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三角函数所有基础知识归纳


知识网络 三角函数

要点归纳 一、三角函数的概念 重点掌握以下两方面内容: ①理解任意角的概念和弧度的意义, 能正确迅速进行弧度与角 度的换算. ②掌握任意的角 α 的正弦、 余弦和正切的定义, 能正确快速利 用三角函数值在各个象限的符号解题, 能求三角函数的定义域和一 些简单三角函数的值域.

二、同角三角函数的基本关系式

能用同角三角函数的基本关系式进行化简、 求值和三角恒等式 的证明;能逆用公式 sin2α+cos2α=1 巧妙解题. 三、诱导公式 能用公式一至公式四将任意角的三角函数化为锐角三角函数, 利用“奇变偶不变,符号看象限”牢记所有诱导公式. 善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用, 通过这些公式进行化简、 求值, 达到培养推理运算能力和逻辑思维 能力的提高.

四、三角函数的图象 重点掌握“五点法”, 会进行三角函数图象的变换, 能从图象 中获取尽可能多的信息,如周期、半个周期、四分之一个周期等, 如轴对称、中心对称等,如最高点、最低点与对称中心之间位置关 系等.能从三角函数的图象归纳出函数的性质. 五、三角函数的性质 牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性 和对称性. 在运用三角函数性质解题时, 要善于运用数形结合思想、 分类讨论思想、 化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行 解答.

要点整合 一、三角函数的图象与性质 【例 1】 已知函数 f(x)=log1(sin x-cos x).
2

(1)求它的定义域; (2)判断它的奇偶性; (3)判断它的周期性.

解: (1)x 必须满足 sin x-cos x>0, 即 sin x>cos x.利用单位圆中的三角函数线可得 π 5π 2kπ+ <x<2kπ+ ,k∈Z, 4 4 ? π 5π? ∴函数定义域为?2kπ+4,2kπ+ 4 ?(k∈Z). ? ? (2)∵ f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴ f(x) 不具备奇偶性. (3)∵f(x+2π)=f(x), ∴函数 f(x)是周期函数,最小正周期为 2π. 点评: 三角函数性质是考试的重点和热点, 要善于从题中所给 的三角函数解析式中挖掘信息,达到解题的目的.

【例 2】 如图,风轮的半径为 40 m,风轮中心 O 距地面的高 度为 50 m,风轮做匀速转动,每 3 min 转一圈,风轮上的点 P 的 起始位置在最低点处. 已知在时刻 t (min)时点 P 距离地面的高度 H =f(t)=Asin(ωt+φ)+h(A>0,ω>0), 求 2 006 min 时点 P 距离地面的高度.

解: 解法一:依题意,A=40,h=50,T=3, ?2π ? 2π 2π ∴ω= = ,故 f(t)=40sin? t+φ?+50, T 3 ?3 ? π 由 f(0)=10 得 φ=- , 2 ?2π π? 故 H=f(t)=40sin? t- ?+50. 2? ?3 ?2π π? H=f(2 006)=40sin? ×2 006- ?+50=70(m), 2? ?3 解法二:∵2 006=3×668+2, 可知第 2 006 min 时点 P 所在位置与第 2 min 时点 P 所在位 2 置相同,即从起点转过 圈,其高度为 70 m. 3

点评: 本题以风轮的周期性运动为背景, 考查函数 y=Asin(ωx +φ)的图象. 对于这类三角函数模型的应用题, 首先是要认真审题, 透彻理解题意, 然后将题中的文字信息转化为数学语言, 建立函数 模型,接着运用三角知识解答这个模型.

二、三角函数的概念及诱导公式 【例 3】 若点 A(x,y)是 600° 角的终边上异于原点的一点,则 y 的值为( ) x 3 3 A. B.- C. 3 D.- 3 3 3

y 解析:由三角函数的定义可知, =tan 600° , x y 而 tan 600° =tan 240° =tan 60° = 3, = 3,故选 C. x 答案:C

点评: 本题考查三角函数的定义和诱导公式. 三角函数的定义 用到了单位圆, 但这个定义可以引申为在角 α 的终边上任取不是原 y 2 2 点的一点 P(x,y),先计算 r=|OP|= x +y ,则 sin α= ,cos α r x y = ,tan α= .诱导公式是最不好记忆的,容易混淆,关键是要深 r x 刻理解“函数名不变,符号看象限”的含义.

【例 4】 已知角 α 的终边经过点 P(-8m,-3 3tan 210° ), 3 且 sin α=- ,则 m 的值为( ) 5 1 1 1 3 A.- B. C.± D. 2 2 2 2

解析:将 P(-8m,-3 3tan 210° )化为 P(-8m,-3),则 r= -3 -3 3 2 |OP| = 64m +9 , 由 于 sin α = = =- ,所以 2 r 5 64m +9 1 1 2 64m +9=5,解得 m= 或 m=- ,选 C. 2 2 答案:C 点评: 在用三角函数的定义解题时, 既要注意角 α 所在的象限, 又要注意参数的符号.

三、三角函数式的化简与求值 2 【例 5】 已知 tan α 是方程 x + x+1=0 的两个根中较小 cos α 的根,求 α 的值.
2

2 解:∵tan α 是方程 x + x+1=0 的两个根中较小的根,而 cos α 方程的两根之积为 1, 1 ∴方程的较大根为 .由根与系数的关系得 tan α 1 2 1 2 tan α+ =- ,即 =- , tan α cos α sin αcos α cos α 1 ∴sin α=- . 2 7π π 解得 α=2kπ+ 或 α=2kπ- (k∈Z). 6 6
2

7π 3 1 当 α=2kπ+ (k∈Z)时,tan α= , = 3, 6 3 tan α 1 满足 tan α< ; tan α π 3 1 当 α=2kπ- (k∈Z)时,tan α=- , =- 3, 6 3 tan α 1 不满足 tan α< . tan α 7π 故 α=2kπ+ (k∈Z)为所求. 6 点评: 本题把同角三角函数的基本关系式与一元二次方程结合 起来考查,需要较强的计算能力和逻辑推理能力.

2+tan?θ-π? 【例 6】 已知 =-4,求(sin θ-3cos θ)(cos θ- 1+tan?2π-θ? sin θ)的值. 2+tan?θ-π? 2+tan θ 解:将 =-4 化为 =-4, 1+tan?2π-θ? 1-tan θ 解得 tan θ=2,于是(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ) =4sin θcos θ-sin2θ-3cos2θ 4sin θcosθ-sin2θ-3cos2θ = sin2θ+cos2θ 4tan θ-tan2θ-3 8-4-3 1 = = = . 5 tan2θ+1 4+1 点评:本题若不善于逆用公式 sin2θ+cos2θ=1,将会给解题带 来困难.所以,对所学的三角公式,不仅要顺用,还要会逆用.


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