交于 P、M. ⑴求证:AB=CD; ⑵若∠BAC=2∠MPC, 请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系, 并说明理由.

22

3.在△ABC 中,∠BAC=90°,点 A 关于 BC 边的对称点为 A’,点 B 关于 AC 边的对称点为 B’,点 C 关于 AB 边的对称点为 C’,若 S△ABC=1,求 S△A’B’C’.

4.小王同学在小组数学活动中,给本小组出了这样一道“对称跳棋”题:如图,在作业本上画一条直线 l, 在直线 l 两边各放一粒围棋子 A、B,使线段 AB 长 a 厘米,并关于直线 l 对称,在图中 P1 处有一粒跳棋 子,P1 距 A 点 b 厘米、与直线 l 的距离 C 厘米,按以下程序起跳:第 1 次,从 P1 点以 A 为对称中心跳 至 P2 点;第 2 次,从 P2 点以 l 为对称轴跳至 P3 点;第 3 次,从 P3 点以 B 为对称中心跳至 P4 点;第 4 次,从 P4 以 l 为对称轴跳至 P1 点; ⑴画出跳棋子这 4 次跳过的路径并标注出各点字母; (画图工具不限) ⑵棋子按上述程序跳跃 2011 次后停下,假设 a=8,b=6,c=3,计算这时它与 A 的距离是多少?

5.d卵阋尩E渎雁银詫颠晗担珹、B 两点的坐标分别为 A(2,-3) ,B(4,-1) . ⑴若 P(p,0)是 x 轴上的一个动点,则当 p=___________时,△PAB 的周长最短; ⑵若 C(a,0) ,D(a+3,0)是 x 轴上的两个动点,则当 a=___________时 ,四边形 ABCD 的周长 最短; ⑶设 M、N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点,请问:是否存在这样的点 M(m,0) 、N(0,n) ,使四边形 ABMN 的周长最短?若存在,请求出 m=___________,n=___________(不必写解答过程) ;若不 存在,请说明理由.

23

第五讲
考点·方法·破译

等腰三角形

1.等腰三角形及其性质 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,等腰三角形是轴对称图形,因此它的性质有:⑴等腰三角形的 两个底角相等(即等边对等角) ;⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即等 腰三角形三线合一) 2.等腰三角形的判定 证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是:⑴从定义入手,证明一个三角形有两条边相等;⑵从角入 手,证明一个三角形有两个角相等,依据是等腰三角形判定定理;等角对等边. 3.构造等腰三角形的常用方法 ⑴角平分线+平行线=等腰三角形 ⑵角平分线+垂线(或高)=等腰三角形 ⑶线段中垂线构造等腰三角形 ⑷将 2 倍角转化为相等角构造等腰三角形
1 2 1 3 2
(1) (2) (3)

2 1
(4)

经典·考题·赏析
【例1】 等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 高 与 另 一 腰 所 成 的 夹 角 为 40 , 则 这 个 等 腰 三 角 形 的 底 角 为 ________________.
0

【变式题组】 1. (黄冈)在等腰⊿ABC 中,AB=AC,一边上的中线 BD 将这个三角形的周长分为 15 和 12 两个部分,则 这个等腰三角形的底边长为( ) A.7 B.11 C.7 或 11 D.7 或 10 2.(黄冈)在⊿ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到锐角为 500,则∠B= ___________度. 3.(襄樊)在⊿ABC 中,AB=AC=12cm,BC=6cm,D 为 BC 的中点,动点 P 从 B 点出发,以每秒 1cm 的速 度沿 B→A→C 的方向运动.设运动时间为 t,那么当 t=_________秒时,过 D、P 两点的直线将⊿ABC 的周长分成两个部分,使其中一部分是另一部分的 2 倍.

【例2】 如图,在⊿ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,AD=BD=BC,求∠A 的度数.

A

D B

C

24

【变式题组】 1.如图,在⊿ABC 中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB,求∠A 的度数.

2.如图,在⊿ABC 中,AB=AC,BC=BD= ED=EA,求∠A 的大小.

【例3】 已知坐标原点 O 和点 A(2,-2) ,B 是坐标轴上的一点.若⊿AOB 是等腰三角形,则这样的点 B 一共有( )个 A.4 B.5 C.6 D.8 【变式题组】 1.(海南竞赛试题)在平面直角坐标系 xOy 内,已知 A(3,-3) ,点 P 是 y 轴上一点,则使⊿AOP 为等腰三 角形的点 P 共有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 2.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是(1,0),点 B 的坐标是(0,错误!未找到引用源。 ) ,点 C 在 坐标平面内.若以 A、B、C 为顶点构成的三角形是等腰三角形,且底角为 30 度,则满足条件的点 C 有_________个.

A E P

D

B 第 2 题图 第 3 题图

C

3.(南昌)如图,已知长方形纸片 ABCD,点 E 是 AB 的中点,点 G 是 BC 上一点,∠BEG>600,现沿直线 EG 将纸片折叠,使点 B 落在纸片中的点 H 处,连接 AH,则与∠BEG 相等的角的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 B 4.如图所示,矩形 ABCD 中,AB=4,BC=错误!未找到引用源。 ,点 E 是折 M 线段 A-D-C 上的一个动点(点 E 与点 A 不重合) ,点 P 是点 A 关于 BE D 的对称点.在点 E 运动的过程中,使△PCB 为等腰三角形的点 E 的位置共 有( ) E A C A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
(例 4 题图)

25

【例4】 两个全等的含 30° ,60° 角的三角板 ADE 和三角板 ABC 如图所示放置,E,A,C 三点在一条直线 上,连结 BD,取 BD 的中点 M,连结 ME,MC.试判断△ EMC 的形状,并说明理由.

【变式题组】 1.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,P 是斜边 BC 的中点,以 P 为直角顶点的两边分别与边 AB、AC 交于点 E、F,当∠EPF 绕顶点 P 旋转时(点 E 不与 A、B 重合),⊿PEF 也始终是等腰三角形,请你说明理由.

2.如图,在等腰三角形 ABC 中,∠ACB=900,D 是 BC 的中点,DE⊥AB 垂足为 E,过点 B 作 BF∥AC 交 DE 的延长线于点 F,连接 CF 交 AD 于 G. ⑴求证:AD⊥CF; ⑵连接 AF,试判断⊿ACF 的形状,并说明理由.

3.如图,⊿ABC 中,∠ACB=900,AC=BC,CO 为中线.现将一直角三角板顶点放在点 O 上并绕点 O 旋转, 若三角板的两直角边分别交 AC、CB 的延长线于点 G、H. ⑴试写出图中除 AC=BC,OA=OB=OC 外其他所有相等的线段; ⑵请选一组你写出的相等线段给予证明.

26

【例5】 我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地,我们定义:至少有一组对边相等的 四边形叫做等对边四边形. ⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称; ⑵如图,在 △ ABC 中,点 D,E 分别在 AB, AC 上,设 CD, BE 相交于点 O ,若 ?A ? 60° ,

1 ?A .请你写出图中一个与 ?A 相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边形; 2 , AC ⑶ 在 △ ABC 中 , 如 果 ?A 是 不 等 于 60 ° 的 锐 角 , 点 D,E 分 别 在 A B 上,且 1 ?D C B? ? E B C ? ? A .探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论. 2 A ?DCB ? ?EBC ?

D
O

E

B

C

【变式题组】 1.如图,在错误!未找到引用源。ABC 中,∠B=2∠C,AD 为∠BAC 的平分线.求证:AC=AB+BD.

2.(天津初赛试题)如图,在四边形 ABCD 中,∠ACB=∠BAD=1050,∠ABC=∠ADC=450,若 AB=2, 求 CD 的长.

3.如图,在错误!未找到引用源。ABC 中,AB=AC,D 在 AB 上,F 在 AC 延长线上,BD=CF.求证 DE =EF.

【变式题组】
27

1.(重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为( A.200 B.1200 C.200 或 1200 D.3600 2. (云南)已知等腰三角形的两边分别为 6 和 3,则此等腰三角形周长为( ) A.9 B.15 C.15 D.12 或 15 3.(云南)如图,等腰错误!未找到引用源。ABC 的周长为 21,底边 BC=5,AB 的垂直 平分线 DE 交 AB 于点 D, 交 AC 于点 E, 则错误! 未找到引用源。 BEC 的周长为 ( ) A.13 B.14 C.15 D.16



4.如图,C、E 和 B、D、F 分别在∠GAH 的两边上,且 AB=BC=CD=DE=EF,若∠A=180,则∠GEF 的度数是( ) 0 A.80 B.900 C.1000 D.1080

5.如图,Rt 错误!未找到引用源。ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,角平分线 AE 交 CD 于 H,EF⊥AB 于 F,则下列结论中不正确的是( ) A.∠ACD=∠B B.CH=CE=EF C.CH=HD D.AC=AF 6.如图,错误!未找到引用源。ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 F,过点 F 作 DE∥BC 交 AB 于 点 D,交 AC 于点 E,那么下列结论:①错误!未找到引用源。BDF 和错误!未找到引用源。CEF 都是等 腰三角形;②DE=BD+CE;③错误!未找到引用源。ADE 的周长等于 AB 与 AC 的和;④BF=CF.其中 正确的有( ) A.①②③ B.①②③④ C.①② D.①

7.(武汉)如图,已知 O 是四边形 ABCD 内一点,OA=OB=OC, ∠ABC=∠ADC=700,则∠DAO+∠DCO 的大小是( ) A.700 B.1100 C.1400 D.1500 8. (滨州) 已知等腰错误! 未找到引用源。 ABC 的周长为 10, 若设腰长为 x, 则 x 的取值范围是____________. 0 9.如图所示,在错误!未找到引用源。ABC 中,已知 AB=AC,∠A=36 ,BC=2,BD 是错误!未找到引 用源。ABC 的角平分线,则 AD=___________.

10.(威海)如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=400,则∠ABD 的度数是_________.
28

11.(乌鲁木齐) 在一次数学课上,王老师在黑板上画出图 6,并写下了四个等式: ① AB ? DC ,② BE ? CE ,③ ?B ? ?C ,④ ?BAE ? ?CDE . 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件,推出 △ AED 是等腰三角形.请你试着完成王老师提 出的要求,并说明理由. (写出一种即可) 已知: 求证: △ AED 是等腰三角形. 证明: B A E C D

12. (泰安) 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置,图 2 是由它抽象出的几何图形,

B,C,E 在同一条直线上,连结 DC .
⑴请找出图 2 中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母) ; ⑵证明: DC ? BE . D

A B 图1 C 图2 E

培优升级·奥赛检测
1.如图,∠BAC 与∠CBE 的平分线相交于点 P,BE=BC,PB 与 CE 交于点 H,PG∥AD 交 BC 于 F,交 AB 于 G,下列结论:①GA=GP;②错误!未找到引用源。③BP 垂直平分 CE;④FP=FC;其中正确的判断 有( ) A.只有①② B.只有③④ C.只有①③④ D.只有①②③④

29

2.如图,点 A 是错误!未找到引用源。网格图形中的一个网格图形中的一个格点(小正方形的顶点) ,图 中每个小正方形的边长为 1,以 A 为其中的一个顶点,面积等于 2.5 的格点等腰直角三角形(三角形的 三个顶点都是格点)的个数是( ) A.10 个 B.12 个 C.14 个 D.16 个 3.如图,在错误!未找到引用源。ABC 中,AB=BC,MN=NA, ∠BAM=∠NAC,则∠MAC=_________.

4.如图,AA’、BB’分别是∠EAB、∠DBC 的平分线,若 AA’=BB’=AB.则∠BAC 的度数为______________. 5.(全国联赛)在等腰 Rt 错误!未找到引用源。ABC 中,AC=BC=1,M 是 BC 的中点,CE⊥AM 于 E,交 AB 于 F.则错误!未找到引用源。 =_____________ 6.如图,在错误!未找到引用源。ABC 中,AB=AC,EF 为过点 A 的任意一条直线,CF⊥BC, BE⊥BC.求证: AE=AF.
F

A

B C E

7. (湖州市竞赛试题)如图,在 Rt 错误!未找到引用源。ABC 中,∠ACB=900,CD⊥AB 于 D,AE 平分 ∠BAC,交 CD 于 K,交 BC 于 E,F 是 BE 上一点,且 BF=CE,求证:FK∥AB

30

8.如图,在错误!未找到引用源。ABC 中,∠ABC=460,D 是边 BC 上一点,DC=AB, ∠DAB=210,求∠ CAD 的度数.

第六讲
考点 方法 破译

等边三角形

1.等边三角形及其性质:三边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形的三个内角都相等,并且 每一个角都等于 60.等边三角形是轴对称图形,对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线; 2.等边三角形的判定:三边都相等的三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形;有 一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形; 3.在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,反之也成立.

经典 考题

赏析

【例 1】如图,△DAC 和△EBC 均是等边三角形,A、C、B 三点在一条直线上.AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N. (1)求证:△ACE≌△DCB; E (2)求∠AFD 的度数; F D (3)判断△CMN 的形状
1 M C N B

2 A

【变式题组】 1.(天津)如图,P、Q 是△ABC 的边 BC 上的两点,且 BP=PQ=QC=AP=AQ, 则∠BAC 的大小等于__________ 度 2.(荆州)如图,D 是等边△ABC 的边 AB 上的一动点,以 CD 为一边向上作等边△ EDC,连接 AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由.

A

E

D

B

C

3.如图,在正△ABC 中,D,E 分别是 BC、AC 上的一点,且 AE=CD .AD 与 BE 相交于点 P,且 BQ⊥AD A 于 Q.求证 BP=2PQ
31
P E

Q B

4.(黄冈)如图,过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P,作 PE⊥AC 于 E,Q 是 BC 延长线上一点,当 PA=CQ 时,连接 PQ 交 AC 于 D,求 DE 的长. A
E P D

B

C

Q

【例 2】P 是△ABC 内一点,∠PBC=30°,∠PBA=8°,且∠PAB=∠PAC=22°,求∠APC 的度数
A

P

B

C

【变式题组】 1.如图,D 是等边三角形 ABC 内一点,E 为 ABC 外部一点,满足 DA=DB, BE=BA,∠DBE=∠DBC.求∠BED 的度数.

