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江苏省淮安市阳光国际学校2014-2015学年高一上学期第二次学情检测数学试卷


江苏省淮安市阳光国际学校 2014-2015 学年高一上学期第二次学 情检测数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分,每小题只有一个选项符合题意) 1. (4 分)已知集合 M={x∈Z|﹣1≤x≤3},N={1,2},则?MN 等于() A.{1,2} B.{﹣1,0,3} C.{0,3} D.{﹣1,0,1} 2. (4 分)已知某校 2

014-2015 学年高一学生的学号后三位数字从 001 编至 818,教育部门 抽查了该校 2014-2015 学年高一学生学号后两位数字是 16 的同学的体育达标情况.这里所 用的抽样方法是() A.抽签法 B.分层抽样 C.系统抽样 D.随机数表法 3. (4 分)函数 A. B. 1 的最大值是() C. D.

4. (4 分)如果执行如图所示的程序框图,那么输出的 k=()

A.4

B. 5

C. 6

D.7

5. (4 分)从装有 5 个红球和 2 个黑球 的口袋中任取 3 个球,那么互斥而不对立的两个事件 是() A.至少有 1 个黑球与都是红球 B. 恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球 C. 至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球 D.至少有 1 个黑球与至少有 2 个红球

6. (4 分)已知 A,B,C 是△ ABC 的三个内角,则下列各式中化简结果一定是 0 的是() A.sin(A+B)+sinC B. tan(A+B)﹣tanC C. sin(A+B)﹣cos(﹣C)tanC D.cos+cos2A 7. (4 分)已知函数 f(x)=(x﹣a)|x|在 B.(﹣∞,4] C. D. (﹣∞,2]

8. (4 分)某校共有学生 2000 名,2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三 各年级学生人数分别为 750,x,y,已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到 2014-2015 学年 高二年级学生的可能性是 0.3,现用分层抽样的方法在全校抽取 40 名学生,则应在 2015 届 高三年级抽取的学生人数为() A.15 B.12 C.13 D.25 9. (4 分)已知函数 f(x )=alg(10 +1)+x,x∈R.则对任意实数 a,函数 f(x)不可能() A.是奇函数 B. 既是奇函数,又是偶函数 C. 是偶函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数 10. (4 分)已知函数 f(x)=x +px+q 与函数 y=f(f(x) )有一个相同的零点,则 p 与 q() A.均为正值 B. 均为负值 C. 一正一负 D.至少有一个等于 0
2 x

二、填空题(共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11. (4 分)已知 A,B 是对立事件,若 P(A)= ,则 P(B)=.

12. (4 分)若 α=2012°,则与 α 具有相同终边的最小正角为. 13. (4 分)在半径为 10 米的圆形弯道中,120°角所对应的弯道长为米. 14. (4 分)化简 =.

15. (4 分)函数 f(x)=

的值域.

16. (4 分)已知 m>2,则函数 f(θ)=sin θ+mcosθ,θ∈R 的最大值 g(m)=.

2

17. (4 分)已知函数

则满足 f(x0)=1 的实数 x0 的集合是.

三、解答题(共 4 小题,满分 32 分) 18. (7 分)设集合 A={x|﹣1≤x<3}, (1)求 A∪B; (2)若集 C={x|x>a}满足 B∪C=C,求 a 的取值范围. 19. (7 分)已知 α 是第三象限角,且 (1)求 sinα,cosα 的值; (2)设 的终边与单位圆交于点 P,求点 P 的坐标. . .

20. (8 分)爱因斯坦提出:“人的差异在于业余时间”.某校要对本校 2014-2015 学年高一学 生的周末学习时间进行调查.现从中抽取 50 个样本进行分析,其频率分布直方图如图所 示.记第一组 (1)根据频率分布直方图,估计 2014-2015 学年高一段学生周末学习的平均时间; (2)为了了解学习时间较少同学的情况,现从第一组、第二组中随机抽取 2 位同学,问恰 有一位同学来自第一组的概率.

21. (10 分)已知函数 f(x)=lnx+2x (1)判断 f(x)的 单调性并用定义证明; (2)设 ,若对任意 x1∈(0,1) ,存在 x2∈(k,k+1) (k∈N) ,使 f(x1)

<g(x2) ,求实数 k 的最大值.

