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直线与抛物线的位置关系


江汉学校高二年级( 数学 ) 导学案
执笔:陈强 授课人: 时间:2015.12. 16 学案编号:选修 2—1—15 教师“复 备” 栏或学 生笔记栏

二、 探究学习
p 例 1、设过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ( , 0) 的直线与抛物线交于 2

课题:直线与抛物线的位置关系 【学习

目标】
1.掌握抛物线定义及其标准方程和抛物线的几何性质., 2.掌握直线和抛物线的位置关系的判断方法. 3.熟练掌握直线和抛物线的位置关系的应用

A( x1 , y1 ), B( x1 , y1 ) ,直线



的斜率分别为 k1 , k 2 ,直线 的倾斜角为 ?
2p p2 ;③ k1k 2 ? ?4 ;④ AB ? x1 ? x 2 ? p ? sin 2 ? 4

证明:① y1 y2 ? ? p 2 ;② x1 x 2 ?

【重点难点】
1.能解决直线与抛物线的位置关系等问题; 2.理解数形结合思想.

【导学流程】 一、 了解感知
1.直线与抛物线的位置关系: (1)位置关系的判定: 联 立 直 线 l : y ? kx ? m 和 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 消 y 整 理 得 :
p 例 2、设过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ( , 0) 的直线与抛物线交于 2

A( x1 , y1 ), B( x1 , y1 ) ,直线
证明: (1)



的斜率分别为 k1 , k 2 ,直线 的倾斜角为 ?

k 2 x2 ? 2(km ? p) x ? m2 ? 0
当a ? 0时 ? ? 0 ?直线与抛物线相交,有两个不同公共交点 ? ? 0 ? 直线与抛物线相切,只有一个公共交点 ? ? 0 ? 直线与抛物线相离,没有公共交点 当 a ? 0 时,则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时直线与抛 物线相交,只有一个公共交点,但不能成为相切 (2)若 直 线 与 抛 物 线 相 交 于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 弦 长
AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 或 AB ? 1 ?

1 1 2 ? ? ; AF BF p

(2)过 A, B 两点做准线的垂线,垂足分别为 M , N ,则 ?MFN ? 900 ; (3)通径 AB ? 2P ; (4)以弦 AB 长为直径的圆总与准线相切.

1 特别注意解 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 , k2

题是结合韦达定理来处理问题. 2.焦点弦问题:焦点弦问题以及相关结论我们全部在例题中给出.

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三、迁移运用
例 3、已知直线 l : y ? kx ? 1 和抛物线 y 2 ? 8x (1)若直线 l 与抛物线有两个公共点,求 k 的取值范围 (2)若直线 l 与抛物线只有一个公共点,求 k 的取值范围 (3)若直线 l 与抛物线没有公共点,求 k 的取值范围

四、当堂训练 1.已知直线 y ? kx ? k 及抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,请判断直线和抛物线的位置关 系.

2. 求过定点 P(0,1) 且与抛物线 y 2 ? 2 x 只有一个公共点的直线的方程.

3.已知直线 l : y ? x ? b 与抛物线 C : x 2 ? 4 y 相切于点 A 例 4 、已知直线 y ? kx ? 2 交抛物线 y 2 ? 8x 于 A, B 两点,且 AB 的中点为 (1)求实数 b 的值. (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

M (2, y0 ) ,求 y0 及弦 AB 的长

4.设抛物线 E 为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,AB 和 CD 为过焦点 F 的弦.求证: (1) kOA kOB ? kOC kOD ; (2)以 AB 与 CD 为直径的两圆的公共弦必过原点.

五、课后反思

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