A E

D B C

2.如图.D 是△ABC 外一点.AB=AC=BD+CD,∠ABD=60°求∠ACD 的度数.

A

D

B

C

【例 3】如图(1),△ABC 等边三角形,△BDC 是顶角 120°的等腰三角形,以 D 为顶点作 60°的角,它的 两边分别与 AB、AC 交于点 M 和 N,连接 MN.
32

(1)探究:MN、NC 之间的关系,并加以证明; (2)若点 M、N 分别在射线 AB、CA 上,其他条件不变,再探究线段 BM、MN、NC 之间的关系,在图(2) 中画出相应的图形.并就结论说明理由
A
A

A

N

A

N
N M B C
B C

M
G

B
D

C G (3) D

B M

C

D (1)

(2)

(4)

D

【变式题组】 如图.四边形 ABCD 中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120° 求证:AC=BC+DC.

A

B

D

巩固练习 反馈提高
1.如图.△ABC 是等边三角形,AD⊥BC,点 E 在 AC 上,且 AE=AD,则∠DEC=( A 105° B 85° C 95° D 75°
A

C

)

A

D
E B D C

B

C

E

第 1 题图 第 2 题图 2.如图,等边△ABC,D 在 AC 上,延长 BC 到 E.使 CE=CD,若 BD=DE,给出下列结论:① BD 平分 ∠ABC ② AD =

1 1 AB ③ CE= BC ④∠A=2∠E,其中正确结论的个数是( 2 2

)

A.4 个 B3个 C2个 D1个 3.(河北)如图,等边△ABC 的边长为 1cm,D、E 分别是 AB、AC 上的点,将△ABC 沿直线 DE 折叠,点 A 落在 A’处,且 A’在△ABC 外部,则阴影部分图形的周长为__________ cm
C

A D

D O

F C E

A

P

B

33

B

第 3 题图

第 4 题图

第 5 题图

4.在等边△ABC 中,AC=9,点 O 在 AC 上,且 AO=3,点 P 是 AB 上一动点,连接 OP,将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60°,得到线段 OD,要使点 D 恰好落在 BC 上,则 AP=__________. 5.如图,△ABC 是等边三角形,D、E、F 分别在 AB、BC、AC 上,且 DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB,试判 断△DEF 是否为等边三角形,并说明理由.

6.请你用三种不同的分割方法,将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线,并 标出必要的角的度数) .

7.如图,点 D 是等边△ABC 边 AB 上的一点.AB=3AD,DE⊥BC 于点 E,AE、CD 相交于点 F (1)求证:△ACD≌△BAE: A (2)过点 C 作 CG⊥AE,垂足为点 G,探究 CF 与 FG 之间的数量关系,并证明.
D F

B

E

C

8.如图:△ABC 是等边三角形,D 是 AB 边上的点,将线段 DB 绕点 D 顺时针旋转 60°得到线段 DE,延 长 ED 交 AC 于点 F,连接 DC,AE. A 求证:△ADE≌△DFC
F E D

B

C

34

9.如图:△ABC 是等边三角形,点 D、E 分别在 CA、AB 的延长线上, F. 求证:(1)DB=EC;(2) ∠BFC=60°

AD=BE.DB 的延长线交 EC 于
D

A B

E

F

C

2013—2014 学年度上学期八年级期中数学试卷
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.在△ABC 中,∠A 与∠B 互余,则∠C 的大小为( ) A 60° B 90° C 120° D 150° 2.下面汽车标志图案中,不是轴对称图形的是( )

A

B

C

D

3.一个多边形的每一个外角都等于 40°,这个多边形的边数是( ) A 6 B 8 C 9 D 12 4.在△ABC 中,AB=2cm,AC=5cm,△ABC 的周长为奇数,则 BC 的长可能是( A 2cm B 5cm C 6cm D 7cm



A A D P B E C 第5题图 F B D C 第6题图 B

A

D E 第7题图

C

5.如图,△ABC≌△DEF,点 B、E、C、F 在同一条直线上,且 CA=CB,AC 与 DE 相交于点 P,图中与 ∠EPC 相等的角有( ) A 2个 B 3个 C 4个 D 5个 6. 如图, 已知等腰△ABC 的周长为 34cm, AD 是底边上的高, △ABD 的周长为 24cm, 则 AD 的长为 ( ) A 12cm B 10cm C 8cm D 7cm 7.如图,在△ABC 中,∠BAC=100°,点 D、E 在 BC 上,且 BA=BE,CA=CD,则∠DAE 等于( ) A 30° B 35° C 40° D 45°

A F G B E B E

A D O C 第9题图
35

A F B E C

P D C 第8题图

D G 第10题图

8. 如图, 已知点 P 为△ABC 三条内角平分线 AD、 BE、 CF 的交点, 作 DG⊥PC 于 G, 则∠PDG 等于 ( ) A ∠ABE B ∠DAC C ∠BCF D ∠CPE 9.如图,已知 AB=AC,点 D、E 分别在 AC、AB 上,BD 与 CE 相交于点 O,欲使△ABD≌△ACE.甲、 乙、丙三位同学分别添加下列条件: 甲:∠BEC=∠CDB;乙:AE=AD;丙:OB=OC. 其中满足要求的条件是( ) A 仅甲 B 仅乙 C 甲和乙 D 甲乙丙均可 10.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于 D,BE 平分∠ABC 交 AD 于 F,作 EG⊥DC 于 G, 则下列结论中:①EA=EG;②∠BAD=∠C;③△AEF 为等腰三角形; ④AF=FD.其中正确结论的个数 为( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11.若点 P(3,4)与 Q( m , n )关于 x 轴对称,则 m ? n ?

A

A

F

D E

y A O

P x

B

D E 第12题图

C

B 第13题图

C

B 第14题图

12.如图,△ABC 中,AE 为中线,AD 为高,∠BAD=∠EAD.若 BC=10cm,则 DC= 13.把矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠,点 C 恰好与 AD 边上点 F 重合,且 DE=DF,则折角 ∠CBE 的度数为 14.如图,已知 P(3,3) ,点 B、A 分别在 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上,∠APB=90°,

A 则 OA+OB= 15.如图,△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,点 D 在 AC 上, F D 点 E 在 BC 上,且 BD 恰好垂直平分 AE 于点 F,则△BEF 与△AEC 的面积之比为 B E C 16.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于 50°, 第15题图 设这条高与等腰三角形底边上的高所在的直线的夹角中, 有一个锐角为 ? ,则 ? 的度数为 三、解答题(共 72 分) 17. (6 分)已知等腰三角形两边之差为 7cm,这两边之和为 17cm,求等腰三角形的周长.
18. (6 分)如图,已知 A(0,4) ,B(-2,2) ,C(3,0) . (1)作△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1; (2)写出点 A1、B1 的坐标 A1( ) ,B1( ) (3)△A1B1C1 的面积 S?A1B1C1 ?

y A B x

O
36

C

19. (6 分)如图,四边形 ABCD 中,AB=CD,AB∥DC,点 E、F 分别在 AD、BC 上, 且 DE=BF,EF 与 BD 相交于点 O.求证:BD 与 EF 互相平分.

A

E O

D

B

F

C

20. (7 分)如图,已知四边形 ABCD 中,BA>BC,DA=DC,BD 平分∠ABC,请你猜想 ∠A 与∠C 的数量关系,并证明你的猜想. A

B C

D

21. (7 分)如图,△ABC 中,AB=BC,∠ABC=90°,点 D 在 CB 的延长线上,点 E 在 AB 上,且 DB=EB. A (1)求证:CE⊥AD; (2)当∠ACE=30°时,求∠DAC 的度数.

E D B C

22. (8 分)如图,已知五边形 ABCDE 的五条边相等,五个内角也相等. 对角线 AC 与 BE 相交于点 F。 (1)求∠AEB 的度数; (2)求证:四边形 EFCD 的四条边相等.

A E B C F D

37

23. (10 分)我们知道,由平行线可得出“同位角相等” , “内错角相等”等结论,因此,在 几何证明中,我们往往可以通过添加平行线得到一些相等的角. (1)如图 a,点 D 在△ABC 边 BC 的延长线上,请你猜想∠ACD 与∠A、∠B 之间的 数量关系,并请你在图中通过添加平行线的方法,证明你的猜想. 猜想结论是 证明: A A

A

F P E

D

B 图a

C

D

B 图b

C

D B 图c

C

(2)如图 b,四边形 ABCD 为一个凹四边形,请你利用(1)中你猜想的结论, 求证:∠BDC=∠A+∠B+∠C;

(3)如图 c,已知 BE 平分∠ABD,CF 平分∠ACD,BE 与 CF 相交于点 P, 当∠BDC=130°,∠BAC=60°时,求∠EPC 的度数.

24. (10 分)如图,平面直角坐标系中,已知点 A( a ? 1 , a ? b ) ,B( a , 0 ) ,且

a ? b ? 3 ? (a ? 2b) 2 ? 0 ,C 为 x 轴上点 B 右侧的动点,以 AC 为腰作等腰△ACD,
使 AD=AC,∠CAD=∠OAB,直线 DB 交 y 轴于点 P. (1)求证:AO=AB; (2)求证:△AOC≌△ABD; (3)当点 C 运动时,点 P 在 y 轴上的位置 是否发生改变,为什么?

y D

A

38

O P

B

C

x

25. (12 分)如图,平面直角坐标系中,已知 B(-3,0) ,C(3,0) ,点 A(0, m )在 y 轴正半轴上,P 为线段 OA 上一动点(不与点 A、O 重合) ,BP 交 AC 于点 E、CP 交 AB 于点 F. (1)求证:BE=CF; (2)当 m ? 4 ,BF=2AF 时,求点 F 的坐标; (3)以线段 BE、CF、BC 为边构成一个新△BCG(点 E 与 F 重合于点 G) ,如果存在 点 P,恰使 S?BCG ? S?BCA ,求 m 的取值范围.

y A F P B O C x E

2013-2014 学年上学期武汉初中二年级期中模拟考试
一、 选择题(每题 3 分,共 30 分)
, , , , , 1、在 ?ABC 和 ?A BC 中, AB ? A B , ?A ? ?A ,若证 ?ABC ? ?A B C ,还要从下列条件中补选一
, 。


个,错误的选法是( A. ?B ? ?B


) B.

?C ? ?C,

C.

BC ? B, C,

D. AC ? A C

, ,

2、长为 10、7、5、3 的四根木条,选其中三根组成三角形,有( )中选法. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3、已知一个多边形的每一个内角都等于 135 ,则这个多边形是( )
39
?

A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 4、下列平面图形中,不是轴对称图形的是( )

D.

八边形

5、如图,在 ?ABE中, ?A ? 105? ,AE 的垂直平分线 MN 交 BE 于 点 C,且 AB=CE,则 ?B 的度数是( ) A. 45
?

A

M E

B. 60

?

C. 50

?

D. 55

?

B

C

6、下列命题: ①有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等: ②周长相等的两个三角形是全等三角形; ③全等三角形对应边上的高、中线、对应角的角平分线相等; ④两个含 60 角的等腰三角形是全等三角形;其中正确的命题有( ) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 7、拿一张正方形的纸按下图沿虚线连续对折后剪去带直角的部分,然后打开后的形状是( )
?

C
8、若两个三角形的两边和其中一边上的高对应相等,则这两个三角形第三边所对应 的角的关系是( ) A、 相等 B、互余 C、互补 D、相等或互补 9、如图,在等边 ?ABC 中,AC=9,点 O 在 AC 上,且 AO=3,点 P 时 AB 上一动点,连 接 OP,将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60 得到线段 OD,要使得点 D 恰好在 BC 上,则 AP 的长是( ) A、 4 B、 5 C、6 D、 8 10、如图,D 为等腰 Rt?ABC 的斜边 AB 的中点,E 为 BC 边上一动点,连接 ED 并延 长交 CA 的延长线于点 F,过 D 作 DH ? EF 交 AC 于 G,交 BC 的延长线于 H,则以下 结论 ①DE=DG;②BE=CG;③DF=DH;④BH=CF.其中正确的是( ) A、②③ B、③④ C、①④ D、①②③④ 二、填空题(每题 3 分,共 18 分) 11、如图,CD=CA,EC=BC,欲证 ?ABC ? ?DEC ,则需增加条件
?
?

D O A P
第9题

B

F

A D C H E B

12 、在 Rt?ABC 中, ?BAC ? 90 ,点 M 在 BC 上使 ? ABM 沿 AM 折叠后点 B 落在 AC 上,若

AB ? 3,AC ? 6, 则点 M 到 AC 的距离为

.
40

A D E B C
第11题图

A

C D

B

M
第12题图

C

B

第13题图

A
?

?C ? 90 , 13. 如图所示, 在 ?ABC 中,
BC=40,AD 是 ?BAC 的平分线交 BC 于 D,且 DC:DB=3:5,则点 D 到 AB 的距离是 14. 如图,A 在 DE 上,F 在 AB 上,且 AC=CE, ?1 ? ?2 ? ?3 ,则 DE 的长等于 (请用图形中的线段表示) .

A C 15.如图, EG、 AF、 CB 三条直线两两相交, AB、 DE 分别是 ?GAD 、?FDC 的平分线, 若 AB=AD=DE, 则 ?D
?
?

=

16、如图, ?ABC 中,AB=AC, ?BAC ? 50 ,边 AB 绕点 A 逆时针旋转 m (50<m<360)得到线段 AD,连 接 BD、DC.若 ?BDC 为等腰三角形,则 m 所有可能的取值是

A D
1

E
E
3

A
A C D G

D

B

2 第14题图

C

F

第15题图

B

B

第16题图

C

三、解答题(共 72 分) 17、 已知: 如图, E、 B、 F、 C 四点在同一条直线上,?A ? ?D ? 90 ,
?

