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状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练15:椭圆、双曲线、抛物线


高考专题训练(十五)

椭圆、双曲线、抛物线

A 级——基础巩固组 一、选择题 x2 2 1.以双曲线 3 -y =1 的左焦点为焦点,顶点在原点的抛物线方程是( A.y2=4x C.y2=-4 2x 解析 B.y2=-4x D.y2=-8x )

由题意知:抛物线的焦点为(-2,0).又顶点在原点,所以抛物线方程

r />
为 y2=-8x. 答案 D

3 2.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于2,则 C 的 方程是( ) x2 y2 B. 4 - 5 =1 x2 y2 D. 2 - =1 5

x2 y2 A. 4 - =1 5 x2 y2 C. 2 - 5 =1 解析 y2 - 5 =1. 答案 B

3 x2 2 2 双曲线中 c=3,e=2,故 a=2,b= c -a = 5,故双曲线方程为 4

x2 y2 3.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范 2-k 2k-1 围是( ) B.(1,+∞) ?1 ? D.?2,1? ? ?

?1 ? A.?2,2? ? ? C.(1,2) 解析 答案 4. ?2k-1>2-k, ? ∴1<k<2. ?2-k>0, C

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y2 (2014· 浙江考试院抽测)如图,F1,F2 是双曲线 C1:x - 3 =1 与椭圆 C2 的公
2

共焦点,点 A 是 C1,C2 在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则 C2 的离心率 是( ) 1 A.3 1 C.5 解析 2 B.3 2 D.5 由题知|AF1|+|AF2|=2a(设 a 为椭圆的长半轴),|AF1|-|AF2|=2,而

|F1F2|=|F1A|=4,因此可得 2×|F1A|=2a+2,∴8=2a+2,∴a=3,又 c=2, 2 故 C2 的离心率 e=3. 答案 B

x2 y2 5.(2014· 山东卷)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为a2+b2=1,双曲线 C2 的方 x2 y2 3 程为a2-b2=1,C1 与 C2 的离心率之积为 2 ,则 C2 的渐近线方程为( A.x± 2y=0 C.x± 2y=0 解析 c1 c2 由题意知 e1= a ,e2= a , B. 2x± y=0 D.2x± y=0 )

c1 c2 c1c2 3 ∴e1· e2= a · = 2 = a a 2.
2 2 2 2 2 2 又∵a2=b2+c2 1,c2=a +b ,∴c1=a -b , 4 4 2 c2 1c2 a -b ?b? ∴ a4 = a4 =1-?a?4, ? ?

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?b? 3 即 1-?a?4=4, ? ? b 2 b 2 解得a=± 2 ,∴a= 2 . x2 y2 令a2-b2=0,解得 bx± ay=0, ∴x± 2y=0. 答案 A

x2 y2 6.(2014· 重庆卷)设 F1,F2 分别为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点, 9 双曲线上存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|· |PF2|=4ab,则该双曲线的离心 率为( 4 A.3 9 C.4 解析 ) 5 B.3 D.3 联立已知条件和双曲线的定义, 建立关于 a, b, c 的方程, 求离心率.

不妨设 P 为双曲线右支上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2. 根据双曲线的定义,得 r1-r2=2a, 3b+2a 3b-2a 又 r1+r2=3b,故 r1= 2 ,r2= 2 . 3b+2a 3b-2a 9 9 又 r1 · r2=4ab,所以 2 · 2 =4ab, b 4 解得a=3(负值舍去). c 故 e=a= 答案 B a2+b2 a2 = ?b?2 ?a? +1= ? ? 5 ?4?2 ?3? +1= ,故选 B. 3 ? ?

二、填空题 x2 y2 7.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:25+ 9 =1 的左、右焦点分别是 F1、 F2,P 为椭圆 C 上的一点,且 PF1⊥PF2,则△PF1F2 的面积为________. 解析 ∴c=4. ∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由椭圆方程知 a=5,b=3,

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2 2 2 ?|PF1| +|PF2| =4c =64, ? ∴ ?|PF1|+|PF2|=2a=10.

