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第八章第8讲曲线与方程


第 8 讲 曲线与方程

,[学生用书 P173])

1.曲线与方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一 个二元方程的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 2.曲线的

交点 设曲线 C1 的方程为 F1(x,y)=0,曲线 C2 的方程为 F2(x,y)=0,则 C1,C2 的交点坐标
?F1(x,y)=0, ? 即为方程组? 的实数解,若此方程组无解,则两曲线无交点. ?F2(x,y)=0 ?

1.辨明两个易误点 (1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,前者指曲线的形状、位置、大小等特征,后者 指方程(包括范围). (2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系; (2)设点——设轨迹上的任一点 P(x,y); (3)列式——列出动点 P 所满足的关系式; (4)代换——依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于 x,y 的方程 式,并化简; (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

1.已知曲线 C 的方程为 x2-xy+y-5=0,则下列各点中,在曲线 C 上的点是( ) A.(-1,2) B.(1,-2) C.(2,-3) D.(3,6) 答案:A 2.已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支 答案:C 3.已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1,2),Q 是线段 PM 延长 线上的一点,且|PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方程是( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 解析:选 D.由题意知,M 为 PQ 中点,设 Q(x,y),则 P 为(-2-x,4-y),代入 2x-y +3=0 得 2x-y+5=0. 5? 4.(选修 21 P37 练习 T2 改编)已知方程 ax2+by2=2 的曲线经过点 A? ?0,3?和 B(1,1), 则曲线方程为________. 16 9 答案: x2+ y2=1 25 25 y → → 0, ?,C(x,y),若AB⊥BC,则动点 C 的轨迹 5.平面上有三个不同点 A(-2,y),B? ? 2? 方程为________. y? → ? y ? → 解析:AB=? ?2,-2?,BC=?x,2?, → → → → 由AB⊥BC,得AB·BC=0, y? y 即 2x+? ?-2?·2=0, 所以动点 C 的轨迹方程为 y2=8x(x≠0). 答案:y2=8x(x≠0)

考点一 直接法求轨迹方程(高频考点)[学生用书 P173] 直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法,也是高考考查的重要内容. 直接法求点的轨迹方程,在高考中有以下两个命题角度: (1)明确给出等式,求轨迹方程;

(2)给出已知条件,寻找题设中的等量关系,求轨迹方程. (2014· 高考课标全国卷Ⅰ)已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动 直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积.

扫一扫 进入 91 导学网(www.91daoxue.com) 曲线与方程 [解] (1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16, 所以圆心为 C(0,4),半径为 4. → → 设 M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y). → → 由题设知CM·MP=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 的内部, 所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上. 又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM. 1 因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为- , 3 1 8 故 l 的方程为 y=- x+ . 3 3 4 10 4 10 16 又|OM|=|OP|=2 2,O 到 l 的距离为 ,|PM|= ,所以△POM 的面积为 . 5 5 5 直接法求曲线方程的一般步骤 (1)建立合理的直角坐标系; (2)设出所求曲线上点的坐标,把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程; (3)化简整理这个方程,检验并说明所求的方程就是曲线的方程. 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程, 要注意 “翻译”的等价性.

9 ? 1.(1)(2016· 益阳调研)已知 M? ?2,0?,N(2,0),曲线 C 上的任意一点 P 满足 → → 15 → MN·MP= |PN|,则曲线 C 的方程为________. 4 (2)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线

1 AP 与 BP 的斜率之积等于- .求动点 P 的轨迹方程. 3 5 → - ,0?,设点 P(x,y), 解:(1)MN=? ? 2 ? 9 ? → → 则MP=? ?x-2,y?,PN=(2-x,-y). x2 y2 → → 15 → 代入MN·MP= |PN|,化简得 + =1. 4 9 5 x2 y2 所以曲线 C 的方程为 + =1. 9 5 x2 y2 故填 + =1. 9 5 (2)因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称. 所以点 B 的坐标为(1,-1). 设点 P 的坐标为(x,y),由题设知直线 AP 与 BP 的斜率存在且均不为零, 则 y-1 y+1 1 · =- , 3 x+1 x-1

