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高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题(含详解)[1]


数学选修 4-4 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.若直线的参数方程为 ? A.

坐标系与参数方程

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t
2 3
C.



2 3

B. ?

/>3 2

D. ?

3 2


2.下列在曲线 ?

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?

A. ( , ? 2)

1 2

3 1 , ) 4 2

C. (2, 3)

D. (1, 3)

2 ? ? x ? 2 ? sin ? (? 为参数) 化为普通方程为( 3.将参数方程 ? 2 ? ? y ? sin ?

) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

A. y ? x ? 2

B. y ? x ? 2

C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) )

4.化极坐标方程 ? 2 cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x2 ? y 2 ? 0或y ? 1 B. x ? 1

C. x2 ? y 2 ? 0或x ? 1 )

D. y ? 1

5.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,

?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ? )

?
3

), (k ? Z )

6.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 二、填空题 1.直线 ? B.两条直线

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t
t ?t ? ?x ? e ? e (t为参数) 的普通方程为__________________。 t ?t y ? 2( e ? e ) ? ?

2.参数方程 ?

3.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t

则 AB ? _______________。

1

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y2 ? 4 截得的弦长为______________。 4.直线 ? 1 ? y ? ?1 ? t ? ? 2
5.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。 三、解答题 1.已知点 P ( x, y ) 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2 x ? y 的取值范围;

(2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2.求直线 l1 : ?

? ?x ? 1? t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? ? y ? ?5 ? 3t

与 Q(1, ?5) 的距离。

3.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

一、选择题 1.直线 l 的参数方程为 ? 是( ) A. t1 B. 2 t1 C. 2 t1 D.

?x ? a ? t (t为参数) , l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,则点 P1 与 P(a, b) 之间的距离 ?y ? b ?t

2 t1 2

1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线

2

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点,则 AB 的中点坐标为( ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
A. (3, ?3) B. (? 3,3) C. ( 3, ?3) D. (3, ? 3) )



4.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?

4? ) 3

B. ( ?5,

? ) 3

C. (5,

?
3

)

D. ( ?5,

5? ) 3


5.与参数方程为 ?

? ?x ? t ? ? y ? 2 1? t

(t为参数) 等价的普通方程为(
y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4
2

A. x ?
2

y2 ?1 4

B. x ?
2

C. x ?
2

y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

D. x ?

y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4


6.直线 ?

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( y ? 1 ? t ?
B. 40

A. 98

1 4

C. 82

D. 93 ? 4 3

二、填空题

1 ? ?x ? 1? 1.曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ? 0) ,则它的普通方程为__________________。 ? y ? 1? t2 ?
2.直线 ?

? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t
2 2

3.点 P(x,y)是椭圆 2 x ? 3 y ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。 4.曲线的极坐标方程为 ? ? tan ? ?
2 2

1 ,则曲线的直角坐标方程为________________。 cos ?

5.设 y ? tx(t为参数) 则圆 x ? y ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。 三、解答题 1.参数方程 ?

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )
3

2.点 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9

3.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。

?
6



(2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。 一、选择题 1.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是(
1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ? y ? t?2 ?



? x ? sin t ? B. ? 1 y? ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 y? ? cos t ?

? x ? tan t ? D. ? 1 y? ? tan t ?


2.曲线 ?

? x ? ?2 ? 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y ? 1 ? 2t
2 5 1 2 ( , 0) B. (0, )、 1 5 1 2

( , 0) A. (0, )、
3.直线 ? A.

(8, 0) C. (0, ?4)、

(8, 0) D. (0, )、


5 9

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( y ? 2 ? t ?
12 5
B.

12 5 5

C.

9 5 5

D.

9 10 5


? x ? 4t 2 4.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? (t为参数) 上,则 PF 等于( ? y ? 4t
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 ) D.两条相交直线 ) 5.极坐标方程 ? cos 2? ? 0 表示的曲线为( A.极点 B.极轴 C.一条直线

6.在极坐标系中与圆 ? ? 4sin ? 相切的一条直线的方程为( A. ? cos ? ? 2 二、填空题 1.已知曲线 ? B. ? sin ? ? 2 C. ? ? 4 sin(? ?

