当前位置:首页 >> 数学 >>

2013-2014学年安徽省芜湖市三校联考高一(上)期末数学试卷


2013-2014 学年安徽省芜湖市三校联考高一(上) 期末数学试卷

菁优网

www.jyeoo.com

2013-2014 学年安徽省芜湖市三校联考高一(上) 期末数学试卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求 的. ) 2 1. (5 分) (2009?广东)已知全集 U=R,则正确表示集合 M={﹣1,0,1}和 N={x|x +x=0}关系的韦恩(Venn)图 是( ) A. B. C. D.

2. (5 分) (2012?海淀区二模)若 sinθcosθ<0,则角 θ 是( ) A.第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D.第二或第四象限角 3. (5 分)如图所示是函数 y=f(x)的图象,图中曲线与直线无限接近但是永不相交,则以下描述正确的是( )

A.函数 f(x)的定义域为[﹣4,4) B. 函数 f(x)的值域为[0,5] C. 此函数在定义域中不单调 D.对于任意的 y∈[0,+∞) ,都有唯一的自变量 x 与之对应 4. (5 分) (2008?北京)若 a=2 ,b=logπ3,c=log2sin A.a>b>c B.b>a>c
0.5

,则( C.c>a>b

) D.b>c>a

5. (5 分) (2013?重庆)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b)+(x﹣b) (x﹣c)+(x﹣c) (x﹣a)的两个 零点分别位于区间( ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(﹣∞,a)和(a,b) C.(b,c)和(c,+∞)内D.(﹣∞,a)和(c,+∞) 内 内
2

6. (5 分)若函数 y=ax 与 y=﹣ 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax +bx 在(0,+∞)上是( A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增



?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 7. (5 分)已知函数 f(x)=2sin( +2) ,如果存在实数 x1,x2,使得对任意的实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2) , 则|x1﹣x2|的最小值是( A.8π 8. (5 分)已知 A. B. C. ) B.4π

C.2π

D.π 为锐角,则 tan(x﹣y)=( D. )

9. (5 分)函数 f(x)=loga(x ﹣ax) (a>0,a≠1)在[2,3]为增函数,则 a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,1)∪ (1,2) D.(1,2) 10. (5 分)f(x)是定义域为 R 的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x(x﹣2) ;若关于 x 的方程 f (x)﹣f(x)+t=0 的方程有 6 个不相等的实根,求实数 t 的取值范围( ) A. B. C. D.(﹣2,+∞) (0, ) (﹣∞, ) (﹣2, )
2

2

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 2 11. (5 分)已知 tanα=2,则 f(x)=sin α+sinαcosα+2= _________ . 12. (5 分)计算: = _________ .

13. (5 分)幂函数 y=

(m∈N )的定义域为 _________ .

*

14. (5 分) (2013?连云港一模) 已知函数( f x) =

则使 f[f (x) ]=2 成立的实数 x 的集合为

_________ .

15. (5 分)定义运算:a*b= 确命题的序号) ① f( )=

.若 f(x)=sinx*cosx,则下列命题正确有 _________ . (写出所有正

② f(x)的值域为[﹣1,1] ③ f(x)的最小正周期为 2π ④ f(x)在[ ,π]上单调递减 轴对称.

⑤ f(x)关于 x=

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (12 分)已知全集为实数集 R,集合 A={x|y= (Ⅰ )分别求 A∩ B, (?RB)∪ A;
?2010-2015 菁优网

+

},B={x|log2x>1}.

菁优网

www.jyeoo.com (Ⅱ )已知集合 C={x|1<x<a},若 C?A,求实数 a 的取值集合. 17. (12 分)已知函数 f(x)=3sin( + )+3

(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象; (2)求出 f(x)的最小正周期、单调增区间; (3)说明此函数图象可由 y=sinx 的图象经怎样的变换得到.

18. (12 分) (2012?淄博一模)已知函数 f(x)= (Ⅰ )求函数 f(x)的最小正周期和值域; (Ⅱ )若 a 为第二象限角,且 ,求



的值.

19. (12 分)定义:满足方程 f(x)=x 的实数 x 称为函数 f(x)的“不动点”.已知二次函数 f(x)=ax +bx(a≠0) , 满足 f(x+1)为偶函数,且函数 f(x)有且仅有一个不动点. (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)+kx 在(0,4)上是增函数,求实数 k 的取值范围.
2

2

20. (13 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数.

(Ⅰ )求 b 的值; (Ⅱ )判断函数 f(x)的单调性; 2 2 (Ⅲ )若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 21. (14 分) 如图, 有一块边长为 1(百米) 的正方形区域 ABCD, 在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照射角∠ PAQ 始终为 45°(其中点 P,Q 分别在边 BC,CD 上) ,设∠ PAB=θ,tanθ=t. (1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求△ CPQ 的周长 l 是否为定值. (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为多少(平方百米)?

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

2013-2014 学年安徽省芜湖市三校联考高一(上) 期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求 的. ) 1. (5 分) (2009?广东)已知全集 U=R,则正确表示集合 M={﹣1,0,1}和 N={x|x +x=0}关系的韦恩(Venn)图 是( ) A. B. C. D.
2

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 数形结合. 分析: 先化简集合 N,得 N={﹣1,0},再看集合 M,可发现集合 N 是 M 的真子集,对照韦恩(Venn)图即可选 出答案. 2 解答: 解: .由 N={x|x +x=0}, 得 N={﹣1,0}. ∵ M={﹣1,0,1}, ∴ N?M, 故选 B. 点评: 本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解法等基础知识,考查运算求解能力,考 查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
菁优网版权所有

2. (5 分) (2012?海淀区二模)若 sinθcosθ<0,则角 θ 是( ) A.第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D.第二或第四象限角 考点: 象限角、轴线角. 专题: 计算题. 分析: 直接利用三角函数的值的符号,判断 θ 所在象限即可. 解答: 解:因为 sinθcosθ<0,所以 sinθ,cosθ 异号,即
菁优网版权所有



,所以 θ 第二或第四象限角.

故选 D. 点评: 本题考查三角函数值的符号,角所在象限的判断,基本知识的应用. 3. (5 分)如图所示是函数 y=f(x)的图象,图中曲线与直线无限接近但是永不相交,则以下描述正确的是( )

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

A.函数 f(x)的定义域为[﹣4,4) B. 函数 f(x)的值域为[0,5] C. 此函数在定义域中不单调 D.对于任意的 y∈[0,+∞) ,都有唯一的自变量 x 与之对应 考点: 专题: 分析: 解答: 函数的图象. 函数的性质及应用. 通过函数的定义域判断 A 的正误;函数的值域判断 B、C 的正误;利用公式的单调性判断 D 的正误; 解:由已知条件以及函数的图象可知,函数的定义域为[﹣4,0]∪ [1,4) ,所以 A 不正确; 函数的值域为:[0,+∞) ,所以 B、C 不正确; 函数在[﹣4,0],[1,4)是增函数,这个定义域上不是增函数. 所以 D 正确; 故选:D. 点评: 本题考查函数的基本性质:定义域、值域以及单调性的判断与应用.
菁优网版权所有

4. (5 分) (2008?北京)若 a=2 ,b=logπ3,c=log2sin A.a>b>c B.b>a>c

0.5

,则( C.c>a>b

) D.b>c>a

考点: 对数函数的单调区间;对数的运算性质. 分析: 利用估值法知 a 大于 1,b 在 0 与 1 之间,c 小于 0. 解答: 解: ,
菁优网版权所有

由指对函数的图象可知:a>1,0<b<1,c<0, 故选 A 点评: 差值法是比较大小的常用方法,属基本题. 5. (5 分) (2013?重庆)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b)+(x﹣b) (x﹣c)+(x﹣c) (x﹣a)的两个 零点分别位于区间( ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(﹣∞,a)和(a,b) C.(b,c)和(c,+∞)内D.(﹣∞,a)和(c,+∞) 内 内 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数零点存在判定定理可知:在区间(a,b) , (b,c)内分别存在一个零点;又函数 f(x)是二次函数, 最多有两个零点,即可判断出. 解答: 解:∵ a<b<c,∴ f(a)=(a﹣b) (a﹣c)>0,f(b)=(b﹣c) (b﹣a)<0,f(c)=(c﹣a) (c﹣b)>0, 由函数零点存在判定定理可知:在区间(a,b) , (b,c)内分别存在一个零点; 又函数 f(x)是二次函数,最多有两个零点, 因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a,b) , (b,c)内.
菁优网版权所有