化简得 x2+3y2=4(x≠± 1). 故动点 P 的轨迹方程为 x2+3y2=4(x≠± 1). 考点二 定义法求轨迹方程[学生用书 P174] → 1→ 已知 A(-5,0),B(5,0),动点 P 满足|PB|, |PA|,8 成等差数列,则点 P 的 2 轨迹方程为________. → → [解析] 由已知得|PA|-|PB|=8, 所以点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的双曲线的右支, 且 a=4,b=3,c=5, x2 y2 所以点 P 的轨迹方程为 - =1(x≥4). 16 9 [答案] x2 y2 - =1(x≥4) 16 9 → 1→ → 1→ 若将本例中的条件“|PB|, |PA|,8”改为“|PA|, |PB|,8” ,求点 P 的 2 2 轨迹方程. → → 解:由已知得|PB|-|PA|=8, 所以点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的双曲线的左支,且 a=4,b=3,c=5, x2 y2 所以点 P 的轨迹方程为 - =1(x≤-4). 16 9 定义法求轨迹方程 (1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则

根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程; (2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线, 如果不是完整的曲线,则应对其中的变量 x 或 y 进行限制.

2.已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切 并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程. 解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2 =3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左,右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3的 x2 y2 椭圆(左顶点除外),其方程为 + =1(x≠-2). 4 3

考点三 利用相关点法(代入法)求轨迹方程[学生用书 P174] x2 y2 → 1 → (2016· 石家庄一模)已知点 Q 在椭圆 C: + =1 上, 点 P 满足OQ= (OF1+ 16 10 2 → OP)(其中 O 为坐标原点,F1 为椭圆 C 的左焦点),则点 P 的轨迹为( A.圆 C.双曲线 B.抛物线 D.椭圆 )

→ 1 → → [解析] 因为点 P 满足OQ= (OF1+OP), 2 所以 Q 是线段 PF1 的中点. 设 P(x1,y1), x2 y2 由于 F1 为椭圆 C: + =1 的左焦点, 16 10 则 F1(- 6,0), 故 Q?

?x1- 6 y1?, ? ? 2 ,2?

x2 y2 由点 Q 在椭圆 C: + =1 上, 16 10 (x1- 6)2 y2 1 则点 P 的轨迹方程为 + =1, 64 40 故点 P 的轨迹为椭圆. [答案] D

相关点法求轨迹方程的一般步骤 (1)设点:设动点坐标为(x,y),已知轨迹的点的坐标为(x1,y1). (2)求关系式:求出两点坐标之间的关系式
?x1=f(x,y), ? ? ?y1=g(x,y). ?

(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程. → → → → 3.设 F(1,0),M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且MN=2MP,PM⊥PF,当 点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹方程. 解:设 M(x0,0),P(0,y0),N(x,y), → → → 因为PM⊥PF,PM=(x0,-y0), → PF=(1,-y0), 所以(x0,-y0)· (1,-y0)=0, 2 所以 x0+y0=0. → → 由MN=2MP得(x-x0,y)=2(-x0,y0),
? ?x-x0=-2x0, 所以? ?y=2y0, ?

x =-x, ? ?0 y2 即? 所以- x + =0,即 y2=4x. 1 4 y = y , ? ?0 2 故所求的点 N 的轨迹方程是 y2=4x.

1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0 表示的曲线是( A.一条直线和一条双曲线 B.两条双曲线 C.两个点 D.以上答案都不对 解析:选 C.(x-y)2+(xy-1)2=0
?x-y=0, ? ?? ? ?xy-1=0.

)

?x=1, ? ?x=-1, ? 故? 或? ? ? ?y=1 ?y=-1.

