当前位置:首页 >> 数学 >>

(第4课时)算术平均数与几何平均数(1)




题:算术平均数与几何平均数(1)

教学目的: 1 学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重 要定理 2 理解这个定理的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件 是:当且仅当这两个数相等 3.通过掌握公式的结构特点,运用公式的适当变形,提高学生分析问题和 解决问题的能力,培养学生的创新精神,进一步加强学生的实践能力 教学重点:均值定理证明 教学难点:等号成立条件 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如:a>b,c>d,是同 向不等式 异向不等式:两个不等号方向相反的不等式 例如:a>b,c<d,是异 向不等式 2.不等式的性质: 定理 1:如果 a>b,那么 b<a,如果 b<a,那么 a>b.(对称性) 即:a>b ? b<a;b<a ? a>b 定理 2:如果 a>b,且 b>c,那么 a>c.(传递性) 即 a>b,b>c ? a>c 定理 3:如果 a>b,那么 a+c>b+c. 即 a>b ? a+c>b+c 推论:如果 a>b,且 c>d,那么 a+c>b+d.(相加法则) 即 a>b, c>d ? a+c>b+d. 定理 4:如果 a>b,且 c>0,那么 ac>bc; 如果 a>b,且 c<0,那么 ac<bc. 推论 1 如果 a>b >0,且 c>d>0,那么 ac>bd.(相乘法则)
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

推论 2 若 a ? b ? 0, 则an ? bn (n ? N且n ? 1)
定理 5 若 a ? b ? 0, 则n a ? n b (n ? N且n ? 1) 二、讲解新课: 1.重要不等式: 如果 a, b ? R, 那么a ? b ? 2ab(当且仅当 ? b时取" ?"号) a
2 2

证明: a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2 当 a ? b时,(a ? b)2 ? 0,当a ? b时,(a ? b)2 ? 0, 所以, (a ? b) 2 ? 0 ,即 (a 2 ? b 2 ) ? 2ab. 由上面的结论,我们又可得到 2.定理:如果 a,b 是正数,那么

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

证明:∵ ( a ) 2 ? ( b ) 2 ? 2 ab,

? a ? b ? 2 ab ,即

a?b ? ab ? 2 a?b ? ab ? 显然,当且仅当 a ? b时, 2 a?b 为a, b 的算术平均数, ab为a, b 的几何平均数, 说明: 我们称 ⅰ) 称 2
王新敞
奎屯 新疆

因而,此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ⅱ) a
2

? b 2 ? 2ab和

a?b 2

? ab 成立的条件是不同的:前者只要求
D ab a C D' b B
王新敞
奎屯 新疆

a,b 都是实数,而后者要求 a,b 都是正数 ⅲ) “当且仅当”的含义是充要条件 A 3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦” 以长为 a+b 的线段为直径作圆, 在直径 AB 上取点 C, AC=a,CB=b 使
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD′,那么 CD ? CA ? CB ,即 CD ?
2

ab

这个圆的半径为

a?b a?b ? ab ,其中当且 ,显然,它不小于 CD,即 2 2
王新敞
奎屯 新疆

仅当点 C 与圆心重合;即 a=b 时,等号成立 三、讲解范例: 例 1 已知 x,y 都是正数,求证:

(1)如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P; (2)如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 证明:因为 x,y 都是正数,所以

x? y ? xy 2

1 2 S . 4

(1)积 xy 为定值 P 时,有

x? y ? P 2

?x ? y ? 2 P
王新敞
奎屯 新疆

上式当 x ? y 时,取“=”号,因此,当 x ? y 时,和 x ? y 有最小值 2 P (2)和 x+y 为定值 S 时,有 xy ?

S , 2

? x y?