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 故选 A. 点评: 熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键.
2

6. (5 分)若函数 y=ax 与 y=﹣ 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax +bx 在(0,+∞)上是( A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增



考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 2 根据 y=ax 与 y=﹣ 在(0,+∞)上都是减函数,得到 a<0,b<0,对二次函数配方,即可判断 y=ax +bx
菁优网版权所有

在(0,+∞)上的单调性. 解答: 解:∵ y=ax 与 y=﹣ 在(0,+∞)上都是减函数, ∴ a<0,b<0, ∴ y=ax +bx 的对称轴方程 x=﹣
2 2

<0,

∴ y=ax +bx 在(0,+∞)上为减函数. 故答案 B 点评: 此题是个基础题.考查基本初等函数的单调性,考查学生熟练应用知识分析解决问题的能力.

7. (5 分)已知函数 f(x)=2sin( +2) ,如果存在实数 x1,x2,使得对任意的实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2) , 则|x1﹣x2|的最小值是( A.8π ) B.4π

C.2π

D.π

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 先根据 f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意实数 x 成立,进而可得到 x1、x2 是函数 f(x)对应的最大、最小值的
菁优网版权所有

x,得到|x1﹣x2|一定是 的整数倍,然后求出函数 f(x)=2sin( +2)的最小正周期,根据|x1﹣x2|=n× =4nπ 可求出求出最小值. 解答: 解:∵ f(x1)≤f(x)≤f(x2) , ∴ x1、x2 是函数 f(x)对应的最大、最小值的 x, 故|x1﹣x2|一定是 的整数倍; ∵ 函数 f(x)=2sin( +2)的最小正周期 T= =8π,

∴ |x1﹣x2|=n× =4nπ(n>0,且 n∈Z) , ∴ |x1﹣x2|的最小值为 4π; 故选:B. 点评: 本题考查了求正弦函数的图象与性质的应用问题,解题时应深刻理解题意,灵活应用基础知识.

8. (5 分)已知

为锐角,则 tan(x﹣y)=(



?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com A.

B.

C.

D.

考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 把已知的两个条件两边分别平方得到① 和② ,然后① +② ,利用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数 公式即可求出 cos(x﹣y)的值,然后根据已知和 x,y 为锐角得到 sin(x﹣y)小于 0,利用同角三角函数 间的关系由 cos(x﹣y)的值即可求出 sin(x﹣y)的值,进而得到答案. 解答: 解:由 , ,
菁优网版权所有

分别两边平方得:sin x+sin y﹣2sinxsiny= ① , cos x+cos y﹣2cosxcosy= ② , ① +② 得:2﹣2(cosxcosy+sinxsiny)= , 所以可得 cos(x﹣y)=cosxcosy+sinxsiny= , 因为 <0,且 x,y 为锐角,
2 2

2

2

所以 x﹣y<0,所以 sin(x﹣y)=﹣

=﹣



所以 tan(x﹣y)=



故选 B. 点评: 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简求值,是一道中档题.学 生做题时应注意角度的范围. 9. (5 分)函数 f(x)=loga(x ﹣ax) (a>0,a≠1)在[2,3]为增函数,则 a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,1)∪ (1,2) D.(1,2) 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 2 x ﹣ax 的对称轴为 x= ,由题意可得,当 a>1 时,
菁优网版权所有

2

2,且 4﹣2a>0,求得 a 的取值范围;当 1>a>

0 时, ≥3,且 9﹣3a>0,在求得 a 的取值范围,将这两个范围并集. 解答: 解:x ﹣ax 的对称轴为 x= ,由题意可得,当 a>1 时, 当 1>a>0 时, ≥3,且 9﹣3a>0,故 a 无解. 综上,1<a<2, 故选 D. 点评: 本题考查对数函数的单调性和特殊点, 体现了分类讨论的数学思想, 得到当 a>1 时, 是
?2010-2015 菁优网
2

2,且 4﹣2a>0,∴ 1<a<2.

2, 且 4﹣2a>0,

菁优网

www.jyeoo.com 解题的关键. 10. (5 分)f(x)是定义域为 R 的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x(x﹣2) ;若关于 x 的方程 f (x)﹣f(x)+t=0 的方程有 6 个不相等的实根,求实数 t 的取值范围( ) A. B. C. D.(﹣2,+∞) (0, ) (﹣∞, ) (﹣2, )
2

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性求出函数的表达式,然后利用换元法将方程转化为关于 m 的一元二次方程,利用数形结 合即可得到结论. 解答: 解:当 x<0 时,﹣x>0, ∵ 当 x≥0 时,f(x)=x(x﹣2) ; ∴ f(﹣x)=﹣x(﹣x﹣2) , ∵ f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴ f(﹣x)=﹣f(x) , 即 f(﹣x)=﹣x(﹣x﹣2)=﹣f(x) , ∴ f(x)=﹣x(x+2) ,x<0, 作出函数 f(x)的图象如图: 设 m=f(x) ,则当 m>1 或 m<﹣1 时,方程有 1 个根, 当 m=1 或 m=﹣1 时,方程有 2 个根, 当﹣1<m<1 时,方程有 3 个根,
菁优网版权所有

则 f (x)﹣f(x)+t=0 等价为 m ﹣m+t=0, 2 要使 f (x)﹣f(x)+t=0 的方程有 6 个不相等的实根, 2 则等价为方程 m ﹣m+t=0 有两个不同的根且﹣1<m<1, 设 g(m)=m ﹣m+t,对称性 x=
2

2

2



则满足





,∴ 0



故选:A.

点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,以及方程根的个数的应用,利用数形结合是解决本题的关键.
?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 11. (5 分)已知 tanα=2,则 f(x)=sin α+sinαcosα+2=
2



考 同角三角函数基本关系的运用. 点: 专 三角函数的求值. 题: 分 原式分母看做“1”,利用同角三角函数间的基本关系化简,弦化切后将 tanα 的值代入计算即可求出值. 析: 解 解:∵ tanα=2, 答:∴ f(x)
菁优网版权所有

=sin α+sinαcosα+2=

2

=

=

=

= 故答案为:



点 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 评:

12. (5 分)计算:

=



考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 将原式分子第一项中的角 47°变形为 30°+17°,利用两角和与差的正弦函数公式化简,抵消合并后约分,再 利用特殊角的三角函数值化简,即可求出值. 解答: 解:原式=
菁优网版权所有

= = 故答案为: 点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键. =sin30°= .

13. (5 分)幂函数 y= 考点: 专题: 分析: 解答:

(m∈N )的定义域为 (0,+∞) .

*

幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 函数的性质及应用. 根据幂指数的特点结合幂函数的图象和性质即可得到函数的定义域.
菁优网版权所有

解:∵ m∈N , ∴ m(m+1)为偶数,
?2010-2015 菁优网

*

菁优网

www.jyeoo.com ∴ 要使幂函数有意义,则 x>0, 即函数的定义域为(0,+∞) , 故答案为: (0,+∞) . 点评: 本题主要考查幂函数的图象和性质,比较基础.

14. (5 分) (2013?连云港一模) 已知函数 ( f x) = 或 x=2} .

则使 f[f (x) ]=2 成立的实数 x 的集合为 {x|0≤x≤1,

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 结合函数的图象可得,若 f[f(x)]=2,洗耳 f(x)=2 或 0≤f(x)≤1,若 f(x)=2,由函数 f(x)的图象 求得 x 得范围;若 0≤f(x)≤1,则由 f(x)的图象可得 x 的范围,再把这 2 个 x 的范围取并集,即得所求. 解答: 解:画出函数 f(x)= 的图象,如图所示:故函数的值域为(﹣∞,0)∪ (1,+∞) .
菁优网版权所有

由 f[f(x)]=2 可得 f(x)=2 或 0≤f(x)≤1. 若 f(x)=2,由函数 f(x)的图象可得 0≤x≤1,或 x=2. 若 0≤f(x)≤1,则由 f(x)的图象可得 x∈?. 综上可得,使 f[f(x)]=2 成立的实数 x 的集合为{x|0≤x≤1,或 x=2}, 故答案为 {x|0≤x≤1,或 x=2}.