解得|PF1||PF2|=18, 1 1 ∴△PF1F2 的面积为2|PF1|· |PF2|=2×18=9. 答案 9

x2 y2 8.(2014· 福建卷)椭圆 Γ:a2+b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦 距为 2c.若直线 y= 3(x+c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1, 则该椭圆的离心率等于________. 解析 由直线方程为 y= 3(x+c),

知∠MF1F2=60° , 又∠MF1F2=2∠MF2F1, 所以∠MF2F1=30° ,MF1⊥MF2, 所以|MF1|=c,|MF2|= 3c, 所以|MF1|+|MF2|=c+ 3c=2a. c 即 e=a= 3-1.

答案

3-1

1 2 x2 2 9.抛物线 C1:y=2px (p>0)的焦点与双曲线 C2: 3 -y =1 的右焦点的连线 交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p= ________. 解析 p? 3 ? 经过第一象限的双曲线的渐近线为 y= 3 x.抛物线的焦点为 F?0,2?, ? ?

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2 x0 1 3 ? ? 双曲线的右焦点为 F2(2,0).y′=px,由题意知在 M?x0,2p?处的切线斜率为 3 , ? ?

p 2-0 p 1 3 3 ? 3 p? ? ? 即px0= 3 ,所以 x0= 3 p,点 F?0,2?,F2(2,0),M? p, ?共线,所以 = ? ? 6? 0-2 ?3 p p 6-2 4 3 ,即 p= 3 . 3 3 p-0 答案 4 3 3

三、解答题 x2 y2 10.(2014· 课标全国卷Ⅱ)设 F1,F2 分别是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、 右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为4,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. b2 2 ? b? a 3 (1)根据 c= a2-b2及题设知 M?c, a ?,2c=4,2b2=3ac.将 b2=a2-c2 ? ?



c 1 c 1 代入 2b2=3ac,解得a=2,a=-2(舍去).故 C 的离心率为2. (2)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点, b2 故 a =4,即 b2=4a.① 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0, 3 ? ?x1=- c, ?2?-c-x1?=c, 2 则? 即? ?-2y1=2, ? ?y1=-1. 9c2 1 代入 C 的方程,得4a2+b2=1.② 9?a2-4a? 1 将①及 c= a -b 代入②得 4a2 +4a=1.
2 2

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解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2 7. x2 y2 11.(2014· 天津卷)设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右 3 顶点为 A,上顶点为 B.已知|AB|= 2 |F1F2|. (1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经 过点 F2 的直线 l 与该圆相切于点 M,|MF2|=2 2.求椭圆的方程. 解 (1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0).

3 由|AB|= 2 |F1F2|,可得 a2+b2=3c2. c2 1 又 b2=a2-c2,则a2=2. 2 所以,椭圆的离心率 e= 2 . (2)由(1)知 a2=2c2,b2=c2. x2 y2 故椭圆方程为2c2+c2=1. 设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c), → → 有F 1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c). → → 由已知,有F F 1P· 1B=0, 即(x0+c)c+y0c=0.又 c≠0,故有 x0+y0+c=0.① x2 y2 0 0 因为点 P 在椭圆上,故2c2+c2=1.②
2 由①和②可得 3x0 +4cx0=0.

4 而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=- c, 3 c ? 4c c? 代入①得 y0=3,即点 P 的坐标为?- 3 ,3?. ? ? 设圆的圆心为 T(x1,y1), 4 -3c+0 2 c 3+c 2 2 =-3c,y1= 2 =3c,

则 x1=

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5 所以圆的半径 r= ?x1-0?2+?y1-c?2= 3 c. 由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2, 2 ? 5 ? 2 ? ? 又|MF2|=2 2,故有?c+3c?2+?0-3c?2=8+9c2,解得 c2=3. ? ? ? ? x2 y2 所以,所求椭圆的方程为 6 + 3 =1. B 级——能力提高组 1.(2014· 四川卷)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位 → → 于 x 轴的两侧,OA· OB=2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的 最小值是( A.2 17 2 C. 8 解析 ) B.3 D. 10

设出直线 AB 的方程,用分割法表示出△ABO 的面积,将 S△ABO+S△AFO 表示 为某一变量的函数,选择适当方法求其最值. 设直线 AB 的方程为 x=ny+m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2), →· → =2,∴x x +y y =2. ∵OA OB 1 2 1 2
2 又 y1 =x1,y2 2=x2,∴y1y2=-2. 2 ?y =x, 联立? 得 y2-ny-m=0, x = ny + m , ?

∴y1y2=-m=-2,

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∴m=2,即点 M(2,0). 1 1 又 S△ABO=S△AMO+S△BMO=2|OM||y1|+2|OM||y2|=y1-y2, 1 1 S△AFO=2|OF|· |y1|=8y1, 1 9 2 ∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+8y1=8y1+y ≥2
1

9 2 8y1· y1=3,

4 当且仅当 y1=3时,等号成立. 答案 B

x2 y2 2.设点 P 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)与圆 x2+y2=a2+b2 在第一象限的 交点,其中 F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离 心率为________. 解析 由已知可得,△PF1F2 为直角三角形,且|PF1|2+|PF2|2=4c2,又|PF1|

-|PF2|=2a,∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|· |PF2|=|PF1|2+|PF2|2,即 2|PF1|· |PF2|=4c2 -4a2=4b2,把|PF1|=2|PF2|代入得,|PF2|=b,|PF1|=2b,代入|PF1|2+|PF2|2=4c2 c 得 5b2=5c2-5a2=4c2,∴c2=5a2,e=a= 5. 答案 5

x2 3.已知动点 C 是椭圆 Ω: a +y2=1(a>1)上的任意一点,AB 是圆 G:x2+(y 9 →· → 的最大值是31. -2)2=4的一条直径(A,B 是端点),CA CB 4 (1)求椭圆 Ω 的方程; (2)已知椭圆 Ω 的左、右焦点分别为点 F1,F2,过点 F2 且与 x 轴不垂直的直 线 l 交椭圆 Ω 于 P,Q 两点. 在线段 OF2 上是否存在点 M(m,0),使得以 MP,MQ 为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数 m 的取值范围;若不存在,请说 明理由. 解 x2 2 (1)设点 C 的坐标为(x,y),则 a +y =1,

→ =CG → +GA → ,CB → =CG → +GB → =CG → -GA →, 连接 CG,由CA 又 G(0,2),

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9 9 → → →2 →2 可得 CA · CB = CG - GA = x2 + (y - 2)2 - 4 = a(1 - y2) + (y - 2)2 - 4 =- (a - 7 1)y2-4y+a+4,其中 y∈[-1,1]. 因为 a>1,故当 y= 4 ≤-1,即 1<a≤3 时, 2?1-a?

→· → 有最大值-(a-1)+4+a+7=27,与条件矛盾; 取 y=-1,得CA CB 4 4 ? 7? 4?1-a??a+4?-16 ? ? 4 →· → 的最大值是 当 y= >-1,即 a>3 时,CA CB , 2?1-a? 4?1-a? ? 7? 4?1-a??a+4?-16 ? ? 31 由条件得 = 4 ,即 a2-7a+10=0,解得 a=5 或 a=2(舍 4?1-a? 去). x2 综上所述,椭圆 Ω 的方程是 5 +y2=1. (2)设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ 的中点坐标为(x0,y0), x2 x2 1 2 2 则满足 5 +y2 = 1 , 1 5 +y2=1,两式相减, 整理得 y2-y1 x2+x1 x0 =- =-5y , x2-x1 5?y2+y1? 0
0

x0 从而直线 PQ 的方程为 y-y0=-5y (x-x0), 又右焦点 F2 的坐标是(2,0), x0 将点 F2 的坐标代入 PQ 的方程得-y0=-5y (2-x0),
0

因为直线 l 与 x 轴不垂直,
2 故 2x0-x2 0=5y0>0,从而 0<x0<2.

假设在线段 OF2 上存在点 M(m,0)(0<m<2),使得以 MP,MQ 为邻边的平行 四边形是菱形,则线段 PQ 的垂直平分线必过点 M,而线段 PQ 的垂直平分线方 5y0 5y0 程是 y-y0= x (x-x0),将点 M(m,0)代入得-y0= x (m-x0),
0 0

8? 4 ? 得 m=5x0,从而 m∈?0,5?. ? ?

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