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2.2.1 向量加法运算及其几何意义第3课


向量的加法
看书 P89~92(限时6分钟)
学习目标: 通过实例,掌握向量的加法运 算及理解其几何意义。

熟练运用加法的“三角形法则” 和“平行四边形”法则

由于大陆和台湾没有直航,因此要从台湾去上海探亲,乘飞机 要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?

上海 C A 香港

B 台北

向量的加法:
a a?b
b
A C

b

首 尾 相 接

a
则向量 AC叫做 a与b的和,记作 a ? b, 即 a ? b ? AB ? BC ? AC

B

已知非零向量 a 、 b , 在平面内任取一点A,作 AB ? a, BC ? b,

这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则。

向量的加法:
B C

b
O

a?b
A

起 点 相 同

以同一点O为起点的两个已知向量 a、 b为邻边作 OACB, 则以O为起点的对角线OC就是a与 b 的和a ? b, 即 a ? b ? OA ? OB ? OC 这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则。

a

? 对 于 零 向 量 与 任 一 向a 量 ,我们规定 ? ? ? ? ? a ? 0 ? 0? a ? a
对于向量的加法的理解需要注意下面两点: (1)两个向量的和仍然是向量(简称和向量) (2)位移的合成是三角形法则的物理模型. 力F的分解为平行四边形法则.

例1.如图,已知向量 a, b ,求做向量
作法1:在平面内任取一点O, 作 OA ? a ,AB ? b , 则 OB ? a ? b 。

a ? b。
b
a

O

a a?b
三角形法则

A

b
B

例1.如图,已知向量 a, b ,求做向量
作法2:在平面内任取一点O, OB ? b , 作 OA ? a , 以 OA、OB为邻边做

a ? b。
b

OACB ,

a

连结OC,则 OC ? OA ? OB ? a ? b.

O

a a?b b
B

A

C

平行四边形法则

练习:限时4分钟

P84

1、2

探究:
多个向量的运算将如 何进行?

a ? b ? c ? 0 则以 a b c

思考:如果非零向量 a 、b 、 ,满足

c

为有向线段的三条线 段,能构成一个三角形吗?
请同学们

总结向量加法的“三角形法则”与 “平行四边形”法则的联系与区别。

思考:如图,当在数轴上表示两个共线向量时,它们的加法和
数的加法有什么关系?

a
b
A ( 1) B C

a
b
( 2)

a?b

C

a?b

A

B

若a, b方向相同,则 | a ? b |?| a | ? | b | 若a, b方向相反,则 | a ? b |?| a | ? | b(或 | | b | ? | a |)

若a, b不共线,则 | a ? b |?| a | ? | b | 对任意两个向量a, b,有 | a ? b |?| a | ? | b |

? ? ? ? 已知| a |? 8, | b |? 6, 则 | a ? b | 的最大值和 最小值各是什么

探究:数的加法满足交换律和结合律,即对任意a, b ? R ,有 a ? b ? b ? a,

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c).

那么对任意向量 a, b 的加法是否也满足交换律和结合律? 请画图进行探索。
D

B

a

C

a?b?c
b?c

c
C

b
O

a?b b
a
A
A

a?b

a
B

b

例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输, 如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹 角来表示)。 C
D

解:

A

B

(1)如图所示, AD表示船速, AB表示水速, 以AD、AB为邻边作 ABCD, 则 AC表示 船实际航行的速度.

例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输, 如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹 角来表示)。

解: (2)在Rt ABC中, | AB |? 2,| BC |? 2 3

D

C

? | AC |? | AB |2 ? | BC |2
? 22 ? (2 3) 2 ?4

??CAB ? 60 .

2 3 tan ?CAB ? ? 3 2

A

B

答:船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60? 。

练习:限时2分钟

1.化简: AB ? DF ? CD ? BC ? FA
? ? ? ? ? ? 2.已知| a |? 6, | b |? 14, | c |? 3, 则 | a ? b ? c | 有 最大值和最小值吗 ?

课后练习:
P91习题1、2、3


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