点评: 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了数形结合与分类讨论的数学思想,属于中档题.

15. (5 分)定义运算:a*b= 的序号) ① f( )=

.若 f(x)=sinx*cosx,则下列命题正确有 ③ ④ ⑤ . (写出所有正确命题

② f(x)的值域为[﹣1,1] ③ f(x)的最小正周期为 2π ④ f(x)在[ ,π]上单调递减 轴对称.

⑤ f(x)关于 x=

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 考点: 正弦函数的图象;余弦函数的图象. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 依题意,作出 f(x)=sinx*cosx 的图象,对① ② ③ ④ ⑤ 选项逐一分析即可. 解答: 解:对于① ,∵ sin >cos = ,
菁优网版权所有

∴ f(

)= ,故① 错误;

对于② ,由图知,

其值域为[﹣1,

],故② 错误;

对于③ ,由图知,f(x)的最小正周期为 2π,故③ 正确; 对于④ ,由图知,f(x)在[ ,π]上单调递减,故在[ ,π]上单调递减,即④ 正确;

对于⑤ ,由图知,f(x)关于 x=

轴对称,正确,即⑤ 正确.

综上所述,正确选项有③ ④ ⑤ . 故答案为:③ ④ ⑤ . 点评: 本题考查正弦函数与余弦函数的图象,着重考查函数的单调性、对称性与最值,考查运算求解能力,属于 中档题. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (12 分)已知全集为实数集 R,集合 A={x|y= + },B={x|log2x>1}.

(Ⅰ )分别求 A∩ B, (?RB)∪ A; (Ⅱ )已知集合 C={x|1<x<a},若 C?A,求实数 a 的取值集合. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: x (Ⅰ )由 A={x|y= + }={x|1≤x≤3},B={x|log2 >1}={x|x>2},能求出 A∩ B 和(CRB)∪ A.
菁优网版权所有

(Ⅱ )当 a≤1 时,C≠?,此时 C?A;当 a>1 时,C?A,则 1<a≤3,由此能求出 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ )∵ A={x|y=
x

+

}={x|1≤x≤3},

B={x|log2 >1}={x|x>2}, ∴ A∩ B={x|2<x≤3}, ∵ CRB={x|x≤2}, ∴ (CRB)∪ A={x|x≤2}∪ {x|1≤x≤3}={x|x≤3}.…(6 分)
?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com (Ⅱ )① 当 a≤1 时,C≠?,此时 C?A;…(9 分) ② 当 a>1 时,C?A,则 1<a≤3.…(11 分) 综合① ② ,可得 a 的取值范围是(﹣∞,3].…(12 分) 点评: 本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

17. (12 分)已知函数 f(x)=3sin( +

)+3

(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象; (2)求出 f(x)的最小正周期、单调增区间; (3)说明此函数图象可由 y=sinx 的图象经怎样的变换得到.

考点: 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;三角函数的周期性及其求法;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
网版权所有

菁优

专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象; (2)根据三角函数的图象和性质,求出 f(x)的最小正周期、单调增区间; (3)根据三角函数的图象之间的关系即可得到结论. 解答: 解: (1)根据五点作图法进行取值. x + sin( + ) )+3 0 0 3 1 6 π 0 3 ﹣1 0 2π 0 3

3sin( +

后描点并画图. (2)三角函数的周期 T= ,



≤ +

,解得 ,k∈Z,即函数的单调递增区间为[ ],k∈Z.

(3)将 y=sinx 向左平移 到函数 y=sin( +

个单位得到函数 y=sin(x+

) ,然后纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍得

) ,然后横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 3 倍,

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 得到函数 y=3sin( + ) ,然后横坐标不变,纵坐标增加 3,得到函数 y=3sin( + )+3.

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,以及利用五点法作三角函数的图象,综合性较强,涉及的知识点较 多.

18. (12 分) (2012?淄博一模)已知函数 f(x)= (Ⅰ )求函数 f(x)的最小正周期和值域; (Ⅱ )若 a 为第二象限角,且 ,求



的值.

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值;三角函数的周期性及其求法;复合三角函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ )利用三角函数间的关系将 f(x)化为 f(x)=1+2cos(x+ ) ,即可求函数 f(x)的最小正周期和值
菁优网版权所有

域; (Ⅱ )依题意可求得 cosα=﹣ ,sinα= 值. 解答: 解: (Ⅰ )因为 f(x)=1+cosx﹣ =1+2cos(x+ ) ,…(2 分) …(4 分) , 可化简为 ,从而可求得其

sinx

…(1 分)

所以函数 f(x)的周期为 2π,值域为[﹣1,3]. (Ⅱ )因为 f(a﹣ )= ,

所以 1+2cosα= ,即 cosα=﹣ . 因为

…(5 分)

= = = ,…(10 分)

…(8 分)

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 又因为 α 为第二象限角,所以 sinα= 所以原式= . …(11 分)

=

=



…(13 分)

点评: 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,考查三角函数的周期性及其求法,考查倍角公式,掌握三角函 数间的关系是化简求值的关键,属于中档题. 19. (12 分)定义:满足方程 f(x)=x 的实数 x 称为函数 f(x)的“不动点”.已知二次函数 f(x)=ax +bx(a≠0) , 满足 f(x+1)为偶函数,且函数 f(x)有且仅有一个不动点. (1)求 f(x)的解析式; 2 (2)若函数 g(x)=f(x)+kx 在(0,4)上是增函数,求实数 k 的取值范围. 考点: 二次函数的性质;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: 2 (1)由题意可得,二次函数 f(x)=ax +bx(a≠0)的对称轴为 x=﹣
菁优网版权所有

2

=1,故有 b=﹣2a,再根据函数

f(x)有且仅有一个不动点,可得 ax ﹣2ax=x 只有一个解,由判别式等于零求得 a、b 的值,可得函数的 解析式. (2)由于函数 g(x)=f(x)+kx =(k﹣ )x +x 的对称轴为 x=
2 2

2

,且函数 g(x)在(0,4)上是

增函数,分① 当 k= 时、② 当 k> 时、③ 当 k< 时三种情况,利用二次函数的性质,分别求得 k 的范围,再 取并集,即得所求. 解答: 解: (1)由题意可得,二次函数 f(x)=ax +bx(a≠0)的对称轴为 x=﹣ f(x)=ax ﹣2ax. 2 再根据函数 f(x)有且仅有一个不动点,可得 ax ﹣2ax=x 只有一个解, 故△ =(2a+1) ﹣0=0,∴ a=﹣ . (2)由于函数 g(x)=f(x)+kx =(k﹣ )x +x, ① 当 k= 时,满足 g(x)=x 在(0,4)上是增函数. ② 当 k> 时,g(x)的对称轴为 x= ,根据函数 g(x)在(0,4)上是增函数,
2 2 2 2 2

=1,∴ b=﹣2a,

可得

,解得 k> . ≥4,

③ 当 k< 时,根据函数 g(x)在(0,4)上是增函数,可得 解得 ≤k< .

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 综上可得,k 的范围为[ ,+∞) . 点评: 本题主要考查二次函数的性质应用,新定义,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.

20. (13 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= (Ⅰ )求 b 的值; (Ⅱ )判断函数 f(x)的单调性;

是奇函数.

(Ⅲ )若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的性质;二次函数的性质;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )利用奇函数定义 f(x)=﹣f(x)中的特殊值 f(0)=0 求 b 的值;

2

2

菁优网版权所有

(Ⅱ )设 x1<x2 然后确定 f(x1)﹣f(x2)的符号,根据单调函数的定义得到函数 f(x)的单调性; 2 2 (III)结合单调性和奇函数的性质把不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 转化为关于 t 的一元二次不等式, 最后由一元二次不等式知识求出 k 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ )因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0, 即 ?b=1,





(Ⅱ )由(Ⅰ )知



设 x1<x2 则 f(x1)﹣f(x2)=



=

因为函数 y=2 在 R 上是增函数且 x1<x2∴ f(x1)﹣f(x2)= 即 f(x1)>f(x2) ∴ f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数 (III)f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数,又因为 f(x)是奇函数, 2 2 所以 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 2 2 2 等价于 f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k)=f(k﹣2t ) , 2 2 因为 f(x)为减函数,由上式可得:t ﹣2t>k﹣2t . 2 即对一切 t∈R 有:3t ﹣2t﹣k>0, 从而判别式 所以 k 的取值范围是 k<﹣ . .

x

>0

点评: 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用;同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略,是一道 综合题. 21. (14 分) 如图, 有一块边长为 1(百米) 的正方形区域 ABCD, 在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照射角∠ PAQ 始终为 45°(其中点 P,Q 分别在边 BC,CD 上) ,设∠ PAB=θ,tanθ=t.
?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com (1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求△ CPQ 的周长 l 是否为定值. (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为多少(平方百米)?

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;转化思想. 分析: (1)利用已知条件,结合直角三角形,直接用 t 表示出 PQ 的长度,然后推出△ CPQ 的周长 l 为定值.
菁优网版权所有

(2)利用 S=S 正方形 ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ,推出探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S,利用基本不 等式求出面积的最小值(平方百米) . 解答: 解: (1)BP=t,0≤t≤1, ∠ DAQ=45°﹣θ,DQ=tan(45°﹣θ)= CQ=1﹣ = , ,

∴ PQ= ∴ l=CP+CQ+PQ =1﹣t+ +

=

=



=1﹣t+1+t=2. (2)S=S 正方形 ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ=1﹣ ﹣ =2﹣

≤2 . 当 t= 时取等号. 探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为 2

(平方百米) .

点评: 本题考查三角形的实际应用,函数值的求法,基本不等式的应用,考查计算能力.

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有: yhx01248; qiss; wdlxh; 孙佑中; 394782; 742048; haichuan; caoqz; maths; sllwyn; wfy814;zlzhan;minqi5(排名不分先后)
菁优网 2015 年 1 月 20 日

?2010-2015 菁优网


赞助商链接
相关文章:
安徽省芜湖市三校2013—2014学年度高一第一学期期末联...
安徽省芜湖市三校2013—2014学年度高一第一学期期末联考数学试题试题(无答案)_数学_高中教育_教育专区。2013-2014 学年度第一学期期末高一年级三校联考数学试题卷...
2012-2013学年安徽省芜湖市三校高一(上)期末数学试卷
2012-2013 学年安徽省芜湖市三校高一(上)期末 数学试卷 菁优网 www.jyeoo.com 2012-2013 学年安徽省芜湖市三校高一(上)期末 数学试卷一、选择题: (本大题...
...学年安徽省芜湖市无为中学等三校联考高一(上)期末
2012-2013学年安徽省芜湖市无为中学等三校联考高一(上)期末_数学_高中教育_教育...2012-2013 学年安徽省芜湖市无为中学等三校联考高一(上)期末 物理试卷一.选择...
安徽省芜湖市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷(a卷)
安徽省芜湖市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷(a卷)_高一数学_数学_高中...(3 分)三个数 P=( ),Q=(0.3) ,R=2 A.Q<R<P B.Q<P<R 的大小...
安徽省芜湖市三校2013—2014学年度高一上学期期末联考...
安徽省芜湖市三校20132014学年度高一上学期期末联考语文试题(无答案)_数学_高中教育_教育专区。芜湖市 20132014 学年度第一学期期末高一年级三校联考 语文题...
2012学年第一学期期末三校联考高一数学试题
2012学年第一学期期末三校联考高一数学试题_专业资料。2012 学年第一学期期末三校联考高一数学试题一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1...
安徽省芜湖市2013-2014-2高一数学期中试卷
芜湖市 20132014 学年度第二学期期中 普通高中联考试卷 高一数学 (答案写在答题卷上) 一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1、下列说法中错误 的是( ....
2012学年第一学期期末三校联考高一数学试题
2012学年第一学期期末三校联考高一数学试题 - 2012 学年第一学期期末三校联考高一数学试题 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若...
...市三校联考2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Wo...
(x)﹣a≥2 对任意 x∈恒成立,求实数 a 的取 值范围. 2 x 黑龙江省绥化市三校联考 2014-2015 学年高一上学期期末数学试 卷参考答案与试题解析 一、选择...
...市三校联考2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
(x)﹣a≥2 对任意 x∈恒成立,求实数 a 的取 值范围. 2 x 黑龙江省绥化市三校联考 2014-2015 学年高一上学期期末数学试 卷参考答案与试题解析 一、选择...
更多相关标签: