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成都石室中学高08级2005-2006学年度期中考试数学试题


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成都石室中学高 2008 级 2005~2006 学年度下期期中考试





第一卷(共 76 分)
一、选择题:每题只有唯一正确答案,每小题 5 分,共 60 分 1、

以下各式能成立的是( ) A. sin ? ? co s ? ? 1 B. tan ? ? 2 且 co t ? ? 3 C. s in ? ?
1 2

且 ta n ? ?

3 3

D. s in ? ? c o s ? ?
2 2

1 2

2、已知 P ( x , 5 ) 为第二象限角 ? 终边上一点,且满足 c o s ? ? A.- 3 3、函数 f ( x ) ? | x | ? sin ( B.± 3
3? 2 ? x ) , x ? R 是(

2 4

x ,则 x 的值为(

)

C.- 2 ) C.奇函数 ) C.
5 8

D. 3

A.增函数 B.减函数 4、已知 co t ? ? 2 ,则 1 ? co s 2 ? 的值为( A.
2 5

D.偶函数
8 5

B.
4? 3

5 2

D.

5、把函数 y ? 2 c o s ( 2 x ?

) ? s in 1 的图象向右平移 ? 个单位,正好得到函数 y ? 2 co s 2 x ? sin 1 的

图象,则 ? 的最小正值是( A.
5? 3 1 3


4? 3

B.
ta n (

C.

2? 3

D. )

?
3

6、正切型函数 y ? A. (1, 0 ) 7、函数 y ? A. (0 ,1]
2 8、若 m ?

?

)( x ? R ) 图象的一个对称中心是( 6 B. ( ? 1, 0 ) C. ( 2 , 0 ) 3

x?

?

D. ( 0 , 0 )

1 ? cos x 2 ? s in x

的值域为(
4 3


4 3 1 42 ? 1 56 ? 1 72 1 8 3 4

B. [ 0 , ]
1 2 ? 1 6 ? 1 12 ? 1 20 ? 1 30 ?

C. ( 0 , ] ,且 c o s ? ? m (? ? [?

D. [ 0 , ]
?
2 , 0 ] ) ,则 ta n ? 的值应为



) A. ?
2 4

B.

2 4

C.

D. ?

2 2

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9、在 ? A B C 中,如果 sin A ? 2 sin C co s B ,那么这个三角形的形状是(
A.锐角三角形 10、函数 f ( x ) ?
?
2
sin ? ? cos ? 1 ? cos 2 ?

)

B.直角三角形
x 2 ? cot x 2

C.等腰三角形 )

D.等边三角形

sin x ? c o s x ta n

的最小正周期为(

A.

B. ?
? 1 , tg (? ? ? ) ? ? 2 3

C.

3? 2

D. 2 ? ) D.
4 7

11、已知 A. ?

,则 tg ( ? ? 2? ) 等于( C.
1 8
2

7 4

B. ?

1 8

12、设 a ? tan 1 5 ? ? tan 3 0 ? ? tan 1 5 ? ? tan 3 0 ? , b ? 2 co s 2 8 ? ? sin 3 4 ? , c ? 1 6 co s 2 0 ? ? co s 4 0 ? ? co s 6 0 ? ? co s 8 0 ? ,则( ) A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. a ? b ? c D. a 、 b 、 c 互不相等 二、填空题:每小题 4 分,共 16 分 13、若三个负数 ? 1 , co s ? (? ? ( ? 2 ? , 0 ]) , ? 14、已知 ? 是第四象限角,则化简
1 cos ?
2

1 4

依次成等比数列,则角 ? ?
? 2 cot ? csc
2

.
_____.

1 ? tan

2

?

? ?1

? ______

15、已知函数 f ( x ) ? a sin x ? b tan x ? x 满足 f ( ? 3) ? ? 3 ,则 f (3) ?

.

16、 如果函数

f ( x ) 在区间 D 上是凸函数,那么对于区间 D 内的任意 x 1 , x 2 ,…, x n ,都有

) .若 y ? sin x 在区间 (0, ? ) 上是凸函数, 那么在 n n ? A B C 中, sin A ? sin B ? sin C 的最大值是________________. ? f(

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )

x1 ? x 2 ? ? ? x n

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第二卷(共 74 分)
二、填空题: 13、____________________________. 14、____________. 15、____________. 16、____________. 三、解答题:共 74 分 17、 (本小题满分 12 分)求值:
( 3 tan 12 ? ? 3 ) csc 12 ?
王新敞
奎屯 新疆

4 cos

2

12 ? ? 2

18、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? lo g 2 (sin x ? co s x) . (1)求函数的定义域; (3)求函数的值域; (2)写出函数的最小正周期; (3)求函数的单调递减区间.

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19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 2 co s 2 x ? 2 3 sin x co s x ? 1 (1)求函数 f ( x ) 的振幅,频率,初相; (2)若存在常数 a , b ,使得函数 F ( x ) ? a f ( x ) ? 2 a ? b , x ? [ 求出 a , b 的值.
?
4 , 3? 4 ] 的值域为 [ ?
3, 3 ? 1] ,试

20、 (本小题满分 12 分)已知关于 x 的方程 2 x ? ( 3 ? 1)x ? m ? 0的两根为 s i n ? 和 c o s ? ,
2

? ? (0 , 2 ? ) .求:

(1) m 的值; (3)
s in 4 ?
2

(2) 方程的两根及此时 ? 的值;
2

s in ? c o s ? ? c o s ? s in ?

+ ta n

?
2

? c s c ? ? c o t ? 的值.

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21、 (本小题满分 12 分)己知函数 f ( x ) ? A sin (? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |?

?
2

) 在 x ? (0 , 7 ? ) 内取

得一个最大值和一个最小值,且当 x ? ? 时, f ( x ) 有最大值 3 ,当 x ? 6 ? 时, f ( x ) 有最小值 ? 3 . (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)是否存在实数 m ,满足 A sin ( ? ? m ? 2 m ? 3 ? ? ) ? A sin ( ? 出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由
2

? m ? 4 ? ? ) ?若存在,求
2

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22、 (本小题满分 14 分) (1)求证: s in ? ? s in ? ? 2 c o s
? ??
2 s in

? ??
2

(2)设集合 A ? {( x , y ) | y ? ? 3 x ? m , m ? R } , B ? { ( x , y ) | x ? co s ? , y ? sin ? , 0 ? ? ? ? } ,
A ? B ? { (co s ? 1 , sin ? 1 ), (co s ? 2 , sin ? 2 )} (? 1 ? ? 2 ) ,求:

①实数 m 的取值范围;

② ? 1 ? ? 2 的值.

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高 2008 级数学期中考试 参考答案
一、选择题: CADDC 二、填空题: 13、 ? 三、解答题:
( 3 sin 12 ? cos 12 ? 2 ( 2 cos ? 3) ?
2

ABACB
?
3

CA
3 3 2
1 sin 12 ? ? 3 sin 12 ? ? 3 cos 12 ? sin 24 ? ? ( 2 cos
2

2? 3

和?



14、 ? 1 ; 15、 2 1 ; 16、



17、解:原式=
1

12 ? ? 1 )

12 ? ? 1 )

cos 12 ? ) 2 3 sin( 12 ? ? 60 ? ) 2 2 ? ? ? ?4 3 1 sin 24 ? ? cos 24 ? sin 48 ? 2 ? 5? ) ,k ? Z 18、解: (1)由 s in x ? c o s x ? 0 ? x ? ( 2 k ? ? , 2 k ? ? 4 4 ? (2)? f ( x ) ? lo g 2 (sin x ? c o s x ) ? lo g 2 [ 2 sin ( x ? )] ,? T ? 2 ? 4 2 3(

sin 12 ? ?

3

(3)? x ? ( 2 k ? ?
? f ( x ) ?( ? ?

?
4

, 2k? ?
1 2 , ]

5? 4

), k ? Z ,

2 s i xn? ( ? 4

?

)

( 0, ,

2 ]

(4)单调递减区间为: [ 2 k ? ?

3? 4

, 2k? ?

5? 4

) ,k ? Z .
3 sin 2 x ? c o s 2 x ? 2 sin ( 2 x ?

19、解: f ( x ) ? 2 c o s 2 x ? 2 3 sin x c o s x ? 1 ? 振幅为 2 ,频率为 (2)? x ? [
?
4 , 3? 4

?
6

)

1

?

,初相是
2? 3

?
6

] ,?

? 2x ?

?
6

?

5? 3

,故 f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ?

?
6

) ? [?2,

3]

当 a ? 0 时,有 F m in ? ? 2 a ? 2 a ? b ? ? 3 ,且 F m ax ?

3a ? 2 a ? b ?

3 ?1

解得 a ? 5 3 ? 8, b ? ? 3 当 a ? 0 时,同理可解得 a ? 8 ? 5 3 , b ?
3 ? 1; 3 ?1

综上, a ? 5 3 ? 8, b ? ? 3 或 a ? 8 ? 5 3 , b ?

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? ?? ? 4 ? 2 3 ? 8m ? 0 ? 3 ?1 ? 20、解:由题 ? sin ? ? c o s ? ? 2 ? m ? ? sin ? c o s ? ? ? 2

(1)? (sin ? ? co s ? ) ? 1 ? 2 sin ? co s ? ,?
2

4?2 3 4

? 1 ? m ,所以 m ?

3 2



(2)∵sinθ +cosθ =

3+1 . 2 3 1 ∴方程两根分别为 , . 2 2
2 s in 2 ? c o s 2 ?

∴| sinθ -cosθ |= π π ∴θ = 或 . 6 3
s in ? cos

3-1 . 2

? ?
2 ? 2 1 s in ? ? cos ? s in ?

(3)原式=

s in ? c o s ? (c o s ? ? s in ? )

=

4 (c o s ? ? s in ? )
2 2

2 s in ?
T 2 1 5

2

?

c o s ? ? s in ?

? 1 ? cos ? 2 ? 4 (s in ? ? c o s ? ) ? 2 ? 2 3 s in ?

21、解:(1)∵A=3 ∴ω =
2? T

=5π ? T=10π π +φ =
?
2


1 5

1 5 3? 10

? φ=

3? 10

∴y=3sin(

x+

)

(2)∵ω ω

?m ?m
2

2

? 2 m ? 3 +φ =

1 5

? ( m ? 1) ? 4 +
2

3? 10

∈(0, )

?
2

)

? 4 +φ =

?
5

?m

2

? 4 +

3? 10

∈(0,

?
2

而 y=sint 在(0, ∴ω
?m
2

?
2

)上是增函数
?m
2

? 2 m ? 3 +φ >ω

? 4 +φ ?

?m

2

? 2m ? 3 >

?m

2

? 4

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22、 (1)证明:? s in ? ? s in ? ? s in (
? 2 cos
?y ? ? ?

? ??
2

?

? ??
2

) ? s in (

? ??
2

?

? ??
2

)

? ??
2

s in

? ??
2 ? m ? sin ? ? 3 co s ? ? 2 sin ( ? ?

(2)由 ?

3x ? m

?
3

? x ? co s ? , y ? sin ? ( ? ? [0, ? ]) ?

)

①? ? ? [0, ? ] ,
? m ? 2 s in (? ?

?
3

?? ? ) ? [?

?
3

?

4? 3



?
3

3 , 2]

② ? A ? B ? { (co s ? 1 , sin ? 1 ), (co s ? 2 , sin ? 2 )} (? 1 ? ? 2 )
m ? 2 s in (? 1 ? ? 2 cos(
? cos(

?
3 ?

) ? 2 s in (? 2 ?

?
3

) ? sin (? 1 ?

?
3

) ? sin (? 2 ?

?
3

)? 0 )? 0

?1 ? ? 2
2 ?

?
3

) s in (

?1 ? ? 2
2

) ? 0 ,由已知,必有 s in ( ?

?1 ? ? 2
2

?1 ? ? 2
2

?
3

)? 0?

?1 ? ? 2
2

?
3

?

?
2



故? 1 ? ? 2 ?

?
3

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