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李老师高考一轮复习精品学案:三角函数1


任意角的三角函数

一、角的概念的推广 1.与角 ? 终边相同的角的集合为 2.与角 ? 终边互为反向延长线的角的集合为 3.轴线角(终边在坐标轴上的角) 终边在 x 轴上的角的集合为 为 . . . ,终边在 y 轴上的角的集合为 ,终边在坐标轴上的角的集合 . .

4.象限角是指: 5.区间角是指:

6.弧度制的

意义:圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为 1 弧度的角,它将任意角的集合与 实数集合之间建立了一一对应关系. 7.弧度与角度互化:180?= 8.弧长公式:l = 扇形面积公式:S= 二、任意角的三角函数 9.定义:设 P(x, y)是角 ? 终边上任意一点,且 |PO| =r,则 sin ? = = ; ; cos ? = ;tan ? . 弧度,1?= ; 弧度,1 弧度=
?

?.

10.三角函数的符号与角所在象限的关系: y y y + O - sinx, - + x - cosx, - O + + x + tanx, - O + x -

12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域: 解析式 定义域 值 域 y=sinx y=cosx y=tanx

13.三角函数线:在图中作出角 ? 的正弦线、余弦线、正切线. y

?
O ? x

-1-

例 1. 若 ? 是第二象限的角,试分别确定 2 ? ,

? 2

,

? 的终边所在位置. 3

变式训练 1:已知 ? 是第三象限角,问

? 是哪个象限的角? 3

例 2. 在单位圆中画出适合下列条件的角 ? 的终边的范围,并由此写出角 ? 的集合: (1)sin ? ≥
1 3 ;(2)cos ? ≤ ? . 2 2

. 变式训练 2:求下列函数的定义域: (1)y= 2 cos x ? 1 ; (2)y=lg(3-4sin2x).

例 3. 已知角 ? 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin ? ,cos ? ,tan ? 的值.

变式训练 3:已知角 ? 的终边经过点 P (? 3, m)(m ? 0), 且 sin ? ?

2 m ,试判断角 ? 所在的象限,并求 4

cos ? 和 tan ? 的值.
例 4. 已知一扇形中心角为 α,所在圆半径为 R. (1) 若 α ?
? ,R=2cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形面积; 3

(2) 若扇形周长为一定值 C(C>0),当 α 为何值时,该扇形面积最大,并求此最大值.

变式训练 4:扇形 OAB 的面积是 1cm2,它的周长是 4cm,求中心角的弧度数和弦长 AB.

同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.同角公式:
(1) 平方关系:sin2α+cos2α=1,1+tan2α= (2) 商数关系:tanα= (3) 倒数关系:tanα 2.诱导公式: -α sin cos
-2-

,1+cot2α=

,cotα= =1,sinα =1,cotα =1

π-α

π+α

2π-α

2kπ+α

?
2

??

?
2

??

3? ?? 2

3? ?? 2

sin cos 规律:奇变偶不变,符号看象限 例 1. 已知 f( ? )= (1)化简 f( ? ); (2)若 ? 是第三象限角,且 cos ? ?? ?
? 3? ? 1 ? ? ,求 f( ? )的值. 2 ? 5
sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) ; ? tan(?? ? ? ) sin( ?? ? ? )

变式训练 1:已知 A= A.{-1, 1, -2, 2} C.{2, -2}

sin( k? ? ? ) cos(k? ? ? ) ? (k ? Z ) 则 A 构成的集合是 sin ? cos?

( )

B.{1, -1} D.{-2, -1, 01, 2}
3 5

例 2.求值:(1) 已知 ? ? ? ? 2? , cos(? ? 7? ) ? ? ,求 cos( ? ? ) 的值.
2

?

2) 已知

tan ? sin ? ? 3 cos? ? ?1 ,求下列各式的值.① ;② sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 tan ? ? 1 sin ? ? cos?

变式训练 2:化简:① sin(? ? 5? ) ? tan? ?

? ? cos(8? ? ? ) , ② sin(? ? ) ? cos(? ? ) 4 4 sin( ?? ? 4? )

例 3. 已知-

?
2

? x ? 0 ,sin x+cos x=

1 . 5

(1)求 sin x-cos x 的值. (2)求
sin 2 x ? 2 sin 2 x 的值. 1 ? tan x

变式训练 3:已知 sin ? +cos ? = , ? ∈(0, ? ).求值: (1)tan ? ;(2)sin ? -cos ? ;(3)sin3 ? +cos3 ? .

1 5

例 4.已知 tan ? =2,求下列各式的值: (1) (2)
2 sin ? ? 3 cos? ; 4 sin ? ? 9 cos?

2 sin 2 ? ? 3 cos2 ? 4 sin 2 ? ? 9 cos2 ?

;

(3)4sin2 ? -3sin ? cos ? -5cos2 ? .
-3-

. 变式训练 4:已知 sin( ? +k ? )=-2cos( ? +k ? ) (k∈Z). 求:(1)
1 4

4 sin ? ? 2 cos? ; 5 cos? ? 3 sin ?
2 5

(2) sin2 ? + cos2 ? .

两角和与差的三角函数
1.两角和的余弦公式的推导方法: 2.基本公式 sin(α±β)=sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)= tan(α±β)= 3.公式的变式 tanα+tanβ=tan (α+β)(1-tanα tanβ) 1-tanα tanβ= 例 2. 已知 α ? (
tan? ? tan ? tan(? ? ? )

; .

? 3? ? 3 5 3? ? , ),β ? (0, ), cos (α- )= ,sin( +β)= ,求 sin(α+β)的值. 4 4 4 13 5 4 4

变式训练 2:设 cos( ? - 求 cos( ? +β).

? 1 ? 2 π π )=- ,sin( -β)= ,且 < ? <π,0<β< , 9 3 2 2 2 2

例 3. 若 sinA=

5 10 ,sinB= ,且 A,B 均为钝角,求 A+B 的值. 5 10

变式训练 3:在△ABC 中,角 A、B 、C 满足 4sin2

7 A?C -cos2B= ,求角 B 的度数. 2 2

-4-

二倍角的正弦、余弦、正切
1.基本公式: sin2α= cos2α= tan2α= 2.公式的变用: 1+cos2α= 1-cos2α= 典型例题 ; . = . ; = ;

例 1. 求值:

sin 40?(1 ? 2 cos 40?) 2 cos2 40? ? cos 40? ? 1

变式训练 1: (cos A.-
3 2

?
12

? sin
1 2

?
12

) (cos

?
12

+sin
1 2

?
12

)= D.

( )
3 2

B.-

C.

例 2. 已知 α 为锐角,且 tan ? ? ,求

1 2

sin 2? cos? ? sin ? 的值. sin 2? cos 2?

变式训练 2:化简:

2 tan(

?
4

2 cos2 ? ? 1 ? ? ) ? sin 2 (

?
4

??)

例 3.已知 f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ; (1) 求 f (
25? ) 的值; 6

(2) 设 ? ? (0, ? ), f ( ) ? ?
2

?

1 4

3 ,求 sinα 的值. 2

变式训练 3:已知 sin(

?
6

? ? )=

1 2? ? 2? )的值. ,求 cos( 3 3

例 4.已知 sin2 2α+ sin 2α cosα-cos2α=1,α ? (0,

? ),求 sinα、tanα 的值. 2

-5-

变式训练 4:已知 α、β、r 是公比为 2 的等比数列 (? ? [0,2? ]) ,且 sinα、sinβ、sinr 也成等比数列,求 α、β、 r 的值.

题型三:辅助角公式

a sin
例 8.已知正实数 a,b 满足

5 ? tan 8? ,求 b 的值 。 ? ? 15 a a cos ? b sin 5 5 5

?

? b cos

?

例 9.已知函数 y=

1 2 3 cos x+ sinxcosx+1,x∈ R. 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈ R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

题型四:三角函数综合问题 例 6.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? (I)若 a ? b, 求 ? ;

?
2

?? ?

?
2

.

(II)求 a ? b 的最大值。

-6-


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