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数学必会公式


高中数学必会公式
一、函数、导数
1.集合 {a1 , a2 ,

, an } 的子集个数共有_______个;真子集有______个;非

空子集有_____个;非空的真子集有________个. 2. 真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p p或q p且q

3. 充要条件(记 p

表示条件, q 表示结论) (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q _____________. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q _____________. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q ______________. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 4. 全称量词 ? 表示任意, ? 表示存在; ? 的否定是 ? , ? 的否定是 ? 。 例:?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

的否定是___________________________

5. 函数的单调性 (1)设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是_______函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是_______函数.
(2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,若____________,则 f ( x) 为增 函数;若____________,则 f ( x) 为减函数. 6. 复合函数 y ? f [ g ( x)] 单调性判断步骤: (1)先求定义域 (2)把原函数拆分成两个简单函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) (3)判断法则是同增异减(4)所求区间与定义域做交集
1

7. 函数的奇偶性 (1)前提是定义域关于原点对称。 (2)对于定义域内任意的 x ,都有_______________,则 f ( x) 是偶函数; 对于定义域内任意的 x ,都有_______________,则 f ( x) 是奇函数。 (3)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 8.若奇函数在 x =0 处有意义,则一定存在________________; 若奇函数在 x =0 处无意义,则利用___________________求解; 9.多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ??? a0 的奇偶性 多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的_____________的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的_____________的系数全为零. 10. 函数的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线__________对称. (2) 对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f (a ? x) ? f (a ? x) 恒成立 , 则函数

f ( x) 的对称轴是____________________
(3) 对 于 函 数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒 成 立 , 则 函 数

f ( x) 的对称轴是______________________;
11. 若将函数 y ? f ( x) 的图象向右移 a 、再向上移 b 个单位,得到函数 ___________________的图象;若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象向右移 a 、 向上移 b 个单位,得到曲线___________________的图象. 12. 函数的周期性 (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期______________; (2) f ( x ? a) ? ? f ( x) ,则 f ( x ) 的周期______________

2

(3) f ( x ? a) ?

1 ,则 f ( x ) 的周期_______________ f ( x)

(4) f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,则 f ( x ) 的周期_________________ 13. 分数指数 (1) a (2) a
m n m n

? _______________( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ). ? ___________=___________( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

?

14.根式的性质 (1) ( n a )n ? ___________. (2)当 n 为奇数时, a ? _______________;
n n

当 n 为偶数时, n a n ? _______ ? ? 15.指数的运算性质 (1) a ? a ? _____(a ? 0, r, s ? Q)
r s

?a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

(2) a ? a ? _________(a ? 0, r, s ? Q)
r s

(3) (a ) ? ________(a ? 0, r, s ? Q)
r s

(4) (ab) ? _______(a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
r

16. 指数式与对数式互化 loga N ? b ? _________ (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 17.对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga M ? loga N ? ________; (2) loga M ? loga N ? _________; (3) log a M n ? _________; (5) log a a ? _________; (4) logam N n ? ___ loga N (n, m ? R) (6) loga 1 ? ___________

18. 对数的换底公式 : log a N ? __________( a ? 0 , 且 a ? 1 , m ? 0 , 且
3

m ? 1, N ? 0 ).
倒数关系式: loga b ? log b a ? ___________ 19. 对数恒等式: a
loga N

? ______________( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ).

20. 零点存在定理: 如果函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 满足 ___________ ,则 f ( x ) 在区间 ( a, b) 上存在零点。 21. 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的 切线的_________,相应的切线方程是______________________. 22. 几种常见函数的导数 (1) C? ? _____ (C 为常数) (3) (sin x)? ? __________ (5) (ln x)? ? __________ (7) (e )? ? __________
x

(2) ( xn )' ? _________(n ? Q) (4) (cos x)? ? __________ (6) (loga x)? ? __________ (8) (a )? ? __________ .
x

23. 导数的运算法则 (1) (u ? v) ? ___________
'

(2) (uv) ? ____________________
'

' (3) ( ) ? _________________(v ? 0)

u v

24. 求切线方程的步骤: ① 求原函数的导函数 f ?( x) ② 把横坐标 x0 带入导函数 f ?( x) ,得到 f ?( x0 ) ,则斜率 k ? f ?( x0 ) ③ 点斜式写方程 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) 25. 求函数的单调区间 ① 求原函数的导函数 f ?( x)
4

② 令_____________,则得到原函数的单调增区间。 ② 令_____________,则得到原函数的单调减区间。 26. 求极值常按如下步骤: ① 求原函数的导函数 f ?( x) ; ② 令方程 f ?( x) =0 的根,这些根也称为可能极值点 ③ 检查在方程的根的左右两侧的符号, 确定极值点。 (可以通过列表法) 如果在 x0 附近的左侧_________, 右侧________, 则 f ( x0 ) 是极大值; 如果在 x0 附近的左侧_________, 右侧________, 则 f ( x0 ) 是极小值. ④ 将极值点带入到原函数中,得到极值。 27. 求最值常按如下步骤: ① 求原函数的极值。 ② 将两个端点带入原函数,求出端点值。 ③ 将极值与端点值相比较,最大的为最大值,最小的为最小值。

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
28. 同角三角函数的基本关系式

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? =___________.
29. 正弦、余弦的诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。 30. 和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? __________________ ;
cos(? ? ? ) ? __________________ ; tan(? ? ? ) ? __________________ .
31. 二倍角公式

sin 2? ? _______________ .

tan 2? ? ____________ .

cos 2? ? ____________ ? ____________ ? ____________ .
32. 三角函数的周期 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,周期 T ? _________ ;
5

函数 y ? cos(? x ? ? ) ,周期 T ? _________ ; 函数 y ? tan(? x ? ? ) ,周期 T ? _________ . 33. 函数 y ? sin(? x ? ? ) 的周期、最值、单调区间、图象变换(熟记) 34. 辅助角公式(化一公式)

y ? a sin x ? b cos x ? __________________ 其中 tan ? ?
35. 正弦定理 _____________________________. 36. 余弦定理: a2 ? ______________________ ;

b a

b2 ? ______________________ ; c2 ? _____________________ .
37. 三角形面积公式

S ? ____________ ? ____________ ? ____________ .
38. 三角形内角和定理 △ABC, A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) 39. a 与 b 的数量积(或内积)

sin( A ? B) ? sin C

a ? b ? ________________ ? ___________________
40. 平面向量的坐标运算 (1)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? _____________ . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = ________________ . (3)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = ________________ . (4)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = ________________ . (5)设 a = ( x, y ) ,则 a ? ______________

6

41. 两向量的夹角公式 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则

cos ? ? _________ ? ________________
42. 向量的平行与垂直

a // b ? b ? ? a ? ________________ .

a ? b(a ? 0) ? a ? b ? 0 ? ________________ .
44. 向量的射影公式 若 a 与 b 的夹角为 ? ,则 b 在 a 的射影为 __________

三、数列
45. 数列 {an } 的通项公式与前 n 项的和的关系(递推公式)

n ?1 ? _____, ( {an } 的前 n 项和为 sn ? a1 ? a2 ? an ? ? ? _______, n ? 2
47. 等差数列 {an } 的前 n 项和公式

? an ).

46. 等差数列 {an } 的通项公式为: an ? _____________(n ? N * ) ;

sn ? ____________ ? ________________
an ?1 ? an ?1 2 m ? n ? p ? q 49. 等差数列 {an } 中,若 ,则 ________________
48. 等差数列 {an } 的中项公式: an ? 50. 等差数列 {an } 中, s n , s2 n ? sn ,___________成等差数列 51. 等比数列的通项公式: an ? __________ ? __________(n ? N * ) ; 52. 等比数列前 n 项的和公式为 sn ? ?

? ___________, q ? 1 ? ___________, q ? 1

53. 等比数列 {an } 的中项公式: an 2 ? an?1 ? an?1 54. 等比数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 ________________ 55. 等比数列 {an } 中, s n , s2 n ? sn ,___________成等比数列
7

四、均值不等式
56. 均值不等式: 如果 a, b ? R ? , 那么_____________。 “一正二定三相等”

x? y ? xy ,当 _________ 时等号成立。 2 (1) 若积 xy 是定值 p , 则当 x ? y 时和 x ? y 有最_____值_________; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最_____值_________. 五、解析几何
57. 已知 x, y 都是正数,则有 58. 斜率的计算公式 (1) k ? tan ? 59. 直线的五种方程 (2) k ?

y2 ? y1 x2 ? x1

(3)直线一般式中 k ? ?

