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古典概型ppt


必修3

考察两个试验:
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币的试验; (2)掷一颗质地均匀的骰子的试验.
在这两个试验中,可能的结果分别有哪些?

(1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有2个,即 “正面朝上”或“反面朝上 (2)掷一枚质地均匀的骰子,结果只有6个,即 “1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点” 和“6点

”.

它们都是随机事件,我们把这类随机事件 称为基本事件. 基本事件:在一次试验中可能出现的每一 个基本结果称为基本事件。

基本事件有什么特点:

1点

2点

3点

4点

5点 “2点”

6点

在一次试验中,会同时出现 “1点” 与 问题: ( 1)

这两个基本事件吗? 不会 任何两个基本事件是互斥的 ( 2) 事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件? “2点” “4点” “6点” 事件“出现的点数不大于4”包含哪几个基本事件? “1点” “2点” “3点” “4点”

任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和

基本事件的特点:
(1)任何两个基本事件是互斥的

(2) 任何事件都可以表示成基本事件的和

例1 从字母a、b、c、d任意取出两个不同字母的试 验中,有哪些基本事件? b c 树状图 c d a c b d d 分析:列举法(包括树状图、列表法,按某种顺序列 举等) 解:所求的基本事件共有6个:

A={a,b},B={a,c},
C={a,d},D={b,c},

E={b,d},F={c,d},

问题2: 以下每个基本事件出现的概率是多少?

试 验 1

正面向上
P (“正面向上”)

反面向上
P (“反面向上”)

1 2

试 验 2

1点

2点

3点

4点

5点
1 6

6点
P (“4点”)

P (“1点”)

(“2点”) P
P (“5点”)

P (“3点”) P (“6点”)

问题3:观察对比,找出试验1和试验2的共同特点:
基本事件
基本事件出现的可能性 两个基本事件 1 的概率都是 六个基本事件 1 的概率都是
6

试 验 1 试 验 2
(1) (2)

“正面朝上” “反面朝上” “1点”、“2点” “3点”、“4点” “5点”、“6点”

2

有限性

试验中所有可能出现的基本事件的个数 只有有限个

每个基本事件出现的可能性 相等

等可能性

归纳:
对于某些随机事件,也可以不通过大量重复实验,而只 通过对一次实验中可能出现的结果的分析来计算概率。

共同特点: (1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2) 每个基本事件出现的可能性相等。 等可能性

有限性

我们将具有这两个特点的概率模型称为 古典概率模型,简称古典概型 (classical probability model) 。

判断下列试验是不是古典概型
问题4:向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点 落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概 型吗?为什么?

有限性 等可能性

问题5:某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验 的结果有:“命中10环”、“命中9环”、“命中8 环”、“命中7环”、“命中6环”、“命中5环”和 “不中环”。 5 你认为这是古典概型吗? 6 为什么? 7 8 有限性 9 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 9 8 等可能性 7 6 5

问题6:在古典概率模型中,如何求随机事件出现的 概率? 试验2: 掷一颗均匀的骰子,

请问事件 , A的概率是多少? 事件A为“出现偶数点” 探讨: 基本事件总数为: 6 1点,2点,3点,4点,5点,6点
事件A 包含 P ( A) 3 个基本事件:

2点

4点

6点

P (“2点”)

P (“4点”)

P (“6点”)

1
P(A)

1 6 1 2

1 6

6 3

3 6

6

古典概型的概率计算公式:
A包含的基本事件的个数 m 基本事件的总数

P ( A)

n

(1)判断是否为古典概型; (2)计算所有基本事件的总结果数n. (3)计算事件A所包含的结果数m. (4)计算
注、若一个古典概型有n个基本事件,则每个基本事件 发生的概率 P ? 1

n

同时抛掷两枚均匀的硬币,会出现几种结果?列举出来. 例2.
出现 “一枚正面向上,一枚反面向上”的概率是多少?

解:

基本事件有:
正 正 反 反 ( 正 , 正) ( 反 , 正) ( 正 , 反) ( 反 , 反) 反



2 1 P(一正一反)= ? 4 2
在遇到“抛硬币”的问题时,要对硬币进行编号用于区分

例3、同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种? (3)向上的点数之和是5的概率是多少?
解:(1)掷一个骰子的结果有6种,我们把两个骰子标上记号1,2以便区分,它总共 出现的情况如下表所示:
1号骰子 2号骰子

1

2

3

4

5

6

1

( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6) ( 1 , 1) ( 1, 2) ( 1, 3) ( 1, 4 )
( ,3 3) ) (2,4)(2,5) (2,6) (2,1) (2,2)( 22 , ( ,2 2) ( 3 , 1) ( 33 , ) ( 3, 3) ( 3, 4) ( 3, 5) ( 3, 6) ( 4, ,1 ( 4 1) ) (4,2) (4,3) (4,4)(4,5) (4,6)

2
3

4
5 6

( 5 , 1) ( 5, 2) ( 5, 3) ( 5, 4) ( 5, 5) ( 5, 6) ( 6 , 1) ( 6, 2) ( 6, 3) ( 6, 4) ( 6, 5) ( 6, 6)

从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。

1号骰子

2号骰子

1

2

3

4

5

6

1 2 3

( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6) ( 1 , 1) ( 1, 2) ( 1, 3) ( 1, 4 ) ( ,3 3) ) (2,4)(2,5) (2,6) (2,1) (2,2)( 22 , ( ,2 2) ( 3 , 1) ( 33 , ) ( 3, 3) ( 3, 4) ( 3, 5) ( 3, 6) ( 4, ,1 ( 4 1) ) (4,2) (4,3) (4,4)(4,5) (4,6)

4
5

( 5 , 1) ( 5, 2) ( 5, 3) ( 5, 4) ( 5, 5) ( 5, 6) ( 6 , 1) ( 6, 2) ( 6, 3) ( 6, 4) ( 6, 5) ( 6, 6)

6

从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。
(2)在上面的结果中, (3)由于所有36种结果是等可 能的,其中向上点数之和为5的 向上的点数之和为5的 结果(记为事件A)有4种,则 结果有4种,分别为: (1,4),(2,3), A所包含的基本事件的个数 4 1 P (A)= = = (3,2),(4,1)。 基本事件的总数 36 9

为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号 会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?

如果不标上记号,类似于(3,6)和(6,3)的结果 将没有区别。

为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号

会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?
如果不标上记号,类似于(3,6)和(6,3)的结果 这时,所有可能的结果将是: 将没有区别。 因此,在投 1 掷两个骰子 2 的过程中, 3 我们必须对 4 两个骰子加 以标号区分 5
6
1号骰子 2号骰子

1

2

3

4

5

6

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) ( 3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,2) ( 4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (4,1) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

P (A)=

A所包含的基本事件的个数 2 = 基本事件的总数 21

例3:假设储蓄卡的密码由 4个数字组成,每个 数字可以是 0, 1,2…, 9十个数字中的任意一 个。假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码, 问他到自动提款机上随机试一次密码就能取到 钱的概 率是多少?

解:这个人随机试一个密码,相当做1次随机试验, 试验的基本事件(所有可能的结果)共有 10 000 种, 它们分别是 0000, 0001, 0002 ,…, 9998, 9999. 由 于是随机地试密码,相当于试验的每一个结果试等 可能的.所以 P(“试一次密码就能取到钱”)

= “试一次密码就能取到钱”所包含的基本事件的个数 10000
=1/10000 =0.0001 答:随机试一次密码就能取到钱概率是0.0001.

例 4 :某种饮料每箱装 6 听,如果其中有 2 听不 合格,问质检人员从中随机抽取 2 听,检测出 不合格产品的概率有多大 ?

练习1:某口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从
中一次摸出2只球. (1)共有多少个基本事件? (2)摸出的2只球都是白球的概率是多少? 解 (1)分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出2只球,

有如下基本事件(摸到1,2号球用(1,2)表示): (1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5). 因此,共有10个基本事件. (2)如下图所示,上述10个基本事件的可能性相同,且只有3个基本事 件是摸到2只白球(记为事件A),

2.做投掷二颗骰子试验,用(x,y)表示结果,其中x表示第一

颗骰子出现的点数,y表示第二颗骰子出现的点数,求: 5 (1)事件“出现点数之和大于8”的概率是 18 1 (2)事件“出现点数相等”的概率是

6
3.一次发行10000张社会福利奖券,其中有1张 特等奖,2张一等奖,10张二等奖,100张三 等奖,其余的不得奖,则购买1张奖券能中奖 的概率 113

10000

4.(2010·山东卷)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球, 球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的 概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中, 然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n, 求n < m+2的概率.
解析: (1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事 件有:1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个. 从袋中取出的两个球的编号之和不大于 4 的事件有: 1 和 2, 1 和 3, 2 1 共 2 个.因此所求事件的概率为 P= = . 6 3

(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,再从袋中随机 取一个球,记下编号为 n,其一切可能的结果(m,n)有: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16 个. 又满足条件 n≥m+2 的事件有:(1,3),(1,4),(2,4),共 3 个,所以 3 满足条件 n≥m+2 的事件的概率为 P1= . 16 3 13 故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 1-P1=1- = . 16 16

小结
满足以下两个特点的随机试验的概率模型称为古典概型 ⑴所有的基本事件只有有限个 ⑵每个基本事件的发生都是等可能的

求古典概型概率的步骤:

⑴求基本事件的总数; ⑵求事件A包含的基本事件的个数; ⑶代入计算公式: P ( A) ? m
n

在解决古典概型问题过程中,要注意利用 枚举法、数形结合、建立模型、符号化、形式化 等数学思想解题


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