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2018年高考数学一轮复习第五章数列第31讲数列求和课件理


第 五 章
数 列

第31讲 数列求和

考纲要求

考情分析

命题趋势

1.熟练掌握等差、等 比数列的前n项和公 式. 2.掌握非等差、等比 数列求和的几种常见 方法.

2016,全国卷Ⅱ, 17T 2016,江苏卷,18T 2016,北京卷,12T

利用公式求 数列的前n项 和;利用常 见求和模型 求数列的前n 项和.

分值:5分

栏目导 航

板 块 一 板 块 二

板 块 三

板 块 四

1.公式法与分组求和法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和. ①等差数列的前 n 项和公式: n?n-1? n?a1+an? na1+ 2 d Sn= 2 =____________.

②等比数列的前 n 项和公式: ?na1,q=1, ? a1?1-qn? Sn=?a1-anq 1-q q≠1. =___________ ? ? 1-q (2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用 分组求和法分别求和后相加减.

2.倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列 an 的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常 数,那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法,如等差数列的前 n 项和公式即是用 此法推导的. (2)并项求和法 在一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和. 形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+?+22-12=(1002-992)+(982-972)+?+(22 -12)=(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5 050.
? ? ? ? ? ?

3.裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得 其和. (2)常见的裂项技巧 1 1 1 ① =- . n?n+1? n n+1 1 ? 1 1? ?1 ② =2?n-n+2? ?. n?n+2? ? ? 1 ? 1 1? ? 1 ③ =2?2n-1-2n+1? ?. ?2n-1??2n+1? ? ? ④ 1 n+ n+1 = n+1- n.

? 4.错位相减法 ? 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的,那么这个 数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列 的前n项和公式就是用此法推导的.

1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”). n?a1+an? (1)如果已知等差数列的通项公式,则在求其前 n 项和时使用公式 Sn= 2 较 为合理.( √ ) a1-an+1 √ (2)如果数列 an 为等比数列,且公比不等于 1,则其前 n 项和 Sn= .( ) 1-q
? ? ? ? ? ?

1 1 1 (3)当 n≥2 时, 2 = - .( × ) n -1 n-1 n+1

(4)求 Sn=a+2a2+3a3+?+nan 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位 相减法求得.( ×) (5)如果数列 an 是周期为 k 的周期数列,那么 Skm=mSk(m,k 为大于 1 的正整 数).( √ )
? ? ? ? ? ?

解析:(1)正确.根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知. (2)正确.根据等比数列的求和公式和通项公式可知. 1 ? 1 1? ? 1 (3)错误.直接验证可知 2 =2?n-1-n+1? . ? n -1 ? ? (4)错误. 含有字母的数列求和常需要分类讨论, 此题需要分 a=0, a=1, 以及 a≠0 且 a≠1 三种情况求和,只有当 a≠0 且 a≠1 时才能用错位相减法求和. (5)正确.根据周期性可得.

2.数列 an 的通项公式是 an= A.9
解析:∵an=

? ? ?

? ? ?

1 n+ n+1

,前 n 项和为 9,则 n=( B ) D.100

B.99
1 n+ n+1

C.10
= n+1- n,

∴Sn=a1+a2+a3+?+an=( 2-1)+( 3- 2)+?+( n+1- n)= n+1-1. ∴ n+1-1=9,即 n+1=10.∴n=99.

3.若数列 an 的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列 an 的前 n 项和为( C )
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

A.2n+n2-1 C.2n 1+n2-2


B.2n 1+n2-1


D.2n+n-2

解析:Sn=a1+a2+a3+?+an =(21+2×1-1)+(22+2×2-1)+(23+2×3-1)+?+(2n+2n-1)=(2+22+? +2n)+2(1+2+3+?+n)-n 2?1-2n? n?n+1? = +2× 2 -n=2(2n-1)+n2+n-n 1-2 =2n+1+n2-2.

? 4.若数列的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则 a1+ A a2+a3+?+a10=( ) ? A.15 B.12 C.-12 D.-15 ? 解析:∵an=(-1)n(3n-2),∴a1+a2+a3+?+a10 ? =-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28 ? =(-1+4)+(-7+10)+(-13+16)+(-19+22)+ (-25+28) ? =3×5=15.

(n-1)· 2n+1+2 5.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 an=n· 2n,则 Sn=_____________.
? ? ? ? ? ?

解析:∵an=n· 2n,∴Sn=1· 21+2· 22+3· 23+?+n· 2n.① ∴2Sn=1· 22+2· 23+?+(n-1)· 2n+n· 2n+1.② ①-②,得-Sn=2+22+23+?+2n-n· 2n
+1

2?1-2n? = -n· 2n+1=2n+1-2-n· 2n+1=(1-n)2n+1-2. 1-2 ∴Sn=(n-1)2n+1+2.

?一 分组法求和
分组转化法求和的常见类型 (1)若 an=bn±cn,且 bn , cn 为等差或等比数列,可采用分组转化法求 an 的前 n 项 和.
? ?bn,n为奇数, (2)通项公式为 an=? ? ?cn,n为偶数
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

的数列,其中数列 bn ,cn 是等比或等差数列,

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

可采用分组转化法求和.

【例 1】 已知等差数列 an 满足:a5=9,a2+a6=14. (1)求 an 的通项公式; (2)若 bn=an+qan(q>0),求数列 bn 的前 n 项和 Sn.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

解析:(1)设数列 an 的首项为 a1,公差为 d,
? ?a1+4d=9, 则由 a5=9,a2+a6 =14,得? ? ?2a1+6d=14. ? ?a1=1, 解得? ? ?d=2.

? ? ?

? ? ?

所以 an 的通项公式 an=2n-1.

? ? ?

? ? ?

(2)由 an=2n-1 得 bn=2n-1+q2n 1.


当 q>0 且 q≠1 时,Sn=[1+3+5+7+…+(2n-1)] +(q1+q3+q5+q7+?+q2n-
2n q ? 1 - q ? 1 2 )=n + 2 ; 1-q

当 q=1 时,bn=2n,则 Sn=n(n+1). ?n?n+1?,q=1, ? 所以数列 bn 的前 n 项和 Sn=? 2 q?1-q2n? n+ 2 ,q>0且q≠1. ? 1 - q ?
? ? ? ? ? ?

?二 错位相减法求和
? 利用错位相减法求和的两点注意 ? (1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注 意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “Sn-qSn”的表达式. ? (2)在应用错位相减法求和时,若等比数列的 公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种 情况求解.同时要注意等比数列的项数是多 少.

an-1+an-2 【例 2】 若公比为 q 的等比数列 an 的首项 a1=1,且满足 an= 2 (n=
? ? ? ? ? ?

3,4,5,?). (1)求 q 的值; (2)设 bn=n· an,求数列 bn 的前 n 项和 Sn.
解析:(1)由题意易知 2an=an-1+an-2, 即 2a1qn-1=a1qn-2+a1qn-3. 1 ∴2q -q-1=0,解得 q=1 或 q=-2.
2
? ? ? ? ? ?

n?n+1? (2)①当 q=1 时,a1=1,bn=n,Sn= 2 .
? 1? - ? 1? - 1 n 1 ?- ?n 1, ②当 q=-2时,an=?-2? ,bn=n· ? ? ? 2? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? - 0 1 2 ?- ? +2· ?- ? +3· ?- ? +?+n· ?- ?n 1, Sn=1· ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 1? ? 1? ? 1? - ? 1? 1 1 2 n 1 ?- ? +2· ?- ? +?+(n-1)· ?- ? +n· ?- ?n, -2Sn=1· ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 1? ?? 1? ? 1? ? 1? ? 1? - ? 3 n 2 3 ?- ? +??- ?+?- ? +?- ? +?+?- ?n 1?, 两式相减,得2Sn=1-n· ? 2? ?? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ?

4 ?4 2n? ? 1?n ?- ? . 整理得 Sn=9-?9+ 3 ?· ? ? ? 2?

?三 裂项相消法求和
? 常见的裂项方法(其中n为正整数)
数列(n∈N*)
? ? 1 ? ? ? ?(k 为非零常数) n ? n + k ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? ?4n -1? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ?n?n+1??n+2?? ?

裂项方法(n∈N*) 1 ? 1 1? ?1 =k?n-n+k? ? n?n+k? ? ? 1 ? 1 1? ? 1 =2?2n-1-2n+1? 2 ? 4n -1 ? ?
? 1 1 1? ? 1 =2?n?n+1?-?n+1??n+2?? ? n?n+1??n+2? ? ?

数列(n∈N*)
? ? ? ? ?

裂项方法(n∈N*) 1 =k( n+k- n) n+ n+ k
? 1? loga?1+n?=loga(n+1)-logan ? ?

1 n+

? ? ? n+k? ?

1

? ? 1?? ?loga?1+ ??(a>0,a≠1) n?? ? ? ? ? 2n ? ? ? n ? n+1 ? ??2 -1??2 -1?? ?

2n 1 1 = - ?2n-1??2n+1-1? 2n-1 2n+1-1

1 a 【例 3】 已知正项数列 n 的前 n 项和为 Sn,且 Sn,an,2成等差数列.
? ? ? ? ? ?

(1)证明:数列 an 是等比数列;
? ? 1 ? ? ? (2)若 bn=log2an+3,求数列 b b ?的前 n 项和 Tn. ? ? n n+1? ?

? ? ?

? ? ?

1 解析:(1)证明:由题意知 2an=Sn+2. 1 1 当 n=1 时,2a1=a1+2,∴a1=2. 1 1 当 n≥2 时,Sn =2an-2,Sn-1=2an-1-2,

两式相减,得 an=2an-2an-1(n≥2),即 an=2an-1. ∵ an 为正项数列,∴
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

an =2(n≥2), an-1

1 ∴数列 an 是以2为首项,以 2 为公比的等比数列. (2)由(1)知 an=a1· 2n-1=2n-2, ∴bn=log22n 2+3=n-2+3=n+1.