2.设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为( ) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 解析:选 A.设圆 C 的半径为 r,则圆心 C 到直线 y=0 的距离为 r.由两圆外切可得,圆 心 C 到点(0,3)的距离为 r+1,也就是说,圆心 C 到点(0,3)的距离比到直线 y=0 的距离 大 1,故点 C 到点(0,3)的距离和它到直线 y=-1 的距离相等,符合抛物线的特征,故点 C 的轨迹为抛物线. 3.设点 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则 P 点的轨迹方 程为( ) 2 A.y =2x B.(x-1)2+y2=4 C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2 解析:

选 D.如图,设 P(x,y),圆心为 M(1,0).连接 MA,则 MA⊥PA,且|MA|=1, 又因为|PA|=1, 所以|PM|= |MA|2+|PA|2= 2, 即|PM|2=2,所以(x-1)2+y2=2. → 4.(2016· 珠海模拟)已知点 A(1,0),直线 l:y=2x-4,点 R 是直线 l 上的一点,若RA= → AP,则点 P 的轨迹方程为( A.y=-2x C.y=2x-8 ) B.y=2x D.y=2x+4
1

x+x =1, ? 2 → → 解析: 选 B.设 P(x, y), R(x , y ), 由RA=AP知, 点 A 是线段 RP 的中点, 所以? y+y ? 2 =0,
1 1 1

?x1=2-x, ? 即? ?y1=-y. ?

因为点 R(x1,y1)在直线 y=2x-4 上, 所以 y1=2x1-4, 所以-y=2(2-x)-4,即 y=2x. 5. 设 m∈R, 在平面直角坐标系中, 已知向量 a=(mx, y+1), 向量 b=(x, y-1), a⊥b, 则动点 M(x,y)的轨迹为( ) A.两条直线 B.圆或椭圆

C.双曲线 D.两条直线或圆或椭圆或双曲线 解析:选 D.因为 a⊥b,a=(mx,y+1),b=(x,y-1), 所以 a· b=mx2+y2-1=0 即 mx2+y2=1. 当 m=0 时,动点 M 的轨迹为两条直线,y=± 1, 2 2 当 m=1 时,动点 M 的轨迹为圆 x +y =1, x2 当 m>0 且 m≠1 时,动点 M 的轨迹为椭圆 +y2=1, 1 m x2 当 m<0 时,动点 M 的轨迹为双曲线 y2- =1. 1 - m 6.(2016· 长春模拟)设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周 上任一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( ) 4x2 4y2 A. - =1 21 25 4x2 4y2 C. - =1 25 21 解析:选 D. 4x2 4y2 B. + =1 21 25 4x2 4y2 D. + =1 25 21

因为 M 为 AQ 垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ| 5 21 =5,故 M 的轨迹为椭圆.所以 a= ,c=1,则 b2=a2-c2= , 2 4 4x2 4y2 所以椭圆的方程为 + =1. 25 21 7.已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程 是________. 解析:设 P(x,y), 因为△MPN 为直角三角形, 所以|MP|2+|NP|2=|MN|2, 所以(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16, 整理得,x2+y2=4. 因为 M,N,P 不共线, 所以 x≠± 2, 所以轨迹方程为 x2+y2=4(x≠± 2). 2 2 答案:x +y =4(x≠± 2) 8.已知点 P 是圆 C:(x+2)2+y2=4 上的动点,定点 F(2,0),线段 PF 的垂直平分线 与直线 CP 的交点为 Q,则点 Q(x,y)的轨迹方程是________. 解析:依题意有|QP|=|QF|,则||QC|-|QF||=|CP|=2, 又|CF|=4>2,故点 Q 的轨迹是以 C、F 为焦点的双曲线,a=1,c=2,得 b2=3,所求

y2 轨迹方程为 x2- =1. 3 y2 答案:x2- =1 3 x2 y2 9.已知 P 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦点,O 为坐标 a b → → → 原点,OQ=PF1+PF2,则动点 Q 的轨迹方程是________. → → → 解析:OQ=PF1+PF2,

→ → → → → 如图,PF1+PF2=PM=2PO=-2OP, 设 Q(x,y), x y? 1→ 1 → 则OP=- OQ=- (x,y)=? ?-2,-2?, 2 2 x y? 即 P 点坐标为? ?-2,-2?, 又 P 在椭圆上,

则有 即

?- x ? ? 2?
a2

2



?- y ? ? 2?
b2

2

=1,

x2 y2 2+ 2=1. 4a 4b

x2 y2 答案: 2+ 2=1 4a 4b 10.曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a>1)的 点的轨迹.给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; 1 ③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 的面积不大于 a2. 2 其中,所有正确结论的序号是________. 解 析 : 设 曲 线 C 上 任 一 点 P(x , y) , 由 |PF1| · |PF2| = a2 , 可 得 (x+1)2+y2· (x-1)2+y2=a2(a>1),将原点(0,0)代入等式不成立,故①不正确. 因为点 P(x,y)在曲线 C 上,则点 P 关于原点的对称点为 P′(-x,-y),将 P′代入曲 1 1 线 C 的方程等式成立,故②正确.设∠F1PF2=θ,则 S△F1PF2= |PF1||PF2|·sin θ= a2sin 2 2

θ≤2a2,故③正确.
答案:②③ 11.已知点 A(-1,0),B(2,4),△ABC 的面积为 10,求动点 C 的轨迹方程. 20 解:因为|AB|= 32+42=5,所以 AB 边上高 h= =4. 5 故 C 的轨迹是与直线 AB 距离等于 4 的两条平行线. 4 因为 kAB= , 3 AB 的方程为 4x-3y+4=0,可设轨迹方程为 4x-3y+c=0. 由 |c-4| =4,得 c=24 或 c=-16, 5

1

故动点 C 的轨迹方程为 4x-3y-16=0 或 4x-3y+24=0. 12.(2015· 高考广东卷节选)已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x2+y2-6x+5=0 相交于不 同的两点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程. 解:(1)把圆 C1 的方程化为标准方程得(x-3)2+y2=4,所以圆 C1 的圆心坐标为 C1(3, 0). (2)设 M(x,y),因为 A,B 为过原点的直线 l 与圆 C1 的交点,且 M 为 AB 的中点, → → 所以由圆的性质知:MC1⊥MO,所以MC1·MO=0. → → 又因为MC1=(3-x,-y),MO=(-x,-y), 所以由向量的数量积公式得 x2-3x+y2=0. 易知直线 l 的斜率存在,所以设直线 l 的方程为 y=mx, |3m-0| 当直线 l 与圆 C1 相切时,d= =2, m2+1 2 5 解得 m=± . 5 5 把相切时直线 l 的方程代入圆 C1 的方程化简得 9x2-30x+25=0,解得 x= . 3 当直线 l 经过圆 C1 的圆心时,M 的坐标为(3,0). 5 又因为直线 l 与圆 C1 交于 A,B 两点,M 为 AB 的中点,所以 <x≤3. 3 5 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 x2-3x+y2=0,其中 <x≤3,其轨迹为一段圆弧. 3

1.(2016· 成都质量检测)在棱长为 1 的正方体 ABCDA′B′C′D′中,若点 P 是棱上 一点,则满足|PA|+|PC′|=2 的点 P 的个数为( )

A.4 B.6 C.8 D.12 解析:选 B.因为正方体的棱长为 1, 所以 AC′= 3. 因为|PA|+|PC′|=2, 1 所以点 P 是以 2c= 3为焦距,以 a=1 为长半轴,以 为短半轴的椭球上. 2 因为 P 在正方体的棱上, 所以 P 应是椭球与正方体的棱的交点. 结合正方体的性质可知,在棱 B′C′,C′D′,CC′,AA′,AB,AD 上各有一点满足 条件.故选 B. 2.已知点 A,B 分别是射线 l1:y=x(x≥0),l2:y=-x(x≥0)上的动点,O 为坐标原点, 且△OAB 的面积为定值 2,则线段 AB 中点 M 的轨迹方程为________. 解析:由题意可设 A(x1,x1),B(x2,-x2),M(x,y), x ,① ?x=x + 2 其中 x >0,x >0,则? x -x ?y= 2 .②
1 2 1 2 1 2

因为△OAB 的面积为定值 2, 1 1 所以 S△OAB= OA·OB= ( 2x1)( 2x2)=x1x2=2. 2 2 ①2-②2 得 x2-y2=x1x2,而 x1x2=2, 所以 x2-y2=2. 由于 x1>0,x2>0,所以 x>0, 即所求点 M 的轨迹方程为 x2-y2=2(x>0). 答案:x2-y2=2(x>0) 3.(2016· 唐山模拟)已知 P 为圆 A:(x+1)2+y2=8 上的动点,点 B(1,0).线段 PB 的 垂直平分线与半径 PA 相交于点 M,记点 M 的轨迹为 Γ. (1)求曲线 Γ 的方程; 2 2 (2)当点 P 在第一象限,且 cos∠BAP= 时,求点 M 的坐标. 3 解:(1)圆 A 的圆心为 A(-1,0),半径等于 2 2. 由已知|MB|=|MP|, 于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2 2>2=|AB|, 故曲线 Γ 是以 A,B 为焦点,以 2 2为长轴长的椭圆, 即 a= 2,c=1,b=1, x2 所以曲线 Γ 的方程为 +y2=1. 2

2 2 5 2 2? (2)由 cos∠BAP= ,|AP|=2 2,得 P? , . 3 ?3 3 ? 于是直线 AP 的方程为 y= 2 (x+1). 4



? ? 2 ?y= 4 (x+1),

x2 2 +y =1, 2

7 整理得 5x2+2x-7=0,解得 x1=1,x2=- . 5 由于点 M 在线段 AP 上, 所以点 M 坐标为?1, 2? . 2? 2 ,设动点 2

?

4.(2016· 郑州质检)已知动点 P 到定点 F(1,0)和到直线 x=2 的距离之比为

P 的轨迹为曲线 E,过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A、B 两点,直线 l:y=mx +n 与曲线 E 交于 C、D 两点,与线段 AB 相交于一点(与 A、B 不重合). (1)求曲线 E 的方程; (2)当直线 l 与圆 x2+y2=1 相切时,四边形 ACBD 的面积是否有最大值?若有,求出其 最大值及对应的直线 l 的方程;若没有,请说明理由. 解:(1)设点 P(x,y),由题意可得, x2 整理可得 +y2=1. 2 x2 所以曲线 E 的方程是 +y2=1. 2 (2)设 C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得|AB|= 2. 当 m=0 时,不合题意. 当 m≠0 时,由直线 l 与圆 x2+y2=1 相切,可得 |n| =1,即 m2+1=n2. m2+1 (x-1)2+y2 2 = , 2 |x-2|

y=mx+n, ? ?2 1 m2+ ?x2+2mnx+n2-1=0, 联立?x 消去 y 得? 2 2 ? ? ? ? 2 +y =1
2 2 ? 2 Δ=4m2n2-4? ?m +2?(n -1)=2m >0,

1

x1=

-2mn+ Δ -2mn- Δ ,x2= , 2 2m +1 2m2+1 2 2|m|+ 1 |m| ≤ 2 , 2

1 2|m| S 四边形 ACBD= |AB||x2-x1|= 2 = 2 2m +1

1 2 6 2 当且仅当 2|m|= ,即 m=± 时等号成立,此时 n=± ,经检验可知,直线 y= |m| 2 2 2 x- 6 2 6 和直线 y=- x+ 符合题意. 2 2 2


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