BE=FC,AF=DB.

A

D

E
18、作图题:不写作法,保留作图痕迹 如图,已知 ?AOB 和 C、D 两点,用直尺和圆规在 ?AOB 内部作一点 P,使 P 到 OA、OB 两边的距离相等.

B

F

C

A C D O
B

B

? ?A B D, 19. 如 图 , 在 ?A B C中 , D 是 BC 上 一 点 , ?B A D

?ADC ? ?ACD,?BAC ? 69? ,求 ?DAC 的度数.
41

D

A

C

20、如图,有一块长方形纸片 ABCD 中,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得 AD 边落在 AB 边上,折痕为 AE,再 将 ?AED 沿 DE 边向右翻折,AE 与 BC 的交点为 F,求 ?CEF 的面积.

A

B

A

D

B

D

B F

A

D

C

E

C

E

C

21.如图,在平面直角坐标系中, A( -1,5) 、B( -1,0) 、C (-4,3). (1)在图中作出 ?ABC 关于 y 轴的对称图形 ?A1B1C1 . (2)写出 A1 、 B1 、 C1 的坐标; (3)求 ?ABC 的面积.

22.如图,?ABC 中,AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 D、E,垂足分别是 M、N. (1)若 ?ADE 的周长是 10,求 BC 的长; (2)若 ?BAC = 100 ,求 ? DAE 的度数.
?

A M B N C

D

E

23.如图, Rt?ABC 中 AB ? AC ,点 D、E 是线段 AC 上的两个动点,且 AD ? CE,
42

AM 垂直于 BD ,垂足为 M ,AM 的延长线交 BC 于点 N,直线 BD 与直线 NE 相交于点 F ,
试判断 ?DEF 的形状,并加以证明.
A D M E B N C

F

24.已知:点 O 为正方形 ABCD 的对角线 AC 的中点,点 M、N 分别在直线 AD、CD 上, ?MON ? 45 .
?

(1)如图 1,点 M 在 AD 的延长线上,点 N 在 CD 上,求证:MN=DM+CN; (2)如图 2,点 M 在边 AD 上,点 N 在边 CD 上,其他条件不变,问 MN、DM、CN 之间有怎样的数量关系?为 什么?

A

D

M

A

M D N

O

N C

O

B

图1

B

图2

C

? 25、在直角坐标系中, ?ABC ? ?BDE ? 90 , BC ? DE ,AC ? BE ,M,N 分别是 AB、BD 的中点,连

接 MN 交 CE 于点 K. (1)如图 1,若 A 点的坐标为(3,0) ,C 点坐标为(-3,2) ,BC ? x 轴,求点 D 的坐标; (2)如图 2,当 C、B、D 共线, AB=2BC 时,探究 CK 与 EK 之间的 C 数量关系,并证明. (3)如图 3,当 C、B、D 不共线, B AB ? 2BC 时, (2)中的结论是 否成立,若成立,请证明;若不成 K 立,请说明理由.

N
43

M A

D

图3

E

第八讲
考点·方法·破译
幂的运算性质(其中 m、n、p 都为正整数) : 1. a ? a ? a
m n m? n

幂的运算

2. (a ) ? a
m n n

mn

3. (ab) ? a b 4. a ? a ? a
m n
0

n n

m?n

5. a ? 1(a ? 0),a

?p

?

1 (a ? 0) ap

经典·考题·赏析
【例 1】下列算式,正确的个数是( ) ① a ?a ? a
3 4 12

②a ?a ? a
5 5

10

③ (a ) ? a
3 3

6

④ (?2a ) ? 6a
2 3

6

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

44

【变式题组】 1.计算 (c 2 )n ? (cn?1 )2 的结果是( A. c
4n?2

) C. c
2n?2

B. c 4 n ? 4

D. c

3n ? 4

2.计算 (?2)100 ? (?2)101 =_______________ 3.如果 (an ? bmb)3 ? a9b15 ,则 m=_________,n=____________ 4.计算 ( x2 y3 )n ? (? xn )2 ? (? y)3 =_______________ 【例2】若 2
2n+1

? 4n ? 48 ,求 n 的值.

【变式题组】
m 2m?n n 1.若 2 ? 4 , 2 ? 16 ,求 2 的值

2.若 x

3n

? 5 ,求代数式 (?2 x2n )3 ? 4( x3 )2n 的值

3.若 x ? 3 , x ? 6 ,则 x
m n

3m ? 2 n

=________.

4.已知 a

3m

? 3 , b3n ? 2 ,求 (a2m )3 ? (bn )3 ? a2m ? bn ? a4m ? b2n 的值

5.已知 2

2 m ?3

? 22m?1 ? 192 ,求 m 的值

【例3】 (希望杯) a ? ?2 , b ? ?3 , c ? ?5 , d ? ?6 ,那么 a、b、c、d 的大小关系为(
55 44 33 22



A.a>b>c>d

B.a>b>d>c

C.b>a>c>d

D.a>d>b>c

【变式题组】 1.已知 a ? 81 , b ? 27 , c ? 9 ,则 a、b、c 的大小关系是(
31 41
61



45

A.a>b>c
50

B.a>c>b
40 30

C.a<b<c

D.b>c>a )

2.已知 a ? 3 , b ? 4 , c ? 5 ,则 a、b、c 的大小关系为( A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a

【例 4】求满足 ( x ? 1)200 ? 3300 的 x 的最小正整数

【变式题组】 1.求满足 n <5
200 300

的最大整数值 n.

2.如果 x、y 是正整数,且 2 ? 2 ? 32 ,求满足条件的整数 x、y
x y

3.求满足 (n ? n ?1)
2

n?2

? 1 的整数 n.

演练巩固 反馈提高
1. (武汉)下列运算正确的是( A. x ? x ? 12
3 4


6 2 3

B. (?6 x ) ? (?2 x ) ? 3x D. (?2 x ) ? ?6 x
2 3 6

C. 2a ? 3a ? ?a

2. (泰州)下列各式计算正确的是( A. a ? 2a ? 3a
2 3 5


5

B. (2b ) ? 6b
2 3 2 2 n ?1

C. (3xy) ? ( xy) ? 3xy
2

D. 2 x ? 3 x ? 6 x
5

6

3.当 n 为正整数时, (? x ) A. ? x
4n?2

等于(

) C. x ) C. a ? a
6 8 4 n ?1

B. ? x
2 4

4 n ?1

D. x

4n?2

4.计算 (a ) ? a ? a 的结果为(
3 2

A. 2 a

9

B. 2 a

6

D. a

12

5.下列命题中,正确的个数是(
m


m

(1)m 为正奇数时,一定有等式 (?4) ? ?4

46

(2)等式 (?2)m ? 2m ,无论 m 为何值时都不成立 (3)三个等式: (?a2 )3 ? a6, (?a3 )2 ? a6, ( [ ? (? a)2 )]3 ? a6 都不成立; (4)两个等式: (?2x3 y 4 )m ? ?2m x3m y 4m , (?2 x3 y 4 )n ? ?2n x3n y 4n 都不一定成立. A.1 个 B.2 个 6.下列各题中,计算正确的是( A. (?m3 )2 (?n2 )3 ? m6 n6 C. (?m2 n2 )2 (?mn2 )3 ? ?m9 n8 C.3 个 ) B. [(?m3 )2 (?n2 )3 ]3 ? ?m18n18 D. (?m2 n)3 (?mn2 )3 ? ?m9n9 D.4 个

7.已知 | x ? 2 | ? | 2 x ? 3 y ? 8 |? 0,则x y ? y 2 ? y x ? x2 =_______________ 8. x ? x ? x
3 a
5

2 a ?1

? x 25 ,则关于 y 的方程 ay=a+14 的解是________________
5

(?3) , (? ) , (? ) 中,最大的数是_________________ 9.在 (?2) ,
5 5

1 2

1 3

10.一块长方形草坪的长是 a ______________ 米 .
2

m ?1

米,宽是 a

m ?3

米(m、n 均为大于 1 的正整数) ,则该长方形草坪的面积是

11.计算

2 2001 1 ? (2 )1000 =_______________ 3 4 1 2001 1 3 ? (?1 ) 2002 ? (? ) 2003 =____________________ ⑵ (1 ) 3 4 5
⑴ (? ) 12.计算 ⑴ y? y
n ?1

? 2 yn ? y2

⑵ (? x) ? x ? (? x) ? 2 x ? (? x) ? (? x) ? x
4 3 4

4

⑶ ( x ) ? ( x ) ? x( x ) ? x ? (? x) ? (? x ) ? (? x)
4 2 2 4 2 2 3 3 2 2

47

⑷ (? x2 y)3 ? 7( x2 )2 ? (? x)2 ? (? y)3

13.若 (3a ? 2b)2 ? | 2a ? 3b ? 5 |? 0 ,化简: (ax y ) ? ( ?bxy ) ? (
2 3 2 a

1 2 2 a 3 x y z ) a

14.已知 n 是正整数, x

2n

? 16 ,求 (

1 3n 2 1 2 2 n x ) ? ( x ) 的值 16 16

2010 15.已知 a、b、c 为自然数,且 2 ? 27 ? 37 ? 1998 ,求 (a ? b ? c) 的值
a b c

培优升级 奥赛检测
1. (江苏竞赛)若 x ? 2 A.x=4y
n?1

? 2n,y ? 2n?1 ? 2n?2 ,其中 n 为整数,则 x 与 y 的数量关系为(
C.x=12y D.y=12x



B.y=4x )

2n ? 4 ? 2(2n ) 2.化简 得( 2(2n ?3 )

48

A. 2

n ?1

?

1 8

B. ? 2

n ?1

C.

7 8

D.

7 4

3.化简

4m ? 2 ? 22 m ?3 =__________________ 4m ?1
8

4. 2 ? 5 的位数为_____________________
15

5. 3

2001

? 72002 ?132003 所得积的末位数字是____________________
y 2 x? y

3 ? 6 ,求 9 6.若 3 ? 4,
x

? 27 x ? y 的值
9 8
a

7.是否存在整数 a、b、c 满足 ( ) ? (

10 b 16 c ) ? ( ) ? 2 ?若存在,求出 a、b、c 的值;若不存在,说明理由. 9 15

8.如果整数 x、y、z 满足 (

10 x 9 y 8 z 1 x? y ) ?( ) ?( ) ? ,求 ( x ? y ? z ) 的值 27 16 15 256

9.已知 3 ? 11 能被 10 整除,求证: 3
n m

n?4

? 11m?2 也能被 10 整除

5 4 3 2 10.设 a、b、c、d 都是非零自然数,且 a ? b ,c ? d ,c ? a ? 19 ,求 d ? b 的值

第九讲
一、相关基础知识的回顾: 1、整式 (1)单项式:由数与字母的 单项式中的 次数.

整式乘法

组成的代数式叫做单项式(单独一个数或

也是单项式). 叫做这个单项式的

叫做这个单项式的系数;单项式中的所有字母的

49

(2) 多项式: 几个单项式的 其中次数最高的项的 (3) 整式:

叫做多项式.在多项式中, 每个单项式叫做多项式的 叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做 与 统称整式. 相同并且相同字母的 __ _. .

,

2、 同类项:在一个多项式中,所含 并同类项的法则是 3、同底数幂的相乘:a ?a =a
m n m n

也分别相等的项叫做同类项. 合

m?n

(m,n 都是正整数)
p

a ?a ???a =a
m n m m m

a ? b ??? p

(m,n, ?,p 都是正整数) =a
mn

4、幂的乘方: (a ) =a ?a ?a ? ? ?a =a 5、积的乘方:积的乘方运算(ab) =a b 二、单项式乘以单项式:
n n n

m

m ? m ??? m

1.单项式与单项式相乘:把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连 同它的指数作为积的一个因式。 (1)单项式与单项式相乘,可以分为三步进行:确定积的系数、相同字母相乘、只在一个单项式里含有的 字母及其指数的处理。 (2)积的系数等于各个因式的系数的积,注意积的符号的确定。 (3)相同的字母相乘时,需要用到同底数幂的乘法法则。 (4)对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数一起作为积的因式,在计算过程中容易漏掉这一 部分内容,应给予特别的注意。 (5)单项式与单项式相乘的结果仍然是一个单项式。 (6)单项式与单项式的乘法法则,适用于三个或者更多个单项式相乘 例题:1.计算-a b ?(-2ab c)的结果 2.m 为偶数,则(a-b) (b-a) 与(b-a) 的大小为 3.有理数 x,y 满足条件︳2x-3y+1︳+(x+3y+5) =0 ,求代数式 (-2xy) ?(-y )?6xy 的值。
2 2 2 2 m n m+n 2 2 3

练习: 1.已知 x y ?x y 2. ?x ? y ?
3 m-1 m+n 2n+2

=x y ,则 4m-3n 等于
3 2

9 9

?

3 6

? ? ? y ? x? ? 3( x ? y)

50

三、单项式乘以多项式相乘 1.m(a+b+c)=ma + mb + mc,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积 相加。 拓展: (1)单项式乘以多项式的依据是分配律,即将“单 X 多”转化成“单 X 单+单 X 单”的形式。 (2)注意不要漏乘多项式的每一项。 (3)单项式乘多项式的结果仍是一个多项式,其项数与多项数的项数保持一项。 (4)确定积的符号时,要注意多项式中的每一项的符号 (5)在混合运算中,要注意运算顺序,如果出现同类项,一定要将其进行合并,得到最简答案。 例题 1:1.-x?(x-y)= 2.若 a (3a -2a +4a )=3a -2a +4a ,则 m,n,k 分别为 3.由 m(a+b+c)=ma+mb+mc,可得: (a+b) (a -ab+b )=a -a b+ab +a b-ab +b =a +b ,即(a+b) (a -
2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 n m k 9 6 4

ab+b2)=a3+b3. ?????????①
我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式。下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是 (A) (x+4y) (x -4xy+16y )=x +64y (B) (2x+y) (4x -2xy+y )=8x +y (C) (a+1) (a +a+1)=a +1 (D)x +27=(x+3) (x -3x+9) 4.若 ab =-6 ,则-ab(a b -ab -b)的值为
2 2 5 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3

练习: 1.一个长方形的长、宽、高分别是 3x-4,2x 和 x,则它的体积等于 2.若 m +m-1=0,则 m +2m +2004
2 3 2

3 已知 ab =7 ,求 ab(ab-ab-b)的值

2

4.已知(-2x ) ?(3x -ax-6)-3x +x 中不含 x 的三次项,试确定 a 的值。 四、多项式乘以多项式: 1.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn:即多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每 一项,再把所得的积相加。
51

2

2

2

2

拓展: (1)多项式的乘法法则对于项数较多的两个多项式相乘,仍然适用 (2)运用多项式乘以多项式的乘法法则时,合并同类项之前,积的项数等于两个多项式项数的积(以此 来检验有没有漏乘或重乘) (3)注意符号问题,每一项都应包括其前面的符号 (4)答案必须是最简结果,即不能含有同类项 例题: 1.关于 x 的一次二项式的积(x-m)(x+7)中的常数项为 14,则 m 的值为 。

2.若(x+3)(x+n)=x +mx-15,则 m 的值为

2



3.如果 a +a=1,那么(a-5)(a+6)的值为

2

4.-a(a -2ab-b )-b(ab+2a -b ),其中 a=2,b=0.5

2

2

2

2

5.在长为 3a+2,宽为 2b+3 的长方形铁片上,挖去长为 b+1,宽为 a-1 的小长方形铁片,求剩余部分的面 积。

五、课内练习: 1、 (2009 年泸州)化简: (?3x )2 x 的结果是( )
2 3

A. ? 6 x

5

B. ? 3 x

5

C. 2 x 】

5

D. 6 x

5

2、 (2009 年安徽)下列运算正确的是【
2 3 4 A. a ?a ? a

4 4 B. (?a ) ? a

2 3 5 C. a ? a ? a

2 3 5 D. (a ) ? a

3、下列运算正确的是【
2 3 4 A. a ?a ? a


4 4 B. (?a ) ? a
2 3 5 C. a ? a ? a

2 3 5 D. (a ) ? a

n?1 2 2 n 4、计算: (cd ) (c d ) ;

(?a n ) 2 (?b n ) 3 ? (a 2b 3 ) n ;

(

5 2005 3 ) ? (2 ) 2004 13 5



2 1 ( ?9) 3 ? ( ? ) 3 ? ( ) 3 3 3



1 [( )10 ]3 n [( ?2)10 n ]3 2
52

? p 2 ? (? p) 4 ? [(? p) 3 ]5

[(m ? n) 2 ][(n ? m) 3 ]5

[(x ? y)2 ]3 ? [(x ? y)3 ]4

(ab2 ) 2 (?a 3b) 3 (?5ab);

课后训练: 一、填空题 1.直接写出结果: (1)5y? (-4xy2)=________; (2) (-x2y)3? (-3xy2z)=________; (3) (-2a2b) (ab2-a2b+a2)=________;

1 2 x ) ? ________; 2 (5) (3a+b) (a-2b)=________; (6) (x+5) (x-1)=________. 二、选择题 3.下列算式中正确的是( ) 3 2 6 A.3a ?2a =6a B.2x3?4x5=8x8 C.3x?3x4=9x4 D.5y7?5y3=10y10 2 5 4. (-10) ? (-0.3?10 ) ? (0.4?10 )等于( ) 8 7 A.1.2?10 B.-0.12?10 C.1.2?107 D.-0.12?108 5.下面计算正确的是( ) A. (2a+b) (2a-b)=2a2-b2 B. (-a-b) (a+b)=a2-b2 C. (a-3b) (3a-b)=3a2-10ab+3b2 D. (a-b) (a2-ab+b2)=a3-b3 6.已知 a+b=m,ab=-4,化简(a-2) (b-2)的结果是( ) A.6 B.2m-8 C.2m D.-2m 三、计算题
(4) (?4 x 2 ? 6 x ? 8) ? (? 7. ( ?

2 2 3 1 x yz).( ? z 2 ).( xy 2 z) 3 4 2

8.[4(a-b)m 1]?[-3(a-b)2m]


9.2(a2b2-ab+1)+3ab(1-ab)

10.2a2-a(2a-5b)-b(5a-b)

1 1 11.-(-x)2? (-2x2y)3+2x2(x6y3-1) 12. ( x ? 2)(4 x ? ) 2 2

13. (0.1m-0.2n) (0.3m+0.4n)

14. (x2+xy+y2) (x-y)

53

第十讲:整式乘法公式讲义
一、整体感知

乘方运算(同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法)

单项式乘以单项式

单项式乘以多项式

多项式乘以多项式 乘法公式
二、三个重要的公式

平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 立方和、差公式(补充) :(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: 2 2 2 2 2 2 ① 位置变化,?x?y???y?x??x ?y ② 符号变化,??x?y???x?y????x? ?y ? x ?y 2 2 2 2 4 4 2 2 ③ 指数变化,?x ?y ??x ?y ??x ?y ④ 系数变化,?2a?b??2a?b??4a ?b ⑤ 换式变化,?xy??z?m???xy??z?m?? ⑥ 增项变化,?x?y?z??x?y?z? 2 2 2 2 ??xy? ??z?m? ??x?y? ?z 2 2 2 ?x y ??z?m??z?m? ??x?y??x?y??z 2 2 2 2 2 2 2 ?x y ??z ?zm?zm?m ? ?x ?xy?xy?y ?z 2 2 2 2 2 2 2 ?x y ?z ?2zm?m ?x ?2xy?y ?z 2 2 2 2 ⑦ 连用公式变化,?x?y??x?y??x ?y ? ⑧ 逆用公式变化,?x?y?z? ??x?y?z? 2 2 2 2 ??x ?y ??x ?y ? ???x?y?z???x?y?z????x?y?z???x?y?z?? 4 4 ?x ?y ?2x??2y?2z? ??4xy?4xz 推导如下几个比较有用的派生公式:

1. ?a ? b? ? 2ab ? a 2 ? b 2
2

2. ?a ? b? ? 2ab ? a 2 ? b 2
2

3. ?a ? b? ? ?a ? b? ? 2 a 2 ? b 2
2 2

?

?

4. ?a ? b? ? ?a ? b? ? 4ab
2 2

例题分析:例 例 1、 计算:( a – b )2 想一想:你有几种方法计算 (a-b)2
54

例 2、 用完全平方公式计算 (1) ( 5 + 3p )2 例 3、 用完全平方公式计算 (1)( -x + 2y)2 例 4、 用完全平方公式计算 (1)9982 (2) 1012 (2) ( -2a - 5)2 (2) ( 2x - 7y )2

例 5、填空题: (注意分析,找出 a、b) (1) ?a ? b??

? ? b 2 ? a 2 ;(2) ?a ? 2b?? ? ? a 2 ? 4b 2
2 2

;(3) ?2x ? 3 y ? ? 4x ? 9 y ? ? ? ;
2 2 2

(4) ?3m ? 2n? ? 9m ? 12mn? ? ? ;(5) a ? b (6) 4m ? 20m n ? 25n = ?2m ? ?
2 2

?

? ? ? ? ? ?a ? b? ;
2 2

??2 ;(7) ?a ? b

? = ? ? ? ?a ? b? ;
2
2

(8) ?a ? 3b ? 2??a ? 3b ? 2? ? a ? ?
2

?2 .
1 1 ? x y

例 6、已知 x ? y ? 3 , xy ? 2 ,求① x 2 ? y 2 ;②

基础应用: 1、计算: (1) ?x ? 2 y ??x ? 2 y ? ; (2) x ? 3 y

?

?;
2

(3) ?x ? 3 y ? ;
2

(4) ?a ? b? ? ?a ? b? ;
2 2

(5) ?a ? b? ? ?a ? b? ;
2 2

(6) ?2a ? b ? 1? .
2

2、计算: (1) ?3a ? 5b??3a ? 5b? ; (2) ?? 2s ? t ??2s ? t ? ; (3) ?x ? 2??x ? 2? x ? 4 ;
2

?

?

(4)101 ? 99.

55

3、计算: (1) ?4m ? 7n??4m ? 7n? ; (2) ?2a ? 5b??? 2a ? 5b?; (3) 3a ? 2 3a ? 2 ;
2 2

?

??

?

(4) ?a ? 1??a ? 1? a ? 1 ;
2

?

?

(5)

402 ? 398;

(6) 79.9 ? 80.1.

4、计算:
2 (1) ?2a ? 3b?



(2) ?? 3a

2

?b

?

2



(3) ( x ? 2 y) ? ?x ? 2 y ? ;
2 2

(4) ?x ? 2 y ? 3z ??x ? 2 y ? 3z ? ;

(5) 199 .

2

5、计算: (1) ?a ? 3b? ;
2

(2) ?a ? ?b ? c ?? ;
2

(3) ?3m ? n? ? ?n ? 3m? ;
2 2

(4)198 .

2

6、已知 a+b=5,ab=6,求: a +b 的值.

2

2

7、计算: (4) (1) ?4m ? 7n??4m ? 7n? ; (2) 5x ? y
2

?

2

??y

2

? 5x 2 ;

?

(3) ?x ? y ??x ? y ? ? ?x ? 2 y ??x ? 2 y ? ;

56

(5) ?3a ? 2b? ;
2

(5)

2 ?1 2 y ? 1? ;

(6) ?a ? 2b ? 3c ? 2.

8.请用简便方法计算: (1) 1.03 ? 0.97 ; (2)402 ? 398 ;

(3)10022 ;

(4)(99.9)2;

(5)999 ? 1001 ;

(6)1982.

9.先化简,再求值. 已知
2 a?1 2 , b ? 3 ,求: ?a ? 2b ? 1??? a ? 2b ? 1? ? ?a ? 1? 的值.

课后作业:
一、填空题 1.计算题: (y+x) (x-y)=______; (x+y) (-y+x)=______; (-x-y) (-x+y)=______; (-y+x) (-x-y)=______; 2.直接写出结果: (1) (2x+5y) (2x-5y)=________; (2) (x-ab) (x+ab)=______; 2 2 m n (3) (12+b ) (b -12)=________; (4) (a -b ) (bn+am)=______; (5) (3m+2n)2=________; (7) ( ) =m2+8m+16;


b (6) (2a ? )2 ? ______; 3

2 (8) (1.5a ? b)2 =______; 3
)=1-9x2.

3.在括号中填上适当的整式: (1) (m-n) ( )=n2-m2; (2) (-1-3x) ( 4.多项式 x2-8x+k 是一个完全平方式,则 k=______. 5. x ?
2

1 1 1 ? ( x ? ) 2 ? ______= ( x ? ) 2 +______. 2 x x x

二、选择题 6.下列各多项式相乘,可以用平方差公式的有( ) ①(-2ab+5x) (5x+2ab) ②(ax-y) (-ax-y) ③(-ab-c) (ab-c) ④(m+n) (-m-n) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 7.下列计算正确的是( ) 2 A. (5-m) (5+m)=m -25 B. (1-3m) (1+3m)=1-3m2 C. (-4-3n) (-4+3n)=-9n2+16 D. (2ab-n) (2ab+n)=2a2b2-n2 8.下列等式能够成立的是( )
57

A. (a-b)2=(-a-b)2 B. (x-y)2=x2-y2 C. (m-n)2=(n-m)2 D. (x-y) (x+y)=(-x-y) (x-y) 2 2 2 9.若 9x +4y =(3x+2y) +M,则 M 为( ) A.6xy B.-6xy C.12xy D.-12xy

三、解答题
1、用完全平方公式计算 (1)(1+x)2 (2) (y-4)2 (3) ( x ? 2y)2 (4)(2xy+ x )2

2. 一个正方形的边长为 acm。若边长减少 6cm,则这个正方形的面积减少了多少?

3.纠 错 练 习: 下 面的计算是否正确?如有错误,请改正: (1) (x+y)2=x2+y2; (2) (-m+n)2=-m2 +n2; (3) (-a? 1)2=-a2? 2a? 1.

4.计算: (a+b+c)2

5.小兵计算一个二项整式的平方式时,得到正确结果是 4x2+( )+25y2,但中间一项不慎被污染了,这一项应 是( ) A 10xy

B 20xy

C±10xy

D±20xy

6.已知 a+b=2,ab=1, 求 a2+b2、(a-b)2 的值.

四、计算题 10. (xn-2) (xn+2)

12. (3x+0.5) (0.5-3x)

11. (

2m 3n 3n 2m ? )(? ? ) 3 4 4 3

14.

2x ? 3 y 3 y ? 2x . 2 3

12. (3mn-5ab)2

16. (-4x3-7y2)2

17. (5a2-b4)2

58

五、解答题 13.用适当的方法计算. (1)1.02 ?0.98

2 11 (2) 1 ? 13 13
(4)20052-4010?2006+20062

1 (3) (40 ) 2 2

14.若 a+b=17,ab=60,求(a-b)2 和 a2+b2 的值.

提高强化作业:
一、填空题 1. (a+2b+3c) (a-2b-3c)=(______)2-(______)2; (-5a-2b2) (______)=4b4-25a2. 2.x2+______+25=(x+______)2; x2-10x+______=(______-5)2; x2-x+______=(x-______)2; 4x2+______+9=(______+3)2. 3.若 x2+2ax+16 是一个完全平方式,是 a=______. 二、选择题 4.下列各式中,能使用平方差公式的是( ) 2 2 2 2 2 A. (x -y ) (y +x ) B. (0.5m -0.2n3) (-0.5m2+0.2n3) C. (-2x-3y) (2x+3y) D. (4x-3y) (-3y+4x) 5.下列等式不能恒成立的是( ) 2 2 2 A. (3x-y) =9x -6xy+y B. (a+b-c)2=(c-a-b)2 C. (0.5m-n)2=0.25m2-mn+n2 D. (x-y) (x+y) (x2-y2)=x4-y4 1 1 6.若 a ? ? 5, 则 a 2 ? 2 的结果是( ) a a A.23 B.8 C.-8 D.-23 2 7. (a+3) (a +9) (a-3)的计算结果是( ) 4 4 A.a +81 B.-a -81 C.a4-81 D.81-a4 三、计算题 8. (x+1) (x2+1) (x-1) (x4+1) 9. (2a+3b) (4a+5b) (2a-3b) (4a-5b)

10. (y-3)2-2(y+2) (y-2)
59

11. (x-2y)2+2(x+2y) (x-2y)+(x+2y)2

四、计算题 12.当 a=1,b=-2 时,求 [( a ?

1 2 1 1 b) ? (a ? b) 2 ]( 2a 2 ? b 2 ) 的值. 2 2 2

13.巧算: (1 ?

1 2
2

)(1 ?

1 3
2

)(1 ?

1 4
2

)?? (1 ?

1 20082

).

14.计算: (a+b+c)2.

15.若 a4+b4+a2b2=5,ab=2,求 a2+b2 的值.

16.若 x2-2x+10+y2+6y=0,求(2x+y)2 的值.

17.若△ABC 三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca.试问△ABC 的三边有何关系?

60

第十一讲
复习:1、同底数幂的相乘:a ?a =a
m n m n

整式除法讲义
(m,n 都是正整数)
p

m?n

a ?a ???a =a 2、幂的乘方: (a ) =a ?a ?a ? ? ?a =a 3、积的乘方:积的乘方运算(ab) =a b 乘法公式:
n n n m n m m m m

a ? b ??? p

(m,n, ?,p 都是正整数)
mn

m ? m ??? m

=a

平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 2 立方和、差公式(补充) :(a+b)(a -ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
练习: 1. (a+2b+3c) (a-2b-3c)=(______)2-(______)2; (-5a-2b2) (______)=4b4-25a2. 2.x2+______+25=(x+______)2; x2-10x+______=(______-5)2; x2-x+______=(x-______)2; 4x2+______+9=(______+3)2. 3.若 x2+2ax+16 是一个完全平方式,是 a=______. 4. (?

2 2 3 1 x yz).( ? z 2 ).( xy 2 z) 3 4 2

5.[4(a-b)m 1]?[-3(a-b)2m]


整式除法、知识点一:同底数幂的除法 法则: 同底数幂相除, 要点诠释: (1)公式左边是同底数的幂且是 指数是左边两个幂的指数的 ; 的关系,右边是一个 ,且底数是左边幂的底数, 不变, 指数 . 公式: 且 m ? n ). a m ? a n ? _     _ _ (a ? 0, m, n 均为正整数,

(2)公式可以逆用,即可以从_____边计算到____边; (3)此公式也适用于三个或三个以上的同底数幂相除,如

am ? an ? ak ? _      _ _ _ _ ( m, n, k 为正整数, m ? n ? k );
( 4 )要和同底数幂乘法区分开来,共同点是 数 ,同底数幂的除法性质中指数 。 都等于 1,即 a0 ? _     _ (_ _ ? 0) 。 ,其结果为 . 不变:不同点是同底数幂的乘法性质中指

知识点二:任何不等于 0 的数的 注意:底数不为 ,指数为

知识点三:单项式除以单项式
61

法则:单项式除以单项式,把系数和同底数幂分别 母,则连同指数作为 要点诠释: (1)系数相除作 的一个因式.

作为商的因式,对于只在被除式中含有的字

,注意单项式的系数包括它前面的



(2)同底数幂相除作为商的一个因式; (3)只在被除式中含的字母,则连同指数作为______的一个 ,不要漏掉。

知识点四:多项式除以单项式 法则:多项式除以单项式:先把多项式的 m= 公式:(am+bm+cm)÷ 要点诠释: (1)多项式中的“每一项”是指具有性质 (2)所得商仍是 的项; ,在相除过程中不要漏除; 除以这个 = ,再把所得的 相加。

,项数与多项式(无同类项)的项数

(3)商的符号的确定与去括号法则基本一致,如果除式的符号为正,那么商中各项符号与原多项式 符号一样,如果除式的符号为负,那么商中各项符号与原多项式的各项项符号都 .

类型一:同底数幂的除法运算 例 1.下列运算是否正确?对错题指出原因,并加以改正。

(1)a6 ? a 2 ? a6?2 ? a3
(3) x 6 ? x 3 ? x 3

(2)a 5 ? a 5 ? a

(4)(? x) 4 ? (?x) 2 ? ? x 2
(6)(?c) 7 ? (?c 5 ) ? c 2

(5)(a ? b) 6 ? (b ? a) 3 ? (a ? b) 3

思路点拨: (1)指数相除,应为指数 (2) (3)此题是 为 ,而不是指数 ;

(对或错)在将指数相除,或误认为 a 0 ? a : 不是 , x 6与 ? x 3 不是 ,不能合并;

( 4 )错在把幂的符号与底数的符号相混淆,或者在乘方改变底数符号时产生错误,正确结果应 ; (5)______(对或错)在将不同底的幂当作 的幂,或在不同底幂化成 幂相乘时产

生符号错误,应为



3 3 4 3 2 2 3 (a3)2 例 2.计算:〔(a ) (-a ) 〕 ÷(a ) ÷

62

举一反三:【变式】 ( x ? y)2m?1 ? __________ ? [( x ? y)2m?1 ]3
5x 103y 的值。 例 3.若 5x-3y-2=0,求 10 ÷

举一反三: 【变式 1】已知 x =8,x =5,求 x
m n m- n

的值;

【变式 2】若 3 =6,9 =2,求 3

m

n

2m-4n+1

的值

m n 2m-2n+2 【变式 3】若 2 =6,4 =2,求 2 的值.

类型二:单项式除以单项式 例 4.计算 (1)(a2n+2b3c)÷ (2anb2) (2)(x-y)5÷ (y-x)3

(3)( 2 x3y2)3÷ ( 1 xy)2
3 2

(4)(3xy2)2· (2xy)÷ (6x3y3)

例 5.已知:8a3bm ÷ 28anb2= 2 b2,求 m、n 的值
7

举一反三: 【变式】已知(- 1 xyz)2· m= 1 x2n+1yn+3z4÷ 5x2n 1yn+1z,求 m.


3

3

类型三:多项式除以单项式 例 6.计算:
2 2 3 2 xy-2y2· xy3· y (1)[(xy ) +3xy · (xy) ]÷ 3 2 (2)[(x+y) -2(x+y) +6(x+y)]÷ (x+y)

例 7.已知(15ab

n+2

2 2n (-3abm)=-5b3+3ab5,求(m+n)2+(n-m)2+(n+m)(n-m)的值。 -9a b )÷

63

举一反三:
3 2 2 【变式】已知多项式 2a -4a -a 除以一个多项式 A,得到商式为 2a,余式为 a -a,求这个多项式.

课后练习: 一、判断题 1.x3n÷xn=x3 ( ) ( )

3.26÷42?162=512

1 1 ( ) xy ? ? x 2 2 4. (3ab2)3÷3ab3=9a3b3 ( )
2. ( ? x 2 y ) ?

二、填空题 5.直接写出结果: (1) (28b3-14b2+21b)÷7b=______; (2) (6x4y3-8x3y2+9x2y)÷(-2xy)=______; (3) (

2 4 2 2 y ? 7 xy 2 ? x 2 y 2 ? x 3 y ) ? (? y ) ? ______. 5 3 3

6.已知 A 是关于 x 的四次多项式,且 A÷x=B,那么 B 是关于 x 的______次多项式. 三、选择题 7.25a3b2÷5(ab)2 的结果是( ) A.a B.5a C.5a2b D.5a2 8.已知 7x5y3 与一个多项式之积是 28x7y3+98x6y5-21x5y5,则这个多项式是( ) A.4x2-3y2 B.4x2y-3xy2 C.4x2-3y2+14xy2 D.4x2-3y2+7xy3 四、计算题

3 3 9. a 2b 4 ? ab3 8 2

10. (?

1 2 4 x y ) ? 0.5 x 2 y 2 2

11. (?

2 4 3 4 1 a x y ) ? (? a 2 y 3 x 2 ) 5 2

12. 5( x ? y) 6 ?

10 ( x ? y) 2 3

13. (?

3 6 3 6 3 4 a x ? a x ? 0.9ax 5 ) ? 0.6ax 3 4 5

14.[2m(7n3m3)2+28m7n3-21m5n3]÷(-7m5n3)

五、解答题 15.先化简,再求值:[5a4?a2-(3a6)2÷(a2)3]÷(-2a2)2,其中 a=-5.

16.已知长方形的长是 a+5,面积是(a+3) (a+5) ,求它的周长.

64

17.月球质量约 5.351?1022 千克,地球质量约 5.977?1024 千克,问地球质量约是月球质量的多少倍?(结 果保留整数) .

第十二讲
考点·方法·破译

因式分解及其应用

1.因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解, 也叫做把这个多项式分解因式; 2.因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等; 3.因式分解的基本原则:有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止; 4.竞赛中常出现的因式分解问题,常用到换元法、主元法、拆项添项阿、配方法和待定系数法等方法、 另外形如 x2 ? px ? q 的多项式,当 p=a+b,q=ab 时可分解为(x+a) (x+b)的形式; 5.利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.

经典·考题·赏析
【例1】 ⑴若 x2 ? kxy ? 9 y 2 是完全平方式,则 k=______________ ⑵若 x2 ? 5 xy ? ky 2 是完全平方式,则 k=______________

【变式题组】 1.若 m2 ? kmn ? 9n2 是一个完全平方式,则 k=________ 2.若 x2 ? y 2 ? 6 x ? 10 y ? 34 ? 0 ,求 x、y 的值.
1 9

3.若 a 2 ? a 2b2 ? 4ab ? b2 ? 1 ? 0 ,求 a、b 的值.

4. (四川省初二联赛试题)已知 a、b、c 满足 | 2a ? 4 | ? | b ? 2 | ? (a ? 3)b2 ? a2 ? c2 ? 2 ? 2ac ,求 a ? b ? c 的值.

【例 2】⑴(北京)把 x3 ? 2 x2 y ? xy 2 分解因式,结果正确的是(
65



A. x( x ? y )( x ? y )

B. x( x2 ? 2 xy ? y 2 )

C. x ( x ? y ) 2

D. x ( x ? y ) 2

⑵(杭州)在实数范围内分解因式 x4 ? 4 =____________ ⑶(安徽)因式分解 a2 ? b2 ? 2b ? 1 =_______________ 【变式题组】 ⑴ 3x3 y 2 ? 6 x2 y3 ? 12 x2 y 2

⑵ 2a( x2 ? 1)2 ? 2ax2

⑶ 20a 2bx ? 45bxy 2

⑷ 49(a ? b)2 ? 16(b ? a)2

⑸ (a2 ? 5)2 ? 8(5 ? a2 ) ? 16

【例 3】要使二次三项式 x2 ? 5 x ? p 在实数范围内能进行因式分解,那么整数 P 的取值可能有( A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.无数多个



【变式题组】 ⑴已知 x 2 ? ax ? 12 能分解成两个整系数的一次因式的乘积,则符合条件的整数 a 的个数是( ) A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 ⑵在 1~100 间,若存在整数 n,使 x2 ? x ? n 能分解为两个整系数的一次因式的乘积,则这样的 n 有__个 【例 4】分解因式:⑴ 2 x 2 ? 11x ? 12 ⑵ x2 ? 4 y 2 ? z 2 ? 4 yz

⑶ ( x2 ? 5 x ? 2)( x2 ? 5 x ? 3) ? 12

⑷ x2 ? xy ? 6 y 2 ? x ? 13 y ? 6

【变式题组】 1.分解因式: ⑴ x2 ? 4 y 2 ? 9 z 2 ? 12 yz

⑵ 4 x2 ? 4 x ? y 2 ? 4 y ? 3

66

⑶ ab ? 2a ? 3b ? 6

⑷ ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? 1

⑸ 6 y2 ? 19 y ? 10 【例 5】⑴(上海竞赛试题)求方程 6 xy ? 4 x ? 9 y ? 7 ? 0 的整数解; ⑵(希望杯)设 x、y 为正整数,且 x2 ? y 2 ? 4 y ? 96 ? 0 ,求 xy 的值

【变式题组】 1.设 x、y 是正整数,并且 y 2 ? x2 ? 2132 ,则代数式
2 x2 ? xy ? y 2 的值是___________ x? y

2.(第二届宗沪杯)已知 a、b 为整数,则满足 a+b+ab=2008 的有序数组(a,b)共有__________ 3. (北京初二年级竞赛试题)将 2009 表示成两个整数的平方差的形式,则不同的表示方法有( ) A.16 种 B.14 种 C.12 种 D.10 种 3 3 2 2 4.方程 x ? y ? x y ? xy ? 32 的正整数解的个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.不少于 3 个 5.一个正整数,如果加上 100 是一个完全平方数:如果加上 168 则是另外一个完全平方数,求这个正整数.

【例 6】已知 k、a 都是正整数,2004k+a、2004(k+1)+a 都是完全平方数 ⑴请问这样的有序正整数(k、a)共有多少组? ⑵试指出 a 的最小值,并说明理由.

【变式题组】 1.已知 a 是正整数,且 a 2 ? 2004a 是一个正整数的平方,求 a 的最大值.

