当前位置:首页 >> 高三数学 >>

北京市西城区2016-2017学年度高三二模 理科数学试题及答案(word版)


西城区高三模拟测试

高三数学(理科)2017.5
第Ⅰ卷(选择题
合题目要求的一项. 1.在复平面内,复数 z 对应的点是 Z (1, ? 2) ,则复数 z 的共轭复数 z ? (A) 1 ? 2i (C) 2 ? i 2.下列函数中,值域为 [0,1] 的是 (A) y ? x2 (C) y ? (B) y ? sin x (B) 1 ? 2i (D) 2 ? i 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符

1 (D) y ? 1 ? x2 x2 ? 1 3.在极坐标系中,圆 ? ? sin ? 的圆心的极 坐标 是 . ..
(A) (1,

? ) 2

(B) (1, 0 )

1 ? (C) ( , ) 2 2

1 (D) ( , 0) 2

?3x ? 2 y ≥ 0, ? 4.在平面直角坐标系中,不等式组 ?3x ? y ? 3 ≤ 0, 表示的平面区域的面积是 ?y≥0 ?
(A) 1 5.设双曲线 (B)

3 2

(C) 2

(D)

5 2

y 2 x2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的离心率是 3 ,则其渐近线的方程为 a 2 b2
(B) 2 2 x ? y ? 0 (D) 8 x ? y ? 0

(A) x ? 2 2 y ? 0 (C) x ? 8 y ? 0

6.设 a , b 是平面上的两个单位向量, a ? b ? .若 m ? R ,则 | a ? mb | 的最小值是 (A)

3 5

3 4

(B)

4 3

(C)

4 5

(D)

5 4

7.函数 f ( x) ? x | x | .若存在 x ?[1, ? ? ) ,使得 f ( x ? 2k ) ? k ? 0 ,则 k 的取值范围是 (A) (2, ??) (B) (1, ??) (C) ( , ??)

1 2

(D) ( , ??)

1 4

第 1 页共 10 页

8.有三支股票 A,B,C,28 位股民的持有情况如下:每位股民至少持有其中一支股票. 在不持有 A 股票的人中,持有 B 股票的人数是持有 C 股票的人数的 2 倍.在持有 A 股 票的人中,只持有 A 股票的人数比除了持有 A 股票外,同时还持有其它股票的人数多 1.在只持有一支股票的人中,有一半持有 A 股票.则只持有 B 股票的股民人数是 (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为____. 10.已知等差数列 {an } 的公差为 2 ,且 a1 , a2 , a4 成等比数列, 则 a1 ? ____;数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? ____.

11.在 △ABC 中,角 A , B ,C 的对边分别是 a , b , c .若 A ? ____.

π , a ? 3 ,b ? 1 ,则 c ? 3

12.函数 f ( x) ? ?

? 2x , ? log 2 x,

x ≤ 0,

1 1 则 f ( ) ? ____;方程 f (? x) ? 的解是 ____. x ? 0. 4 2

13.大厦一层有 A,B,C,D 四部电梯, 3 人在一层乘坐电梯上楼,其中 2 人恰好乘坐同一 部电梯,则不同的乘坐方式有____种. (用数字作答)

14.在空间直角坐标系 O ? xyz 中,四面体 A ? BCD 在 xOy, yOz, zOx 坐标平面上的一组正 投影图形如图所示(坐标轴用细虚线表示) .该四面体的体积是____.

第 2 页共 10 页

三、 解答题: 本大题共 6 小题, 共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)

π 已知函数 f ( x) ? tan( x ? ) . 4
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域;

π (Ⅱ)设 ? ? (0, π) ,且 f (? ) ? 2cos(? ? ) ,求 ? 的值. 4

16. (本小题满分 14 分) 如图,在几何体 ABCDEF 中,底面 ABCD 为矩形, EF // CD , AD ? FC .点 M 在棱 FC 上,平面 ADM 与棱 FB 交于点 N . (Ⅰ)求证: AD // MN ; (Ⅱ)求证:平面 ADMN ? 平面 CDEF ;
CD ? 2 EF , (Ⅲ) 若 CD ? EA , 平面 ADE ? 平面 BCF ? l , 求二面角 A ? l ? B EF ? ED ,

的大小.

17. (本小题满分 13 分) 某大学为调研学生在 A,B 两家餐厅用餐的满意度,从在 A,B 两家餐厅都用过餐的学 生中随机抽取了 100 人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为 60 分.

[20,30) , [30, 40) , [40,50) , [0,10) , [10, 20) , 整理评分数据, 将分数以 10 为组距分成 6 组:

[50,60] ,得到 A 餐厅分数的频率分布直方图,和 B 餐厅分数的频数分布表:
B 餐厅分数频数分布表

分数区间 [0,10)

频数

[10, 20) [20,30) [30, 40) [40,50) [50,60]

2 3 5 15 40
35

第 3 页共 10 页

定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下: 分数 满意度指数

[0,30)
0

[30,50)

[50,60]
2

1

(Ⅰ)在抽样的 100 人中,求对 A 餐厅评价“满意度指数”为 0 的人数; (Ⅱ)从该校在 A,B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取 1 人进行调查,试估计其对 A 餐厅评价的“满意度指数”比对 B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率; (Ⅲ)如果从 A,B 两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家?说明理由.

18. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 C 的顶点是原点, 以 x 轴为对称轴, 且经过点 P(1, 2) . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)设点 A, B 在抛物线 C 上,直线 PA, PB 分别与 y 轴交于点 M , N , | PM | ? | PN | . 求直线 AB 的斜率.

19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? a) ? e1? x ,其中 a ? R . (Ⅰ)求函数 f ?( x) 的零点个数; (Ⅱ)证明: a ≥ 0 是函数 f ( x) 存在最小值的充分而不必要条件.

20. (本小题满分 13 分) 设集合 A2n ? {1,2,3,?,2n} (n ? N , n ≥ 2) . 如果对于 A2 n 的每一个含有 m (m ≥ 4) 个元素
*

的子集 P , P 中必有 4 个元素的和等于 4 n ? 1 ,称正整数 m 为集合 A2 n 的一个“相关数” . (Ⅰ)当 n ? 3 时,判断 5 和 6 是否为集合 A6 的“相关数” ,说明理由; (Ⅱ)若 m 为集合 A2 n 的“相关数” ,证明: m ? n ? 3 ≥ 0 ; (Ⅲ)给定正整数 n .求集合 A2 n 的“相关数” m 的最小值.

第 4 页共 10 页

西城区高三模拟测试

高三数学(理科)参考答案及评分标准
2017.5 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.A 5.A6.C7.D 2.D 8.A 3.C 4.B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 7 10. 2 , n2 ? n 11. 2 12. ?2 ; ? 2 或 1 13. 36 14.

4 3

注:第 10,12 题第一空 2 分,第二空 3 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 x ?

π π π [ 3 分] ? kπ ? ,得 x ? kπ ? , k ? Z . 4 2 4 π 所以 函数 f ( x) 的定义域是 {x | x ? kπ ? , k ? Z} .[ 4 分] 4 π π (Ⅱ)依题意,得 tan(? ? ) ? 2cos(? ? ) . 4 4

[ 5 分]

π sin( ? ? ) 4 ? 2sin( ? ? π ) ,[ 7 分] 所以 π 4 cos( ? ? ) 4
π π 整理得 sin(? ? ) ? [2cos(? ? ) ? 1] ? 0 ,[ 8 分] 4 4 π π 1 所以 sin(? ? ) ? 0 ,或 cos(? ? ) ? . 4 4 2 π π 5π 因为 ? ? (0, π) ,所以 ? ? ? ( , ) ,[11 分] 4 4 4 π π 3π 由 sin(? ? ) ? 0 ,得 ? ? ? π , ? ? ;[12 分] 4 4 4

[10 分]

π π 1 π π 由 cos(? ? ) ? ,得 ? ? ? , ? ? . 12 4 2 4 3 π 3π 所以 ? ? ,或 ? ? . 12 4

[13 分]

第 5 页共 10 页

16. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 ABCD 为矩形,所以 AD // BC ,[ 1 分] 所以 AD // 平面 FBC .[ 3 分] 又因为平面 ADMN ? 平面 FBC ? MN , 所以 AD // MN .[ 4 分] (Ⅱ)因为 ABCD 为矩形,所以 AD ? CD .[ 5 分] 因为 AD ? FC ,[ 6 分] 所以 AD ? 平面 CDEF .[ 7 分] 所以平面 ADMN ? 平面 CDEF .[ 8 分] (Ⅲ)因为 EA ? CD , AD ? CD , 所以 CD ? 平面 ADE , 所以 CD ? DE . 由(Ⅱ)得 AD ? 平面 CDEF , 所以 AD ? DE . 所以 DA , DC , DE 两两互相垂直.[ 9 分] 建立空间直角坐标系 D - xyz .[10 分] 不妨设 EF ? ED ? 1 ,则 CD ? 2 ,设 AD ? a (a ? 0) . 由题意得, A(a,0,0) , B(a, 2,0) , C (0, 2,0) , D(0,0,0) , E (0,0,1) , F (0,1,1) . 所以 CB ? (a,0,0) , CF ? (0, ?1,1) . 设平面 FBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则
? ? ?? ?n ? CB ? 0, ? ax ? 0, 即? 令 z ? 1 ,则 y ? 1 . ? ?? ? ? ? y ? z ? 0. ?n ? CF ? 0, ?

?? ?

?? ?

所以 n ? (0,1,1) .[12 分] 又平面 ADE 的法向量为 DC ? (0, 2,0) ,所以
?? ?

| cos? n, DC ? | ?

?? ?

| n ? DC | | n || DC |
?? ?

?? ?

?

2 . 2

因为二面角 A ? l ? B 的平面角是锐角, 所以二面角 A ? l ? B 的大小 45? .[14 分]

第 6 页共 10 页

17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由对 A 餐厅评分的频率分布直方图,得 对 A 餐厅“满意度指数”为 0 的频率为 (0.003 ? 0.005 ? 0.012) ?10 ? 0.2 ,[ 2 分] 所以,对 A 餐厅评价“满意度指数”为 0 的人数为 100 ? 0.2 ? 20 . [ 3 分]

(Ⅱ)设“对 A 餐厅评价‘满意度指数’比对 B 餐厅评价‘满意度指数’高”为事件 C. 记“对 A 餐厅评价‘满意度指数’为 1 ”为事件 A1 ; “对 A 餐厅评价‘满意度指 数’为 2 ”为事件 A 2 ; “对 B 餐厅评价‘满意度指数’为 0 ”为事件 B0 ; “对 B 餐厅评价‘满意度指数’为 1 ”为事件 B1 . 所以 P(A1 ) ? (0.02 ? 0.02) ?10 ? 0.4 , P(A2 ) ? 0.4 ,[ 5 分] 由用频率估计概率得: P(B0 ) ?

2?3?5 15 ? 40 ? 0.1 , P(B1 ) ? ? 0.55 . 100 100

[ 7 分]

因为事件 Ai 与 B j 相互独立,其中 i ? 1,2 , j ? 0,1 . 所以 P(C) ? P(A1B0 ? A2 B0 ? A2 B1 )

? P(A1 )P(B0 ) ? P(A2 ) P(B0 ) ? P(A 2 ) P(B1 )
? 0.4 ? 0.1 ? 0.4 ? 0.1 ? 0.4 ? 0.55 ? 0.3 .
[10 分]

所以该学生对 A 餐厅评价的“满意度指数”比对 B 餐厅评价的“满意度指数”高 的概率为 0.3 . (Ⅲ)如果从学生对 A,B 两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看: A 餐厅“满意度指数”X 的分布列为: X P
0 0.2

1
0.4

2
0.4

B 餐厅“满意度指数”Y 的分布列为: Y P
0
0.1

1
0.55

2
0.35

因为 E ( X ) ? 0 ? 0.2 ? 1? 0.4 ? 2 ? 0.4 ? 1.2 ;

E (Y ) ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.55 ? 2 ? 0.35 ? 1.25 ,
所以 E ( X ) ? E (Y ) ,会选择 B 餐厅用餐. 注:本题答案不唯一.只要考生言之合理即可.
第 7 页共 10 页

[13 分]

18. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)依题意,设抛物线 C 的方程为 y 2 ? ax (a ? 0) .[ 1 分] 由抛物线 C 且经过点 P(1, 2) , 得 a ? 4 ,[ 3 分] 所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x .[ 4 分] (Ⅱ)因为 | PM | ? | PN | , 所以 ?PMN ? ?PNM , 所以 ? 1 ? ?2 , 所以 直线 PA 与 PB 的倾斜角互补, 所以 kPA ? kPB ? 0 .[ 6 分] 依题意,直线 AP 的斜率存在,设直线 AP 的方程为: y ? 2 ? k ( x ? 1) (k ? 0) , 将其代入抛物线 C 的方程,整理得

k 2 x2 ? 2(k 2 ? 2k ? 2) x ? k 2 ? 4k ? 4 ? 0 .[ 8 分]
设 A( x1 , y1 ) ,则 1 ? x1 ? 所以 A(

k 2 ? 4k ? 4 4 , y1 ? k ( x1 ? 1) ? 2 ? ? 2 ,[10 分] k2 k

(k ? 2) 2 4 , ? 2) .[11 分] k2 k (k ? 2) 2 4 , ? ? 2) .[12 分] k2 k

以 ? k 替换点 A 坐标中的 k ,得 B (

所以 k AB

4 4 ? (? ) k k ? ? ?1 . (k ? 2) 2 ( k ? 2) 2 ? k2 k2

所以直线 AB 的斜率为 ?1.[14 分] 19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? ( x2 ? ax ? a) ? e1? x , 得 f ?( x) ? (2 x ? a) ? e1? x ? ( x2 ? ax ? a) ? e1? x

? ? [ x2 ? (a ? 2) x ? 2a] ? e1? x ? ? ( x ? a)( x ? 2) ? e1? x .[ 2 分]
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 2 ,或 x ? ?a . 所以当 a ? ?2 时, 函数 f ?( x) 有且只有一个零点:x ? 2 ; 当 a ? ?2 时, 函数 f ?( x ) 有两个相异的零点: x ? 2 , x ? ?a .[ 4 分]

第 8 页共 10 页

(Ⅱ)① 当 a ? ?2 时, f ?( x) ≤ 0 恒成立,此时函数 f ( x) 在 (??, ??) 上单调递减, 所以,函数 f ( x) 无极值.[ 5 分] ② 当 a ? ?2 时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(??, ?a)
?

?a
0

(?a, 2)

2
0

(2, ??)
?

?



极小值



极大值



所以, a ≥ 0 时, f ( x) 的极小值为 f (?a) ? ?a ? e1? a ≤ 0 .[ 7 分]
2 2 又 x ? 2 时, x ? ax ? a ? 2 ? 2a ? a ? a ? 4 ? 0 ,

所以,当 x ? 2 时, f ( x) ? ( x2 ? ax ? a) ? e1? x ? 0 恒成立.[ 8 分] 所以, f (?a) ? ?a ? e1? a 为 f ( x) 的最小值.[ 9 分] 故 a ≥ 0 是函数 f ( x) 存在最小值的充分条件.[10 分] ③ 当 a ? ?5 时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

( ??, 2)
?

2
0

(2,5)

5 0

(5, ??)
?

?



极小值



极大值



因为当 x ? 5 时, f ( x) ? ( x2 ? 5x ? 5) ? e1? x ? 0 , 又 f (2) ? ?e?1 ? 0 , 所以,当 a ? ?5 时,函数 f ( x) 也存在最小值.[12 分] 所以, a ≥ 0 不是函数 f ( x) 存在最小值的必要条件. 综上, a ≥ 0 是函数 f ( x) 存在最小值的充分而不必要条件.[13 分]

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 3 时, A6 ? {1,2,3,4,5,6} , 4n ? 1 ? 13 .[ 1 分] ①对于 A6 的含有 5 个元素的子集 {2,3,4,5,6} , 因为 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 13 ,
第 9 页共 10 页

所以 5 不是集合 A6 的“相关数” .[ 2 分] ② A6 的含有 6 个元素的子集只有 {1,2,3,4,5,6} , 因为 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? 13 , 所以 6 是集合 A6 的“相关数” .[ 3 分] (Ⅱ)考察集合 A2 n 的含有 n ? 2 个元素的子集 B ? {n ? 1, n, n ? 1,?,2n} .[ 4 分]

B 中任意 4 个元素之和一定不小于 (n ? 1) ? n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? 4n ? 2 .
所以 n ? 2 一定不是集合 A2 n 的“相关数” .[ 6 分 ] 所以当 m ≤ n ? 2 时, m 一定不是集合 A2 n 的“相关数” .[ 7 分] 因此若 m 为集合 A2 n 的“相关数” ,必有 m ≥ n ? 3 . 即若 m 为集合 A2 n 的“相关数” ,必有 m ? n ? 3 ≥ 0 .[ 8 分] (Ⅲ)由(Ⅱ)得 m ≥ n ? 3 . 先将集合 A2 n 的元素分成如下 n 组:

Ci ? (i,2n ? 1 ? i) (1 ≤ i ≤ n) .
对 A2 n 的任意一个含有 n ? 3 个元素的子集 P ,必有三组 Ci 1 , Ci 2 , Ci 3 同属于集合 P . [10 分] 再将集合 A2 n 的元素剔除 n 和 2 n 后,分成如下 n ? 1 组:

Dj ? ( j,2n ? j ) (1≤ j ≤ n ? 1) .
对于 A2 n 的任意一个含有 n ? 3 个元素的子集 P ,必有一组 D j 4 属于集合 P .[11 分] 这一组 D j 4 与上述三组 Ci 1 , Ci 2 , Ci 3 中至少一组无相同元素, 不妨设 D j4 与 Ci1 无相同元素. 此时这 4 个元素之和为 [i1 ? (2n ? 1 ? i1 ) ? [ j4 ? (2n ? j4 )] ? 4n ? 1.[12 分] 所以集合 A2 n 的“相关数” m 的最小值为 n ? 3 .[13 分]

第 10 页共 10 页


相关文章:
2016年北京市西城区高三二模理科数学试卷含答案
2016年北京市西城区高三二模理科数学试卷答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市西城区 2016高三二模试卷 数出符合题目要求的一项. 学(理科)共 40 ...
北京市东城区2016-2017学年度高三二模理科数学试题及答...
绝密★启用前 北京市东城区 2016-2017 学年度高三二模理科数学试题及答 案(word 版) 试卷副标题 考试范围:xxx;考试时间:60 分钟;命题人:xxx 学校:___姓名:_...
北京市西城区2017届高三二模数学理科试题 Word版含答案
北京市西城区2017高三二模数学理科试题 Word版答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三 模拟考 西城区高三模拟测试 高三数学(理科)2017.5 第Ⅰ卷(选择题...
2016年北京市西城区高三数学(理)试卷及答案(WORD版)
2016北京市西城区高三数学(理)试卷及答案(WORD版)_高三数学_数学_高中教育_...北京市西城区 2015 — 2016 学年度第一学期期末试卷 高三数学(理科)第Ⅰ卷(...
北京市西城区2016届高三二模考试数学理试题(WORD版)
北京市西城区2016高三二模考试数学理试题(WORD版)_数学_高中教育_教育专区。北京市西城区 2016高三二模试卷 数项. (理科)第Ⅰ卷(选择题共 40 分) ...
北京市西城区2016年高三二模数学(理)试题 Word版含解析
北京市西城区2016高三二模数学(理)试题 Word版含解析_高三数学_数学_高中教育...1. 设全集 1. A. C. 【知识点】集合的运算 【答案】B 【试题解析】 所以...
北京市东城区2016-2017学年度高三二模文科数学试题及答...
北京市东城区2016-2017学年度高三二模文科数学试题及答案(word版)_高三数学_数学...北京市东城区 2016-2017 学年度第二学期高三综合练习(二) 数学 (文科)学校__...
北京市西城区2017届高三二模数学理科试题(word版含答案)
北京市西城区2017高三二模数学理科试题(word版答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2017年5月8日考完的北京市西城区高三二模数学理科试题(word版答案) ...
北京市西城区2016-2017学年度第一学期期末试卷高三数学...
北京市西城区2016-2017学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)试题及答案(word版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市西城区 2016 — 2017 学年度第一学期期...
...高三一模 理科数学试题及参考答案(word版)
2017年北京市西城区高三一模 理科数学试题及参考答案(word版)_数学_高中教育_教育专区。2016-2017学年西城高三一模试题及答案 理科数学 ...
更多相关标签: