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江苏省梁丰高级中学2015届高三数学周日练习卷(5)


江苏省梁丰高级中学 2015 届高三数学周日练习卷(5)
命题:顾云良 审核:陈燕
1 ? A ? ?y | y ? x , 2 ? ? x ? R? ?

一、
1. 已

填空题
知 集 合 ,

B ? ?x | y ? log2 ( x ? 1)?





A? B ?
2.已知 ? ? ( ?

. ?1,???

?
2

,0) , cos ? ?

3 ? ,则 tan( ? ? ) ? 5 4

.?

1 7

3.设等比数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn .若 a1 ? 1 , a3 ? 4 , Sk ? 63 ,则

k ? ___ ___.6
4.?ABC 中, “A?

?
6

”是“ sin A ?

1 ”的 2

条件(从“充分不必要”,“必要不充分”,

“充要”,“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空) .充分不必要
2 5. 10. 已知函数 f ( x) ? x ? abx? a ? 2b . 若 f (0) ? 4, 则 f (1) 的最大值为

. 7

6.在数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , a 2 ?

1 2 1 1 , ? ? (n ? N * ) ,则该数列的通项 2 a n?1 a n a n? 2
. an ?



1 n

7.在 ?ABC 中,已知 sin A sin B cosC ? sin A sinC cosB ? sin B sin C cos A , 若 a, b, c 分 别是角 A, B, C 所对的边,则

ab 的最大值为 c2

.

B C 8. 8. 在 ?A

中, 已知 BC=1,B ?
2

?

3 2
. 13

9.若函数 y ? log 1 (? x ? 6 x ? 5) 在区间 ?m, m ? 1? 上为减函数,则实数 m 的取值范围
2

3

, ?ABC 的面积为 3 , 则 AC 的长为



. ?1,2?

10.已知 0 ? y ? x ? ? ,且 tan x tan y ? 2 , sin x sin y ?

1 ? ,则 x ? y ? ___ ___. 3 3
a8 的值 a2+a5

11. 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn (n∈N*).若 S3, S9, S6 成等差数列,则 是 12.若 .

?
4

?x?

?

1 2 2
,则函数 y ? tan2 x ? tan x 的最大值为
3

.-8

13 . 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f ( x) ? l o 2 gx. 已 知

1 1 a ? f (4), b ? f (? ), c ? f ( ), 则 a, b, c 的大小关系为 5 3

. (用“ ? ”

连结)b>a>c 14. 已知 a, b, c(a ? b ? c) 成等差数列, 将其中的两个数交换,得到的三数依次成等比数列,



a2 ? c2 的值为 b2

20



[来源:学 20##网 Z

二、

解答题
b 2 ? a 2 ? c 2 cos(A ? C ) ? . ac sin A cos A

15.在斜△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c 且 (1)求角 A ; (2)若 15. (1) ∵

sin B ? 2 ,求角 C 的取值范围。 cos C

b2 ? a 2 ? c 2 cos( A ? C ) 2cos B ? ?2cos B, ?? ,, sin A cos A sin 2 A ac b2 ? a2 ? c2 cos( A ? C ) ?2cos B 又∵ ,∴ ?2cos B ? ? , 而 ?ABC 为斜三角形, sin 2 A ac sin A cos A ? ? ∵ cosB ? 0 ,∴ sin2A=1 . ∵ A ? (0, ? ) ,∴ 2 A ? , A ? .7分 2 4
? 3π ? 3π 3π

sin ? ? C ? sin cos C ? cos sin C 3π 2 2 ?? 4 4 (2)∵ B ? C ? ,∴ sin B ? ? 4 ? ? tan C ? 2 4 cos C cos C cos C 2 2

--2 分

即 tan C ? 1 ,∵ 0 ? C ?

16.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 且点 P?an , an?1 ? n ? N ? 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若函数 f (n) ? 最小值;

π π 3? ,∴ ? C ? . 7 分 4 2 4

?

?

1 1 1 ? ? ? n ? a1 n ? a2 n ? a3

?

1 ? n ? N , 且n ? 2? ,求函数 f (n) 的 n ? an

解:(1)由点 P (an , an?1 ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上, 即 an?1 ? an ? 1,----------------------------------------------------------- ----------- --2 分 且 a1 ? 1 ,数列{ an }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列

an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n(n ? 2) , a1 ? 1 同样满足,所以 an ? n ---------------4 分
(2) f (n) ?

1 1 1 ? ??? n ?1 n ? 2 2n

f (n ? 1) ?

1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ---------------------6 分 n?2 n?3 n?4 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1 7 -----------------------10 分 12

f (n ? 1) ? f (n) ?

所以 f (n) 是单调递增,故 f (n) 的最小值是 f ( 2) ?

17. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? (1)求 m 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调增区间. 18. (本小题满分 16 分)

1 2 ? 1) x ? (a ? m) x ? a1nx , 且 f ( ? 0 ,其中 a 、 m ? R. 2

(0, ? ?) 解: (1)由题设知,函数 f ( x) 的定义域为 ,
a f ( x) ? x ? (a ? m) ? . ??????2 分 x
由 f ?(1) ? 0 得 1 ? (a ? m) ? a ? 0, 解得 m=1.??????4 分 (2)由(1)得 f ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a x 2 ? (a ? 1) x ? a (x ? a)(x ? 1) ? ? . ???6 分 x x x

当 a ? 1 时,由 f ?( x) ? 0, 得 x ? a 或 0 ? x ? 1, 此时 f ( x) 的单调增区间为 (a,??) 和(0, a )????9 分

(0, ? ?) 当 a ? 1 时, f ( x) 的单调增区间为 .??????11 分
当 0 ? a ? 1 时,由 f ?( x) ? 0, 得 x ? 1或0 ? x ? a.

(1, ? ?) 此时 f ( x) 的单调增区间为 和(0, a ) .??????14 分 (1, ? ?) 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0, 得x ? 1, 此时 f ( x) 的单调增区间为 . (a, ? ?) 综上,当 a ? 1 时, f ( x) 的单调增区间为 .和(0,1) ;当 a ? 1 时, f ( x) 的 (0, ? ?) (1, ? ?) (0,a) 单调增区间为 ; 当 0 ? a ? 1 时,f ( x) 的单调增区间为 和 :当 a ? 0 时, (1, ? ?) f ( x) 的单调增区间为 .

18. 已知函数 f ? x ? ?

ln x x

(1)求 f ?x ? 的单调区间; (2)若关于 x 的不等式 ln x ? mx 对一切 x ? ?a,2a??a ? 0? 都成立,求 m 范围; 解(1)定义域 ? 0, ?? ?
f ?? x ? ? 1 ? ln x ?0 x2
ln x x
a?e ? ? 2 ? ○ ln a f ? x ?max ? ? a ?

∴ ln x ? 1 ∴ f ? x ? 在 ? 0, e? 递增, ?e, ??? 递减[来源:学科网 ZXXK]

(2)由题 m ?

e ? a? ? ? 2 1 ? ○ ? f ? x ? ? ln 2a max ? 2a ?

? e ?a?e ? ? 2 3 ? ○ ? f ? x? ? 1 max ? e ?

∴ a ? 时, m ?

e 2

ln 2e 2a

a ? e 时, m ?

ln a e

e 1 ? a ? e 时, m ? 2 e

19. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? 2 x . (1)若存在 x ? (??,0) ,使 af ( x) ? f (2x) ? 1 成立,试求 a 的取值范围; (2)当 a ? 0, 且 x ? [0,15] 时,不等式 f ( x ? 1) ? f [(2 x ? a) ] 恒成立,求 a 的取值范围;
2
2 x 19. (1)令 2 ? t , 则存在 t ? (0,1) 使得 t ? at ? 1

2 2 所以存在 t ? (0,1) 使得 t ? at ? 1或t ? at ? ?1

即存在 t ? (0,1) 使得 a ? (t ? ) max 或a ? (t ? ) min

1 t

1 t

? a ? 0或a ? 2
(2)由 f ( x ? 1) ? f (2 x ? a) 得 x ? 1 ? (2x ? a) 恒成立
2 2

?

?

因为 a ? 0, 且 x ? [0,15] ,所以问题即为 x ? 1 ? 2 x ? a 恒成立

? a ? (?2x ? x ? 1) m a x
设 m( x ) ? ? 2 x ?

x ?1

令 x ? 1 ? t, 则x ? t 2 ? 1, t ?[1,4]

1 17 ? m(t ) ? ?2(t 2 ? 1) ? t ? ?2(t ? ) 2 ? 4 8

所以,当 t=1 时, m( x) max ? 1

?a ?1

20.已知数列{an}满足,an+1+ an=4n-3(n∈N*) . (1)若数列{an}是等差数列,求 a1 的值; (2)当 a1=2 时,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (3)若对任意 n∈N*,都有 an 2 ? an ?12 ≥20n-15 成立,求 a1 的取值范围. (1)若数列{an}是等差数列,则 an =a1+ (n-1)d,an+1 =a1 + nd. 由 an+1+ an=4n-3, 得(a1+nd) + [ a1+(n-1)d] =4n-3, 即 2d=4,2a1-d=4-3, 1 解得,d=2,a1=-2. (2)由 an+1+ an=4n-3,得 an+2 + an+1=4n + 1(n∈N*). 两式相减,得 an+2-an=4. 所以数列{a2n-1}是首项为 a1,公差为 4 的等差数列 , 数列{a2n}是首项为 a2,公差为 4 的等差数列, 由 a2 + a1=1,a1=2,得 a2=-1. ?2n, n为奇数, 所以 an=? ?2n-5, n为偶数. ①当 n 为奇数时,则 an=2n,an+1=2n-3. 所以 Sn=a1+a2+?+an=(a1+a2)+(a3+a4)+ ?+(an-2+an-1)+an 2n2-3n+5 =1+9+?+(4n-11)+2n= . 2 ②当 n 为偶数时, Sn=a1+a2+?+an=(a1+a2)+(a3+a4)+ ?+(an-1+an) 2n2-3n =1+9+?+(4n-7)= 2 . ? 2n2 ? 3n ? 5 ,n为奇数, ? 所以 Sn= ? 2 2 ? 2n ? 3n , n为偶数. ? 2 ?2n-2+ a1,n为奇数, (3)由(2)知,an=? ?2n-3-a1,n为偶数. ①当 n 为奇数时,an=2n-2+a1,an+1=2n-1-a1. 由 an 2 ? an ?12 ≥20n-15,得 a12-a1≥-4n2+ 16n-10. 因为-4n2+ 16n-10=-4(n-2)2+6≤2, 当 n=1 或 3 时,[-4(n-2)2+6]max=2. 所以 a12-a1≥2.解得 a1≥2 或 a1≤-1. ②当 n 为偶数时,an=2n-a1-3,an=2n+a1. 由由 an 2 ? an ?12 ≥20n-15,得 a12 + 3a1≥-4 n2+16n-12. -4 n2+ 16n-12=-4(n-2)2+4≤4. 当 n=2 时,[-4(n-2)2 + 4]max=4. 所以 a12 + 3a1≥4,解得 a1≥1,a1≤-4. 综合①②上,a1 的取值范围是(-∞,-4]∪[2,+∞).
[


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