?
3

)

D. ? ? 4 sin(? ?

?
3

)

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2, , 且t1 ? t2 ? 0 ,

那么 MN =_______________。

4

2.直线 ?

? ? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t

(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。

3.圆的参数方程为 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________。 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

4.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。

5.直线 ?

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 与圆 ? 相切,则 ? ? _______________。 ? y ? t sin ? ? y ? 2sin ?

三、解答题

1 ? x ? (et ? e ? t ) cos ? ? ? 2 1.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: ? y ? 1 (et ? e ? t ) sin ? ? ? 2
(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数; 2.过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2

求 PM ? PN 的值及相应的 ? 的值。

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C

坐标系与参数方程

[基础训练 A 组]

k?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2 3 1 时, y ? 4 2

2 转化为普通方程: y ? 1 ? x ,当 x ? ?

转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1]

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1
(2, 2k? ? 2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ?
则 ? ? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y

二、填空题

5

1. ?

5 4
2 2

k?

y?4 ? 5 t 5 ? ?? x?3 4 t 4

2.

x y ? ? 1, ( x ? 2) 4 16

y ? ? x ? et ? e ? t x ? ? 2et ? y y ? ? 2 ?? ? (x ? ) x (? ? ) ?y t ?t 2 2 ? ? e ?e ? x ? y ? 2e? t ?2 ? ? 2

4

3.

5 2

将?

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 ) 代入 2 x ? 4y ? 5 得 t ? ,则 B ( , 0 ,而 ,得 A( 1 , 2 ) AB ? 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t 1 2 2 2 14 ,弦长的一半为 22 ? ( , ? ) ? 2 2 2 2

4. 14

直线为 x ? y ? 1 ? 0 ,圆心到直线的距离 d ?

得弦长为 14 5. ? ?

?
2

??

?cos ? c o? s ? ? s i?n s? ? in
? x ? cos ? , ? y ? 1 ? sin ?

? 0 ,? ? co? s? (,取 ?)? ?0

?
2

三、解答题 1.解: (1)设圆的参数方程为 ?

2x ? y ? 2cos? ? sin ? ?1 ? 5 sin(? ? ? ) ?1
?? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ?1
(2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0

? a ? ?( c o? s? ? a ? ? 2 ?1
2.解:将 ?

s?i n ? ) ? ?1

? ? 2? sin? (
4

)

1

? ?x ? 1? t 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 , ? ? y ? ?5 ? 3t
2 2

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? (2 3) ? 6 ? 4 3 3.解:设椭圆的参数方程为 ?

4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? ? x ? 4 cos ? ,d ? 5 ? ? y ? 2 3 sin ?

?

4 5 co? s ? 5

3 s? i n?

4 5 ? 3 5

2? c o? s( ? ) 3

?

3

?( ? 当c o s

?
3

?) 时, 1 d m i n?

4 5 , 3 ) ,此时所求点为 ( 2 ? 。 5
6

新课程高中数学训练题组参考答案
一、选择题 1.C 2.D 距离为 t1 ? t1 ?
2 2

2 t1

y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或x ? ?2 ,所以表示两条射线
t ?t 1 3 2 (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t ) ? 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 2 2 2

3.D

1 ? x ? 1? ? 4 ? ? 2 ? ?x ? 3 中点为 ? ?? ?y ? ? 3 ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 2
4.A 圆心为 ( , ?

5 2

5 3 ) 2

5.D

y2 y2 2 2 x ? t, ? 1? t ? 1? x , x ? ? 1, 而t ? 0, 0 ? 1 ? t ? 1, 得0 ? y ? 2 4 4
2

6.C

? 2 x ? ?2 ? 2t ? ? ? x ? ?2 ? t ? 2 ,把直线 ? x ? ?2 ? t 代入 ?? ? ? ? y ? 1? t ? y ? 1? t ? y ? 1 ? 2t ? 2 ? ? 2

( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 得 (?5 ? t )2 ? (2 ? t )2 ? 25, t 2 ? 7t ? 2 ? 0
t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82
二、填空题 1. y ?

x( x ? 2) ( x ? 1) ( x ? 1) 2

1 1 1? x ? ,t ? , 而 y ? 1? t 2 , t 1? x
即 y ? 1? (

1 2 x( x ? 2) ) ? ( x ? 1) 1? x ( x ? 1)2

2. (3, ?1)

y ?1 4 ? , ?( y ? 1 ) a ? 4 x ? 1 2?对于任何 0 a 都成立,则 x ? 3 ,且y ? ? 1 x ?3 a

3. 22

x2 y 2 ? ? 1 ,设 P( 6 c o 椭圆为 ?s , 2?s i, n ) 6 4

x ? 2 y ? 6 cos? ? 4sin ? ? 22 sin(? ? ?) ? 22

7

4. x 2 ? y

? ? t a n??

1 s i? n ? ,? c2o s ? ? 2 co? s c o?s

s? i n2? ,

2

c ?? o s ? 即? s in x2 ? y,

4t ? x? ? ? 1? t2 5. ? 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?

x2 ? (tx)2 ? 4tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, x ?

4t ; 1? t2

4t ? x? ? 4t ? 1? t2 而y? tx ,即 y ? ,得 ? 2 1? t2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?
2

三、解答题 1.解:显然

y y2 1 1 ? tan ? ,则 2 ? 1 ? , cos 2 ? ? 2 2 y x x cos ? ?1 x2

x?co2 s? ? s i?n

1 c? o? s 2

1 2 ta ?n s? i? n 2 2 ?c ? os ? 2 2 1 ? ta ? n

?

2

? cos

1 即x? ? 2

y y ?1 1 y2 y x ? x ? , x (1 ? ) ? ?1 2 2 2 2 y y y x x 1? 2 1? 2 1? 2 x x x 2

得x?

y2 y ? ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 x x 12cos ? ? 12sin ? ? 24 5

2.解:设 P(4cos ? ,3sin ? ) ,则 d ?

12 2 cos(? ? ) ? 24 4 即d ? , 5
当 cos(? ? 当 cos(? ?

?

?
?
4 4

) ? ?1 时, d max ? ) ? 1 时, d min

12 (2 ? 2) ; 5 12 ? (2 ? 2) 。 5

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 3.解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2

8

? 3 x ? 1? t ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 (2)把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2
坐标系与参数方程
一、选择题 1.D 2.B

[提高训练 C 组]

xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制
2 1 1 ,而 y ? 1 ? 2t ,即 y ? ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y ? 0 时, t ? ,而 x ? ?2 ? 5t ,即 x ? ,得与 x 轴的交点为 ( , 0 ) 2 2 2
当 x ? 0 时, t ?

3.B

? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2t ? ? ?? ? ?y ? 2 ?t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

2 ? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2 ?t 5

x 2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t )2 ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0
12 8 16 12 5 t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? )2 ? ? ,弦长为 5 t1 ? t2 ? 5 5 5 5
4.C 5.D 6.A 抛物线为 y 2 ? 4 x ,准线为 x ? ?1 , PF 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即为 4

? cos 2? ? 0, cos 2? ? 0, ? ? k? ?

?
4

,为两条相交直线

? ? 4sin ? 的普通方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ? cos ? ? 2 的普通方程为 x ? 2
圆 x ? ( y ? 2) ? 4 与直线 x ? 2 显然相切
2 2

二、填空题 1. 4 p t1 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴, M N ? 2 p1 t? 2 t ?2

p 21 t

2. (?3, 4) ,或 (?1, 2)

2 2 1 (? 2t )2 ? ( 2t ) 2 ? ( 2) ,2t ? ,t ? ? 2 2

3. 5

由?

n? 4 c ?o s 2 ?x ? 3 s i ? 2 得 x ? y ? 25 y ? 4 s i ? n ? 3 c ? o s ?
9

4. 5.

2 2

圆心分别为 (

1 1 , 0和 ) (0, ) 2 2

? 5? ,或 6 6

? ,圆为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 ,作出图形,相切时, 直线为 y ? x t a n
易知倾斜角为

? 5? ,或 6 6

三、解答题 1.解: (1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 当 t ? 0 时, c o ? s ?

x 1 t ?t (e ? e ) 2
x2 ?

, s? in ?

y 1 t ?t (e ? e ) 2
?1

而 x 2 ? y 2 ? 1,即

y2 1 t ?t 2 (e ? e ) 4

1 t (e ? e ? t ) 2 4

(2)当 ? ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ?

1 t (e ? e ?t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 2 ? 1 t ?t 当 ? ? k? ? , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? (e ? e ) ,即 x ? 0 ; 2 2

2x 2x 2y ? t ?t ? t e ?e ? 2e ? ? ? ? k? ? ? cos ? cos ? sin ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? ,即 ? 2 ?e t ? e ? t ? 2 y ? 2e ? t ? 2 x ? 2 y ? ? sin ? cos ? sin ? ? ?
得 2e ? 2e
t ?t

?(

2x 2y 2x 2y ? )( ? ) cos ? sin ? cos ? sin ?

x2 y2 ? ?1。 即 cos 2 ? sin 2 ?

? 10 ? t cos ? ?x ? 2.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ? 3 ?0 2 3 2 则 PM ? PN ? t1t2 ? 1 ? sin 2 ?
2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ?

?

2

, PM ? PN 的最小值为

3 ? ,此时 ? ? 。 4 2

2011 年高考题汇编(极坐标和参数方程)
10

1. (江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 求过椭圆 ? ( t 为参数)平行的直线的普通方程.

? x ? 4 ? 2t ? x ? 5cos ? ( ? 为参数) 的右焦点, 且与直线 ? ?y ? 3?t ? y ? 3sin ?

2.(江西卷)15(1).(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? ? 4 cos? ,

以极点为原点, 极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系, 则改曲线的直角坐标方程为 ? 3.(5) 在极坐标系中,点 ( ?, ) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为 ?
[ 来源:学#科#网]

.

4. (湖南省) 9.在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos? , ( ? 为参数) .在极坐标系 (与 y ? 1 ? sin ? ?

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 2 的方程为

? ?cos? ? sin ? ? ? 1 ? 0 ,则 C1 与 C2 的交点个数为
5.(安徽卷)(5) 在极坐标系中,点 ( ?,

.

[

?
?

) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为

[来源:学#科#网]

(A) 2

(B)

4?

?2
9

(C)

1?

?2
9

(D)

3
? x ? 5 cos ? ? (0≤?<? ) 和 ? ? y ? sin ?

6.(广东卷) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 ?

5 2 ? ?x ? t 4 (t ? R ) ,它们的交点坐标为 ? ? ?y ? t

.

[来源

7.(辽宁卷) (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , ( ? 为参数)曲线 C2 的参数方程为 ? y ? sin ? ,

? x ? a cos ? , ( a ? b ? 0 ,? 为参数)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ = ? ? ? y ? b sin ? ,
与 C1,C2 各有一个交点.当 ? =0 时,这两个交点间的距离为 2,当 ? = (I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? =

π 时,这两个交点重合. 2

π π 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? =- 时,l 与 C1, 4 4

C2 的交点为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积.

11

8.新课标(理科数学)23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2 cos? ,( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

M 是曲线 C1 上的动点,点 P 满足 OP ? 2OM , (1)求点 P 的轨迹方程 C 2 ; (2)在以 D 为极点,X 轴的 正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 9.(陕西卷)

?
3

与曲线 C1 , C 2 交于不同于原点的点 A,B 求 AB

2012 高考数学分类汇编-极坐标与参数方程
1. (安徽 13)在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线 ? ? 【解析】距离是 _____ 2.北京 9.直线 ?

?
6

( ? ? R ) 的距离是 _____

3

?x ? 2 ? t ? x ? 3 cos? (t 为参数)与曲线 ? (? 为参数)的交点个数为______。 ? y ? 3 sin ? ? y ? ?1 ? t

3.福建 22.(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为几点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线 l 上 两点 M , N 的极坐标分别为 ( 2,0), (

? x ? 2 ? 2 cos? 2 3 ? (? 为参数) , ) ,圆 C 的参数方程 ? 。 3 2 y ? ? 3 ? 2 sin ? ?

(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 4.广东 14.(坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为

12

? ? ? x ? 2 cos ? ?x ? t (? 是参数) C1 : ? (t 是参数) 和 C2 : ? ,它们的交点坐标为_______. y ? 2 sin ? ? ? ?y ? t ?
5.湖北 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴 ? x ? t ? 1, π 建立极坐标系. 已知射线 ? ? 与曲线 ? (t 为参数) 2 4 ? y ? (t ? 1) 相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为 .

6.湖南 9. 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

? x ? t ? 1, ? x ? a sin ? , (t 为参数)与曲线 C2 : ? ? y ? 1 ? 2t ? y ? 3cos ?

( ? 为参数, a ? 0 ) 有一个公共点在 X 轴上,则 a ? __ . 7.江苏 C. [选修 4 - 4: 坐标系与参数方程] (2012 年江苏省 10 分) 在极坐标中, 已知圆 C 经过点 P

?

2,

? , 4

?

?? 3 ? 圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. 3? 2 ?
8 江西 15.(1) (坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,以原点为极点,x 轴的 正半轴为极轴建立积坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为___________。 9 辽宁 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
2 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2 +y 2 =4 ,圆 C2 : ? x-2 ? +y =4 2

(1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 ,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1 ,C2 的交点坐标(用极坐标表示) (2)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程

10 陕西 15.C. (坐标系与参数方程)直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为 11 上海 10.如图,在极坐标系中,过点 M (2,0) 的直线 l 与极轴的夹角 ? ? 若将 l 的极坐标方程写成 ? ? f (? ) 的形式,则 f (? ) ? 12 新课标(23)本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ? .



?
6



?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 ?y ? 3sin?

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

?
3

)

2013 年全国各地极坐标与参数方程高考试题汇总
13

1.(2013 年湖北高考理科 16)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为错误!未找到引用源。 (错误! 未找到引用源。为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为错误!未找到引用源。m(m 为非零数) 与错误!未找到引用源。 。若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与员 O 相切,则椭圆 C 的离心率为 ___________________.

2. (2013 年湖南高考理科 9)在平面直角坐标系 xoy 中,若

? x ? t, ? x ? 3cos ? , l :? (t 为参数)过椭圆 C : ? ?y ? t ? a ? y ? 2sin ? (?为参数)的 右顶点,则常数
y P θ

a的值为

.
O

3. ( 2013 年陕西高考理科 8 )以过原点的直线的倾斜角 ? 为参数 , 则 圆

x2 ? y 2 ? x ? 0 的参数方程为

x

.

4. (2013 年重庆高考理科 15)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系。 若极坐标方程为 ? cos ? ? 4 的直线与曲线 ? 两点,则 AB ? ______
? ?? 5. (2013 年天津高考理科 11) 已知圆的极坐标方程为 ? ? 4cos ? , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 ? 4, ? , 则 ? 3? |CP| = .
2 ? ?x ? t ( t 为参数) 相交于 A, B 3 y ? t ? ?

6. (2013 年北京高考理科 9)在极坐标系中,点 (2,

?
6

) 到直线 ? sin ? ? 2 的距离等于_____。

7. (2013 年广东高考理科 14)已知曲线 C 的参数方程为 ?

( t 为参数), C 在点 ?1,1? 处的切线 ? ? y ? 2 sin t 为 l ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为_____________.

? ? x ? 2 cos t

8. (2013 年江西高考理科 15)设曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? t ?y ? t
2

( t 为参数) ,若以直角坐标系的原点为极

点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 c 的极坐标方程为 9. (2013 年福建高考理科 21) 在直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A
的极坐标为 ?

?? ? ? 2 , ? ,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直线 l 上。 4? 4 ?

(Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;

14

(Ⅱ)圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos a, (a为参数) ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ? y ? sin a

10. (2013 年全国新课标 2 高考理科 23)已知动点 P,Q 都在曲线 C: ? 应参数分别为 β =α 与α =2π 为(0<α <2π )M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程

? x ? 2cos ? ? y ? 2sin ?

? ? 为参数?

上,对

(Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。

11.(2013 年全国新课标 1 高考理科 23 )
?x=4+5cost ? 已知曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 ?y=5+5sint ?

系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)

15


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