A B

k (1)点斜式___________________ (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ).
(2)斜截式___________________ (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3) 两点式____________( y1 ? y2 )( x1 ? x2 ) ( P P2 ( x2 , y2 ) ). 1 ( x1 , y1 ) 、 (4)截距式__________________ ( a、 b 分别为横、纵截距,a、b ? 0 ) (5)一般式___________________ (其中 A、B 不同时为 0). 60. 两条直线的平行 若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0

l1 / /l2 ? _______________________ ? ______________
61. 两条直线的垂直 若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0

l1 ? l2 ? ______________________ ? ______________
62. 平面两点间的距离公式

d A, B =__________________________ (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
63. 点到直线的距离

d ? _____________________(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

8

64. 圆的两种方程 (1)圆的标准方程___________________. (2)圆的一般方程___________________ ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

圆心坐标___________________ 半径= ___________________ 65. 直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置有三种:

d ? r ? ________ ? ? ? 0 ; d ? r ? ________ ? ? ? 0 ; d ? r ? ________ ? ? ? 0 . 弦长= ____________
其中 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

66. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
2 2 椭圆:___________________, a ? c ? ____,离心率__________.

准线方程:___________
2 2 双曲线:__________________, c ? a ? ____,离心率__________,

准线方程:____________ 渐近线方程是_____________. 抛物线:______________,焦点_________,准线____________。 抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离. 67. 双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2 y2 (1)若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程:______________ a b
(2)若渐近线方程为 y ? ?

x y b x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为_________. a b a

(3)若双曲线与

x2 y2 ? ? 1 有公共渐近线,可设为_________________ a2 b2

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68. 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径____________. 69. 过抛物线焦点的弦长 AB ? ________________. A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) 70.线线平行常用方法总结 (1)定义:在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。 (2)平行的传递性:______________________________ (3)线面平行的性质:_____________________________________ (4)线面垂直的性质:如果两条直线同时垂直于同一平面,那么这两条直 线平行 (5)面面平行的性质:_____________________________________ 71.线面平行的判定方法。 (1)定义:直线和平面没有公共点。 (2)判定定理:___________________________________________ (3)面面平行的性质:_________________________________________ 72.判定两平面平行的方法。 (1)依定义采用反证法; (2)利用判定定理:____________________________________ (3)利用判定定理的推论:______________________________________ (4)垂直于同一条直线的两个平面平行。 (5)平行于同一个平面的两个平面平行。 73.证明线线垂直的方法 (1)利用定义。 (2)线面垂直的性质:___________________________________________ 74.证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义。 (2)线面垂直的判定定理:_________________________________________ (3)线面垂直的判定定理推论:____________________________________ (4)面面垂直的性质:_____________________________________________ (5)若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,那么这条直线必定垂直 于另一个平面。

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75.判定两个平面垂直的方法 (1)利用定义。 (2)判定定理:_______________________________________________ 76.其他定理 夹在两平行平面之间的平行线段相等。 经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行。 两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例。 77. 柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积= 2?rl ,表面积= 2?rl ? 2?r 2 圆椎侧面积= ?rl ,表面积= ?rl ? ?r 2

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3 4 3 2 球的半径是 R ,则其体积 V ? ? R ,其表面积 S ? 4? R 3 1 V台体 ? ( S上 ? S下 ? S上 S下 )h 3
78.正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计
79. 平均数、方差、标准差的计算 平均数:_______________________________
2 方差: s ? _________________________________

标准差: s ? _________________________________ 80. 回归直线方程
n n ? x ? x y ? y xi yi ? nx y ? ?? ? ? ? i i ? i ?1 i ?1 ?b ? ? n n 2 . y ? a ? bx ,其中 ? xi 2 ? nx 2 ? xi ? x ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx

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81. 独立性检验

K2 ?

n(ac ? bd) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

82. 古典概型的计算(必须要用列举法 、列表法 、树状图 的方法把所有基本 ... ... ... 事件表示出来,不重复、不遗漏) 83. 几何概型的计算,转化为体积,面积,长度之比。

八、复数
84. 复数的相等: a ? bi ? c ? di ? ______________.( a, b, c, d ? R ) 85. 复数 z ? a ? bi 的模: |z |?| a ? bi |? __________

86. 复数 z ? a ? bi 的共轭复数: z ? _______________ 87. 复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? ____________________; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? _____________________; (3) (a ? bi)(c ? di) ? ________________________; (4) (a ? bi) ? (c ? di) ? _______________________ 88. 复数的周期 T ? 4

i1 ? ___

i 2 ? ____

i3 ? ____

i 4 ? ____

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