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2011创新方案高考数学复习精编(人教新课标)--5.5数列的综合应用


第五章
题组一

第五节

数列的综合应用

等差、等比数列的综合问题 )

a c 1.已知 a, c 成等比数列, m, 和 b, c 分别成两个等差数列, + 等于 ( b, a, b n, 则 m n A.4 B.3 C.2 D.1 a

a c an+cm = 解析:由题意得 b2 =ac,2m=a+b,2n=b+c,则 + = m n mn ab+ac+ac+bc =2. ab+ac+b2+bc 2 答案:C

b+c a+b +c 2 2 = a+b b+c 2 2

2.数列{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且 a6=b7,则有 A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9 与 b4+b10 的大小不确定

(

)

解析:∵a3+a9≥2 a3a9=2 a2=2a6=2b7=b4+b10,当且仅当 a3=a9 时,不等式取 6 等号. 答案:B 3.(文)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 a2=3,S6=36. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}是等比数列且满足 b1+b2=3,b4+b5=24.设数列{anbn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 解:(1)∵数列{an}是等差数列, ∴S6=3(a1+a6)=3(a2+a5)=36. ∵a2=3,∴a5=9,∴3d=a5-a2=6,∴d=2, 又∵a1=a2-d=1,∴an=2n-1. (2)由等比数列{bn}满足 b1+b2=3,b4+b5=24, b4+b5 3 =q =8,∴q=2, 得 b1+b2 ∵b1+b2=3,∴b1+b1q=3,∴b1=1,bn=2n 1, ∴anbn=(2n-1)2n 1. ∴Tn=1×1+3×2+5×22+…+(2n-3)2n 2+(2n-1)2n 1,
1
- - - -

则 2Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)2n 1+(2n-1)2n, 两式相减得(1-2)Tn=1×1+2×2+2×22+…+22n 2+22n 1-(2n-1)2n,即 -Tn=1+2(21+22+…+2n 1)-(2n-1)2n =1+2(2n-2)-(2n-1)2n=(3-2n)2n-3, ∴Tn=(2n-3)2n+3. (理)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,数列{an+Sn}是公差为 2 的等差数列. (1)求 a2,a3; (2)证明:数列{an-2}为等比数列; (3)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 解:(1)∵数列{an+Sn}是公差为 2 的等差数列, an+2 ∴(an+1+Sn+1)-(an+Sn)=2,即 an+1= . 2 3 7 ∵a1=1,∴a2= ,a3= . 2 4 (2)证明:由题意得 a1-2=-1, an+2 -2 2 an+1-2 1 = = , 又∵ 2 an-2 an-2 1 ∴{an-2}是首项为-1,公比为 的等比数列. 2 1 - 1 - (3)由(2)得 an-2=-( )n 1,∴nan=2n-n( )n 1, 2 2 1 1 1 - ∴Tn=(2-1)+(4-2 )+[6-3( )2]+…+[2n-n( )n 1], 2 2 2 1 1 1 - =(2+4+6+…+2n)-[1+2 +3( )2+…+n( )n 1], 2 2 2 1 1 1 - 设 An=1+2 +3( )2+…+n( )n 1, 2 2 2 1 1 1 1 1 ∴ An= +2( )2+3( )3+…+n( )n, 2 2 2 2 2 1 1 1 1 - 1 ①-②得 An=1+ +( )2+…+( )n 1-n( )n, 2 2 2 2 2 1 1-( )n 2 1 1 ∴ A n= -n( )n, 2 1 2 1- 2 1 - ∴An=4-(n+2)( )n 1, 2 n(2+2n) 1 - 1 - ∴Tn= +(n+2)( )n 1-4=(n+2)( )n 1+n(n+1)-4. 2 2 2 ① ②
- - -



2

题组二

以等差数列为模型的实际问题

4.气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使 用,第 n 天的维修保养费为 n+49 元(n∈N+),使用它直至报废最合算(所谓报废最合算 10 ( D.1 200 天 )

是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止,一共使用了 A.600 天 B.800 天 C.1 000 天

n+49 解析:由第 n 天的维修保养费为 元(n∈N+),可以得出观测仪的整个耗资费用, 10 由平均费用最少而求得最小值成立时相应 n 的值. 设一共使用了 n 天,则使用 n 天的平均耗资为 n+49 )n (5+ 10 4 3.2×10 + 2 3.2×104 n 3.2×104 n = + +4.95,当且仅当 = 时,取得最小值, n n 20 n 20 此时 n=800. 答案:B 1 1 5.(2010邯郸模拟)若数列{an}满足 - =d(n∈N*,d 为常数),则称数列{an}为调和 a n+ 1 a n 1 数列.已知数列{ }为调和数列,且 x1+x2+…+x20=200,则 x5+x16=________. xn 1 1 解析:由题意,若{an}为调和数列,则{ }为等差数列,所以{ }为调和数列,则可得 an xn 数列{xn}为等差数列,由等差数列的性质可知,x5+x16=x1+x20=x2+x19=…= 20. 答案:20 6.数列{an}中,a1=6,且 an-an-1= =________. a n- 1 an 解析:由已知等式得 nan=(n+1)an-1+n(n+1)(n∈N*,n≥2),则 - =1,所 n n+1 an a1 an 以数列{ }是以 =3 为首项,1 为公差的等差数列,即 =n+2,则 an=(n+ 2 n+1 n+1 1)(n+2).n=1 时,此式也成立. 答案:(n+1)(n+2) a n- 1 +n+1(n∈N*,n≥2),则这个数列的通项 an n 200 = 10

题组三

以等比数列为模型的实际问题

7.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个, 现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
3

A.6 秒钟

B.7 秒钟

C.8 秒钟


D.9 秒钟

解析:设至少需要 n 秒钟,则 1+21+22+…+2n 1≥100, ∴ 1-2n ≥100,∴n≥7. 1-2

答案:B 8.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第 1 名得全部资金的一半多一万元,第 二名得剩下的一半多一万元,以名次类推都得到剩下的一半多一万元,到第 10 名恰 好资金分完,则此科研单位共拿出__________万元资金进行奖励. 1 解析:设第 10 名到第 1 名得的奖金数分别是 a1,a2,…,a10,则 an= Sn+1,则 a1 2 1 =2,an-an-1= an,即 an=2an-1,因此每人得的奖金额组成以 2 为首项,以 2 为公 2 2(1-210) 比的等比数列,所以 S10= =2046. 1-2 答案:2046

题组四

数列与函数、不等式等问题的综合应用

9.在如图所示的表格中,如果每格填上一个数后, 每一行成等差数列,每一列成等比数列,那么 x+y+z 的值为 A.1 C.3 B.2 D.4 ( ) 2 1 4 2 y z

1 解析:由题知表格中第三列成首项为 4,公比为 的等比数列,故有 x=1.根据每行成 2 5 1 1 5 等差数列得第四列前两个数字依次为 5, ,故其公比为 ,所以 y=5×( )3= ,同理 2 2 2 8 1 3 z=6×( )4= ,故 x+y+z=2. 2 8 答案:B 2 1 10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N*都有 Sn= an- ,若 1<Sk<9(k∈N*), 3 3 则 k 的值为________. 2 1 2 1 2 1 解析:∵Sn= an- ,∴S1= a1- =a1,a1=-1.an=Sn-Sn-1(n>1),即 an=( an- ) 3 3 3 3 3 3 2 1 2 2 an -( an-1- )= an- an-1,整理得: =-2,∴{an}是首项为-1,公比为-2 的等 3 3 3 3 a n- 1

4

a1(1-qk) (-2)k-1 (-2)k-1 比数列,Sk= = ,∵1<Sk<9,∴1< <9,即 4<(-2)k<28,仅 3 3 1-q 当 k=4 时不等式成立. 答案:4 11.(文)在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N). 1 (1)试判断数列{ }是否为等差数列; an 1 (2)设{bn}满足 bn= ,求数列{bn}的前 n 项为 Sn; an 1 (3)若 λan+ ≥λ,对任意 n≥2 的整数恒成立,求实数 λ 的取值范围. a n+ 1 1 1 解:(1)∵a1≠0,∴an≠0,∴由已知可得 - =3(n≥2), a n a n- 1 1 故数列{ }是等差数列. an (2)由(1)的结论可得 bn=1+(n-1)×3,所以 bn=3n-2, n(1+3n-2) n(3n-1) ∴Sn= = . 2 2 1 1 1 1 (3)将 an= = 代入 λan+ ≥λ 并整理得 λ(1- )≤3n+1, bn 3n-2 a n+ 1 3n-2 (3n+1)(3n-2) ∴λ≤ ,原命题等价于该式对任意 n≥2 的整数恒成立. 3n-3 (3n+1)(3n-2) (3n+1)(3n-4) ,则 Cn+1-Cn= >0,故 Cn+1>Cn, 设 Cn= 3n-3 3n(n-1) 28 ∴Cn 的最小值为 C2= , 3 28 ∴λ 的取值范围是(-∞, ]. 3 Sn 1 11 (理)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n, )在直线 y= x+ 上.数列{bn}满足 bn n 2 2
+2

-2bn+1+bn=0(n∈N*),b3=11,且其前 9 项和为 153.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn= 3 k ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求使不等式 Tn> 对一切 57 (2an-11)(2bn-1)

n∈N*都成立的最大正整数 k 的值. Sn 1 11 解:(1)由已知得 = n+ , n 2 2 1 11 ∴Sn= n2+ n. 2 2 当 n≥2 时,

5

an=Sn-Sn-1 11 1 11 1 = n2+ n- (n-1)2- (n-1)=n+5; 2 2 2 2 当 n=1 时,a1=S1=6 也符合上式. ∴an=n+5. 由 bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*)知{bn}是等差数列, 9(b1+b9) 由{bn}的前 9 项和为 153,可得 =9b5=153, 2 得 b5=17,又 b3=11, b5-b3 =3,b3=b1+2d, ∴{bn}的公差 d= 2 ∴b1=5, ∴bn=3n+2. (2)cn= 3 1 1 1 = ( - ), (2n-1)(6n+3) 2 2n-1 2n+1

1 1 1 1 1 1 ∴Tn= (1- + - +…+ - ) 2 3 3 5 2n-1 2n+1 1 1 ). = (1- 2 2n+1 ∵n 增大,Tn 增大, ∴{Tn}是递增数列. 1 ∴Tn≥T1= . 3 k 1 k Tn> 对一切 n∈N*都成立,只要 T1= > , 57 3 57 ∴k<19,则 kmax=18.

6


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