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数列中常用的数学方法


常用数学思想方法 1.函数思想 运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。 【例 13】 等差数列{an}的首项 a1>0,前 n 项的和为 Sn,若 Sl=Sk(l≠k)问 n 为何值时 Sn 最大?

此函数以 n 为自变量的二次函数。∵a1>0 Sl=Sk(l≠k),∴d<0 故此二次函数的图 像开口向下 ∵ f(l)=f(k)


2.方程思想 【例 14】设等比数列{an}前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,求数列的公比 q。 分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。 解 ∵依题意可知 q≠1。 ∵如果 q=1,则 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1。由此应推出 a1=0 与等比数列不符。 ∵q≠1

整理得 q (2q -q -1)=0 ∵q≠0

3

6

3

此题还可以作如下思考: 3 3 3 3 6 S6=S3+q S3=(1+q )S3。S9=S3+q S6=S3(1+q +q ), 3 3 6 6 3 ∴由 S3+S6=2S9 可得 2+q =2(1+q +q ),2q +q =0

3.换元思想 【例 15】 已知 a,b,c 是不为 1 的正数,x,y,z∈R+,且 求证:a,b,c 顺次成等比数列。 x y z 证明 依题意令 a =b =c =k ∴x=1ogak,y=logbk,z=logck

∴b =ac ∴a,b,c 成等比数列(a,b,c 均不为 0)

2


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