江苏省梁丰高级中学2015届高三数学周日练习卷(5)

江苏省梁丰高级中学 2015 届高三数学周日练习卷（5）
命题：顾云良 审核：陈燕
1 ? A ? ?y | y ? x , 2 ? ? x ? R? ?

一、
1. 已

填空题
知 集 合 ，

B ? ?x | y ? log2 ( x ? 1)?

，

则

A? B ?
2．已知 ? ? ( ?

． ?1,???

?
2

,0) ， cos ? ?

3 ? ，则 tan( ? ? ) ? 5 4

．?

1 7

3．设等比数列 {an } 的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn ．若 a1 ? 1 ， a3 ? 4 ， Sk ? 63 ，则

k ? ___ ___．6
4．?ABC 中， “A?

?
6

”是“ sin A ?

1 ”的 2

条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，

“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空） ．充分不必要
2 5． 10． 已知函数 f ( x) ? x ? abx? a ? 2b ． 若 f (0) ? 4, 则 f (1) 的最大值为

． 7

6．在数列 {an } 中，若 a1 ? 1 ， a 2 ?

1 2 1 1 ， ? ? (n ? N * ) ，则该数列的通项 2 a n?1 a n a n? 2
. an ?

为

1 n

7．在 ?ABC 中,已知 sin A sin B cosC ? sin A sinC cosB ? sin B sin C cos A , 若 a, b, c 分 别是角 A, B, C 所对的边,则

ab 的最大值为 c2

.

B C 8． 8． 在 ?A

中， 已知 BC=1，B ?
2

?

3 2
． 13

9．若函数 y ? log 1 (? x ? 6 x ? 5) 在区间 ?m, m ? 1? 上为减函数，则实数 m 的取值范围
2

3

, ?ABC 的面积为 3 ， 则 AC 的长为

是

. ?1,2?

10．已知 0 ? y ? x ? ? ，且 tan x tan y ? 2 ， sin x sin y ?

1 ? ，则 x ? y ? ___ ___． 3 3
a8 的值 a2＋a5

11. 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn (n∈N*)．若 S3， S9， S6 成等差数列，则 是 12．若 ．

?
4

?x?

?

1 2 2
，则函数 y ? tan2 x ? tan x 的最大值为
3

.-8

13 ． 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 当 x ? 0 时 ， f ( x) ? l o 2 gx. 已 知

1 1 a ? f (4), b ? f (? ）， c ? f ( ), 则 a, b, c 的大小关系为 5 3

． （用“ ? ”

连结）b>a>c 14． 已知 a, b, c(a ? b ? c) 成等差数列， 将其中的两个数交换，得到的三数依次成等比数列，

则

a2 ? c2 的值为 b2

20

．

[来源:学 20##网 Z

二、

解答题
b 2 ? a 2 ? c 2 cos(A ? C ) ? . ac sin A cos A

15．在斜△ ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c 且 （1）求角 A ； （2）若 15. (1) ∵

sin B ? 2 ，求角 C 的取值范围。 cos C

b2 ? a 2 ? c 2 cos( A ? C ) 2cos B ? ?2cos B, ?? ,， sin A cos A sin 2 A ac b2 ? a2 ? c2 cos( A ? C ) ?2cos B 又∵ ，∴ ?2cos B ? ? , 而 ?ABC 为斜三角形， sin 2 A ac sin A cos A ? ? ∵ cosB ? 0 ，∴ sin2A=1 . ∵ A ? (0, ? ) ，∴ 2 A ? , A ? .7分 2 4
? 3π ? 3π 3π

sin ? ? C ? sin cos C ? cos sin C 3π 2 2 ?? 4 4 (2)∵ B ? C ? ，∴ sin B ? ? 4 ? ? tan C ? 2 4 cos C cos C cos C 2 2

--2 分

即 tan C ? 1 ，∵ 0 ? C ?

16．已知数列 ?an ? 中， a1 ? 1, 且点 P?an , an?1 ? n ? N ? 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上. （1）求数列 ?an ? 的通项公式； （2）若函数 f (n) ? 最小值；

π π 3? ，∴ ? C ? . 7 分 4 2 4

?

?

1 1 1 ? ? ? n ? a1 n ? a2 n ? a3

?

1 ? n ? N , 且n ? 2? ，求函数 f (n) 的 n ? an

解：（1）由点 P (an , an?1 ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上， 即 an?1 ? an ? 1，----------------------------------------------------------- ----------- --2 分 且 a1 ? 1 ，数列{ an }是以 1 为首项，1 为公差的等差数列

an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n(n ? 2) ， a1 ? 1 同样满足，所以 an ? n ---------------4 分
（2） f (n) ?

1 1 1 ? ??? n ?1 n ? 2 2n

f (n ? 1) ?

1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ---------------------6 分 n?2 n?3 n?4 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1 7 -----------------------10 分 12

f (n ? 1) ? f (n) ?

所以 f (n) 是单调递增，故 f (n) 的最小值是 f ( 2) ?

17． （本小题满分 16 分） 已知函数 f ( x) ? （1）求 m 的值； （2）求函数 f ( x) 的单调增区间． 18． （本小题满分 16 分）

1 2 ? 1） x ? (a ? m) x ? a1nx , 且 f （ ? 0 ，其中 a 、 m ? R. 2

（0， ? ?） 解： （1）由题设知，函数 f ( x) 的定义域为 ，
a f ( x) ? x ? (a ? m） ? . ??????2 分 x
由 f ?(1) ? 0 得 1 ? （a ? m) ? a ? 0, 解得 m=1．??????4 分 （2）由（1）得 f ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a x 2 ? (a ? 1) x ? a （x ? a)(x ? 1) ? ? . ???6 分 x x x

当 a ? 1 时，由 f ?( x) ? 0, 得 x ? a 或 0 ? x ? 1, 此时 f ( x) 的单调增区间为 （a,??) 和（0， a ）????9 分

（0， ? ?） 当 a ? 1 时， f ( x) 的单调增区间为 ．??????11 分
当 0 ? a ? 1 时，由 f ?( x) ? 0, 得 x ? 1或0 ? x ? a.

（1， ? ?） 此时 f ( x) 的单调增区间为 和（0， a ） ．??????14 分 （1， ? ?） 当 a ? 0 时，由 f ?( x) ? 0, 得x ? 1, 此时 f ( x) 的单调增区间为 ． （a， ? ?） 综上，当 a ? 1 时， f ( x) 的单调增区间为 ．和（0，1） ；当 a ? 1 时， f ( x) 的 （0， ? ?） （1， ? ?） （0，a） 单调增区间为 ； 当 0 ? a ? 1 时，f ( x) 的单调增区间为 和 :当 a ? 0 时， （1， ? ?） f ( x) 的单调增区间为 ．

18． 已知函数 f ? x ? ?

ln x x

(1)求 f ?x ? 的单调区间； (2)若关于 x 的不等式 ln x ? mx 对一切 x ? ?a,2a??a ? 0? 都成立，求 m 范围； 解（1）定义域 ? 0, ?? ?
f ?? x ? ? 1 ? ln x ?0 x2
ln x x
a?e ? ? 2 ? ○ ln a f ? x ?max ? ? a ?

∴ ln x ? 1 ∴ f ? x ? 在 ? 0, e? 递增， ?e, ??? 递减[来源:学科网 ZXXK]

（2）由题 m ?

e ? a? ? ? 2 1 ? ○ ? f ? x ? ? ln 2a max ? 2a ?

? e ?a?e ? ? 2 3 ? ○ ? f ? x? ? 1 max ? e ?

∴ a ? 时， m ?

e 2

ln 2e 2a

a ? e 时， m ?

ln a e

e 1 ? a ? e 时， m ? 2 e

19． （本题满分 16 分）已知函数 f ( x) ? 2 x . （1）若存在 x ? (??,0) ，使 af ( x) ? f (2x) ? 1 成立，试求 a 的取值范围； （2）当 a ? 0, 且 x ? [0,15] 时，不等式 f ( x ? 1) ? f [(2 x ? a) ] 恒成立，求 a 的取值范围；
2
2 x 19． （1）令 2 ? t , 则存在 t ? (0,1) 使得 t ? at ? 1

2 2 所以存在 t ? (0,1) 使得 t ? at ? 1或t ? at ? ?1

即存在 t ? (0,1) 使得 a ? (t ? ) max 或a ? (t ? ) min

1 t

1 t

? a ? 0或a ? 2
（2）由 f ( x ? 1) ? f (2 x ? a) 得 x ? 1 ? (2x ? a) 恒成立
2 2

?

?

因为 a ? 0, 且 x ? [0,15] ，所以问题即为 x ? 1 ? 2 x ? a 恒成立

? a ? (?2x ? x ? 1) m a x
设 m( x ) ? ? 2 x ?

x ?1

令 x ? 1 ? t, 则x ? t 2 ? 1, t ?[1,4]

1 17 ? m(t ) ? ?2(t 2 ? 1) ? t ? ?2(t ? ) 2 ? 4 8

所以，当 t=1 时， m( x) max ? 1

?a ?1

20.已知数列{an}满足，an+1+ an＝4n－3(n∈N*) ． （1）若数列{an}是等差数列，求 a1 的值； （2）当 a1＝2 时，求数列{an}的前 n 项和 Sn； （3）若对任意 n∈N*，都有 an 2 ? an ?12 ≥20n－15 成立，求 a1 的取值范围． （1）若数列{an}是等差数列，则 an ＝a1+ (n－1)d，an+1 ＝a1 + nd． 由 an+1+ an＝4n－3， 得(a1+nd) + [ a1+(n－1)d] ＝4n－3， 即 2d＝4，2a1－d＝4－3， 1 解得，d＝2，a1＝－2． （2）由 an+1+ an＝4n－3，得 an+2 + an+1＝4n + 1(n∈N*)． 两式相减，得 an+2－an＝4． 所以数列{a2n-1}是首项为 a1，公差为 4 的等差数列 ， 数列{a2n}是首项为 a2，公差为 4 的等差数列， 由 a2 + a1＝1，a1＝2，得 a2＝－1． ?2n， n为奇数， 所以 an＝? ?2n－5， n为偶数． ①当 n 为奇数时，则 an＝2n，an+1＝2n－3． 所以 Sn＝a1+a2+?+an＝(a1+a2)+(a3+a4)+ ?+(an-2+an-1)+an 2n2－3n+5 ＝1+9+?+(4n－11)+2n＝ ． 2 ②当 n 为偶数时， Sn＝a1+a2+?+an＝(a1+a2)+(a3+a4)+ ?+(an-1+an) 2n2－3n ＝1+9+?+(4n－7)＝ 2 ． ? 2n2 ? 3n ? 5 ，n为奇数， ? 所以 Sn＝ ? 2 2 ? 2n ? 3n ， n为偶数． ? 2 ?2n－2+ a1，n为奇数， （3）由（2）知，an＝? ?2n－3－a1，n为偶数． ①当 n 为奇数时，an＝2n－2+a1，an+1＝2n－1－a1． 由 an 2 ? an ?12 ≥20n－15，得 a12－a1≥－4n2+ 16n－10． 因为－4n2+ 16n－10＝－4(n－2)2+6≤2， 当 n＝1 或 3 时，[－4(n－2)2+6]max＝2． 所以 a12－a1≥2．解得 a1≥2 或 a1≤－1． ②当 n 为偶数时，an＝2n－a1－3，an＝2n+a1． 由由 an 2 ? an ?12 ≥20n－15，得 a12 + 3a1≥－4 n2+16n－12． －4 n2+ 16n－12＝－4(n－2)2+4≤4． 当 n＝2 时，[－4(n－2)2 + 4]max＝4． 所以 a12 + 3a1≥4，解得 a1≥1，a1≤－4． 综合①②上，a1 的取值范围是(－∞，－4]∪[2，+∞)．
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