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高中数学不等式知识点总结教师版


高中数学不等式专题教师版
一、 高考动态 考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会 简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 二、不 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义: a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b. (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1) a ? b ? b ? a (对称性) (2) a ? b, b ? c ? a ? c (传递性) (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法单调性) (4) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) (5) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减) (6) a. ? b, c ? 0 ? ac ? bc (7) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (乘法单调性) (8) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向不等式相乘)
(9) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a b ? c d

(异向不等式相除)

(10) a ? b, ab ? 0 ?

1 1 (倒数关系) ? a b

(11) a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? Z , 且n ? 1) (平方法则) (12) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? Z , 且n ? 1) (开方法则) 3.几个重要不等式 (1) 若a ? R, 则 | a |? 0, a 2 ? 0 (2) 若a、b ? R ? , 则a 2 ? b 2 ? 2ab(或a 2 ? b 2 ? 2 | ab |? 2ab) (当仅当 a=b 时取等号) (3)如果 a,b 都是正数,那么
ab ? a ? b (当仅当 a=b 时取等号) . 2

极值定理:若 x, y ? R? , x ? y ? S , xy ? P, 则: 1 如果 P 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值最小; ○ 2 如果 S 是定值, 那么当 x=y 时,P 的值最大. ○ 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.

(4)若a、b、c ? R ? , 则

a?b?c 3 ? abc (当仅当 a=b=c 时取等号) 3

b a (5) 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b

(6)a ? 0时, | x |? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a 或 x ? a;

| x |? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a

(7) 若a、b ? R, 则 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 4.几个著名不等式 (1)平均不等式: 如果 a,b 都是正数,那么
2 1 1 ? a b ? ab ? a?b a 2 ? b 2 (当仅当 ? . 2 2

a=b 时

取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数):
2 2 2 2 特别地, ab ? ( a ? b ) 2 ? a ?b (当 a = b 时, ( a ? b ) 2 ? a ?b ? ab ) 2 2 2 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? a ? ?b ? c ? ?? ? (a, b, c ? R, a ? b ? c时取等) 3 3 ? ?
2 2 ? ... ? a n ? ?幂平均不等式: a12 ? a 2

2

1 (a1 ? a 2 ? ... ? a n ) 2 n

注:例如: (ac ? bd ) 2 ? (a 2 ?b 2 )(c 2 ?d 2 ) .

1 1 1 1 1 1 1 常用不等式的放缩法:① ? ? ? 2? ? ? (n ? 2) n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n
② n ?1 ? n ?

1 n ? n ?1

?

1 2 n

?

1 n ? n ?1

? n ? n ? 1(n ? 1)

(2)柯西不等式: 若a1 , a2 , a3 ,?, an ? R, b1 , b2 , b3 ?, bn ? R; 则

2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? ? ? an bn ) 2 ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? b3 ? ?bn ) an a1 a2 a3 当且仅当 ? ? ? ? ? 时取等号 b1 b2 b3 bn

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 (1)整式不等式的解法(根轴法). 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; g ( x)

? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

(3)无理不等式:转化为有理不等式求解 1 f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? ? 定义域 ○ ? ?
? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ?

2 f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ○ ?

? f ( x) ? 0

f ( x) ? 0 或? ? g ( x) ? 0 2 ? ? ? f ( x) ? [ g ( x)]

3 ○

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 2 ? ? f ( x) ? [ g ( x)]

(4).指数不等式:转化为代数不等式
a f ( x ) ? a g ( x ) (a ? 1) ? f ( x) ? g ( x); a f ( x ) ? a g ( x ) (0 ? a ? 1) ? f ( x) ? g ( x) a f ( x ) ? b(a ? 0, b ? 0) ? f ( x) ? lg a ? lg b

(5)对数不等式:转化为代数不等式
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x)(a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ; ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x ) ? log a g ( x )(0 ? a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(6)含绝对值不等式 1 应用分类讨论思想去绝对值; ○ 3 应用化归思想等价转化 ○

2 应用数形思想; ○

g ( x) ? 0 | f ( x) |? g ( x) ? ? ?? g ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? g ( x) ? 0 | f ( x) |? g ( x) ? g ( x) ? 0( f ( x), g ( x)不同时为0)或? ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x) ?

注:常用不等式的解法举例(x 为正数): ① x(1 ? x) 2 ?

1 1 2 4 ? 2 x(1 ? x)(1 ? x) ? ( ) 3 ? 2 2 3 27
2 x 2 (1 ? x 2 )(1 ? x 2 ) 1 2 3 4 2 3 ? ( ) ? ? y? 2 2 3 27 9
2

② y ? x(1 ? x 2 ) ? y 2 ?
2

类似于 y ? sin x cos x ? sin x(1 ? sin x) ,③ | x ? 1 |?| x | ? | 1 | ( x与 1 同号,故取等) ? 2
x x x

三、利用均值不等式求最值的方法
均值不等式

a ?b ? ab (a ? 0,b ? 0, 当且仅当 a=b 时等号成立)是一个重要的 2

不等式,利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目,可以直接利用公式求解。但是有些 题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑 1. 凑系数 例 1. 当 0 ? x ? 4 时,求 y ? x (8 ? 2 x ) 的最大值。

解析:由 0 ? x ? 4 知, 8 ? 2x ? 0 ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定 值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x ) ? 8 为定值,故只需 将 y ? x (8 ? 2 x ) 凑上一个系数即可。

y ? x (8 ? 2 x ) ?

1 1 2x ? 8 ? 2x 2 [2 x· (8 ? 2 x )] ? ( ) ?8 2 2 2

当且仅当 2x ? 8 ? 2x ,即 x=2 时取等号。 所以当 x=2 时, y ? x (8 ? 2 x ) 的最大值为 8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均 值不等式求最大值。 2. 凑项 例 2. 已知 x ?

5 1 ,求函数 f ( x ) ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5 1 不是定值,故需 4x ? 5

解析:由题意知 4x ? 5 ? 0 ,首先要调整符号,又 ( 4 x ? 2) · 对 4x ? 2 进行凑项才能得到定值。 ∵x ? ∴

5 ,5 ? 4 x ? 0 4 1 1 ? ? (5 ? 4 x ? )?3 4x ? 5 5 ? 4x

f ( x) ? 4 x ? 2 ?

? ?2 (5 ? 4 x) ·

1 ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 5 ? 4x
1 ,即 x ? 1时等号成立。 5 ? 4x

当且仅当 5 ? 4 x ?

评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 3. 分离 例 3. 求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x≠ ? 1) 的值域。 x ?1

解析:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其 分离。

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? 1) 2 ? 5( x ? 1) ? 4 4 y? ? ? ( x ? 1) ? ?5 x ?1 x ?1 x ?1
当 x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 时

y ? 2 ( x ? 1) ·

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

当 x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 时

y ? 5 ? 2 ( x ? 1) ·

4 ? 1 (当且仅当 x=-3 时取“=”号)。 x ?1

x 2 ? 7 x ? 10 ( x≠-1) 的值域为 (??,1] ?[9, ? ?) 。 ∴y? x ?1
评注:分式函数求最值,通常化成 y ? mg ( x ) ? 或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 二、整体代换 例 4. 已知 a ? 0,b ? 0,a ? 2b ? 1 ,求 t ? 解法 1:不妨将

A ? B( A ? 0,m ? 0) ,g(x)恒正 g( x)

1 1 ? 的最小值。 a b

1 1 ? 乘以 1,而 1 用 a+2b 代换。 a b 1 1 1 1 ( ? ) ·1 ? ( ? ) · (a ? 2b) a b a b
? 1?

2b a ? ?2 a b 2b a ? 3? ? a b 2b a ? 3? 2 · a b ? 3? 2 2

?a ? 2 ? 1 ? 2b a 2b a ? ? ? ? 时取等号,由 ? a 当且仅当 b ,得 ? 2 a b b ? 1? ? ? a ? 2 b ? 1 ? 2 ? ?a ? 2 ? 1 1 1 ? 即? 2 时, t ? a ? b 的最小值为 3 ? 2 2 。 ?b ? 1 ? 2 ?
解法 2:将

1 1 ? 分子中的 1 用 a ? 2b 代换。 a b

a ? 2b a ? 2b 2b a ? ? 1? ? ?2 a b a b 2b a ? 3? ? ? 3? 2 2 a b
评注:本题巧妙运用“1”的代换,得到 t ? 3 ? 可用均值不等式求得 t ? 三、换元 例 5. 求函数 y ?

2b a 2b a ? ,而 与 的积为定值,即 a b a b

1 1 ? 的最小值。 a b

x?2 的最大值。 2x ? 5

解析:变量代换,令 t ? 当 t=0 时,y=0 当 t ? 0 时, y ?

x ? 2 ,则 x ? t 2 ? 2(t ? 0) ,则y ?

t 2t ? 1
2

1 1 2t ? t

?

1 2 2t· 1 t

?

2 4

当且仅当 2t ?

1 2 ,即 t ? 时取等号。 t 2

故x ? ?

3 2 。 时,y max ? 2 4

评注:本题通过换元法使问题得到了简化,而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最 值问题,从而为构造积为定值创造有利条件。 四、取平方 例 6. 求函数 y ?

1 5 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( ? x ? ) 的最大值。 2 2

解析:注意到 2 x ? 1与5 ? 2 x 的和为定值。

y 2 ? ( 2x ? 1 ? 5 ? 2x )2 ? 4 ? 2 (2 x ? 1)(5 ? 2 x ) ? 4 ? (2 x ? 1) ? (5 ? 2 x ) ? 8
又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2 当且仅当 2x ? 1 ? 5 ? 2x ,即 x ?

3 时取等号。 2

故 ymax ? 2 2 。 评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件。 总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意 一些变形技巧,积极创造条件利用均值不等式。

高中数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训 练) :基本不等式
一、选择题 1 1 1.若 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,则 + 的最小值是(

a b

)

A.

1 4

B.1

C.4

D.8

a+b=1, ? ? 解析:由 a>0,b>0,ln(a+b)=0,得?a>0, ? ?b>0.
1 1 a+b 1 故 + = = ≥

a b

ab

ab

1 1 = =4. ?a+b?2 ?1?2 ? 2 ? ?2? ? ? ? ?

1 当且仅当 a=b= 时,上式取等号. 2 答案:C

?1 a? 2. 已知不等式(x+y)? + ?≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 ?x y?
( ) A.2 C.9 B.4 D.1 6

x y ?1 a? 解析:(x+y)? + ?=1+ ·a+ +a.

?x y?

y

x

∵x>0,y>0,a>0, ∴1+ + +a≥1+a+2 a. 由 9≤1+a+2 a,得 a+2 a-8≥0, ∴( a+4)( a-2)≥0 . ∵a>0,∴ a≥2,∴ a≥4,∴a 的最小值为 4. 答案:B

ax y y x

? x 4 ? 3.已知函数 f(x)=lg?5 + x+m?的值域为 R,则 m 的取值范围是( 5 ? ?
A.(-4,+∞) B.[-4,+∞) C.(-∞,-4) D.(-∞,-4]

)

4 4 x x 解析: 设 g(x)=5 + x+m, 由题意 g(x)的图像与 x 轴有交点, 而 5 + x≥4, 故 m≤-4, 5 5 故选 D. 答案:D 4.当点(x,y)在直线 x+3y-2=0 上移动时,表达式 3 +27 +1 的最小值为( A.3 C.1 B.5 D.7
x y

)

解析:方法一:由 x+3y-2=0,得 3y=-x+2. ∴3 +27 +1=3 +3 +1=3 +3 9 x =3 + x+1 3 ≥2 9 x 3 · x+1=7. 3
x y x
3y

x

-x+2

+1

9 x x 当且仅当 3 = x,即 3 =3,即 x=1 时取得等号. 3 方法二:3 +27 +1=3 +3 +1≥2 3 ·3 +1=2 3 +1=7. 答案:D 5.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 C. 9 2 B.4 D. 11 2 )
x y x
3y

x

3y

2

解析:∵2xy=x·(2y)≤?
2

?x+2y?2, ? ? 2 ?

∴原式可化为(x+2y) +4(x+2y)-32≥0. 又∵ x>0,y>0,∴x+2y≥4.当 x=2,y=1 时取等号. 答案:B 1 1 x y 6.(2013·苍山调研) 已知 x>0,y>0,lg2 +lg8 =lg2,则 + 的最小值是( x 3y A.2 C.4 解析:由 lg2 +lg8 =lg2,得 lg2
x y x+3y

)

B.2 2 D.2 3 =lg2.

1 1 ?1 1 ? x 3y ∴x+3y=1, + =? + ?(x+3y)=2+ + ≥4. x 3y ?x 3y? 3y x 答案:C 二、填空题
2? ? 2 1 ?? 1 7.设 x、y∈R,且 xy≠0,则?x + 2?? 2+4y ?的最小值为__________. y ??x ? ?

1 2? ? 2 1 ?? 1 2 2 解析:?x + 2?? 2+4y ?=1+4+4x y + 2 2≥1+4+2 4=9. y x xy ? ?? ? 当且仅当 4x y = 答案:9 8.(2013·台州调研)若实数 a,b 满足 ab-4a-b+1=0(a>1),则(a+1)(b+2)的最 小值为__________. 解析:∵ab-4a-b+1=0, 4a-1 ∴b= ,ab=4a+b-1. a-1 ∴(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1 4a-1 =6a+ ·2+1 a-1 [4?a-1?+3]×2 =6a+ +1 a-1 =6a+8+ 6
2 2

1

xy

2 2

时等号成立,即|xy|=

2 时等号成立. 2

a-1

+1 +15.

=6(a-1)+

6

a-1

∵a>1,∴a-1>0. ∴原式=6(a-1)+
2

6

a-1

+15≥2 6×6+15=27.

当且仅当(a-1) =1,即 a=2 时等号成立. ∴最小值为 27. 答案:27 9.(2013·聊城质检)经观测,某公路段在某时段内的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平 均速度 v(千米/小时)之间有函数关系:y= 920v (v>0),在该时段内,当车流量 y v2+3v+1 600

最大时,汽车的平均速度 v=__________千米/小时. 解析:∵v>0,

∴y=

920 ≤ 1 600 v+ +3 2

v

920 920 = ≈11.08, 80+3 1 600 v· +3

v

1 600 当且仅当 v= ,即 v=40 千米/小时时取等号.

v

答案:40 三、解答题 10.已知 x>0,y>0,z>0,且 x+y+z=1. 1 4 9 求证: + + ≥36.

x y z

解析:∵x>0,y>0,z>0,且 x+y+z=1, 1 4 9 ?1 4 9? ?y 4x? ?z 9x? ?4z 9y? ∴ + + = (x + y + z) ? + + ? = 14 + ? + ? + ? + ? + ? + ? ≥14 + 2

x

y

z

?x y z?
y z

?x

y?

?x

z?

?y

z?

y 4x · +2 x y

z 9x · +2· x z

4z 9y · =14 +4+6+12=36.

1 2 1 2 2 当且仅当 x = y = z , 4 9 1 1 1 即 x= ,y= ,z= 时等号成立. 6 3 2 1 4 9 ∴ + + ≥36.

x y z

11.某学校拟建一块周长为 400 m 的操场如图所示,操场的两头是半圆形,中间区域是 矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,试问如何设计矩 形的长和宽.

解析:设中间矩形区域的长,宽分别为 x m,y m, 中间的矩形区域面积为 S m , πy 则半圆的周长为 m. 2 πy ∵操场周长为 400 m,所以 2x+2× =400, 2 400 即 2x+π y=400(0<x <200,0<y< ). π 1 1 ?2x+π ∴S=xy= ·(2x)·(π y)≤ ·? 2π 2π ? 2
2

y?2 20 000

?= π ?

.

?2x=π y, ? 由? ?2x+π y=400, ?

x=100, ? ? 解得? 200 y= . ? π ?

x=100, ? ? ∴当且仅当? 200 y= ? π ?

时等号成立.

200 即把矩形的长和宽分别设计为 100 m 和 m 时,矩 形区域面积最大. π 12.已知 x,y 都是正实数,且 x+y-3xy+5=0. (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+y 的最小值. 解析:(1)由 x+y-3xy+5=0,得 x+y+5=3xy. ∴2 xy+5≤x+y+5=3xy. ∴3xy-2 xy-5 ≥0. ∴( xy+1)(3 xy-5)≥0. 5 25 ∴ xy≥ ,即 xy≥ ,等号成立的条件是 x=y. 3 9 5 25 此时 x=y= ,故 xy 的最小值是 . 3 9 (2)方法一:∵x+y+5=3xy≤3·? 3 2 ∴ (x+y) -(x+y)-5≥0. 4 即 3(x+y) -4(x+y)-20≥0. 即[(x+y)+2][3(x+y)-10]≥0. 10 ∴x+y≥ . 3 5 等号成立的条件是 x=y,即 x=y= 时取得. 3 10 故 x+y 的最小值为 . 3 25 方法二:由(1)知,x+y+5=3xy,且(xy)min= , 9 25 ∴3(xy)min= . 3 25 10 5 ∴(x+y)min= -5= ,此时 x=y= . 3 3 3
2

?x+y?2=3(x+y)2, ? ? 2 ? 4


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