1 2 S 4

上式当 x=y 时取“=”号,因此,当 x=y 时,积 xy 有最大值

1 2 S 4

王新敞
奎屯

新疆

说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件: ⅰ)函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数; ⅲ)等号成立条件必须存在
王新敞
奎屯 新疆

例 2 已知: a+b) x+y)>2(ay+bx) ( ( ,求证:

x? y a?b ? ?2 a?b x? y

分析:本题结论中,注意

x? y a?b 与 互为倒数,它们的积为 1,可利用 a?b x? y
王新敞
奎屯 新疆

公式 a+b≥2 ab ,但要注意条件 a、b 为正数 故此题应从已知条件出发,经 过变形,说明

x? y a?b 与 为正数开始证题 a?b x? y

王新敞
奎屯

新疆

证明:∵(a+b) x+y)>2(ay+bx) ( ∴ax+ay+bx+by>2ay+2bx ∴ax-ay+by-bx>0 ∴(ax-bx)-(ay-by)>0 ∴(a-b) x-y)>0,即 a-b 与 x-y 同号 ( ∴

x? y a?b 与 均为正数 a?b x? y



x ? y a ?b x ? y a ?b =2 ? ?2 ? a ?b x ? y a ?b x ? y
x? y a?b ? 时取“=”号) a?b x? y

(当且仅当



x? y a?b ≥2 ? a?b x? y

王新敞
奎屯

新疆

点评:我们在运用重要不等式 a +b ≥2ab 时,只要求 a、b 为实数就可以 了 而运用定理: “
王新敞
奎屯 新疆

2

2

a?b ? ab ”时,必须使 a、b 满足同为正数 本题通过对已 2
王新敞
奎屯 新疆

知条件变形(恰当地因式分解), 从讨论因式乘积的符号来判断

x? y a?b 与 是 a?b x? y

正还是负,是我们今后解题中常用的方法 四、课堂练习: 1 已知 a、b、c 都是正数,求证(a+b) b+c) c+a)≥8abc ( (
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

分析:对于此类题目,选择定理: 可求得结果 答案:∵a,b,c 都是正数
王新敞
奎屯 新疆

a?b ? ab (a>0,b>0)灵活变形, 2

∴a+b≥2 ab >0;b+c≥2 bc >0;c+a≥2 ac >0 ∴(a+b) b+c) c+a)≥2 ab ·2 bc ·2 ac =8abc ( ( 即(a+b) b+c) c+a)≥8abc ( ( 2 已知 x、y 都是正数,求证:(1)
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

y x ? ≥2; x y
3 3
王新敞
奎屯 新疆

(2)(x+y) x +y ) x +y )≥8x y ( ( 分析:在运用定理:

2

2

3

3

a?b ? ab 时,注意条件 a、b 均为正数,结合不等 2
王新敞
奎屯 新疆

式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形 答案:∵x,y 都是正数,∴

y x 2 2 3 3 >0, >0,x >0,y >0,x >0,y >0 x y

(1)

x y x y x y ? ?2 ? =2 即 ? ≥2 y x y x y x
2 2

王新敞
奎屯

新疆

(2)x+y≥2 xy >0;x +y ≥2
2 2 3 3

x 2 y 2 >0;x3+y3≥2 x 3 y 3 >0 x 2 y 2 ·2 x 3 y 3 =8x3y3

∴(x+y) x +y ) x +y )≥2 xy ·2 ( (

即(x+y) x +y ) x +y )≥8x y ( ( 3 求证: (
王新敞
奎屯 新疆

2

2

3

3

3 3
王新敞
奎屯 新疆

a ? b 2 a 2 ? b2 )≤ 2 2

王新敞
奎屯

新疆

分析:利用完全平方公式,结合重要不等式:a +b ≥2ab,恰当变形,是 证明本题的关键 2 2 2 2 2 2 2 答案:∵a +b ≥2ab,∴2(a +b )≥a +b +2ab=(a+b) 2 2 2 ∴2(a +b )≥(a+b) 不等式两边同除以 4,得
王新敞
奎屯 新疆

2

2

a?b 2 a ? b 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ≥( ) ,即( )≤ 2 2 2 2
2 2

王新敞
奎屯

新疆

五、小结 :本节课,我们学习了重要不等式 a +b ≥2ab;两正数 a、b 的算术 平均数(

a?b a?b ) ,几何平均数( ab )及它们的关系( ≥ ab ) 它们 2 2
王新敞
奎屯 新疆

成立的条件不同,前者只要求 a、b 都是实数,而后者要求 a、b 都是正数 它们 既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具 六、课后作业:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(1)“a+b≥2 ab ”是“a∈R ,b∈R ”的(B
王新敞
奎屯 新疆





)
王新敞
奎屯 新疆

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(2)设 b>a>0,且 a+b=1,则此四个数 Ab
王新敞
奎屯 新疆

B a +b
王新敞
奎屯 新疆

2

2

C 2ab
王新敞
奎屯 新疆

1 2 2 ,2ab,a +b ,b 中最大的是(A 2 1 D 2
王新敞
奎屯 新疆

)

(3)设 a,b∈R,且 a≠b,a+b=2,则必有( B A 1≤ab≤
王新敞
奎屯 新疆

)

a 2 ? b2 2


B ab<1<
王新敞
奎屯 新疆

a 2 ? b2 2

C ab<
王新敞
奎屯 新疆

a 2 ? b2 a 2 ? b2 <1 D <ab<1 2 2
王新敞
奎屯 新疆

(4)已知 a,b∈R 且 a+b=4,则下列各式恒成立的是(B

)

1 1 ? A ab 2
王新敞
奎屯 新疆

1 1 B ? ≥1 a b
王新敞
奎屯 新疆



王新敞
奎屯

新疆

ab ≥2

1 1 ? D 2 2 a ?b 4
王新敞
奎屯 新疆

(5)若 a>b>0,则下面不等式正确的是( C )

2ab a?b ? ? ab a?b 2 2ab a?b ? ab ? C a?b 2
A
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

a ? b 2ab ? ? ab 2 a?b 2ab a?b ? D ab ? a?b 2
B
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(6)若 a,b∈R 且 a≠b,在下列式子中,恒成立的个数为(D



①a +3ab>2b A4
王新敞
奎屯 新疆

2

2

②a +b >a b +a b B3
王新敞
奎屯 新疆





3 2

2 3

③a +b ≥2 a-b-1) ④ ( C2
王新敞
奎屯 新疆

2

2

a b ? >2 b a

D1
王新敞
奎屯 新疆

(7)设 a,b,c 是区间(0,1)内的三个互不相等的实数且 p=logc

log c a ? log c b 1 a?b ,r= log c ,则 p,q,r 的大小关系是(C 2 2 2
A p>q>r
王新敞
奎屯 新疆

a?b ,q= 2
)

B p<q<r
王新敞
奎屯 新疆

C r<P<q
王新敞
奎屯 新疆

D p<r<q
王新敞
奎屯 新疆

(8)已知 x>y>0,xy=1,求证:

x2 ? y2 ≥2 2 x? y

王新敞
奎屯

新疆

证明:∵x>y>0,xy=1 ∴

x 2 ? y 2 ( x ? y ) 2 ? 2 xy 2 ? ? ( x ? y) ? x? y x? y x? y

≥2 ( x ? y ) ?

x2 ? y2 2 =2 2 ,即 ≥2 2 x? y x? y
王新敞
奎屯 新疆

(9)已知 a>2,求证:loga(a-1) ·loga(a+1)<1 证明:∵a>2 ∴loga(a-1)>0,loga(a+1)>0,loga(a-1)≠loga(a+1) ∴loga(a-1) ·loga(a+1)<[ =[

log a ( a ? 1) ? log a ( a ? 1) 2 ] 2

1 1 2 2 2 2 loga(a -1) <( logaa ) =1 ) 2 2
王新敞
奎屯 新疆

即 loga(a-1) ·loga(a+1)<1
a

(10)已知 a,b∈R,证明:log2(2 +2 )≥ 证明:∵a,b∈R

b

a?b?2 2

王新敞
奎屯

新疆

∴log2(2 +2 )≥log2(2 2 ? 2 )=log2(2·2
a b

a

b

a ?b 2

)=1+

a?b 2



a?b?2 a?b?2 a b ,即 log2(2 +2 )≥ 2 2


王新敞
奎屯

新疆

(11)若 a,b,c∈R ,且 a+b+c=1, 求证:

1 1 1 9 ? ? ? a?b b?c c?a 2


王新敞
奎屯

新疆

证明:∵a,b,c∈R ,且 a+b+c=1 ∴2=(a+b)+(b+c)+(c+a)

∴[ a+b)+(b+c)+(c+a)· ( ](

1 1 1 ? ? ) a?b b?c c?a

≥3· (a ? b)(b ? c)(c ? a) ×3· 3 故

1 1 1 =9 ? ? a?b b?c c?a

1 1 1 9 ? ? ? a?b b?c c?a 2
2
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(12)已知方程 ax +bx+c=0 有一根 x1>0,求证:方程 cx +bx+a=0 必有一 根 x2,使得 x1+x2≥2 2 证明:∵方程 ax +bx+c=0 有一根 x1>0 ∴ax1 +bx1+c=0,∴a+
2

2

b c ? 2 =0 x1 x1

∴c(

1 2 1 1 2 ) +b· +a=0(方程 cx +bx+a=0 必有一根 >0) x1 x1 x1 1 ≥2 x1
王新敞
奎屯 新疆

∴x1+x2=x1+
2

故方程 cx +bx+a=0 必有一根 x2,使得 x1+x2≥2 七、板书设计(略) 八、课后记:


相关文章:
算术平均数与几何平均数
课后作业:习题 6.2 1,2,3,4 6.2 算术平均数与几何平均数第二课时 教学目标: 1.进一步掌握均值不等式定理; 2.会应用此定理求某些函数的最值; 3.能够解决...
第39课时—算术平均数与几何平均数(学案)
1/4 同系列文档 第8课时-函数的解析式及定... 第10课时—函数的奇偶性 第...第一轮复习算术平均数与几何平均数 2004.10.15 一.复习目标: 复习目标: 1....
第39课时算术平均数与几何平均数学案
第4课时一元二次不等式的解... 第5课时-简易逻辑(苏教版) ...正” “二定” “三相等” . 二.知识要点: 1.算术平均数: 几何平均数:...
...一轮课时知能训练第3讲 算术平均数与几何平均数
高考风向标文科数学课时知能训练第3讲 算术平均数与几何平均数_专业资料。...第3讲 1.A 算术平均数与几何平均数 2.D 3.B 4.C 5.A 1 1 1 1 1...
第06课时§6.2算术平均数与几何平均数(3)
[ ] 第 06 课时§6.2 算术平均数与几何平均数(3)学习目标: ①应用两个...的值. 例 4.在△ABC 中,∠C=90 0 ,AC=3,BC=4,条直线分△ABC 的...
...一轮课时知能训练第3讲 算术平均数与几何平均数
高考风向标文科数学课时知能训练第3讲 算术平均数与几何平均数_专业资料。...第3讲 1.A 算术平均数与几何平均数 2.D 3.B 4.C 5.A 1 1 1 1 2...
...一轮课时知能训练第3讲 算术平均数与几何平均数
高考风向标文科数学课时知能训练第3讲 算术平均数与几何平均数_专业资料。...第3讲 1.A 算术平均数与几何平均数 2.D 3.B 4.C 5.A 1 1 1 1 ?...
6.2 算术平均数与几何平均数
高中数学教案 第6章 算术平均数与几何平均数(第 4 课时) 王新敞 课 算术平均数与几何平均数( 题:算术平均数与几何平均数(1) 新疆 王新敞奎屯 教学目的: ...
算术平均数和几何平均数4
教学设计方案 《算术平均数和几何平均数(第课时) 授课人:胡容 一 教材分析 (1)知识结构 (1)知识结构 本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式: ...
第07课时§6.2算术平均数与几何平均数(4)
第07课时§6.2算术平均数与几何平均数(4) 隐藏>> 高二数学学案 姓名 二、填空...b a?b C.a> >b> ab D.a> ab > >b 2 2 3.已知 x>1, y>1,...
更多相关标签: