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天津市红桥区重点中学2016届高三下学期八校联考数学(理)试题


高三年级八校联考

理科数学 试卷(2016.4)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟

[来源:学科网 ZXXK]

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一. 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请将答案填涂在答题卡上) 1.复数 z ? (3 ? 2i)i 的共轭复数 z 等于( A. ?2 ? 3i B. ?2 ? 3i C. 2 ? 3i ) D. 2 ? 3i

2. 若 x, y ? R ,且 A.0

? x ≥1, ? ? x ? 2 y ? 3 ≥ 0, ? x ? y ≥ 0, ?
C.1

,则 z ? 2 x ? y 的最小值等于( D.-1



B.3

开始

3.给出如图所示的程序框图,那么输出的数是
A.7203 C.7800 B.7500 D.7406

k ? 1, s ? 0
s ? s ? 3k
k ?k?2


4.设 a , b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2 且 b ? 2 ”的( A..充分非必要条件 C.充要条件
5

k ? 100

B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 )




输出S

? 2 ? 5. ? ? x?3 ? ? 的展开式中的常数项为( x? ?
A. ? 40 B. 40 C. 80

结束

D. ? 80

6.下列函数中,在区间 ?0, ? ? ? 上为增函数的是( A. y ? x ? 1 C. y ? 2 ? x B. y ? ?x ?1?2 D. y ? log0.5 ?x ? 1?



7.在等差数列 {an} 中, a1 ? 0 ,且 3a8 ? 5a7 ,则前 n 项和 Sn 中最大的是( A. S5 8. 双曲线 B. S6 C. S7 D. S8



y 2 x2 1 双曲线上过点 F 且垂直于实轴的 ? 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 有一个公共焦点 F, 2 8 a b

弦长为

2 3 ,则双曲线的离心率等于 3
B. 3 C.

A.2

3 2 2

D.

2 3 3

第Ⅱ卷(非选择性试题共 110 分) 二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请将答案填在答题纸上) 9.设集合 A ? {x || x ? 1|? 2} , B ? { y | y ? 2x , x ?[0, 2]} ,则 A ? B ? 10.已知直线 PA 切⊙ O 于点 A , PBM 是⊙ O 的一条割线,如图所 示有 ?P ? ?BAC ,若 PA ? 4 7, BM ? 9 , BC ? 5, 则 AB ? _________.
P B C A

O M

11.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c . 若 c2 ? (a ? b)2 ? 6 , C ? 面积是

?
3

,则 ?ABC 的

12.直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 13.已知棱长为 2 的正四面体的各顶点均在同一 个球面上,则该球的体积为 14.在边长为1的等边 ?ABC 中, E 为 AC 上一点,且 AC ? 4 AE , P 为 BE 上一点, 且满足 AP ? mAB ? nAC(m ? 0, n ? 0) ,则

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? 1 1 ? 取最小值时, | AP |? ________. m n

三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并将 答案写在答题纸上) 15(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin(

? ? x) ? 3 cos 2 x . 2

(I)求 f ( x) 的最小正周期和最大值; (II)讨论 f ( x) 在 ?

? ? 2? ? , 上的单调性. ?6 3 ? ?

16(本小题满分 13 分) 某市 A, B 两所中学的学生组队参加辩论赛, A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生, B 中学推荐 了 3 名男生、4 名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集 训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队. (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛 ,设 X 表示参赛的男生人数, 求 X 的分布列和数学期望.

17. (本小题满分 13 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AB // CD ,

?ABC ? 90? , AB ? PB ? PC ? BC ? 2CD ,平面 PBC ? 平面 ABCD 。
(1)求证: AB ? 平面 PBC ; (2)求平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小; (3)在棱 PB 上是否存在点 M 使得 CM //平面 PAD ?若存在,求 请说明理由。

PM 的值;若不存在, PB

第 17 题图 18. (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 2Sn ? 3n ? 3 . (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 anbn ? log3 an ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆

1 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经 过 点 (0, 3 ) , 离 心 率 为 , 左 右 焦 点 分 别 为 2 2 a b

F1 (?c,0), F2 (c,0) .
(Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ) 若直线 l : y ? ?

1 x ? m 与椭圆交于 A, B 两点, 与以 F1 , F2 为直径的圆交于 C , D 两 2

点,且满足

AB CD

?

5 3 ,求直线 l 的方程. 4

20. (本小题满分 14 分)

ex 2 设函数 f ( x) ? 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数). x x
(Ⅰ)当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (0, 2) 内存在两个极值点,求 k 的取值范围.

高三年级八校联考

理科数学 答案(2016.4)

一.选择题 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 B 5 D 6 A 7 A 8 D

二.填空题 9 [1,3 ) 10.

35
3? 2

11.

3 3 2
7 6

12.

8 3

13.

14.

三.解答题

? 2 15(I) f ( x) ? sin ? ? ? x ? sin x ? 3 cos x ?2 ?
3 (1 ? cos 2 x) 2 1 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ?? 3 ? ? sin ? 2 x ? ? ? 3? 2 ?
? cos x sin x ?
因此 f ( x) 的最小正周期为 ? ,最大值为 (II)当 x ? ?

?

2? 3 2

? ? ? 2? ? , ? 时, 0 ? 2 x ? ? ? , 3 ?6 3 ?

从而当 0 ? 2 x ? 当

?
3

?

?
2

时,即

?
6

?x?

5? 时, f ( x) 单调递增. 12

?
2

? 2x ?

?
3

? ? 时,即

5? 2? 时, f ( x) 单调递减. ?x? 12 3

综上可知, f ( x) 在 ?

? ? 5? ? ? 5? 2? ? , ? 上单调递增;在 ? , ? 上单调递减. ? 6 12 ? ? 12 3 ?

16(1)由题意,参加集训的男、女生各有 6 名.
3 3 C3 C 1 参赛学生全从 B 中学抽取的概率为 3 4 . ? 3 C6 C6 100

因此,A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1 ? (2)根据题意, X 的可能取值为 1,2,3

1 99 ? . 100 100

P( X ? 1) ?
P( X ? 3) ?

1 3 C3 C3 1 C32 C32 3 ? , P ( X ? 2 ) ? ? , 4 4 5 5 C6 C6 3 1 C3 C3 1 ? . 4 5 C6

所以 X 的分布列为

X p

1

2

3

1 5

3 5

1 5

因此, X 的数学期望为

1 3 1 EX ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 . 5 5 5
17.解: (1)证明:因为 ?ABC 所以 AB ? BC 因为平面 PBC ? 平面 ABCD , 平面 PBC ? 平面 ABCD ? BC ,

? 90? ,

AB ? 平 ABCD ,
所以 AB ? 平面 PBC 。 (2)如图,取 BC 的中点 O ,连接 PO , 因为 PB ? PC ,所以 PO ? BC , 因为平面 PBC ? 平面 ABCD ,所以 PO ? 平面 ABCD 。 以 O 为原点, OB 所在直线为 x 轴,在平面 ABCD 内过 O 垂直于 BC 的直线为 y 轴, OP 所在直 线为 z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz 。 不妨设 BC ? 2 。由 AB ? PB ? PC ? BC ? 2CD 得,

P(0,0, 3), D(?1,1,0), A(1,2,0) 。
所以 DP ? (1, ?1,

??? ?

??? ? 3), DA ? (2,1,0) , ??

设平面 PAD 的法向量为 m ? ( x, y, z) .

?? ??? ? ? ? ? x ? y ? 3z ? 0 ?m ? DP ? 0 因为 ??? ??? ,所以 ? ? ? ? ?2 x ? y ? 0 ?m ? DA ? 0
令 x ? ?1 ,则 y ? 2, z

? 3 。所以

?? m ? (?1,2, 3) 。
取 平面 BCP 的一个法向量 n ? (0,1,0) ,

?

?? ? ?? ? m?n 2 所以 cos ? m, n ?? ?? ? ? 2 m n

? 4 PM 1 ? 。 (3)在棱 PB 上存在点 M 使得 CM∥平面 PAD,此时 PB 2 1 取 AB 的中点 N,连接 CM,CN,MN,则 MN∥PA,AN= AB。 2
所以平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小为 因为 AB=2CD,所以AN=CD, 因为 AB∥CD,所以四边形 ANCD 是平行四边形,所以 CN∥AD。 因为 MN∩CN=N,PA∩AD=A,所以平面MNC∥平面PAD。) 因为CM ? 平面MNC,所以CM∥平面PAD。 方法 2 设

PM ? ? ? PM ? ? PB ? PB ? (1,0,? 3 ) ? PM ? (? ,0,? 3? ) PB

? M (?,0, 3 ? 3?) ?CM ? (? ? 1,0, 3 ? 3?)
? 面 PAD 的法向量为 m ? (?1,2, 3) ?m ? cm ? (?1,2, 3) ? (? ? 1,0, 3 ? 3?) ? 0

??

?? ?

1 PM 1 ? 时,PB 上存在点 M 使 CM //平面 PAD 所以当 2 PB 2
n ?1

18. (I)由 2Sn ? 3n ? 3 知,当 n ? 2 时,2Sn ?1 ? 3 又当 n ? 1 时, a1 ? 3 ,所以有 an ? ?

? 3 ,所以 2(Sn ? Sn?1 ) ? 3n ? 3n?1 ,即 an ? 3n?1 ;

? 3,n ? 1 . n ?1 ?3 , n ? 2
1 1 1 ;当 n ? 2 , bn ? log3 a n ? (n ? 1)( )n?1 ,由 3 an 3

(II)由 anbn ? log3 an 知,当 n ? 1 , T1 ? b1 ?

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? bn 得

1 1 1 1 1 Tn ? ? [1? ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ? ? ( n ? 1)( ) n ?1 ] 3 3 3 3 3
1 n 1 1 1 1 1 Tn ? ( ) 2 ? [1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? 3 ? ( ) 4 ? ? ? (n ? 1)( ) ] 3 3 3 3 3 3

① ②

1 n?1 1 ? ( ) 1 2 2 1 1 2 1 3 1 n ?1 2 1 n 3 ( n ? 1)( ) ? T ? ? [ ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? ①-②得: ? ? (n ? 1)( )n , n 3 3 9 3 3 3 3 9 2 3

1 所以有 Tn ? ? 3

1 3[1 ? ( )n?1 ] 13 6n ? 3 3 1 3 ? ? (n ? 1)( )n ? ,经检验 n ? 1 时也符合, 12 4 ? 3n 4 2 3
13 6n ? 3 ? . 12 4 ? 3n

故对 n ? 1 ,均有 Tn ?

?b ? 3, ? ?c 1 ? , 19.(I)由题设 ? a 2 解得 ? ?b 2 ? a 2 ? c 2, ?
a ? 2, b ? 3, c ? 1 ,? 椭圆的方程为
x2 y2 ? ? 1. 4 3
2 2

(I I)由题设,以 F1 , F2 为直径的圆的方程为 x ? y ? 1 ,圆心到直线 l 的距离 d ?

2m 5



由 d ? 1得 m ?

5 2 .(*)? CD ? 2 1 ? d 2
[来源:学*科*网]

4 2 ? 2 1 ? m2 ? 5 ? 4m 2 .设 A( x1 , y1 ) , 5 5

? x2 y 2 ? ? 1, ? ?4 3 得 B( x2 , y2 ) ,由 ? 1 ? y ? ? x ? m, ? 2 ?

x 2 ? mx ? m 2 ? 3 ? 0 ,
x1 ? x2 ? m , x1 x2 ? m 2 ? 3 .
2 2 2 ? AB ? ?1 ? (? ) ? m ? 4(m ? 3) 2

? ?

1 ? ?

?

?

[来源:学。科。网]

?

AB 5 3 15 ? 4 ? m 2 .由 得 2 CD 4

3 4 ? m2 m ? ? ? 1 ,解得 3 5 ? 4m 2
1 3 y ?? x? . 2 3

,满足(*).? 直线 l 的方程为 y

1 3 ?? x? 或 2 3

20.(I) f ( x) 的定义域为 (0,??) 由 f ( x) ?

ex 2 ? k ( ? ln x) 得 2 x x

f ?( x) ?

e x ? kx e x ( x ? 2) 2 1 ( x ? 2)( ) ? k ( ? ? ) = x3 x3 x2 x

? k ? 0 ,? 当 x ? (0, 2) 时, f ?( x) ? 0 ;
当 x ? (2, ??) 时, f ?( x) ? 0 .故 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, 2) ,递增区间是 (2, ??) . (II)由(I)知 k ? 0 时显然不满足题意; 当 k ? 0 时,设函数 g ( x) ? e 因为 g ?( x) ? e
x

x

? kx, x ? (0,??)

? k ? ex ? eln k ,
x

当 0 ? k ? 1 时,在 x ? (0, 2) , g ?( x) ? e 故 f ( x ) 在 (0, 2) 上不存在 两个极值点;

? k ? 0 , y ? g ( x) 单调递增,

当 k ? 1 时,当 x ? (0,ln k ) 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递减; 当 x ? (ln k , 2) 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递增; 所以函数 y ? g ( x) 的最小值为 g (ln k ) ? k (1 ? ln k ) ,

? g (0) ? 0, ? g (ln k ) ? 0, ? e2 函数 f ( x ) 在 (0, 2) 上有两个极值点当且仅当 ? 解得 e ? k ? 2 ? g (2) ? 0, ? ?0 ? ln k ? 2,
e2 . 即函数 f ( x ) 在 (0, 2) 上有两个极值点时 e ? k ? 2




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