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最新完美版高一数学(4.1.1圆的标准方程)


第四章 4.1 4.1.1 圆与方程 圆的方程 圆的标准方程 问题提出 1.在平面直角坐标系中,两点确定一条 直线,一点和倾斜角也确定一条直线, 那么在什么条件下可以确定一个圆呢? 圆心和半径 2.直线可以用一个方程表示,圆也可 以用一个方程来表示,怎样建立圆的 方程是我们需要探究的问题. 知识探究一:圆的标准方程 思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线, 在平面几何中,圆是怎样定义的?如何 用集合语言描述以点A为圆心,r为半径 的圆? M r P={M||MA|=r}. A 平面上到一个定点的距离等于定长的 点的轨迹叫做圆. 思考2:确定一个圆最基本的要素是什么? 思考3:设圆心坐标为A(a,b),圆半径 为r,M(x,y)为圆上任意一点,根据圆 的定义x,y应满足什么关系? y (x-a)2+(y-b)2=r2 o r A M x 思考4:对于以点A(a,b)为圆心,r为半 径的圆,由上可知,若点M(x,y)在圆上, 则点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ; 反之,若点M(x,y)的坐标适合方程(xa)2+(y-b)2=r2 ,那么点M一定在这个圆 上吗? y r A o x M 思考5:我们把方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 称为圆心为A(a,b),半径长为r的圆的 标准方程,那么确定圆的标准方程需要 几个独立条件? 2 2 2 思考6:以原点为圆心,1为半径的圆 称为单位圆,那么单位圆的方程是什 么? x2+y2=r2 思考7:方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r , 2 2 2 2 2 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,( x ? a) ? ( y ? b) ? m 是圆方程吗? 2 2 2 思考8:方程 y ? 4 ? ( x ? 1) 与 y ? 4 ? ( x ? 1) 表示的曲线分别是什么? 2 2 知识探究二:点与圆的位置关系 思考1:在平面几何中,点与圆有哪几种 位置关系? 思考2:在平面几何中,如何确定点与圆 的位置关系? A O OA<r O OA=r A O A OA>r 思考3:在直角坐标系中,已知点M(x0, 2 2 2 ( x ? a) ? ( y ?,如何判 b) ? r y0)和圆C: 断点M在圆外、圆上、圆内? (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内. 思考4:经过一个点、两个点、三个点分 别可以作多少个圆? 思考5:集合{(x,y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2} 表示的图形是什么? y r A o x 理论迁移 例1 写出圆心为A(2,-3),半径 长等于5的圆的方程,并判断点M(5, -7),N( 5 ,-1)是否在这个圆上? 例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8), 求它的外接圆的方程. y A o C B x 例3 已知圆心为C的圆经过点 A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在 直线l :x-y+1=0上,求圆C的标准方程. y l A C x o B 小结作业 (1)圆的标准方程的结构特点. (2)点与圆的位置关系的判定. (3)求圆的标准方程的方法: ①待定系数法;②代入法. 作业: P120练习: 1,3. P124习题4.1A组:2,3,4.

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