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2015高考复习6-2 一元二次不等式及其解法


6-2 一元二次不等式及其解法 一、选择题

[A 组 基础演练· 能力提升]

x-2 1.(2014 年南昌模拟)不等式 2 <0 的解集为( x -1 A.{x| 1<x<2} C.{x|- 1<x<2 且 x≠1}

)
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B.{x|x<2 且 x≠1

}

D.{x|x<-1 或 1<x<2} )

?x2-4x+6,x≥0 ? 2.设函数 f(x)=? ,则不等式 f(x)>f(1)的解集是( ?x+6,x<0 ?

A.(-3,1)∪(3,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞)

B.(-3,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) )

3.不等式 2x2-5x-3≥0 成立的一个必要不充分条件是( A.x≥0 1 C.x<- 2 B.x<0 或 x>2

1 D.x≤- 或 x≥3 2 )

4.已知(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 的解集是 R,则实数 a 的取值范围是( 3 A.a<- 或 a>1 5 3 C.- <a≤1 或 a=-1 5 3 B.- <a<1 5 3 D.- <a≤1 5

2 ? ?-x +2x,x≤0, 5.(2013 年高考全国新课标卷Ⅰ)已知函数 f(x)=? 若|f(x)|≥ax,则 a ?ln?x+1?,x>0. ?

的取值范围是( A.(-∞,0] C.[-2,1]

) B.(-∞,1] D.[-2,0]
2

6.已知命题 p:存在 x∈R,使得 mx +1≤0;q:对任意 x∈R,均有 x2+mx+1>0, 若 p 或 q 为假命题,则实数 m 的取值范围为( A.m≤-2 C.m≥2 或 m≤-2 二、填空题 7.(2014 年苏州模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不 等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________. 8.已知函数 f(x)=x2+bx+1 是 R 上的偶函数,则不等式 f(x-1)<|x|的解集为________. 9.(2014 年郑州模拟)已知不等式 xy≤ax2+2y2,若对任意 x∈[1,2],且 y∈[2,3],该不 等式恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 三、解答题 ) B.m≥2 D.-2≤m≤2
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1?n 1 10.若关于 x 的不等式 x2+ x-? ≥0 对任意 n∈N*在 x∈(-∞,λ]恒成立,求实常数 2 ?2? λ 的取值范围.

11.一 个服装厂生产风衣,日销售量 x(件)与售价 p(元/件)之间的关系为 p=160-2x, 生产 x 件的成本 R=500+30x 元. (1)该厂日产量多大时,日利润不少于 1 300 元? (2)当日产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少?

12.(能力提升)已知函数 f(x)=(x+2)|x-2|. (1)若不等式 f(x)≤a 在[-3,1]上恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)解不等式 f(x)>3x.

[B 组 因材施教· 备选练习] 1.在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x-b)>0 的解集是[2,3],则 a+b =( ) A.1 C.4 B. 2 D.8 )

x-a 2.关于 x 的不等式 <0(a∈R),下列结论错误的是( x-a2 A.a=0 或 a=1 时,不等式的解集为? B.a<0 或 a>1 时,不等式的解集为{x|a<x<a2} C.0<a<1 时,不等式的解集为{x|a2<x<a} D.a∈R 时,不等式的解集为{x|a<x<a2}

6-2 一元二次不等式及其解法

答案

x-2 1 解析:因为不等式 2 <0 等价于(x+1)(x-1)(x-2)<0,所以该不等式的解集是{x|x x -1 <-1 或 1<x<2},选 D.答案:D
? ? ?x≥0 ?x<0 2 解析:原不等 式可化为? 2 或? ,所以原不等式的解集为(-3,1)∪ ? ?x -4x+6>3 ?x+6>3 ?

