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2017届高三数学一轮复习 专题突破训练 立体几何 理


2017 届高三数学一轮复习 专题突破训练 立体几何
一、选择、填空题 1、(2015 年全国 I 卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今 有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图, 米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米

堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估 算出堆放斛的米约有( )

A.14 斛

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛

2、(2015 年全国 I 卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体 三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ? ,则 r=

(A)1(B)2(C)4(D)8

3、(2014 年全国 I 卷)12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视 图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为

A .6 2

B .4 2

C .6

D .4

4、(2013 年全国 I 卷)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容 器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面 时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( )

500π 3 A、 cm 3

866π 3 B、 cm 3

1372π 3 C、 cm 3

2048π 3 D、 cm 3

5、(2013 年全国 I 卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积为 A . 16 ? 8? B . 8 ? 8? C . 16 ? 16? D . 8 ? 16? 6、(佛山市 2015 届高三二模)已知 a, b, c 均为直线, ? , ? 为平 面.下面关于直线与平面关系的命题: (1)任意给定一条直线 a 与一个平面 ? ,则平面 ? 内必存在与 a 垂 直的直线; (2)任意给定的三条直线 a, b, c,必存在与 a, b, c 都相交的直线; (3) ? // ? , a ? ? , b ? ? ,必存在与 a, b 都垂直的直线; (4) ? ? ? , ? ? ? ? c , a ? ? , b ? ? ,若 a 不垂直 c,则 a 不垂直 b. 其中真命题的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D.4 7、(广州市 2015 届高三二模).如图 2,圆锥的底面直径 AB ? 2 ,母线长 VA ? 3 ,点 C 在母线 VB 上,且 VC ? 1 ,有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 到达点 C ,则这只蚂蚁爬行的最短距离是

A. 13

B. 7

C.

4 3 3

D.

3 3 2

8、(华南师大附中 2015 届高三三模)某三棱锥的三视图如图二所示,正视图、侧视图均为直角三 角形,则该三棱锥的四个面中,面积最大的面的面积是 *** .

9、(惠州市 2015 届高三 4 月模拟)多面体 MN ? ABCD 的底面 ABCD 矩形,其正(主)视图和 侧(左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧 (左) 视图为等腰三角形, 则该多面体的体积为 ( A. )
A M
D

N C
B

2 2 4 2

16 3

B. 6

C.

20 3

D. 6

10、 (茂名市 2015 届高三二模) 某三棱锥的三视图如图所示,则该 几何体的体积为( A. ). C.

2 3

B.

4 3

8 3

D.4

11、 (梅州市2015届高三一模)若某几何体的三视图如右图所示, 则此几何体的体积等于

A、30

B、12

C、24

D、4

12、(汕头市 2015 届高三二模)某师傅用铁皮制作一封闭的工件,其三视图如图所示(单位长度: cm,图中水平线与竖线垂直),则制作该工件用去铁皮的面积为(制作 过程中铁皮的损耗和厚度忽略不计) A. 100 3 ? 5 cm B. C.

? ? 200 ? 3 ? 5 ? cm 300 ? 3 ? 5 ? cm
2

2

20
2

主视图 10 10 俯视图

左视图

2

D. 300cm

13、 (深圳市 2015 届高三二模)如图 1,已知某品牌墨水瓶的外形三视 图和尺寸,则该墨水瓶的容积为(瓶壁厚度忽略不计) A. 8 ? π B. 8 ? 4 π C. 16 ? π 2 D. 16 ? 4 π 14、(汕尾市 2015 届高三上期末)已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平 面 ? ,则下列四个结论: ①若 ? / / ? ,则 l ? m ②若 ? ? ? ,则 l / / m
1 2

1

2

1

正视图

侧视图

俯视图

图1

③若 l / / m ,则 ? ? ? ④若 l ? m ,则 ? / / ? 。 其中正确的结论的序号是( A.①④ B.②④ C.①③ D.②③



15、 (韶关市 2015 届高三上期末)如图, 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个 四棱锥的侧面积为( )

A. 2 二、解答题

B. 6

C. 2( 2 ? 3)

D. 2( 2 ? 3) ? 2

1、(2015 年全国 I 卷)如图,,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两 点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。 (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

[

2、(2014 年全国 I 卷)如图三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,侧面 BB 1C1C 为菱形, AB ? B 1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=BC 求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值.

3、(2013 年全国 I 卷) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°. (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 B B1C1C 所成角的正弦值。

4、(佛山市 2015 届高三二模)如图 2,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=2,∠ABC=120 ,D 为

0

AC 的中点,P 为棱 A1B 上的动点. (1) 探究:AP 能否与平面 A1BC 垂直?
(2) 若 AA1= 6 ,求二面角 A1-BD-B1 的余弦值.

5、(广州市 2015 届高三二模) 如图5,已知六棱柱 ABCDEF ? A 1B 1C1D 1E1F 1 的侧棱 垂直于底面,侧棱长与底面边长都为3, M , N 分别 是棱 AB , AA1 上的点,且 AM ? AN ? 1 . (1)证明: M , N , E1 , D 四点共面; (2)求直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值. F N A1 F1

E1

D1 C1 B1

E

D C

A

M 图5

B

6、(华南师大附中 2015 届高三三模)如图,已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,

?BCA ? 90? , AC ? BC ? 2 , A1 在底面 ABC 上的射影恰
为 AC 的中点 D , 又知 BA1 ? AC1 . (Ⅰ) 求证: AC1 ? 平面 A1 BC ; (Ⅱ) 求 CC1 到平面 A1 AB 的距离; (Ⅲ) 求二面角 A ? A1B ? C 的平面角的余弦值.

A1

B1

C1

A

D
B
C

7、(惠州市 2015 届高三 4 月模拟)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,

P

AD / / BC , ?ADC ? 90? ,平面 PAD ⊥底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的点,
PA ? PD ? AD ? 2 , BC ? 1 , CD ? 3 .
(1)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ; (2)若二面角 M ? BQ ? C 为 30? ,设 PM ? t ? MC , 试确定 t 的值. 8、 (茂名市 2015 届高三二模) 在四棱锥 P ? ABCD 中, AD ? 平面 PDC , PD ? DC ,底面 ABCD 是梯形, AB ∥ DC , AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2

PBD (1)求证:平面 PBC ? 平面 ??? ? ;??? ?

(2)设 Q 为棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定

? 的值使得二面角 Q ? BD ? P 为 60?.

9、(梅州市 2015 届高三一模)如图,△ABC 是等腰直角三角 形,∠ACB=90°,AC=2a,D,E 分别为 AC,AB 的中点,沿 DE 将△ADE 折起,得到如图所示的四棱 锥 A '? BCDE ,F 是 A ' B 的中点。 (1)求证:EF∥平面 A ' CD ; (2)当四棱锥 A '? BCDE 的体积取最大值时,求平面 A ' CD 与平面 A ' BE 夹角的余弦值。

P

10、(汕头市 2015 届高三二模)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA ⊥平面 ABC,

M

A C B N

∠BAC=120 ,且 AB=AC=AP,M 是 PB 的中点,N 在 BC 上,且 BN= (1)求证:MN⊥AB, (2)求二面角 P-AN-M 的余弦值。

0

1 BC。 3

11、(深圳市 2015 届高三二模)如图 4,已知三棱锥 O ? ABC 的三条侧棱 OA , OB , OC 两两垂 直,△ ABC 为等边三角形, M 为△ ABC 内部一点,点 P 在 OM 的延长线上,且 PA? PB . (1)证明: OA ? OB ; (2)证明:平面 PAB? 平面 POC ; (3)若 PA ? 5 OC , OP ? 6 OC ,求二面角 P ? OA ? B 的余弦值. P

C

?

M
B

O

A

图4

12、(珠海市2015届高三二模)如图为一多面体ABCDE ,四边形ACDE 是边长为2 的菱形,其所在平 面与平面ABC垂直, AB = BC= 2 ,∠EAC =

? ,F、G分别是 AC 、BD中点. 3

(1)求证: FG //平面ABE ; (2)求二面角 A-BE - D的正弦值.

13、 (韶关市 2015 届高三上期末) 如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,ABEF 是矩形, 平面 ABCD ? D 平面 ABEF , G 为 EC 的中点. (1)求证: AC //平面 BFG ;

C

(2)若三棱锥 C ? DGB 的体积为

9 ,求二面角 E ? BF ? G 的正切值. 4
A

G B

14、(深圳市 2015 届高三上期末)在三棱锥 P ? ABC 中,已知平面 PBC ? 平面 ABC , AB 是底 面△ ABC 最长的边. 三棱锥 P ? ABC 的三视图如图 5 所示, 其中侧视图和俯视图均为直角三角形. (1)请在图 6 中,用斜二测画法,把三棱锥 P ? ABC 的直观图补充完整(其中点 P 在

F

E

xOz 平面内),并指出三棱锥 P ? ABC 的哪些面是直角三角形;
(2)求二面角 B ? PA ? C 的正切值; (3)求点 C 到面 PAB 的距离. z

2 3

P

y

正视图

4 侧视图
O 图6 x

15、 (肇庆市 2015 届高三上期末) 如图, 四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 且 A1 A ? 4 . A1 A ?底面 ABCD,

2 的面积为 2 6,且 AD//BC,AD=2BC,CD=2. 平面 A1 DCE 与 B1 B 交于点 E. 梯形 ABCD
俯视图 图5

(1)证明:EC// A1 D ; (2)求三棱锥 C ? A1 AB 的体积; (3)求二面角 A1 ? DC ? A 的大小.

A1 B1 C1

D1

A

E D B C

参考答案 一、选择、填空题 1、【答案】B

考点:圆锥的体积公式 2、【答案】B

考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式;圆柱的测面积公式 3、【答案】:C 【解析】:如图所示,原几何体为三棱锥 D ? ABC , 其中 AB ? BC ? 4, AC ? 4 2, DB ? DC ? 2 5 ,

DA ?

?4 2 ?

2

? 4 ? 6 ,故最长的棱的长度为 DA ? 6 ,选 C

4、【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式,是容易题. 【解析】 设球的半径为 R, 则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4, 球心到截面圆的距离为 R-2,

则 R2 ? ( R ? 2)2 ? 42 ,解得 R=5,∴球的体积为

4? ? 53 500π cm3 ,故选 A. = 3 3

5、【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式,是中档题. 【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4,上边放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体,故其体积为 ? ? 2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 = 16 ? 8? ,故选 A .
2

6、B (1),(3)正确;当 a//b,且 a, b ? ? ,c// ? 时(2)错误;若 b ? c ? b ? ? ? b ? a 故(4)错误。 7、B 8、 7 9、 【解析】 用割补法可把几何体分割成三部分,可得 V ? 10、B 11、C 12、A 13、C 14、C 15、C 二、解答题 1、【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)

1 2

2? 2 20 ?1 ? , 故选 C. ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 3 ?3 ?

3 3

∴ EG ? FG ? EF ,∴EG⊥FG,
2 2 2

∵AC∩FG=G,∴EG⊥平面 AFC, ∵EG ? 面 AEC,∴平面 AFC⊥平面 AEC. ??6 分

(Ⅱ)如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB, GC 的方向为 x 轴,y 轴正方向, | GB| 为单位长度,建 立空间直角坐标系 G-xyz,由(Ⅰ)可得 A(0,- 3 ,0),E(1,0,

??? ? ??? ?

??? ?

2 ),F(-1,0,

2 ),C 2

(0, 3 ,0),∴ AE =(1, 3 , 2 ), CF =(-1,- 3 ,

??? ?

??? ?

2 ).?10 分 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ? CF 3 ? ??? ? ?? 故 cos ? AE, CF ?? ??? . 3 | AE || CF |

所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为

3 . 3

??12 分

考点:空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力 2、 【解析】:(Ⅰ)连结 BC1 ,交 B1C 于 O,连结 AO.因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C ? BC1 ?, 且 O 为 B1C 与 BC1 的中点. 又 AB ? B1C , 所以 B1C ? 平面 ABO , 故 BC ? A O 1 故 AC ? AB1 ???6 分 ?又

B1O ? CO ,

(Ⅱ)因为 AC ? AB1 且 O 为 B1C 的中点, 所以 AO=CO? 又因 为 AB=BC?,所以 ?BOA ? ?BOC 故 OA⊥OB?,从而 OA,OB, OB1 两两互相垂直. 以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单位长,建立 如图所示空间直角坐标系 O- xyz . 因为 ?CBB1 ? 600 ,所以 ?CBB1 为等边三角形.又 AB=BC?, 则

? ? ? 3? 3 ? 3 ? A? ? 0, 0, 3 ? ? , B ?1,0,0 ? , B1 ? ? 0, 3 , 0 ? ? ,C ? ? 0, ? 3 , 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? 3 3 ? ???? 3 ? ????? ??? 3 ? AB1 ? ? 0, , ? , B C ? BC ? ? 1, ? ,0? , A1 B1 ? AB ? ? 1, 0, ? ? ? ? 1 1 ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 设 n ? ? x, y, z ? 是平面的法向量,则

? 3 3 ? ???? y? z?0 ? ? ? ?n?AB1 ? 0 ? 3 3 n ? 1, 3, 3 ,即 所以可取 ? ???? ? ? ? n ? A B ? 0 3 ? ?x ? ? 1 1 z?0 ? 3 ? ?? ???? ? ?? ?? ? ?m?A1 B1 ? 0 设 m 是平面的法向量,则 ? ? ????? ,同理可取 m ? 1, ? 3, 3 ? ?n?B1C1 ? 0 ? ?? ? ?? 1 n?m 1 则 cos n, m ? ? ?? ? ,所以二面角 A ? A . 1B 1 ? C1 的余弦值为 7 n ?m 7

?

?

?

?

3、【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算,考查空间想象 能力、逻辑推论证能力,是容易题. 【解析】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE, A 1B , A 1E ,

∵AB= AA1 , ?BAA1 = 60 ,∴ ?BAA1 是正三角形,
0

∴A 1E ⊥AB, ∴AB⊥ AC 1 ;

∵CA=CB,

∴CE⊥AB, ??6分

∵ CE ? A1E =E,∴AB⊥面 CEA1 ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, EA1 ⊥AB, 又∵面 ABC⊥面 ABB1 A 面 ABC∩面 ABB1 A 1, 1 =AB, EC⊥面 ABB1 A 1 ,∴EC⊥ EA 1, ∴EA,EC, EA1 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, EA 的方向为 x 轴正方向,| EA |为单位长度, 建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz , 有题设知 A(1,0,0), A (1,0, 3 ) , BB1 = AA 1 (0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0),则 BC = 1 =(- 1,0, 3 ), AC 1 =(0,- 3 , 3 ), 设 n = ( x, y, z ) 是平面 CBB1C1 的法向量, ∴

??? ?

??? ?

??? ?

???? ????

????

??9 分

??? ? ? ? ?n ? BC ? 0 ? x ? 3z ? 0 则? ,即 ? ,可取 n =( 3 ,1,-1), ???? n ? BB ? 0 x ? 3 y ? 0 ? ? ? 1 ? ???? ???? n ? A1C 10 ???? ∴ cos n, A1C = , | n || A1C | 5
∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 4、

10 . 5

??12 分

5、第(1)问用几何法,第(2)问用向量法:

BD , A1E1 ,在四边形 A1B1D1E1 中, A1E1 (1)证明:连接 A 1B , B 1D 1,
在四边形 BB1D1D 中, BD ? B1D1 且 BD=B1D1 ,所以 A 1 E1 所以四边形 A 1BDE1 是平行四边形. F1 A1

? B1D1 且 A1E1 =B1D1 ,

? BD 且 A1E1 =BD ,
E1 D1 C1 B1 E D

所以 A 1 B ? E1D .????????????2分 在△ ABA1 中, AM ? AN ? 1 , AB ? AA 1 ? 3, 所以

AM AN ,所以 MN ? BA1 .????????????????4分 ? AB AA1

所以 MN

? DE1 .所以 M , N , E1 , D 四点共面.??????????6分
z
F1 A1 E F N B E1 D1 C1 B1 D C

(2)解:以点 E 为坐标原点, EA , ED , EE1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系, 则 B 3 3,3, 0 , C ?

?

?

?3 3 9 ? ? 2 , 2 ,0? ? , D ? 0,3,0? , ? ?

E1 ? 0,0,3? , M 3 3,1, 0 ,??????????8分

?

?

y

??? ? ? 3 3 3 ? ???? ? , , 0 则 BC ? ? ? , DE1 ? ? 0, ?3,3? , ? ? 2 2 ? A M ? ? x ???? ? DM ? 3 3, ?2, 0 .???????????????????????10分

?

?

设 n ? ? x, y, z ? 是平面 MNE1D 的法向量,

???? ? ? ? ? ?3 y ? 3 z ? 0, ?n?DE1 ? 0, 则 ? ???? 即? 取 y ? 3 3 ,则 x ? 2 , z ? 3 3 . ? ? ? ?3 3 x ? 2 y ? 0. ?n?DM ? 0.
所以 n ? 2,3 3,3 3 是平面 MNE1D 的一个法向量.?????????12分 设直线 BC 与平面 MNE1D 所成的角为 ? ,

?

?

??? ? n?BC 则 sin ? ? ??? ? ? n ?BC

? 3 3? 3 2?? ? ? ? 3 3? ?3 3?0 2 ? 2 ? 2 ? 3 3
2

? ? ? ?3 3 ?
2

2

? 3 3 ? ? 3 ?2 2 ? ?? ? ?? ? ?0 ? 2 ? ?2?

2

?

174 . 116

故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为 第(1)(2)问均用向量法:

174 .???????????14分 116

(1)证明:以点 E 为坐标原点, EA , ED , EE1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系,

z
F1 A1

E1

D1 C1 B1

则 B 3 3,3, 0 , C ?

?

?

?3 3 9 ? ? 2 , 2 ,0? ? , D ? 0,3,0? , ? ?

E1 ? 0,0,3? , M 3 3,1, 0 , N 3 3, 0,1 ,?????2分
所以 DE1 ? ? 0, ?3,3? , MN ? ? 0, ?1,1? . ??????3分 因为 DE1 ? 3MN ,且 MN 与 DE1 不重合, 所以 DE1

?

?

?

?

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

? MN .????????????????5分

所以 M , N , E1 , D 四点共面.???????????????????6分 (2)解:由(1)知 BC ? ? ?

??? ?

???? ? ? ? 3 3 3 ? ???? , ,0 , DE1 ? ? 0, ?3,3? , DM ? 3 3, ?2, 0 .???10分 ? ? 2 2 ? ? ?

?

?

(特别说明:由于给分板(1)6分(2)8分,相当于把(1)中建系与写点坐标只给2分在此加2分) 设 n ? ? x, y, z ? 是平面 MNE1D 的法向量,

???? ? ?n?DE1 ? 0, ? 则 ? ???? ? n ? DM ? 0. ? ?

即?

? ? ?3 y ? 3 z ? 0, ? ?3 3 x ? 2 y ? 0.

取 y ? 3 3 ,则 x ? 2 , z ? 3 3 .

所以 n ? 2,3 3,3 3 是平面 MNE1D 的一个法向量.??????????12分

?

?

??? ? n?BC 设直线 BC1 与平面 MNE1D 所成的角为 ? ,则 sin ? ? ??? ? n ?BC
? 3 3? 3 2?? ? ? ? 3 3? ?3 3?0 2 ? 2 ? 2 ? 3 3
2

?

? ? ? ?3 3 ?
2

2

? 3 3 ? ? 3 ?2 2 ? ?? ? ?? ? ?0 ? 2 ? ?2?

2

?

174 . 116

故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为 第(1)(2)问均用几何法:

174 .??????????14分 116

BD , A1E1 , (1)证明:连接 A 1B , B 1D 1,
在四边形 A1B1D1E1 中, A 1 E1

? B1D1 且 A1E1 =B1D1 ,

在四边形 BB1D1D 中, BD ? B1D1 且 BD=B1D1 , 所以 A 1 E1

? BD 且 A1E1 =BD ,
E1 F1 A D1 C1

所以四边形 A 1BDE1 是平行四边形. 所以 A 1 B ? E1D .????????????2分 在△ ABA1 中, AM ? AN ? 1 , AB ? AA 1 ? 3, 所以

AM AN ,所以 MN ? BA1 .????????4分 ? AB AA1

所以 MN

? DE1 .所以 M , N , E1 , D 四点共面.???????6分

(2)连接 AD ,因为 BC ? AD , 所以直线 AD 与平面 MNE1D 所成的角即为直线 BC 与平面 MNE1D 所成的角.??7分 连接 DN ,设点 A 到平面 DMN 的距离为 h ,直线 AD 与平面 MNE1D 所成的角为 ? ,

h .??????????????????8分 AD 1 1 因为 VA? DMN ? VD? AMN ,即 ? S ?DMN ? h ? ? S ?AMN ? DB .????????9分 3 3
则 sin ? ? 在边长为3的正六边形 ABCDEF 中, DB ? 3 3 , DA ? 6 ,
? 在△ ADM 中, DA ? 6 , AM ? 1 , ?DAM ? 60 ,

由余弦定理可得, DM ? 31 . 在 Rt △ DAN 中, DA ? 6 , AN ? 1 ,所以 DN ? 37 . 在 Rt △ AMN 中, AM ? 1 , AN ? 1 ,所以 MN ? 在△ DMN 中, DM ? 31 , DN ? 37 , MN ? 由余弦定理可得, cos ?DMN ? ?

2.

2,

2 29 ,所以 sin ?DMN ? . 31 31

所以 S?DMN ?

1 58 ? MN ? DM ? sin ?DMN ? .????????????11分 2 2

又 S ?AMN ?

1 S ? DB 3 3 ,所以 h ? ?AMN .?????????13分 ? 2 S?DMN 58

所以 sin ? ?

h 174 174 ? .故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为 .???14分 AD 116 116

6、解法 1 :(Ⅰ)∵ A1D ? 平面 ABC ,∴平面 AA1C1C ? 平面 ABC , 又 BC ? AC ,∴ BC ? 平面 AA1C1C , 得 BC ? AC1 ,又 BA1 ? AC1 , BC ? BA1 ? B , ∴ AC1 ? 平面 A1 BC .???????4 分 (Ⅱ)∵ AC1 ? 平面 A1 BC ,∴ AC1 ? A1C , ∴四边形 AA1C1C 为菱形,故 AA1 ? AC ? 2 ,
F
G
A1 B1

C1

H D
B

A 又 D 为 AC 中点,知∴ ?A1 AC ? 60? .即△ACA1 为等边三角形, 取 AA1 中点 F ,则 CF⊥AA1, 由(1)可知 BC ? 平面 AA1C1C ,∴BC⊥AA1, CF∩BC=C, ∴ AA1 ? 平面 BCF ,AA1 ? 平面 A1AB,从而面 A1 AB ? 面 BCF ,????6 分 过 C 作 CH ? BF 于 H ,则 CH ? 面 A1 AB ,

C

在 Rt ?BCF 中, BC ? 2, CF ? 3 ,则 BF= 7 ,由面积法可得 CH ? 即 CC1 到平面 A1 AB 的距离为 CH ?
2 21 7

2 21 7

,

.???????9 分

(用体积转移法同样给分) (Ⅲ)过 H 作 HG ? A1 B 于 G ,连 CG ,则 CG ? A1B , 从而 ? CGH 为二面角 A ? A1B ? C 的平面角, 在 Rt ?A 1C ? BC ? 2 ,∴ CG ? 2 ,????10 分 1BC 中, A

14 HG 7 14 ? 7 ? 2 则 HG= ,cos∠CGH= CG 7 7 2 7 故二面角 A ? A1B ? C 的余弦值为 . ???????14 分 7 解法 2 :(Ⅰ)如图,取 AB 的中点 E ,则 DE // BC ,∵ BC ? AC ,∴ DE ? AC , 又 A1D ? 平面 ABC ,以 DE , DC , DA1 为 x, y, z 轴建立空间坐标系, ??1 分 z
2 21 在 Rt ?CGH 中,CH= , CG ? 7
则 A(0, ?1,0) , C (0,1,0) , B(2,1,0) , A1 (0,0, t ) , C1 (0, 2, t ) , AC1 ? (0,3, t ) ,

???? ?

A1
B1

???? ??? ? ???? ? ??? ? ? CB , BA1 ? (?2, ?1, t ) , CB ? (2,0,0) ,由 AC ? CB ? 0 ,知 AC 1 1 ???? ? ????

C1

又 BA1 ? AC1 , BC ? BA1 ? B ,从而 AC1 ? 平面 A1 BC .??4 分 (Ⅱ)由 AC1 ? BA1 ? ?3 ? t 2 ? 0 ,得 t ? 3 .设平面 A1 AB 的法向量 x ? ???? ? ???? ??? ? ? n ? AA1 ? y ? 3 z ? 0 ? 为 n ? ( x, y, z) , AA1 ? (0,1, 3) , AB ? (2,2,0) , ? ? ??? , ? ? ? n ? AB ? 2 x ? 2 y ? 0 设 z ? 1 ,则 n ? ( 3, ? 3,1) . ????6 分 ???? ? | AC1 ? n | 2 21 ? ? ∴点 C1 到平面 A1 AB 的距离 d ? .???????9 分 7 |n| ?? ???? ??? ? (Ⅲ)设面 A1 BC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) , CA1 ? (0, ?1, 3) , CB ? (2,0,0) , ?? ???? ? ? m ? CA1 ? ? y ? 3z ? 0 ∴ ? ?? ??? .????10 分 ? ? ? m ? CB ? 2 x ? 0 设 z= -1,则 m ? (0, ? 3, ?1) , 设二面角 A ? A1B ? C 的平面角为 θ ,则
A
D B

C

y

?

??

?? ? m?n 2 7 , cos ? ? ?? ? ? ? | m|?| n | 7 ?2 7
可知二面角 A ? A1B ? C 的余弦值为

7 .???????14 分 7
1 AD,Q 为 AD 的中点, 2
???????1 分 ???????2 分

7、解答:(Ⅰ)证法一:∵AD∥BC,BC=

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即 QB⊥AD.

又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,???????4 分 ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. 证法二:AD∥BC,BC= ∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°,即 QB⊥AD. ∵PA=PD,∴PQ⊥AD. ∵PQ∩BQ=Q PQ、BQ ? 平面PBQ, ∴AD⊥平面 PBQ. ∵AD? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD. (Ⅱ)法一:∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD. ∵面 PAD⊥面 ABCD,且面 PAD∩面 ABCD=AD,∴PQ⊥面 ABCD.?????7 分 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ;??8 分 ???????5 分 ???????6 分

1 AD,Q 为 AD 的中点,∴四边形 BCDQ 为平行四边形, 2
???????1 分 ???????2 分 ???????3 分 ???????4 分 ???????5 分 ???????6 分

?

Q(0,0,0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .
设 M ( x, y, z ) ,则

???? ? ???? ? PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ?z) ??9 分
t ? ?x ? ? 1? t ? x ? t (?1 ? x) ? ???? ? ???? ? ? 3t ? ,???10 分 ? PM ? t ? MC ,∴ ? y ? t ( 3 ? y ) ? ? y ? 1? t ? ? ? z ? 3 ? t (? z ) ? 3 ? z? 1? t ?

在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? ? ? ? 1? t ,1? t ,1? t ? ?, ? ? ∴平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) .??12 分

??? ?

???? ?

?

t

3t

3?

??

? ?? n?m t 3 ? ∵二面角 M ? BQ ? C 为 30°,∴ cos 30? ? ? ?? ? ,得 t ? 3 ??14 分 2 n?m 3 ? 0 ? t2
法二:过点 M 作 MO // PQ 交 QC 于点 O ,过 O 作 OE ⊥ QB 交于点 E ,连接 ME , 因为 PQ ? 面 ABCD ,所以 MO ⊥面 ABCD ,由三垂线定理知 ME ⊥ QB , 则 ?MEO 为二面角 M ? BQ ? C 的平面角。????9 分(没有证明扣 2 分) 设 CM ? a ,则 PM ? a ? t , PC ? 7 ,

?

MO CM 1 ? ? ? MO ? 3a ?????10 分 , PQ CP 1 ? t 7

OE ⊥ QB , BC ⊥ QB ,且三线都共面,所以 BC // OE

?

EO QO PM t t ?a ? ? ? ? EO ? , ????11 分 BC QC PC 1 ? t 7
E E
O

MO ? 在 Rt ?MOE 中 tan ?MEO ? tan 30 ? ,???13 分 EO

? MO ? 3 ? 3 EO t 3

解得 t ? 3

?????14 分

8、(1)证明:∵ AD ? 平面 PDC , PD ? 平面PCD, DC ? 平面PDC ∴ AD ? PD, AD ? DC 在梯形 ABCD 中,过点作 B 作 BH ? CD于H , 在 ?BCH 中, BH ? CH ? 1,??BCH ? 45?. 又在 ?DAB 中, AD ? AB ? 1,??ADB ? 45?.

??BDC ? 45?, ??DBC ? 90?? BC ? BD .??3


? PD ? AD, PD ? DC, AD ? DC ? D .

AD ? 平面ABCD, DC ? 平面ABCD. ? PD ? 平面ABCD,? BC ? 平面ABCD,? PD ? BC, ? BD ? PD ? D, BD ? 平面PBD, PD ? 平面PBD . ? BC ? 平面PBD,
????????????????????????????6 分 ????????????5 分

? BC ? 平面PBC,?平面PBC ? 平面PBD ?????????????????7 分
(2)法一:过点Q 作QM ∥BC 交PB 于点M ,过点M 作MN 垂直于BD 于点N ,连QN . ??8 分 由(1)可知 BC ? 平面 PDB ,? QM ? 平面 PDB ,? QM ? BD ,? QM ? MN ? M

? BD ? 平面 MNQ ,? BD ? QN ,
??QNM 是二面角 Q ? BD ? P 的平面角,

??QNM ? 60?

???????10 分

? PQ ? ? PC
?

?

PQ ? ? ? QM ‖ BC , PC

PQ QM PM ? ? ?? PC BC PB

? QM ? ?BC ,

由(1)知 BC = 2 ,?QM ?

2? ,又? PD ? 1
? MN ? BM PB ? PM PM ? ?1? ?1? ? PB PB PB
??12 分

? MN ∥PD
? tan ?MNQ ?

?

MN BM ? PD PB

QM MN

?

2? ? 3, 1? ?

?? ? 3 ? 6 . ?????????????14 分
(2)法二:以 D 为原点, DA, DC , DP 所在直线为

x, y , z 轴建立空间直角坐标系 (如图)
则 P ? 0,0,1?,C ? 0,2,0?,A?1,0,0?,B ?1,1,0? . 令 Q ? x0 , y0 , z0 ? ,则

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PQ ? (x0,y0 , z0 ?1 ), PC ? (0,2, ?1 ) ? PQ ? ? PC,? (x0,y0 , z0 ?1 ) ?? (0,2, ?1 )
?????????????????????????9 分

(0, 2? ,1 ? ?) . ?Q?

? 是平面 PBD 的法向量. ?????????10 分 ? BC ? 平面 PBD , ? n ? (?1,1,0) ?? 设平面 QBD 的法向量为 m ? . (x,y,z) ? ??? ? ?x ? ? y ? ?x ? y ? 0 ?n ? DB ? 0 ? 则 ? ? ???? ,即 ? 即 ? . 2? 2 ? y ? (1 ? ? ) z ? 0 z ? y n ? DQ ? 0 ? ? ? ? ? ?1 ?
令 y ? 1 ,得 m ? ? ?1,1,

?? ? ?

2? ? ? ?1 ? ?

?????????????????????12 分

? 二面角 Q ? BD ? P 为 60 ? ,

?? ? m?n ?? ? ∴ cos m, n ? ?? ? ? m n

? ?

2 ? 2? ? 2? 2?? ? ? ? ?1 ?
2

?

1 解得 ? ? 3 ? 6 , 2

? Q 在棱 PC 上, 0 ? ? ?????? ? ?? 6 为所求. ??????????????14 分
9、 (1)证明:取 A' C 中点 G ,连接 DG, GF . 则由中位线定理可得, DE ∥ BC , DE ?

1 BC ,?1 分 2

1 BC . 2 所以 DE ∥ GF , DE ? GF , 从而四边形 DEFG 是平行四边形,
同理 GF ∥ BC , GF ? 所以 EF ∥ DG . 又 EF ? 面 A CD , DG
'

????3 分

? 平面 A'CD ,
????5 分

所以 EF ∥平面 A CD . (2)在平面 A' CD 内作 A' H ? CD 于点 H .
? ? DE ? CD ? A ' D ? CD ? D ? ? DE ? A ' D

'

? DE ? 平面 A' CD ? DE ? A' H .

' 又 DE ? CD ? D ,故 A H ? 底面 BCDE ,

' 即 A H 就是四棱锥 A ? BCDE 的高.
'
' 由 A H ? AD 知,点 H 和 D 重合时,

????7 分

' 四棱锥 A ? BCDE 的体积取最大值.

????8 分

分别以 DC, DE, DA 所在直线为 x, y , z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A (0,0, a), B(a,2a,0), E(0, a,0) ,
'

'

A?B ? (a,2a,?a), A' E ? (0, a,?a) .
设平面 A BE 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,
'

?

???9 分

?

?? ? ' ?x ? 2 y ? z ? 0 ?m? A B ? ax ? 2ay ? ax ? 0 由? 得? , ? ? ?y ? z ?m? A' E ? ay ? az ? 0 ? ,
可取 m ? (?1,1,1) . 平面 A' CD 的一个法向量 n ? (0,1,0) .
? ? 故 cos ? m, n ?? m? n ? ? 1 ? 0 ? 1 ? 1 ? 1 ? 0 ? 3 , ? ? 3 3 ?1 mn ? ?

?

????11 分
?

????12 分 ????13 分

所以平面 A CD 与平面 A BE 夹角的余弦值为

'

'

3 . 3

????14 分

' ' (连 A A ,可以证明 ?A CB 即为所求二面角的平面角,易求.参照法一给分)

10、

11、证明:(1)因为 OA , OB , OC 两两垂直, 所以 OA 2 ? OC 2 ? AC 2 , OB 2 ? OC 2 ? BC 2 .

又△ ABC 为等边三角形, AC ? BC , 所以 OA 2 ? OC 2 ? OB 2 ? OC 2 , 故 OA ? OB . ????????????????????????????3 分

(2)因为 OA , OB , OC 两两垂直,

OC ? OA OC ? OB 所以, OA ? OB ? O

? ? ? ? ? OC ? 平面 OAB , ? OA , OB ? 平面OAB ? ?
??????????????????????5 分

而 AB ? 平面 OAB ,所以 AB ? OC . 取 AB 中点 D ,连结 OD , PD .

由(1)知, OA ? OB ,所以 AB ? OD . 由已知 PA? PB,所以 AB ? PD.

? ? ? 所以, ? ? AB ? 平面 POD , OD ? PD ? D ? OD , PD ? 平面POD ? ?
而 PO ? 平面 POD ,所以 AB ? PO . ???????????????????7 分

AB ? OD AB ? PD

AB ? OC AB ? PO 所以, OC ? PO ? O

? ? ? ? ? AB ? 平面 POC , ? OC , PO ? 平面POC ? ?
P

又 AB ? 平面PAB ,所以,平面 PAB? 平面 POC . ????????????????9 分 解:(3)(法一)由(2)知 AB ? 平面 POD , 所以平面 OAB ? 平面 POD , 且平面 OAB ? 平面 POD ? OD , 过点 P 作 PH ? 平面 OAB ,且交 OD 的延长线于点 H ,连接 AH , 因为 PA ?
? M
B

C

5OC , OP ? 6OC ,
O
2 2 2

由(1)同理可证 OA ? OB ? OC , 在△ POA 中, OP ? PA ? OA , 所以 OA ? PA ,又因为 PH ? OA , 所以 OA ? 平面 PAH ,

D
A

H
图4

所以 ?PAH 为二面角 P ? OA ? B 的平面角, 在直角△ PHA 中, cos ?PAH ?

??????????????????11 分

AH , PA

????????????????????12 分

由(2)知 ?AOD ? 45? ,所以△ OAH 为等腰直角三角形, 所以 AH ? OA ? OC ,所以 cos ?PAH ?

AH 5 , ? PA 5
???????????????????14 分

所以,二面角 P ? OA ? B 的余弦值为

5 . 5

(法 2)如图 6,以 OA , OB , OC 所在的直线分别为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系. 由 (1) 同理可证 OA ? OB ? OC , 设 OA ? OB ? OC ? 1 , 则 A(1 , 0 , 0) ,B(0 , 1 , 0) ,C (0 , 0 , 1) ,

??? ? ??? ? OA ? (1, 0, 0) , AB ? (?1,1, 0) .

设 P( x , y , z ) ,其中 x ? 0 , y ? 0 , z ? 0 .

??? ? ??? ? 由 OP ? ( x , y , z ) , AP ? ( x ?1, y , z ) . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 由(2)知 OP ? AB ,且 PA ? 5 OC ? 5 , OP ? 6 OC ? 6 ,
?(?1) ? x ? y ? 0 ? ? 2 2 2 得 ?x ? y ? z ? 6 . ? 2 2 2 ? ?? x ? 1? ? y ? z ? 5
解之,得 x ? y ? 1 , z ? 2 .
z
C

P

???????????11 分

??? ? 所以, OP ? (1,1, 2)
设平面 POA 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 由 n1 ? OA , n1 ? OP ,得 ?

?

M

O
A

B

y

??? ?

??? ?

? x1 ? 0 . ? x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0

x

取 z1 ? 1 ,得 y1 ? ?2 , n1 ? (0 , ? 2 ,1) .

图6

由(2)知,平面 OAB 的法向量为 n2 ? OC ? (0 , 0 ,1) , ???????????????13 分 记二面角 P ? OA ? B 的平面角为 ? ,由图可得 ? 为锐角, 所以 cos ? ?| cos? n1 , n2 ? |?

??? ?

0 ? (?2) ? 0 ? 1?1

1? 5 5 所以,二面角 A ? PC ? B 的余弦值为 . 5

?

5 . 5

????????????????????14 分

【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系,线面垂直、面面垂直的判定与性质,用空间向 量求二面角,考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力.

12、

13、、

14、解:(1)三棱锥 P ? ABC 直观图如图 1 所示; 由三视图知 ?ABC 和 ?PCA 是直角三角形. (2)(法一):如图 2,过 P 作 PH ? BC 交 BC 于点 H , 由三视图知 ?PBC 为等腰三角形,

????????3 分

? BC ? 4 , PH ? 2 3 ,

? PB ? PC ? BC ? 4 , 取 PC 的中点 E ,过 E 作 EF ? PA 且交 PA
于点 F ,连接 BE , BF , 因为 BE ? PC ,由三视图知 AC ? 面 PBC , 且 BE ? 面 PBC ,所以 AC ? BE , 又由 AC ? PC ? C ,所以 BE ? 面 PAC , 由 PA ? 面 PAC ,所以 BE ? PA , BE ? EF ? E ,所以 PA ? 面 BEF , 由 BF ? 面 BEF ,所以 PA ? BF , 所以 ?BFE 是二面角 B ? PA ? C 的平面角.???6 分

z P F E A O(B) H 图2 C x y

? ?PEF ~ ?PAC ,?

PE EF ? , PA AC

? PE ? 2, AC ? 4, PA ? 4 2 ,? EF ? 2 , ??????????????8 分

? 在直角 ?CFE 中,有 tan ?BFE ?

BE ? 6. EF
???????????????9 分

所以,二面角 B ? PA ? C 的正切值为 6 .

(法二):如图 3,过 P 作 PH ? BC 交 BC 于点 H ,由三视图知 ?PBC 为等腰三角形,

BC ? 4 , PH ? 2 3 ,
由图 3 所示的坐标系,及三视图中的数据得:

z P y

B(0, 0, 0) , C (4, 0, 0) , P(2,0, 2 3) , A(4, 4, 0) ,
则 BA ? (4, 4,0) , BP ? (2,0, 2 3) , CA ? (0, 4,0) ,

??? ?

??? ?

??? ?

A O(B) H 图3 C x

??? ? CP ? (?2,0, 2 3) ,
设平面 PAB 、平面 PAC 的法向量分别为 m 、 n .

??? ? ??? ? ? ?4 x1 ? 4 y1 ? 0 设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 m ? BA ? 0 , m ? BP ? 0 ,得 ? , 2 x ? 2 3 z ? 0 ? ? 1 1
令 z1 ? 1, 得 x1 ? ? 3 , y1 ? 3 ,即 m ? (? 3, 3,1) . 设 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,由 n ? CA ? 0 , n ? PA ? 0 ,得 ? ???????6 分

??? ?

??? ?

? ? 4 y2 ? 0 , ? ??2 x2 ? 2 3 z2 ? 0
?????????7 分

令 z2 ? 1 , 得 x2 ? 3 , y2 ? 0 ,即 n ? ( 3,0,1) .

? cos ? m, n ??

m?n ?2 7 , tan ? m, n ?? ? 6 .???????8 分 ? ?? m n 2 7 7

而二面角 B ? PA ? C 的大小为锐角,所以二面角 B ? PA ? C 的正切值为 6 .?9 分 (3)(法一):记 C 到面 PAB 的距离为 h ,由(1)、(2)知 PA ? AB ? 4 2, PB ? 4 ,

1 4 7 h, ? S?PAB ? 4 7 , VC ? PAB ? S?PAB ? h ? 3 3
三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC ?

????????????12 分

1 16 3 S?ABC ? PH ? , 3 3

????????13 分

由 VP? ABC ? VC ? PAB ,可得: h ?

4 21 . 7

???????????????14 分

(法二):由(2)知,平面 PAB 的法向量 m ? (? 3, 3,1) , CA ? (0, 4,0)

??? ?

??? ? 4 21 4 3 m ? CA ? . ? ?h ? m 7 7

记 C 到面 PAB 的距离为 h ,

??????????????????14 分

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,三视图及几何体的直观图,二面角,三棱锥的 体积,空间坐标系等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解 决数学问题的能力. 15、(1)证明:因为 BE // AA 1 , AA 1 ? 平面AA 1D ,
A1 B1 C1 D1

BE ? 平面AA1 D ,所以 BE // 平面AA1 D .
因为 BC // AD , AD ? 平面AA 1D ,

(1 分)

BC ? 平面AA1 D ,所以 BC // 平面AA1 D .
又 BE ? BC ? B , BE ? 平面BCE ,

(2 分)

A

E D B C

BC ? 平面BCE ,所以 平面BCE // 平面ADA 1 . (3 分)
又 平面A1 DCE ? 平面BCE ? EC , 平面A1 DCE ? 平面A1 AD ? A1 D , 所以 EC// A1 D . (4 分)

(2)解:因为 S 梯形ABCD ? 6 ,BC//AD,AD=2BC,所以 S ?ABC ?

1 1 S ?ACD ? S 梯形ABCD ? 2 . 2 3
(6 分)

所以 VC ? A1 AB ? V A1 ? ABC ?

1 1 8 A1 AS ?ABC ? ? 4 ? 2 ? . 3 3 3

(8 分)

(3)解法一:如图,在 ?ADC 中,作 AF ? CD 于 F,连接 A1 F . (9 分) 因为 A1 A ?底面 ABCD, CD ? 底面ABCD , 所以 CD ? A1 A . 又 A1 A ? AF ? A ,所以 CD ? 面A1 AF . 又 A1 F ? 面A1 AF ,所以 CD ? A1 F . 所以 ?A1 FA 为二面角 A1 ? DC ? A 的平面角. 由(2)得 S ?ACD ? (10 分) (11 分)
A E D F B C

A1 B1 C1

D1

2S 2 S 梯形ABCD ? 4 ,所以 AF ? ?ACD ? 4 . 3 CD

(12 分)

所以 t an ?A1 FA ? 所以 ?A1 FA ?

A1 A ? 1, AF

(13 分)

?
4

,即二面角 A1 ? DC ? A 的大小为

? . 4

(14 分)

解法二:如图,以 D 为坐标原点, DA, DD1 分别为 x 轴和 z 轴正方向建立空间直角坐标系 . (9 分) 设 ?CDA ? ? ,BC=a,则 AD=2a.
z A1 B1 C1 D1

a ? 2a 2 ? 2 sin ? ? 6 ,所以 a ? .(10 分) 2 sin ? 4 ,0,4) , 所以 C (2 cos? ,2 sin ? ,0) , A1 ( sin ? 4 ,0,4) . (11 分) 所以 DC ? (2 cos? ,2 sin ? ,0) , DA1 ? ( sin ?
因为 S 梯形ABCD ? 设平面 A1 DC 的一个法向量 n ? ( x, y,1) ,

A x

E D F B C y

4 ? x?4?0 ? x ? ? sin ? ?DA1 ? n ? sin ? 由? ,得 ? ,所以 n ? (? sin ? , cos? ,1) .(12 分) y ? cos ? ? ?DC ? n ? 2 x cos? ? 2 y sin ? ? 0 ?
又平面 ABCD 的一个法向量 m ? (0,01 ), 所以 cos ? n, m ?? (13 分)

n?m | n || m |

?

2 ? ,所以二面角 A1 ? DC ? A 的大小为 . 2 4

(14 分)


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