江苏省淮安市阳光国际学校 2014-2015 学年高一上学期 第二次学情检测数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分,每小题只有一个选项符合题意)

1. (4 分)已知集合 M={x∈Z|﹣1≤x≤3},N={1,2},则?MN 等于() A.{1,2} B.{﹣1,0,3} C.{0,3} D.{﹣1,0,1} 考点: 专题: 分析: 解答: 补集及其运算. 计算题. 根据题意先用列举法表示出 M,再由补集的运算求出 CMN. 解:由题意知,M={x∈Z|﹣1≤x≤3}={﹣1,0,1,2,3},

由于 N={1,2},则 CMN={﹣1,0,3}, 故选 B. 点评: 本题考查了补集的运算性质应用,一定注意先求出全集,再去求出补集. 2. (4 分)已知某校 2014-2015 学年高一学生的学号后三位数字从 001 编至 818,教育部门 抽查了该校 2014-2015 学年高一学生学号后两位数字是 16 的同学的体育达标情况.这里所 用的抽样方法是() A.抽签法 B.分层抽样 C.系统抽样 D.随机数表法 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 当总体容量 N 较大时,采用系统抽样,将总体分成均衡的若干部分指的是将总体 分段,分段的间隔要求相等,预先制定的规则指的是:在第 1 段内采用简单随机抽样确定一 个起始编号,在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号. 解答: 解:当总体容量 N 较大时,采用系统抽样,将总体分成均衡的若干部分指的是将 总体分段, 在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号, 在此编号的基础上加上分段间 隔的整倍数即为抽样编 号. 某校 2014-2015 学年高一学生的学号后三位数字从 001 编至 818,抽查了该校 2014-2015 学 年高一学生学号后两位数字是 16 的同学的体育达标情况, 这里运用的抽样方法是系统抽样, 故选 C. 点评: 本题考查系统抽样,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成 均衡的若干部分, 然后按照预先制定的规则, 从每一部分抽取一个个体, 得到所需要的样本.

3. (4 分)函数 A. B. 1

的最大值是() C. D.

考点: 复合三角函数的单调性. 专题: 三角函数的求值. 分析: 化简函数的解析式为﹣(cosx﹣2) + ,再利用二次函数的性质求得函数的最大 值. 解答: 解:函数 =﹣cos x+4cosx﹣ =﹣(cosx﹣2) + ,
2 2 2

故当 cosx=1 时,函数取得最大值为﹣ , 故选 D. 点评: 本题主要考查余弦函数的值域,二次函数的性质的应用,属于中档题. 4. (4 分)如果执行如图所示的程序框图,那么输出的 k=()

A.4

B. 5

C. 6

D.7

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数, 然后根据运行的后 t 的值找出规律, 从而得出所求. 解答: 解:根据题意可知该循环体运行 5 次 第 1 次:t=11,k=2, 第 2 次:t=23,k=3, 第 3 次:t=47,k=4, 第 4 次:t=95,k=5, 第 5 次:t=191,k=6, 因为 t=191>190,结束循环,输出结果 k=6. 故选 C.

点评: 本题主要考查了当型循环结构, 循环结构有两种形式: 当型循环结构和直到型循环 结构,确定规律是解题的关键,属于基础题. 5. (4 分)从装有 5 个红球和 2 个黑球的口袋中任取 3 个球,那么互斥而不对立的两个事件 是() A.至少有 1 个黑球与都是红球 B. 恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球 C. 至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球 D.至少有 1 个黑球与至少有 2 个红球 考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计. 分析: 由于恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球不会同时发生, 故它们是互斥事件. 再根据它们 的并事件不是必然事件,可得它们是么互斥而不对立的两个事件 解答: 解:由于恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球不会同时发生,故它们是互斥事件. 再根据它们的并事件不是必然事件(还有可能是没有黑球) ,故它们不是对立事件, 故选 B. 点评: 本题主要考查互斥事件、对立事件的定义,属于基础题. 6. (4 分)已知 A,B,C 是△ ABC 的三个内角,则下列各式中化简结果一定是 0 的是() A.sin(A+B)+sinC B. tan(A+B)﹣tanC C. sin(A+B)﹣cos(﹣C)tanC D.cos+cos2A 考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用同角三角函数的基本关系、诱导公式,化简各个选项中的式子,看看是否等于 零,从而得出结论. 解答: 解:由于 sin(A+B)+sinC=2sinC,不为 0,故排除 A. 由于 tan(A+B)﹣tanC=2tanC,不为 0,故排除 B.

由于 sin(A+B)﹣cos(﹣C)tanC=sinC﹣cosC?

=0,故满足条件.

由于 cos+cos2A=cos2A+cos2A=2cos2A,不为 0, 故排除 D, 故选 C. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用,属于中档题. 7. (4 分)已知函数 f(x)=(x﹣a)|x|在 A. B.(﹣∞,4] 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)= 在,

C.

D.(﹣∞,2]

故选 B. 点评: 本题主要考查二次函数的性质,函数的单调性的应用,属于中档题. 8. (4 分)某校共有学生 2000 名,2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三 各年级学生人数分别为 750,x,y,已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到 2014-2015 学年 高二年级学生的可能性是 0.3,现用分层抽样的方法在全校抽取 40 名学生,则应在 2015 届 高三年级抽取的学生人数为() A.15 B.12 C.13 D.25 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据 2014-2015 学年高二学生能够抽到的概率做出 2014-2015 学年高二学生的人 数,用所有的人数减去 2014-2015 学年高二和 2014-2015 学年高一的人数,得到 2015 届高 三的学生数,做出要抽取的学生数. 解答: 解:抽到 2014-2015 学年高二年级男生的概率是 0.3, ∴2014-2015 学年高二的男生有 0.3×2000=600, ∴2015 届高三有学生 2000﹣750﹣600=650 ∴在 2015 届高三年级抽取的学生人数为 ×650=13

故选 C. 点评: 本题考查分层抽样的方法,是一个基础题,本题解题的关键是求出 2015 届高三的 学生总数,注意数字的运算不要出错. 9. (4 分)已知函数 f(x)=alg(10 +1)+x,x∈R.则对任意实数 a,函数 f(x)不可能() A.是奇函数 B. 既是奇函数,又是偶函数 C. 是偶函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数 考点: 奇偶性与单调性的综合.
x

专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数奇偶性的定义进行讨论. 解答: 解:若 a=0,则 f(x)=x 为奇函数,所以 A,D 不成立,排除 A,D. 若 f(x)既是奇函数,又是偶函数,则 f(x)=0 恒成立. x 而函数 f(x)=alg(10 +1)+x 不可能恒为 0 的,所以函数 f(x)不可能是既奇又偶函数, 故选 B. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断和应用,考查学生分析问题的能力. 10. (4 分)已知函数 f(x)=x +px+q 与函数 y=f(f(x) )有一个相同的零点,则 p 与 q() A.均为正值 B. 均为负值 C. 一正一负 D.至少有一个等于 0 考点: 函数的零点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 分析: 设 a 是函数 f(x)=x +px+q 与函数 y=f(f(x) )相同的零点,可推出 f(0)=0. 2 解答: 解:若 a 是函数 f(x)=x +px+q 与函数 y=f(f(x) )相同的零点, 则 f(a)=0,f(f(a) )=0, 则 f(0)=0, 即 q=0, 故选 D. 点评: 本题考查了函数的零点的定义的应用,属于基础题. 二、填空题(共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11. (4 分)已知 A,B 是对立事件,若 P(A)= ,则 P(B)= .
2

考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计. 分析: 由于 A,B 是对立事件,若 解答: 解:已知 A,B 是对立事件,若 故答案为 . ,则 P(B)=1﹣P(A) . ,则 P(B)=1﹣P(A)= ,

点评: 本题主要考查事件和它的对立事件概率间的关系,属于基础题. 12. (4 分)若 α=2012°,则与 α 具有相同终边的最小正角为 212°. 考点: 终边相同的角. 专题: 计算题. 分析: 直接把 α=2012°写成 k×360°(k∈Z)加一个最小正角的形式即可得到答案. 解答: 解:由 α=2012°=5×360°+212°. 所以与 α 具有相同终边的最小正角为 212°.

故答案为 212°. 点评: 本题考查了终边相同角的概念,是基础的概念题.

13. (4 分)在半径为 10 米的圆形弯道中,120°角所对应的弯道长为

米.

考点: 弧长公式. 专题: 直线与圆. 分析: 利用弧长公式 l=r?α 即可得出. 解答: 解:弧长=r?α= 故答案为 . = .

点评: 熟练掌握弧长公式是解题的关键. 14. (4 分)化简 =sin2+cos2.

考点: 同角三角函数间的基本关系;三角函数值的符号. 专题: 计算题. 分析: 由平方关系可得原式=|sin2+cos2|,由角的范围和三角函数的符号去绝对值即可. 解答: 解:原式= = 又 2∈( , =|sin2+cos2|, ) ,故 sin2>0,cos2<0,

且|sin2|>|cos2|,故 sin2+cos2>0, 故原式=|sin2+cos2|=sin2+cos2 故答案为:sin2+cos2 点评: 本题考查同角三角函数的基本关系,涉及角的范围和三角函数的符号,属基础题.

15. (4 分)函数 f(x)=

的值域 R.

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的值域. 函数的性质及应用. 利用复合函数的单调性求函数的值域. 2 2 解:设 t=g(x)=x +4x﹣12,则由 g(x)=x +4x﹣12>0,得 x>2 或 x<﹣6. 的值域为 R.