(3,+∞),故选 A.答案:A 1 3 解析:原不等式等价于(2x+1)(x-3)≥0,解得 x≤- 或 x≥3,根据题意,该解集为 2 选项中集合的真子集,因此选 B.答案:B 4 解析:a=1 显然满足题意,若该不等式为一元二次不等式,则必有 a2<1,由 Δ=(a 3 3 -1)2+4(a2-1)<0,解得- <a<1.综上可知- <a≤1.答案:D 5 5 5 解析: 当 x≤0 时, f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤0, 所以|f( x)|≥ax 化简为 x2-2x≥ax, 即 x2≥(a+2)x, 因为 x≤0, 所以 a+2≥x 恒 成立, 所以 a≥-2; 当 x>0 时, f(x)=ln(x+1)>0, 所以|f(x)|≥ax 化简为 ln(x+1)>ax 恒成立,由函数图象可知 a≤0,综上,当-2≤a≤0 时, 不等式|f(x)|≥ax 恒成立,选择 D.答案:D 6 解析:p 或 q 为假,说明 p,q 均为假命题.p 假,则 m≥0;q 假,则,m2-4≥0,即 m≥2 或 m≤-2.故实数 m 的取值范围为 m≥2.答案:B 7 解析:由于 f(x)为 R 上的奇函数,所以当 x=0 时,f(0)=0;当 x<0 时,-x> 0,所以 x -4x,x>0 ? ? 2 2 f(-x)=x +4x=-f(x),即 f(x)=-x -4x,所以 f(x)=?0,x=0 ? ?-x2-4x,x<0
2 2 2

.由 f(x)>x,可得

?x -4x>x ?-x -4x>x ? ? ? 或? ,解得 x>5 或-5<x<0,所以原不等式的解集为(-5,0)∪(5,+ ?x>0 ? ? ?x<0

∞).答案:(-5,0)∪(5,+∞) 8 解析:由函数 f(x)=x2+bx+1 是 R 上的偶函数,得 b=0,分别画出 y=f(x-1)与 y= |x|的图象,分析图象可得 f(x-1)<|x|的解集为{x|1<x<2}.答案 :(1,2) xy-2y2 9 解析:依题意得,当 x∈[1,2],且 y∈[2,3]时,不等式 xy≤ax2+2y2,即 a≥ = x2
?1≤x≤2 y y ?y?2=-2?y-1?2+1.在坐标平面内画出不等式组? ? -2· 表示的平面区域,注意到 ?x? ? x 4? 8 x x ?2≤y≤3 ?

y 可设为该区域内的点(x,y)与原点连线的斜率,结合图形可知, 的取值范围是[1,3],此时- x y 1?2 1 2? 因此满足题意的实数 a 的取值范围是 a≥-1.答案: [-1, +∞) ?x-4? +8的最大值是-1,
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1?n 1 1 1 10 解析:由题意得 x2+ x≥? = ,∴x≥ 或 x≤-1, 2 ?2?max 2 2 又 x∈(-∞,λ],∴λ∈(-∞,-1]. 11 解析:(1)由题意知,日利润 y=px-R,即 y=(160-2x)x-(500+30x) =-2x2+130x-500,由日利润不少于 1 300 元,得-2x2+130x-500≥1 300, 即 x2-65x+900≤0,解得 20≤x≤45. 故 当该厂日产量在 20~45 件时,日利润不少于 1 300 元. 65 3 225 x- ?2+ (2)由(1)得,y=-2x2+130x -500=-2? ,由题意知,x 为正整数. ? 2? 2 故当 x=32 或 33 时,y 最大为 1 612. 所以当日产量为 32 或 33 件时, 可获最大利润,最大利润为 1 612 元. 12 解析:(1)当 x∈[-3,1]时,f(x)=(x+2)|x-2|=(x+2)(2-x)=-x2+4. ∵- 3≤x≤1, ∴0≤x2≤9.于是-5≤-x2+4≤4.即函数 f(x)在[-3,1]上的最大值等于 4.
kB1.cOM X

∴要使不等式 f(x)≤a 在[-3,1]上恒成立,实数 a 的取值范围是[4,+∞). (2) 不等式 f(x)>3x,即(x+2)|x-2|-3x>0. 当 x≥2 时,原不等式等价于 x2-4-3x>0, 解得 x>4 或 x<-1.又∵x≥2,∴x>4. 当 x<2 时,原不等式等价于 4-x2-3x>0, 即 x2+3x-4<0,解得-4<x<1.满足 x<2. 综上可知,原不等式的解集为{x|x>4 或-4<x<1}. 1 解析:(x-a)?(x-b)>0,即(x-a)[1-(x-b)]>0,即(x-a)[x-(b+1)]<0,该不等式的 解集为[2,3],说明方程(x-a)[x-(b+1)]=0 的两根之和等于 5,即 a+b+1=5,故 a+b= 4. 答案:C 2 解析:原不等式等价于(x-a)(x-a2)<0, 当 a=a2,即 a=0 或 a=1 时,不等式的解集为?, 当 a<a2,即 a<0 或 a>1 时,不等式的解集为{x|a<x<a2}, 当 a>a2,即 0<a<1 时,不等式的解集为{x|a2<x<a}. 综上所述,选 D. 答案:D


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