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【优化指导】2016-2017学年高中数学 第二章 函数章末测评 北师大版必修1


第二章测评
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列函数中与函数 y=x 相同的是( A.y=x C.y= 解析:y==t,t∈R. 答案:B 2.函数 f(x)=的图像是( )
2

)

B.y= D.y=

解析:由于

f(x)=所以其图像为 C. 答案:C 3.函数 f(x)=的定义域为( A.[-1,2)∪(2,+∞) C.[-1,2) 答案:A 4.(2016 湖北黄冈中学高一期中)已知 f:x→x 是集合 A 到集合 B={0,1,4}的一个映射,则集合 A 中 的元素个数最多有( A.3 个 C.5 个
2 2

) B.(-1,+∞)

D.[-1,+∞)

解析:由解得 x≥-1,且 x≠2.

)

B.4 个 D.6 个

解析:令 x =0,1,4,解得 x=0,±1,±2.故选 C. 答案:C 5.(2015 湖南浏阳一中高一段测)函数 f(x)=则 f(f(2))的值为( A.-1 C.0
2

)

B.-3 D.-8
2

解析:f(2)=2 -2-3=-1,f(f(2))=f(-1)=1-(-1) =0. 答案:C 6.已知二次函数 f(x)=m x +2mx-3,则下列结论正确的是( A.函数 f(x)有最大值-4 B.函数 f(x)有最小值-4 C.函数 f(x)有最大值-3 D.函数 f(x)有最小值-3
2 2

)

1

解析:由题知,m >0,所以 f(x)的图像开口向上,函数有最小值 f(x)min==-4,故选 B. 答案:B 7.若函数 f(x)(x∈R)是奇函数,则( A.函数 f(x )是奇函数 B.函数[f(x)] 是奇函数 C.函数 f(x)·x 是奇函数 D.函数 f(x)+x 是奇函数 解析:f((-x) )=f(x ),则函数 f(x )是偶函数,故 A 错误; [f(-x)] =[-f(x)] ,则函数[f(x)] 是偶函数,故 B 错误; 函数 f(-x)·(-x) =-f(x)·x ,则函数 f(x)·x 是奇函数,故 C 正确;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

)

f(-x)+(-x)2≠f(x)+x2,且 f(-x)+(-x)2≠-f(x)-x2,则函数 f(x)+x2 是奇函数错误,故 D 错误.故
选 C. 答案:C 8.(2016 湖南岳阳一中高一月考)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f 的

x 的取值范围是(
A. C. B. D.

)

解析:∵函数 f(x)是偶函数,

∴f(2x-1)<f 等价于 f(|2x-1|)<f.
又 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,

∴|2x-1|<,解得<x<.
答案:A 9.(2016 河南南阳五校高一联考)函数 f(x)=满足 f(f(x))=x,则常数 c 等于( A.3 C.3 或-3 B.-3 D.5 或-3
2

)

解析:f(f(x))==x, 即 x[(2c+6)x+9-c ]=0, 所以 解得 c=-3.故选 B. 答案:B 10.已知函数 f(x)=ax +bx+7(其中 a,b 为常数),若 f(-7)=-17,则 f(7)的值为( A.31 C.-17
3 3

)

B.17 D.15

解析:令 g(x)=ax +bx,则 g(x)为奇函数,因为 f(-7)=g(-7)+7=-17,所以 g(-7)=-17-7=24,g(7)=24,f(7)=g(7)+7=31. 答案:A 11.f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则 a 的取值范围是( A. B. )

2

C. 解析:由题意可得

D. 解得≤a<,故选 A.

答案:A 12.(2016 甘肃天水一中高一段考)若函数 y=f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又 f(3)=0,则

<0 的解集为(
A.(-3,3)

)

B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(0,3) D.(-3,0)∪(3,+∞) 解析:∵f(x)为偶函数,

∴f(-x)=f(x), ∴<0,


∵f(x)为偶函数且在(0,+∞)上为减函数, ∴f(x)在(-∞,0)上是增函数.
由 f(3)=0 知 f(-3)=0,

∴可化为∴x>3;
可化为

∴-3<x<0.
综上,<0 的解集为(-3,0)∪(3,+∞). 答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 13.已知幂函数 y=(m∈N+)的图像关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则 m= 解析:由题意 m -2m-3 为负的偶数, 由 m -2m-3=(m-1) -4<0? |m-1|<2.
2 2 2

.

∴-1<m<3.
又 m∈N+,

∴m=1 或 m=2.
代入 m -2m-3 使其为偶数,只有 m=1. 答案:1 14.若函数 f(x)=在 x∈(-2,+∞)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 解析:f(x)==a+.
2

.

∵y=在 x∈(-2,+∞)上是减函数, ∴1-2a>0, ∴a<.
答案:a<

3

15. 导学号 91000091(2016 河南南阳五校高一联考)对任意两个实数 x1,x2,定义 max{x1,x2}=若

f(x)=x2-2,g(x)=-x,则 max{f(x),g(x)}的最小值为
解析:f(x)-g(x)=x -2-(-x)=x +x-2,
2 2 2 2

.

当 x -2-(-x)=x +x-2≥0 时,x≥1 或 x≤-2,此时,f(x)≥g(x), 当-2<x<1 时,x +x-2<0,即 f(x)<g(x), 所以 max{f(x),g(x)}= 可结合分段函数的图像得最小值为 f(1)=-1. 答案:-1 16.(2016 吉林长春十一中初考)函数 f(x)同时满足:①对于定义域上的任意 x,恒有 f(x)+f(-x)=0;
2

②对于定义域上的任意 x1,x2,当 x1≠x2,恒有<0.则称函数 f(x)为“理想函数”,则下列三个函数
中:(1)f(x)=,(2)f(x)=x ,(3)f(x)=称为“理想函数”的有
2

(填序号).

解析:由题意知“理想函数”为定义域上的奇函数且在定义域上单调递减. 函数 f(x)=是奇函数,其虽然在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但不能说其在定义域(-∞,0) ∪(0,+∞)上是减函数,所以 f(x)=不是“理想函数”;函数 f(x)=x 是偶函数,且其在定义域 R 上先 减后增,也不是“理想函数”;函数 f(x)=是“理想函数”. 答案:(3) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12 分)已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x -2x+1,求 f(x)在 x∈R 上的表达式. 解:因为 f(x)是定义域在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,当 x<0 时,-x>0,由已知得,f(-x)=(-x) -2(2 2 2

x)+1=x2+2x+1=-f(x),
所以 f(x)=-x -2x-1, 所以 f(x)= 18.(12 分)(2015 山东兖州高一期中)已知 f(x)=,x∈[2,6]. (1)证明:f(x)是定义域上的减函数; (2)求 f(x)的最大值和最小值. 解:(1)设 2≤x1<x2≤6, 则 f(x1)-f(x2)=. 因为 x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0, 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以 f(x)是定义域上的减函数. (2)由(1)的结论可得,f(x)min=f(6)=,f(x)max=f(2)=1. 19.(12 分)(2015 浙江诸暨中学高一期中)已知函数 f(x)=mx+(m,n 是常数),且 f(1)=2,f(2)=. (1)求 m,n 的值; (2)当 x∈[1,+∞)时,判断 f(x)的单调性并证明; (3)若不等式 f(1+2x )>f(x -2x+4)成立,求实数 x 的取值范围. 解:(1)∵f(1)=m+=2,f(2)=2m+,∴ (2)设 1≤x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+=(x1-x2)=(x1-x2).
2 2 2

∵1≤x1<x2,

4

∴x1-x2<0,x1x2>1, ∴2x1x2>1, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增.
(3)∵1+2x ≥1,x -2x+4=(x-1) +3≥3, 需要 1+2x >x -2x+4,∴x +2x-3>0,
2 2 2 2 2 2

∴x<-3 或 x>1.
20.(12 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3 000 元时,可全部租出;当每辆车的 月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的 车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解:(1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,未租出的车辆数为=12,所以这时租出了 88 辆车. (2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为 f(x)=(x-150)-×50,整理,得 f(x)=-

+162x-21 000=-(x-4 050)2+307 050.
所以当 x=4 050 时,f(x)最大,最大值为 f(4 050)=307 050 元, 即当每辆车的月租金定为 4 050 元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为 307 050 元. 21. 导学号 91000092(12 分)(2015 河南洛阳高一期末)已知 f(x)对任意的实数 m,n 都 有:f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当 x>0 时,有 f(x)>1. (1)求 f(0); (2)求证:f(x)在 R 上为增函数; (3)若 f(1)=2,且关于 x 的不等式 f(ax-2)+f(x-x )<3 对任意的 x∈[1,+∞)恒成立,求实数 a 的取值 范围. (1)解:令 m=n=0,则 f(0)=2f(0)-1,
2

∴f(0)=1.
(2)证明:任取 x1,x2∈R 且 x1<x2,

∴x2-x1>0,f(x2-x1)>1. ∵f(m+n)=f(m)+f(n)-1, ∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1>1+f(x1)-1=f(x1), ∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)在 R 上为增函数.
(3)解:∵f(ax-2)+f(x-x )<3,即 f(ax-2)+f(x-x )-1<2,
2 2

∴f(ax-2+x-x2)<2. ∵f(1)=2,∴f(ax-2+x-x2)<f(1).
又∵f(x)在 R 上为增函数,

∴ax-2+x-x2<1, ∴x2-(a+1)x+3>0 对任意的 x∈[1,+∞)恒成立.
令 g(x)=x -(a+1)x+3,
2

5

当≤1 时,g(1)>0,得 a<3,

∴a≤1;
当>1 时,Δ <0, 即(a+1) -3×4<0,
2

∴-2-1<a<2-1, ∴1<a<2-1.
综上,实数 a 的取值范围为(-∞,2-1). 22.(14 分)已知二次函数 f(x)的图像过点(0,4),对任意 x 满足 f(3-x)=f(x),且有最小值是. (1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 h(x)=f(x)-(2t-3)x 在区间[0,1]上的最小值,其中 t∈R; (3)在区间[-1,3]上,y=f(x)的图像恒在函数 y=2x+m 的图像上方,试确定实数 m 的范围. 解:(1)由题知二次函数图像的对称轴为 x=,又最小值是, 则可设 f(x)=a(a≠0). 又图像过点(0,4), 则 a=4, 解得 a=1,

∴f(x)==x2-3x+4.
(2)h(x)=f(x)-(2t-3)x=x -2tx+4=(x-t) +4-t ,其对称轴 x=t.
2 2 2

①t≤0 时,函数 h(x)在[0,1]上单调递增,最小值为 h(0)=4; ②当 0<t<1 时,函数 h(x)的最小值为 h(t)=4-t2; ③当 t≥1 时,函数 h(x)在[0,1]上单调递减,最小值为 h(1)=5-2t,
所以 h(x)min= (3)由已知:f(x)>2x+m 对 x∈[-1,3]恒成立,

∴m<x2-5x+4 对 x∈[-1,3]恒成立, ∴m<(x2-5x+4)min(x∈[-1,3]). ∵g(x)=x2-5x+4 在 x∈[-1,3]上的最小值为-,∴m<-.

6


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