所以函数 f(x)=

故答案为:R. 点评: 本题主要考查对数函数的性质,比较基础.

16. (4 分)已知 m>2,则函数 f(θ)=sin θ+mcosθ,θ∈R 的最大值 g(m)=m. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 换元法可得 y=﹣t +mt+1,t∈,结合 m>2 和函数的单调性可得当 t=1 时,函数取 最大值,代入计算可得. 解答: 解:由三角函数的知识可得 f(θ)=sin θ+mcosθ 2 =﹣cos θ+mcosθ+1,令 cosθ=t,则 t∈ 2 可得函数化为 y=﹣t +mt+1,t∈ 配方可得 y= ,
2

2

可知关于 t 的函数图象为开口向下,对称轴为 t= 的抛物线一段, 又 m>2,故
2

,故函数在单调递增,

故 g(m)=﹣1 +m×1+1=m 故答案为:m 点评: 本题考查二次函数的区间最值, 利用三角函数的关系换元是解决问题的关键, 属中 档题.

17. (4 分) 已知函数 ﹣1 且 x∈z}.

则满足 ( f x0) =1 的实数 x0 的集合是{x|x≥

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 x≥0 时,函数的周期为 1,然后利用函数的周期性确定方程的根. 解答: 解:当 x≥0 时,f(x)=f(x﹣1) ,所以函数的周期是 1. 当 0≤x<1 时,则﹣1≤x﹣1<0, 此时 f(x)=f(x﹣1)= 当 x<0 时,由 f(x0)=1 得 ,即 ,解得 x0=﹣1. .

因为当 x≥0 时,f(x)=f(x﹣1) ,所以函数的周期是 1. 所以 x0=0,1,2,…, 所以满足 f(x0)=1 的实数 x0 的集合是{x|x≥﹣1 且 x∈z}. 故答案为:{x|x≥﹣1 且 x∈z}.

点评: 本题主要考查函数的周期性的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 三、解答题(共 4 小题,满分 32 分) 18. (7 分)设集合 A={x|﹣1≤x<3}, (1)求 A∪B; (2)若集 C={x|x>a}满足 B∪C=C,求 a 的取值范围. 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: (1)求出集合 B 函数的定义域确定出 B,求出 A 与 B 的并集即可; (2)根据题意得到 B 是 C 的子集,根据 B 与 C 求出 a 的范围即可. 解答: 解: (1)∵y= 中,x﹣2≥0,即 x≥2, .

∴B={x|x≥2}, ∵A={x|﹣1≤x<3}, ∴A∪B={x|x≥﹣1}; (2)∵B∪C=C, ∴B?C, ∵B={x|x≥2},C={x|x>a}, ∴a<2. 点评: 此题考查了并集及其运算,以及集合间的包含关系,熟练掌握并集的定义是解 本 题的关键. 19. (7 分)已知 α 是第三象限角,且 (1)求 sinα,cosα 的值; (2)设 的终边与单位圆交于点 P,求点 P 的坐标. .

考点: 同角三角函数间的基本关系;任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 2 2 分析: (1)由题意得 sinα=3cosα,又 sin α+cos α=1,结合角的象限,联立方程可得; ( 2) 设 P(x,y) ,则
2 2



,由诱导公式化简可得.

解答: 解: (1)由题意得 sinα=3cosα…(1 分) 又 sin α+cos α=1…(2 分) 2 联立方程可得 10co s α=1 ∵α 在第三象限∴ 代入第一式可得 (2)设 P(x,y) ,则 =﹣cosα= 故可得点 P 的坐标为: ( , , )…(7 分) …(3 分) …(4 分) = …(6 分)

点评: 本题考查同角三角函数的基本关系,以及三角函数的定义和诱导公式,属基础题. 20. (8 分)爱因斯坦提出:“人的差异在于业余时间”.某校要对本校 2014-2015 学年高一学 生的周末学习时间进行调查.现从中抽取 50 个样本进行分析,其频率分布直方图如图所 示.记第一组 设 x1>x2>0…(2 分) 则 f(x1)﹣f(x2)=lnx1﹣lnx2+2(x1﹣x2)>0, 即 f(x1)>f(x2) , ∴f(x)在(0,+∞)是增函数 …(4 分) (2)由(1)知 f(x)在(0,+∞)是增函数 ∴f(x1)<f(1)=2…(6 分) 令 g(x2)≥2 即 即





…(8 分)

∴kmax=2…(10 分) 点评: 本题主要考查函数单调性的判断,利用定义法是判断函数单调性中比较常用的方 法.


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