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2013年1月石景山高三数学(文)试题


石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷

高三数学(文)
本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考 试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项.

1 1.设集合 U ? ? ,2,3,4?, A ? ? ,2?, B ? ?2,4?,则 CU A) B ? ( ( ? 1
A. ? ,2? 1 B. ?2,4? 3, C. ?3,4? ) C. 1 ? 3i

) D. ? ,2,3,4? 1

2. 若复数 Z1 ? i , Z 2 ? 3 ? i ,则 A. ?1 ? 3i

Z2 ?( Z1

B. 2 ? i

D. 3 ? i

3. AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线, AB ? (2,4), AC ? (1,3), 则AD ? ( A. (2, 4) B. (3, 7) C. (1,1) D. (?1, ?1) )

??? ?

??? ?

??? ?



4.下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数是( A. y ? ln x B. y ? x 2 C. y ? cos x

D. y ? 2?|x| )

5.设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? B.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? / / ? C.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? ⊥ ? D.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? / / ?

开始 6.执行右面的框图,若输出结果为 3, 则可输入的实数 x 值的个数为( A.1 B.2 ) 输入 x

x >2




y =x 2 -1

y=log2 x

C.3

D.4

7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( A.



8 3

B. 4 D.

C. 2

4 3

2 2 2 3 1 3

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

8. 在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为 k , 即 ? k ? ? 5n ? k n ? Z , k ? 0,1, 2,3, 4 .给出如下四个结论: ① ② ③

? ?

?

?

2013 ? ?3? ;

?2 ? ?2? ;
Z ? ?0?∪?1?∪?2?∪?3?∪?4? ;

④ 整数 a , b 属于同一“类”的充要条件是“ a ? b ? 0 ” . 其中,正确结论的个数为( A. 1 B. 2 ) . C. 3 共 110 分) D. 4

??

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 不等式 x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集为
2

. .

10.直线 x +y ? 0 被圆 x +4 x+y ? 0 截得的弦长为
2 2

? y ? x, ? 11.已知不等式组 ? y ? ? x, 表示的平面区域 S 的面积为 4 ,则 a ? ? x?a ?
若点 P( x, y) ? S ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 12. 在等比数列 {an } 中, a1 = . ;



1 , a4 = - 4 ,则公比 q = 2
. .

a1 + a2 + a3 +L + an =

13.在 ?ABC 中,若 a ? 2, ?B ? 60?, b ? 7 ,则 c ? 14. 给出定义:若 m ?

1 1 < x ? m + (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 {x} , 2 2

即 {x}=m . 在此基础上给出下列关于函数 f (x )=x ? {x} 的四个命题: ① y =f (x) 的定义域是 R ,值域是 ( ?

1 1 , ]; 2 2

②点 (k ,0) 是 y =f (x) 的图像的对称中心,其中 k ? Z ; ③函数 y =f (x) 的最小正周期为 1 ; ④ 函数 y =f (x) 在 ( ?

1 3 , ] 上是增函数. 2 2


则上述命题中真命题的序号是

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

sin 2 x ( sin x ? cos x ) . cos x

(Ⅰ)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f (x ) 在区间 ? ?

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 4?

16. (本小题共 14 分) 如图 1,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? , BC ? 3,AC ? 6 .D、E 分别是 AC、AB 上的点,且

DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1DE 的位置,使 A1D ? CD ,如图 2.
(Ⅰ)求证: BC // 平面 A DE ; 1 (Ⅱ)求证: BC ? 平面 A1DC ; (Ⅲ) 当 D 点在何处时, A1B 的长度最小,并求出最小值. A1

A

D

C D C

E B 图1

E B 图2

17. (本小题共 13 分) 一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有 1 个数字,数字分别是 1 ? 2 ? 3 ? 4 .现从盒子中随机抽 取卡片. (Ⅰ)若一次抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率; (Ⅱ)若第一次抽 1 张卡片,放回后再抽取 1 张卡片,求两次抽取中至少一次抽到 数字 3 的概率.

18. (本小题共 13 分) 已知函数 f (x)=ln x ? ax+1, a ? R 是常数.

(Ⅰ)求函数 y =f (x) 的图象在点 P(1, f (1)) 处的切线 l 的方程; (Ⅱ)证明函数 y =f (x )(x ? 1) 的图象在直线 l 的下方; (Ⅲ)若函数 y =f (x) 有零点,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题共 14 分) 已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 于不同的两点 A、B . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不经过椭圆上的点 M (4,1) ,求证:直线 MA、MB 的斜率互为相反数.

3 ,长轴长为 4 5 ,直线 l:y =x +m 交椭圆 2

20. (本小题共 13 分) 定义:如果数列 {an } 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称 {an } 为“三角形”数 列.对于“三角形”数列 {an } ,如果函数 y ? f ( x) 使得 bn ? f (an ) 仍为一个“三角形”数列,则称

y ? f ( x) 是数列 {an } 的“保三角形函数” (n ? N *) .
(Ⅰ)已知 {an } 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列,若 f ( x) ? k (k ? 1) 是数列 {an } 的
x

“保三角形函数” ,求 k 的取值范围; (Ⅱ) 已知数列 {cn } 的首项为 2013 , n 是数列 {cn } 的前 n 项和, 且满足 4Sn +1 ? 3Sn ? 8052 , 证明 {cn } S 是“三角形”数列; (Ⅲ)若 g ( x) ? lg x 是(Ⅱ)中数列 {cn } 的“保三角形函数” ,问数列 {cn } 最多有多少项? (解题中可用以下数据 : lg 2 ? 0.301,

lg3 ? 0.477, lg2013 ? 3.304 )


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