1 1 1 1 ∴ = = - . bnbn+1 ?n+1??n+2? n+1 n+2
? 1 ?1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? 1 ? 1 n ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? - ∴Tn= 2-3 + 3-4 + 3-4 + 4-5 +?+?n+1 n+2?=2- = . n + 2 2 ? n + 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1.已知等比数列 an 中,a2· a8=4a5,等差数列 bn 中,b4+b6=a5,则数列 bn 的前 9 项和 S9=( B ) A.9 B.18 C.36 D.72

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

解析:∵a2· a8=4a5,即 a2 5=4a5,∴a5=4, ∴a5=b4+b6=2b5=4,∴b5=2.∴S9=9b5=18.故选 B.

2 2.已知正项数列 an 满足 a2 n+1-6a n=an+1an.若 a1=2,则数列 an 的前 n 项和为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

3n-1 ______.
2 解析:∵a2 n+1-6an=an+1an,∴(an+1-3an)(an+1+2an)=0.

∵an>0,∴an+1=3an.又 a1=2, 2?1-3n? n ∴ an 是首项为 2,公比为 3 的等比数列.∴Sn= =3 -1. 1-3
? ? ? ? ? ?

3.在数列 an 中,a1=1,an+1· an=an-an+1. (1)求数列 an 的通项公式; an+2 (2)若 bn=lg a ,求数列 bn 的前 n 项和 Sn. n 1 1 解析:(1)由题意得 -a =1. an+1 n
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

?1? 1 1 ? ? 又因为 a1=1,所以a =1.所以数列 a 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以a ? n? n 1

1 1 =n,即 an=n,所以数列 an 的通项公式为 an=n.
? ? ? ? ? ?

(2)由(1)得 bn=lg n-lg(n+2). 所以 Sn=lg 1-lg 3+lg 2-lg 4+lg 3-lg 5+?+lg(n-2)-lg n+lg(n-1)-lg(n 2 +1)+lg n-lg(n+2)=lg 1+lg 2-lg(n+1)-lg(n+2)=lg . ?n+1??n+2?

n 2 n-1 a 4.设数列 n 满足 a1+3a2+3 a3+?+3 an=3(n∈N*).
? ? ? ? ? ?

(1)求数列 an 的通项; n (2)设 bn=a ,求数列 bn 的前 n 项和 Sn. n
? ? ? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

1 n 解析:(1)∵a1+3a2+3 a3+?+3 an=3,∴a1=3 ①,
2 n -1

n-1 a1+3a2+3 a3+?+3 an-1= 3 (n≥2) ②,
2 n-2

n n-1 1 ①-②,得 3 an=3- 3 =3(n≥2),
n-1

1 化简得 an=3n(n≥2). 1 1 显然,a1=3也满足上式,故 an=3n(n∈N*).

(2)由(1)得 bn=n· 3n. 于是 Sn=1×3+2×32+3×33+?+n· 3n ③, 3Sn=1×32+2×33+3×34+?+n· 3n 1 ④,


③-④,得-2Sn=3+32+33+?+3n-n· 3n+1, 3-3n 1 2n-1 n+1 3 n+1 即-2Sn= -n· 3 .∴Sn= 4 · 3 +4. 1-3


?易错点1 求和时数不清项数 ? 错因分析:弄清和式的构成规律是数清项数 的关键.
【例 1】 设 f(n)=2+24+27+210+?+23n 10(n∈N),则 f(n)=(


)

2 n A.7(8 -1) 2 n +3 C.7(8 -1)

2 n +1 B.7(8 -1) 2 n +4 D.7(8 -1)

解析:1=3×1-2,3n+10=3(n+4)-2,所以 f(n)是首项为 2,公比为 8 的等比数 列的前 n+4 项的和. 2?1-8n 4? 2 n+4 由求和公式得 f(n)= =7(8 -1).选 D. 1-8


? 答案:D

?易错点2 找不到裂项相消的规律 ? 错因分析:看清是相邻项相消还是隔项相消, 同时注意系数.
1 1 1 【例 2】 求和: + +?+ . 1×5 3×7 ?2n+1??2n+5? 1 ? 1 1 ? ? 1 解析:an= =4×?2n-1-2n+3? . ? ?2n-1??2n+3? ? ?

? 1 1 1 1 1 ? 1-5+3-7+5-9+?+ ? ? 1? 1 1 1 ? 1 ? ? - ?= ?1+3- ∴原式=4? ? 2 n + 3 2 n + 5 4 1 1 1 1 ? ? ? ? - + - ? 2n-1 2n+3 2n+1 2n+5? n+2 1 =3- . ?2n+3??2n+5?

?易错点3 小题大做

? 错因分析:求an或Sn的选择题,可用特殊值 间接排除错误选项,做到小题小做.
1 1 3 n 【例 3】 2+2+8+?+2n=( 2n-n-1 A. 2n


) 2n-n+1 C. 2n 2n 1-n+1 D. 2n


2n 1-n-2 B. 2n

1 解析:当 n=1 时为2,排除 A,C,D,选 B.

答案:B


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