2.设 x、y 都是整数, y ? x ? 524 ? x ? 500 ,求 y 的最大值

67

演练巩固 反馈提高
1.如果分解因式 81 ? xn ? (9 ? x2 )(3 ? x)(3 ? x) ,那么 n 的值为( A.2 B.4 C.6 D.8 2 2 x ? pxy ? qy ? ( x ? 3 y )( x ? 3 y ) 2.若多项式 ,则 p、q 的值依次为( ) )

A. ?12 , ?9 B.6, ?9 C. ?9 , ?9 D. 0 , ?9 3.下列各式分解因式正确的是( ) A. 9 x2 ? 1 ? (9 x ? 1)(9 x ? 1) B. a4 ? 1 ? (a2 ? 1)(a2 ? 1) C. ?81a2 ? b2 ? ?(9a ? b)(9a ? b) D. (?a)3 ? ab2 ? ?a(a ? b)(a ? b) 4.多项式 ( x ? y ? z )( x ? y ? z ) ? ( y ? z ? x)( z ? x ? y ) 的公因式是( ) A. x ? y ? z B. x ? y ? z C . y ? z ? x D.不存在 2 2 5. (m ? n) ? 4m(m ? n) ? 4m 分解因式的结果是( ) 2 2 2 A. ( m ? n ) B. ( m ? 2 n ) C . ( m ? n ) D. ( m ? 2 n ) 2 6.若 x 2 ? ax ? 18 能分解成两个因式的积,则整数 a 的取值可能有( A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.无数个 7.已知 a 2 ? b2 ? 4a ? 2b ? 5 ? 0 ,则 A.3 B.
1 3 a?b 的值为( a ?b



) D. ?
1 3

C. ?3

8.分解因式: ( x ? 2)( x ? 4) ? x2 ? 4 =__________________ 9.分解因式: a 2 ? b2 ? 4a ? 2b ? 3 =__________________ 10.分解因式: x3 y3 ? 2 x2 y 2 ? xy =___________________ 11.已知 a ? b ? 5 , ab ? ?4 ,那么 a 2b ? 3a 2b2 ? ab2 的值等于____________ 12.分解因式: x2 ? 4 y 2 ? x ? 2 y =_______________ 13.分解因式: (a ? b)2 ? 6(b ? a) ? 9 =_________________ 14.分解因式: (4a 2 ? 1)2 ? 16a2 =___________________ 15.已知 m ? 2n ? 0 ,则 m3 ? 2mn(m ? n) ? 4n3 的值为_____________ 16.求证: 817 ? 279 ? 913 能被 45 整除

17.已知 296- 1 可被在 60 到 70 之间的两个整数整除,求这两个整数

68

培优升级 奥赛检测
1. (四川省初二数学联赛试题)使得 3n ? 81 为完全平方数的正整数 n 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2. (四川省初二数学联赛试题)设 m、n 是自然数,并且 19n2 ? 98n ? m ? 0 ,则 m+n 的最小值是( ) A.100 B.102 C.200 D.不能确定 3. (四川省初二数学联赛试题)满足方程 x3 ? 6 x2 ? 5 x ? 27 y3 ? 9 y 2 ? 9 y ? 1 的正整数对(x,y)有( ) A.0 对 B.1 对 C.3 对 D.无数对 4. (全国初中数学竞赛试题)方程 x3 ? 6 x2 ? 5 x ? y3 ? y ? 2 的整数解(x,y)的个数是( )

A.0 B.1 C.3 D.无穷多 4 2 5. (四川省初二数学试题)已知 M ? p ( p q ? 1) ,其中 p、q 为质数,且满足 q ? p ? 29 ,则 M=() A.2009 B.2005 C.2003 D.2000 6. (仙桃竞赛试题)不定方程 2( x ? y ) ? xy ? 7 的所有整数解为_________________ 7.已知多项式 2 x2 ? 3xy ? 2 y 2 ? x ? 8 y ? 6 可以分解为 ( x ? 2 y ? m)(2 x ? y ? n) 的形式,那么
m3 ? 1 的值是______ n2 ? 1

8.对于一个正整数 n,如果能找到 a、b,使得 n=a+b+ab,则称 n 为一个“好数” ,例如:3=1+1+1? 1,3 就是一个好数,在 1~20 这 20 个正整数中,好数有_______个 9.一个正整数 a 恰好等于另一个正整数 b 的平方,则称正整数 a 为完全平方数,如 64 ? 82 ,64 就是一个完 全平方数;若 a ? 29922 ? 29922 ? 29932 ? 29932 ,求证 a 是一个完全平方数

10.已知实数 a、b、x、y 满足 a ? b ? x ? y ? 2 , ax ? by ? 5 ,求 (a2 ? b2 ) xy ? ab( x2 ? y 2 ) 的值

11.若 a 为自然数,则 a 4 ? 3a 2 ? 9 是质数还是合数?请你说明理由

12.正数 a、b、c 满足 ab ? a ? b ? bc ? b ? c ? ca ? c ? a ? 3 ,求 ( a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) 的值
69

第十三讲
考点?方法?破译
1.分式的概念和性质

分式的概念?性质与运算
A B A B

若 A、B 表示两个整式,且 B 中含有字母,则形如 本性质:
( M ? 0) B B ?M B B?M 2.分式的运算法则 a b a?b ⑴同分母相加减: ? ? ; c c c a c ad ? bc ⑵异分母相加减: ? ? ; b d bd a c ac ⑶分式的乘法: ? ? ; b d bd a c a ? c ad ? (4)分式的除法: ? ? ; b d b ? d bc A ? A?M

的式子叫分式,当 B≠0,分式

有意义.分式基



A

?

A? M

a n a (5)分式的乘方: . ( ) ? n (n 为正整数) . b b

n

经典?考题?赏析
【例 1】(南宁)要使式子
x ?1 有意义,x 的取值范围是( x
)

A.x≠1 B.x≠0 C.x>—1 且 x≠0 D. x≥—1 且 x≠0

【变式题组】 1.使分式

x ?1 有意义,则 x 应满足( ( x ? 1)( x ? 2)

) D.x≠1 或 x≠2

A.x≠1 B.x≠2 2.下列分式一定有意义的是( )

C.x≠1 且 x≠2

x A. 2 x ?2
3.若对于分式
2

x ?1 B. 2 x

b C. 2 a ?a

y2 D. y ?1

1 1 ,不论 x 取何实数, 2 总有意义,则 m 的取值范围是_________. x ?m x ?m
70

4. (希望杯)若分式

1 ;不论 x 取何实数总有意义,则直线 y=mx-m 一定经过____象限. x ? 2x ? m
2

【例 2】 (天津)若分式

x2 ? x ? 2 的值为 0,则 x 的值等于________________. x2 ? 2 x ? 1

【变式题组】 1.若代数式

x ?1 x ?1 ? 有意义,则 x 的取值范围是( x?2 x?3
B.x≠2 且 x≠-3 C.x≠-3

) D.x≠2, x≠-3 且 x≠1

A.x≠2 2.若式子

( x ? 8)( x ? 1) 的值为 0,则 x 的值为______________. x ?1
x2 ? 9 的值为 0,则 x 的值为______________. x2 ? 4 x ? 3 x ?3 的值为零,则 x 的值为______________. x ? 2x ? 3
2

3.若分式

4. (青海)

【例 3】 (内蒙古包头)化简 ( A. ?

x2 ? 4 2? x x ? )÷ ,其结果是( 2 x ? 4x ? 4 x ? 2 x?2
B.

)

8 x?2

8 x?2

C. ?

8 x?2

D.

8 x?2

【变式题组】 1. (上海)计算:

2a ? 2 a2 ? 1 ? (a ? 1) ? 2 a ?1 a ? 2a ? 1

2. (南充)化简:

x ? 1 x2 ? 2 x ? 1 1 ? ? 2 x?2 x ?4 x ?1

71

3. (襄樊)计算: (

a?2 8 a?2 ? )? 2 2 a ? 2a 4 ? a a

4. (常德)化简:

y?3 5 ?(y? 2? ) 4y ?8 y?2

【例 4】计算:

1 1 2 4 ? ? ? 2 1? x 1? x 1? x 1? x4

【变式题组】 1.计算:

1 2 2 1 ? ? ? x ? 2 x ?1 x ?1 x ? 2

2.化简:

1 1 1 1 ? ? ? x ? 1 ( x ? 1)( x ? 2) ( x ? 2)( x ? 3) ( x ? 3)( x ? 4)

3.计算:

a b c ? ? (a ? b)(a ? c) (b ? c)(b ? a ) (c ? a )(c ? b)

演练巩固 反馈提高
72

1.下列各式计算正确的是( A. ?

) B.

c b c?b ? ?? a a a

x ?1 1? x ? ?0 2 ( x ? 1) (1 ? x ) 2

a?c a?c a b 1 ? ?0 ? 2 ? D. 2 2 2 a b a ?b a ?b a?b a a ?1 a 2.已知 a>1, A ? ,B ? , C? ,则 A、B、C 的大小关系是( a ?1 a a ?1
C. A.A>B>C B.A>C>B ) C.C>B>A D.C>A>B

)

b2 a 3. (陕西)化简 (a ? )? 的结果( a a?b
A.a-b B.a+b

C.

1 a?b

D.

1 a?b

4.(黄冈)化简 ( A.-4

a a 4 ? a2 ? )? 的结果是( a?2 a?2 a
B.4 )(错) C.2a

) D.-2a

x 3 y 2 xz yz 2 5.化简 ( ) ? ? ( ) 等于( x y x2
y2 ? z3 A. x2
6.下列计算中,① ( B. x y z
3 3

C. xy z

4 4

D. y z

5

2a 2 3 8a 6 2 x2 2 4 x4 ?2a 2b 3 8a 6b3 ) ? ? 3 ;② ( ; ) ? 2 ;③ ( ) ? ?c c 3y 6y 3 y2 27 y 6

④(

x2 y ? x3 2 y3 2x 2 1 ) ? 4 x 2 y ? 2 ;⑤ ( 2 )3 ? ( ) ? 4 , 其中正确的有___________(填序号). ?y y ?z z z

x? y x2 ? y2 7. (成都)化简: 1 ? ? ? _____________. x ? 3 y x 2 ? 6 xy ? 9 y 2
3x ? 3 的值是整数,则符合条件的 x 的值是______________. x2 ?1 a b 1 1 ? ? 9. (枣庄)a、b 为实数,且 ab=1,设 P= , Q= ,则 P__________Q.(填“>” 、 a ?1 b ?1 a ?1 b ?1
8.若整数 x 能使分式 “<”或“=”) 10.计算: ⑴

x 2 y ? x3 x x? y ; ? ? 2 2 2 x ? 2 xy ? y x ? y x ? 2 xy ? y 2



a 2 ? 2ab a2 2ab ? ( ? ); 2 ? ab ? b a ? b 2b ? a

73

11.设 y ?

2( x 2 ? 1) ( x ? 1)2 ,先化简 y,然后确定当 x 取什么整数时,能使 y 的值是正整数. ? (1 ? x)3 ( x ? 1)2

第十四讲
考点?方法?破译

分式的化简求值与证明

1. 分式的化简、求值 先化简,后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略,有条件的化简求值题,条件可直接使用,变形 使用,或综合使用,要与目标紧紧结合起来;无条件的化简求值题,要注意挖掘隐含条件,或通过分式巧妙 变形,使得分子为 0 或分子与分母构成倍分关系特殊情况,课直接求出结果. 2. 分式的证明 证明恒等式,没有统一的方法,具体问题还要具体分析,一般分式的恒等式证明分为两类:一类是有附 加条件的,另一类是没有附加条件的,对于前者,更要善于利用条件,使证明简化.

经典?考题?赏析
【例 1】 (湖南常德)先化简代数式( 值.

x ?1 2x 1 + 2 )÷ 2 ,然后选取一个使原式有意义的 x 的值代入求 x ? 1 x ?1 x ?1

【变式题组】 1. (黄石)先化简,再求值

36 ? a 2 6?a a?5 ? ? 2 ,其中 a=2 2 . 2 a ? 10a ? 25 2a ? 10 a ? 6a

2. (荆门)已知 x=2+ 3 ,y=2- 3 ,计算代数式 ?

? x? y x? y? ? 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 的值 y ? ? x? y x? y? ? x

74

a 2 ? b2 2ab ? b 2 3. (齐齐哈尔)先化简: 2 ÷(a+ ),当 b=-1 时,请你为 a 任选一个适当的数代入求值. a ? ab a

4.(咸宁)先将代数式(x- 求值.

x 1 )÷(1+ 2 )化简,再从-3<x<3 的范围内选取一个合适的整数 x 代入 x ?1 x ?1

【例 2】已知

1 1 2 x ? 3xy ? 2 y + =5,求 的值. x y x ? 2 xy ? y

【变式题组】 1. (天津)已知 A.6

1 1 a ? 2ab ? b - =4,则 的值等于( ) a b 2a ? 2b ? 7 ab 2 2 B.-6 C. D. ? 15 7

2.若 x+y=12,xy=9,求的

2 x ? 3xy ? 2 y 值. x 2 y ? xy 2

3.若 4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,求

2 x2 ? 3 y 2 ? 6 z 2 的值. x2 ? 5 y 2 ? 7 z 2

75

x x2 【例 3】 (广东竞赛)已知 2 =1,求 4 的值. x ? 3x ? 1 x ? 9 x2 ? 1

【变式题目】

1 x2 1.若 x+ =4,求 4 的值. x x ? x2 ? 1

2.若 a +4a+1=0,且

2

a 4 ? ma 2 ? 1 =5 求 m. 3a3 ? ma 2 ? 3a

【例 4】已知

1 1 ab bc 1 ac abc = , = , = ,求 的值. a?b 3 b?c 4 a?c 5 ab ? ac ? bc

【变式题组】 1. (四川联赛试题) 实数 a、 b、 c 满足:

1 bc 1 ab 1 ac = , = , = , 则 ab+bc+ac= a?b 3 b?c 4 a?c 5

.

2. (天津初赛试题)已知

xz xy yz =2, =3, =4,求 7x+5y-2z 的值. x?z x? y y?z

76

【例 5】若

a?b c?b a?c ( a ? b)(c ? b)(a ? c ) = = ,求 的值. c a b abc

【变式题组】 1.已知 x、y、z 满足

2 5 3 5x ? y = = ,则 的值为( x y?z z?x y ? 2z
1 3
C. ?



A.1

B.

1 3

D.

1 2

2.(天津竞赛题)已知 a、b、c 为非零实数,且 a+b+c≠0,若

a ? b ? c a ? b ? c ?a ? b ? c = = ,求 c b a

( a ? b)(b ? c )(c ? a ) 的值. abc

【例 6】已知 abc=1,求证:

a b c + + =1 ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ac ? c ? 1

【变式题组】

1 1 1 2 2 2 = b ? = c ? ,a≠b≠c 则 a +b +c =( ) b c a 7 1 A.5 B. C.1 D. 2 2 1 1 1 1 2. (四川省初二数学联赛试题)已知不等于零的三个数 a、b、c 满足 ? ? ? .求证:a、b、c a b c a?b?c
1. (四川省初二数学联赛试题)已知 a ? 中至少有两个数互为相反数.

77

3.若:a、b、c 都不为 0,且 a+b+c=0,求

1 1 1 ? 2 ? 2 的值. 2 2 2 2 b ? c ? a c ? a ? b a ? b2 ? c 2
2

演练巩固 反馈提高
1.已知 x- A.11

1 3 2 =3,那么多项式 x -x -7x+5 的值是( x
B.9 C.7 D. 5



2.若 M=a+b,N=a-b,则式子

M ?N M ?N - 的值是( M ?N M ?N
C.
2



A.

a2 ? b2 ab
2

B.

a2 ? b2 2 ab

a 2 ? b2 ab
2

D. 0

1 = 5x ? 2 x ? 5 a?b 2 2 4.(烟台)设 a>b>0,a +b -6ab=0,则 = b?a 1 5.已知 a=1+2n,b=1+ n ,则用含 a 的式子表示 b 是 2 b a 6. a+b=2,ab=-5,则 ? = . a b
3. (内江)已知 5x -3x-5=0,则 5x -2x - 7.若 a= ? ? ? ,b=- ?
?1

. . .

? 3? ? 4?

?5

?3? ?3? ? ,c= ? ? ,试把 a、b、c 用“<”连接起来为 ?4? ?4?
.

5

?5

.

5 m m n2 ?n? ? ? 2 8.已知 ? ? = ,求的 值为 3 m ? n m ? n m ? n2 ?m?

1 ?1? 9.若 2 = , ? ? =81,则 xy 的值为 32 ? 3 ?
x

y

.

? c3 ? ? b 2c ? ? b 2 ? 10.化简 ? 2 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 2 ? 为 ? a b ? ? a ? ? ca ?
11. (桂林)先化简,再求值:

2

?4

.

1 1 ? 2 x? y? 2 ? ?x ? y ? ? ,其中 x= 2 ,y=3. 2x x ? y ? 2x ?

78

12. (思施)求代数式的值:

x2 ? 2x x2 ? 2x ? 1 ? ,其中 x=2+ 2 . x2 ? 4 x2 ? 4

1 ? x2 ? 2 x ? 1 ? 13. (重庆)先化简,再求值: ?1 ? ,其中 x=-3. ?? x2 ? 4 ? x?2?

14.已知:

3x ? 5 A B ? ? ,求常数 A、B 的值. x ? 2x ? 3 x ? 3 x ? 1
2

15.若 a+

1 3 3 2 =3,求 2a -5a -3+ 2 的值. a a ?1

第十五讲
考点·方法·破译

分式方程及其应用

1.分式方程(组)的解法 解分式方程的一般步骤:⑴去分母, 将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也 要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时,可利用分拆思想,
79

把分式化为“整式+分式”的形式,化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式,再 利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程,或利用倒数法使方程更 简便. 2.分式方程增根 在解分式方程时, 通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程), 这就扩大了未知数的取值 范围,可能产生增根.因此,解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数,或解是 负数)时,要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根). 3.列分式方程解应用题 列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的, 但要注意分式方程求出的未知数 的解要双重检验,①检验是否是增根,②检验解是否符合实际意义.

经典·考题·赏析
【例 1】解下列方程: ⑴

x?2 16 - 2 =1 x?2 x ?4 1 2 4 x2 - - =4 2 x?2 4? x x?2
x?4 x?8 x?7 x?5 + = + x?5 x?9 x?8 x?6





【变式题组】 ⑴

1? x 1 = -2 x?2 2?x



x 3( x ? 2) +2= x?2 x



1 2 3 4 - = - x ? 4 x ? 3 x ? 2 x ?1

80



1 4x 2 + 2 + =1 x?2 x ?2 2? x

【例2】当 m 为何值时,分式方程

m 2 3 - = 2 会产生增根? x ? 1 x ?1 x ?1

【变式题组】 1.分式方程

x?2 x?2 16 - = 2 的增根是__________. x?2 x?2 x ?4

2.若分式方程 A.0

? x ? 1?? x ? 1?
C.-1

6



m =1 有增根,则它的增根为( x ?1
D.1,-1

)

B.1

2 m 3.(绥化)若关于 x 的方程 =1- 无解.则 m 的值为___________. x?3 x?3 m 2 3 4.分式方程 - = 2 无解,则 m 的值为___________. x ?1 x ?1 x ? 2 2x ? m 【例3】(杭州)已知关于 x 的方程 =3 的解是正数,则 m 的取值范围是_________. x?2

【变式题组】 1.(孝感)关于 x 的方程 A.a>-1

2x ? a =1 的解是正数,则 a 的取值范围是( x ?1
C. a<-1

)

B. a>-1,且 a≠0
2

D. a<-1,且 a≠-2

2.当 m 为何值时,关于 x 的方程

x x ?1 m = - 的解是正数? x ?1 x?2 x ?x?2

【例4】(山东青岛)某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用 32000 元购进了一批这种运动服,上 市后很快脱销,商场又用 68000 元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的 2 倍,但每套进价
81

多了 10 元. ⑴该商场两次共购进这种运动服多少套? ⑵如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润不低于 20%,那么每套售价至少是多少元?

【变式题组】 1.(泰安)某服装厂准备加工 400 套运动装,在加工完 160 套后,采用了新技术,使得工作效率比原计划提 高了 20%,结果共用了 18 天完成任务,问计划每天加工服装多少套?在这个问题中,设计划每天加工 x 套,则根据题意可得方程为( ) A.

160 160 400 400 ? 160 + =18 B. + =18 x x ?1 ? 20% ? x ?1 ? 20% ? x
160 400 ? 160 + =18 x 20% x
D.

C.

400 400 ? 160 + =18 x ?1 ? 20% ? x

2.(河池)铭润超市用 5000 元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又调拨 11000 元资 金购进该品种苹果,但这次的进货价比试销时每千克多了 0.5 元,购进苹果数量是试销的 2 倍. ⑴试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元? ⑵如果超市将该品种苹果按每千克 7 元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的 400 千克按定 价的七折售完,那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元?

3.(广西梧州)由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程, 甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是 3:2,两队合做 6 天可以完成. ⑴求两队单独完成此项工程各需多少天? ⑵此项工程由甲、乙两队合做 6 天完成任务后,学校付给他们 20000 元报酬,若按各自完成的工程 量分配这笔钱,问甲、乙两队各得到多少元?

演练巩固·反馈提高
1.(牡丹江)关于 x 的分式方程

m =1,下列说法正确的是( ) x?5 A.方程的解是 x=m+5 B. m>-5 时,方程的解是正数 C. m<-5 时,方程的解是负数 D.无法确定
82

2.(安徽)甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作,从第三个工作日起,乙志愿者加盟此项工作, 且甲、乙两人工效相同,结果提前 3 天完成任务,则甲志愿者计划完成此项工作的天数是( ) A.8 B.7 C.6 D.5 3.(上海)用换元法解分式方程 那么这个整式方程是(
2

x ?1 3x x ?1 - +1=0 时,如果设 =y,将原方程化为关于 y 的整式方程, x x ?1 x
)
2 2 2

A. y +y-3=0 B. y -3y+1=0 C. 3y -y+1=0 D. 3y -y-1=0 4.有两块面积相同的试验田,分别收获蔬菜 900 ㎏和 1500 ㎏.已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少 300 ㎏,求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设第一块试验田每亩收获蔬菜 x ㎏,根据题意,可得方 程( )

900 1500 = x x ? 300 1500 900 D. = x x ? 300 x?a 3 5.(牡丹江)若关于 x 的分式方程 - =1 无解,则 a=___________. x ?1 x x 2 6.方程 +3= 的解为___________. x ?1 x ?1 1 2 7.若 x=1 是方程 2 + 2 =0 的解,则 a=___________. x ?a x ?a x 3 8.若 A= ,B= 2 +1,当 x=___________时,A=B. x ?1 x ?1 k k 6 2 10 9.若 x=3 是方程 + =0 的解,则 - 2 ÷ 的值为___________. k ?3 k ?9 k ?3 x?2 2
A. B.

1500 900 = x x ? 300 900 1500 C. = x x ? 300

?1 ? x ? x?2 x 2m ? 10.如果关于 x 的方程 1+ = 2 的解,也是不等式组 ? 2 的一个解,求 m 的取值范 2? x x ?4 ? ?2( x ? 3) ? x ? 8
围.

11.关于 x 的分式方程

k 6 x?3 = - 有解,求 k 的取值范围. x ? 1 x ? x ? 1? x

12.要使关于 x、y 的二元一次方程组 ?

?2 x ? ay ? 16 有正整数解,求整数 a 的值. ?x ? 2 y ? 0

13.某工程准备招标,指挥部接到甲、乙两个工程队的标书,从标书中得知:乙队单独完成这项工程所需天
83

数是甲队单独完成这项工程所需天数的 2 倍,该工程若由甲队先做 6 天,剩下的工程再由甲、乙两队合 作 16 天可以完成. ⑴求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天? ⑵已知甲队每天的施工费用为 0.67 万元,乙队每天的施工费用为 0.33 万元,该工程预算的施工费用为 19 万元.为缩短工期,拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程,问:该工程预算的施工费用是否 够用?若不够用,需要追加预算多少万元?请说明理由.

14.(桂林)在我市某一城市美化工程招标时,有甲、乙两个工程队投标,经测算:甲队单独完成这项工程需要 60 天;若由甲队先做 20 天,剩下的工程由甲、乙合做 24 天可完成. ⑴ 乙队单独完成这项工程需要多少天? ⑵甲队施工一天, 需付工程款 3. 5 万元, 乙队施工一天需付工程款 2 万元.若该工程计划在 70 天内完成, 在不超过计划天数的前提下,是由甲队或乙队单独完成该工程省钱,还是由甲乙两队全程合作完成该 工程省钱?

培优升级·奥赛检测
? xy ? x ? 2y ? 1 ? ? yz 1.(江西决赛试题)若实数 x、y、z 满足方程组: ? ? 2 ,则有( ? y ? 2z ? zx ?3 ? ? z ? 2x

)

A. x+2y+3z=0 B. 7x+5y+3z=0 C. 9x+6y+3z=0 D.10x+7y+z=0 2.(天津初赛试题)某段公路由上坡、平路、下坡三个等长的路段组成,已知一辆汽车在三个路段上行驶的
84

平均速度分别为 V1、V2、V3,则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为(

)

A.

V1 ? V2 ? V3 3

1 1 1 ? ? V V2 V3 B. 1 3

C.

1 1 1 1 ? ? V1 V2 V3

D.

3 1 1 1 ? ? V1 V2 V3

3.(第十八届“希望杯”初二)解分式方程 4.方程

3 5 m + = 2 会产生增根,则 m=___________. x ? 1 x ?1 x ?1

1 1 1 1 + +…+ =1+ 的解是___________. x x ? x ? 1? ? x ? 1?? x ? 2 ? ? x ? 2010?? x ? 2011?

5.(全国初中数学竞赛试题)小王沿街匀速行走,发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车,每隔 3 分钟 从迎面驶来一辆 18 路公交车,假设每辆 18 路公交车行驶速度相同,而且 18 路公交车总站每隔固定时 间发一辆车,那么发车间隔的时间是_________分钟. 6.解下列方程: ⑴

x ?1 1 x?2 1 - = - x?2 x?7 x?3 x?6



x?4 3x ? 2 + =2 3x ? 2 x?4

7.(莆田)国务院决定从 2009 年 2 月 1 日起,“家电下乡”在全国范围内实施,农民购买入选产品,政府按原 价购买总额的 13%给予补贴返还.某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱、电视机两 种家电,已知购买冰箱的数量是电视机的 2 倍,且按原价购买冰箱总额为 40000 元、电视机总额 15000 元.根据“家电下乡”优惠政策, 每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多 65 元, 求冰箱、 电视机各购买多少台? ⑴设购买电视机 x 台,依题意填充下列表格: 项目 购买数量 原价购买 政府补贴 补贴返还 每台补贴 家电种类 (台) 总额(元) 返还比例 总额(元) 返还金额(元) 40000 13% 冰箱 x 15000 13% 电视机 ⑵列出方程(组)并解答.

8.(齐齐哈尔)某电脑公司经销甲种型号电脑,受经济危机影响,电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价
85

比去年同期每台降价 1000 元,如果卖出相同数量的电脑,去年销售额为 10 万元,今年销售额只有 8 万元. ⑴今年三月份甲种电脑每台售价多少元? ⑵为了增加收入,电脑公司决定再经销乙种型号电脑,已知甲种电脑每台进价 3500 元,乙种电脑每台 进价为 3000 元,公司预计用不多于 5 万元且不少于 4.8 万元的资金购进这两种电脑共 15 台,有几种 进货方案? ⑶如果乙种电脑每台售价为 3800 元,为打开乙种电脑的销路,公司决定每售出一台乙种电脑,返还顾 客现金 a 元,要使⑵中所有方案获利相同, a 值应是多少?此时,哪种方案对公司更有利?

八年级上学期数学期末检测
一、选择题(每题 3 分,共 42 分) 1.下列运算正确的是( )

A. a 3 ? a 4 ? a12 C.(?3a 2 )3 ? ?9a 6

B.(a 3 )2 ? a 5 D.(?a 2 )3 ? ?a 6

2. 若(x ? 2)(x ? 3) ?

x 2 ? ax ? b,则 a ,b 的值分别为(



A. a ? 5,b ? 6 C. a ? 1,b ? 6

B. a ? 1,b ? ?6 D. a ? 5,b ? ?6

3.下列每组数分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形的是( ) A.3cm,4cm,8cm B.8cm,7cm,15cm C. 13cm,12cm,20cm D.5cm,5cm,11cm 4 等腰三角形的周长为 13cm,其中一边长为 3cm,则该等腰三角形的底边长为( ) A.7cm B.3cm C.9cm D.5cm 5.如图,从边长为 a 的正方形中去掉一个边长为 b 的小正方形,然后将剩余部分剪后拼成一个长方形,上述 操作能验证的等式是( )

A.(a ? b )(a ? b ) ? a 2 ? b 2 C.(a ? b )2 ? a 2 ? 2ab ? b 2
6.若 x
2

B.(a ? b )2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 D. a 2 ? ab ? a(a ? b )

?2 (m ? 3) x ? 16 是完全平方式,则 m 的值等于( )
86

A.3 B.-5 C.7 D.7 或-1 7.若 x ? m 与 x ? 3 的乘积中不含 x 的一次项,则 m 的值为( ) A.-3 B.3 C.0 D.1 8. 如图,在直角三角形 ABC 中,AC 不等于 AB,AD 是斜边 BC 上的高,DE 垂直 AC,DF 垂直 AB,垂足分别为 E,F 图中与角 C 相等的角(除 C 外)有几个( )

A O B
第15题图

C

A.3

B.4

C.5

D.6

9.如图所示, 亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分, 很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三 角形,那么这两个三角形完全一样的依据是( )

A. SSS

B. SAS

C. AAS

D. ASA

10.直角三角形 ABC 中,AD 是角 BAC 的平分线,DE 垂直 AB,垂足为 E,若 AB=10cm,AC=6cm,则 BE 的长度为 ( ) A.10cm B.6cm C.4cm D.2cm

11. 如 图 , AE 平 行 FD,AE=FD, 要 使 三 角 形 EAC 全 等 于 三 角 形 FDB, 需 要 添 加 下 列 选 项 ( )

A. AB ? CD C.?A ? ?D

B.EC ? BF D. AB ? BC
12.下图中是轴对称图形的共有几个? ( )

A.1

B.2

C.3

D.4
87

座号:

13.下列图形对称轴最多的是( A.正方形 B.等边三角形 A.50° B.80°

) C.等腰三角形 D.线段 D.20°或 80°

14.等腰三角形的一个角是 80 度,则它的底角是( ) C.50°或 80°

二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 15、如图,点 O 在内,且到三边的距离相等,若 ?A =60,则 ?BOC =( 16、 ? ? )。
2012

? 2? ? ? 3?

? ?1.5?

2013

=(



17、计算 ?2a ? 3b??2a ? 3b? ? (

) )

2 18、如果 x ? kx ? 81 是完全平方式,则 k 的值是(

19、若分式

y ?5 5? y

的值为 0,则 y ? (



三、解答题(共 63 分) 20、计算(每题 4 分,共 12 分)
4 ( 1) 、 x ? 16

(2) 、 ?2a ? b? ? 8ab
2

(3) 、 3? y ? z ? ? ?2 y ? z ??? z ? 2 y ?
2

21、解方程(每题 6 分,共 12 分)

(1)

2 2 1 ? ? . 2 x ? 2x ? 1 1 ? 2x ? x 1 ? x2
2

(2)

3 6 ?5 ? 2 . x?5 x ? 25

22、 (6 分)先化简,在求值

?a b ? 2ab
2

2

? b3 ? b ? ?a ? b??a ? b? ,其中 a ?

?

1 , b ? ?1 2

23、 (10 分)如图所示,已知 AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。求证: (1)EC=BF; (2)EC⊥BF F

E

A

88

M B C

24、 (10 分)有一工程需在规定日期内完成,如果甲单独工作,刚好能够按期完成;如果乙单独工作,就要 超过规定日期 3 天.现在甲、乙合作 2 天后,余下的工程由乙单独完成,刚好在规定日期完成,求规定日期 是几天?

25、 (13 分)如图,点 B 在线段 AC 上。点 E 在线段 BD 上, ?ABD ? ?DBC, AB ? DB, EB ? CB ,

M , N 分别是 AE, CD 的中点。试探索 BM 和 BN 的关系,并证明你的结论。

2013-2014 八年级数学上期末复习试卷
一、选择题(本大题共有 8 题,每题 3 分,共 24 分) 1、已知 x ? y ? 6 , xy ? ?2 ,则

1 1 ? 2 ? 2 x y


.

2、以下五家银行行标中,是轴对称图形的有(

A、1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个 ) AC= A? C ? AB= A? B?

3、下列条件中,不能确定 △ABC≌△ A?B ?C ? 的是( .... A、BC= B? C ? ,AB= A? B? ,∠B=∠ B?

B、∠B=∠ B? D、BC= B? C ?
89

C、∠A=∠ A? ,AB= A? B? , ∠C=∠ C ?

4、若等腰三角形的周长为 26cm,一边为 11cm,则腰长为( A.11 ㎝ B.7.5 ㎝ ) C.a2× a4=a8 C. 11 ㎝ 或 7.5 ㎝



D.以上都不对

5、下列计算中正确的是( A、a2+a3=a5 B.a4÷ a=a4

D.(—a2)3=—a6

6、△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,最小边 BC=3cm,最长边 AB 的长为( ) A. 9cm B. 8 cm C. 7 cm D.6 cm

7、在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图) , 通过计算图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是( )

A.a2-b2=(a+b)(a-b) C.(a-b)2=a2-2ab+b2 8、.若关于 x 的分式方程

B. (a+b)2=a+2ab+b2 D.a2-ab=a(a-b)

x m2 ?m ? 无解,则 m 的值为 x ?3 x ?3



二、填空题(本大题共 6 题,每题 3 分,共 18 分,请将正确答案直接写在题后的横线上。 ) 9、若 x ? 1 , y ? A.2
3

1 2 2 ,则 x ? 4xy ? 4 y 的值是( 2 3 B.4 C. 2
2

) D. ) D. x( x ? 1)
2

1 2

10、把多项式 x ? 2 x ? x 分解因式结果正确的是( A. x ( x ? 2 x)
2

B. x ( x ? 2)
2

C. x( x ? 1)( x ? 1)

A

11、如图,在△ABC 中,∠C=错误!未找到引用源。,AD 平分∠ABC, BC=10cm,BD=6cm, 则点 D 到 AB 的距离是______。 B 12、已知点 P(2a+b,b)与 P1(8,-2)关于 Y 轴对称,则 a+b=______。 13、当 a=3,a-b=-1 时,a2-ab 的值是______。 14、下列运算正确的是( A. 2
?3

D

C

? ?6

) B. 4 ? ?2

C. a 2 ? a 3 ? a 5

D. 3a ? 2a ? 5a

2

三、解答题(本大题共 8 题,共 58 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 15、计算: (共 8 分) (1) ? 3 x ? 2 ?? 2 x ? 3? ? ? x ? 1? ;
2

(2)12ab2(abc)4÷ (-3a2b3c)÷ [2(abc)3]
90

16、分解因式: (共 8 分) (1) a ? ab
3 2

(2) 3ax2 ? 6axy ? 3ay 2

17、 (6 分)先化简,再求值: ?x ? 2 y ? ? x?x ? 4 y ? ? 8xy ? 4 y ,其中 x=-1,y=2.
2

?

?

18、解方程(每小题 4 分,共 8 分) ( 1)

1 2 ? 2x x ? 3

(2)

1 2 12 ? ? 2 x ?3 3? x x ?9

19、 (6 分)如图,AB=DE,BE=CF,AB∥DE。求证:∠A=∠D。

A

D

B

E

C

F

20、(6 分)如图,在△ABC 中,∠C=900 ,DE 垂直平分 AB,分别交 AB,BC 于 D,E。若∠CAE=∠B+300 ,求 ∠AEB 的度数

C

E D

B

A

91

21、 (8 分) 已知:在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,点 D 是 AB 的中点,点 E 是 AB 边上一点. (1)直线 BF 垂直于直线 CE 于点 F,交 CD 于点 G(如图①) ,求证:AE=CG; (2)直线 AH 垂直于直线 CE,垂足为点 H,交 CD 的延长线于点 M(如图②) ,找出图中与 BE 相等的线段, 并证明.

22、 (8 分)为了迎接扬州烟花三月经贸旅游节,某学校计划由七年级(1)班的 3 个小组(每个小组人数都 相等)制作 240 面彩旗.后因一个小组另有任务,改由另外两个小组完成制作彩旗的任务,这样这两个小组 的每一名学生就要比原计划多做 4 面彩旗. 如果每名学生制作彩旗的面数相等, 那么每个小组有多少学生?

八年级数学试题 2
一、精心选一选.(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1.下面有 4 个汽车标致图案,其中是轴对称图形的有( )

A.1 个 B.2 个 2.下列运算中,正确的是( A. a ? a ? a
2 2 3 2

C.3 个 ).
2 2 4

D.4 个

B. (a ) ? a
6

C. a ? a ? a

D. (a b) ? a ? b
2 3 2

3

3.如图,一扇窗户打开后,用窗钩 AB 可将其固定,这里所运 用的几何原理是( ) A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
92

4.下列各式从左到右的变形是因式分解的是( A. x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ? 2 C. x -xy+y =(x-y)
2 2 2

).

B. ( x ? y)(x ? y) ? x 2 ? y 2 D. 2 x ? 2 y ? 2( x ? y) ). 19 题图

5. 等腰三角形一边长等于 5,一边长等于 9,则它的周长是( A.14 B.23 C.19 D.19或23

6.三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等,则这点一定是三角形的( A、三条中线的交点; C、三条高的交战; 则∠BCB’的度数为( A.20° 8、如果把分式 ) B.40° C.70° D.90
0



B、三边垂直平分线的交点; D、三条角平分线的交点;

A' B B' C
C D

7. 如图,△ABC≌△A’B’C ,∠ACB=90°,∠A’C B=20°,

A
).

x? y 中的 x 和 y 都扩大 2 倍,那么分式的值( 2 xy

A.不变 B.扩大 2 倍 C.扩大 4 倍 D.缩小 2 倍 9.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠CAB 交 BC A 于 D,DE⊥AB 于 E,且 AB=6 cm ,则△DEB 的周长是( ) A、6 cm
2

第 9 题图

E

B

B、4 cm

C、10 cm

D、以上都不对 )

10.如果 9 x ? kx ? 25 是一个完全平方式,那么 k 的值是( A、30 B、±30 C、15 D±15

二、耐心填一填.(本大题共 10 小题,每小题 2 分,满分 20 分) 11.等腰三角形的一个角为 100°,则它的底角为 12.计算

?? a ?



5 4

? (?a ) =_______。
2 3

13.点 M(3,-4)关于 x 轴的对称点的坐标是 14. 当 x=__________时,分式 15、分式

,关于 y 轴的对称点的坐标是



1 无意义. x?3
17 题图

| x | ?2 的值为零,则 x = x?2

16.

?? 2m ? 3?(_________)= 4m 2 ? 9 ; ?? 2ab ? 3?2 =__________.

17. 某公路急转弯处设立了一面圆型大镜子,从镜子中看 到汽车车的部分号码如图所示,则该车牌照的部分号码为__________. 18、如图,∠ABC=∠DCB,请补充一个条件: ,使△ABC≌△DCB. 19、如图, ?ABC 中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD 平分∠ABC,若 AD=6,则 CD= 20.已知:2 ? 18 题图 。

2 2 3 3 4 4 a a ? 2 2 ? ,3 ? ? 3 2 ? , 4 ? ? 4 2 ? ,?若 10 ? ? 10 2 ? ( a 、b 为正整数) , 3 3 8 8 15 15 b b 则 a ? b ? ______;
93

三、用心做一做.(注意:解答时必须写出必要的解题过程或推理步骤,共 50 分) 21.(本题 12 分,每小题 4 分)分解因式: (1) ? 2m ? 8m n ? 8n
2 2

(2) a ( x ? 1) ? b (1 ? x)
2 2

(3) (m 2 ? n 2 ) 2 ? 4m 2 n 2

22.(本题 6 分)先化简,再求值: ( x ? 3 y) 2 ? ( x ? 3 y)(x ? 3 y) ,其中 x ? 3,y ? ?2

23、 (本题 6 分)化简:

16 ? a 2 a?4 a?2 ? ? 2 a ? 8a ? 16 2a ? 8 a ? 2

24. (6分)已知:如图,已知△ABC, (1)分别画出与△ABC关于 x 轴、 y 轴对称的 图形△A1B1C1 和△A2B2C2 ; (2)写出 △A1B1C1 和△A2B2C2 各顶点坐标; C

A B

25. (本题 6 分) 如图,AC 和 BD 相交于点 O,且 AB//DC,OC=OD 求证:OA =OB。

D O
94

C

A

B

26、(本题6分)已知,如图,点B、F、C、E在同一直线上,AC、DF相交于点G,AB⊥BE,垂足为B,DE⊥ BE,垂足为E,且AB=DE,BF=CE。 求证:AC=DF;

27. (8 分) 如图, △ABC 中, D 是 BC 的中点, 过 D 点的直线 GF 交 AC 于 F, 交 AC 的平行线 BG 于 G 点, DE⊥DF, 交 AB 于点 E,连结 EG、EF. (1)求证:BG=CF. (2)请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系,并说明理由.

A F E B D G C

95


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