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2016年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义


高考总复习课程--2014 年高考数学(文)第一 轮复习(新课标)

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

目录
第 1 讲 函数性质与研究(一) .................................................................................

......................... - 1 第 2 讲 函数性质与研究(二) .......................................................................................................... - 1 第 3 讲 集合经典精讲 .......................................................................................................................... - 2 第 4 讲 平面向量经典精讲 .................................................................................................................. - 4 第 5 讲 不等式经典精讲 ...................................................................................................................... - 5 第 6 讲 三角函数经典精讲 .................................................................................................................. - 7 第 7 讲 三角函数新题赏析 .................................................................................................................. - 9 第 8 讲 数列经典精讲 .........................................................................................................................- 11 第 9 讲 数列 2013 新题赏析 .............................................................................................................. - 12 第 10 讲 导函数的概念与法则和定积分初步 .................................................................................... - 13 第 11 讲 导函数的综合题 .................................................................................................................... - 15 第 12 讲 概率与统计 ............................................................................................................................ - 16 第 13 讲 立体几何经典精讲 ................................................................................................................ - 19 第 14 讲 立体几何新题赏析 ................................................................................................................ - 21 第 15 讲 直线与圆经典精讲 ................................................................................................................ - 24 第 16 讲 圆锥曲线经典精讲 ................................................................................................................ - 26 第 17 讲 圆锥曲线 2013 新题赏析 ...................................................................................................... - 28 第 18 讲 复数经典精讲 ........................................................................................................................ - 29 第 19 讲 算法经典精讲 ........................................................................................................................ - 31 第 20 讲 逻辑推理与证明方法 ............................................................................................................ - 34 第 21 讲 选修 4 系列部分知识经典精讲 ............................................................................................ - 35 第 22 讲 选修 4 系列部分知识新题赏析 ............................................................................................ - 37 第 23 讲 高考数学一轮复习综合验收题精讲(一) ............................................................................. - 38 第 24 讲 高考数学一轮复习综合验收题精讲(二) ............................................................................. - 44 第 25 讲 集合与常用逻辑用语经典回顾 ................................................................. 错误!未定义书签。 第 26 讲 函数的概念及其性质经典回顾 ................................................................. 错误!未定义书签。 第 27 讲 数列经典回顾 ............................................................................................. 错误!未定义书签。 第 28 讲 导数及其应用经典回顾 ............................................................................. 错误!未定义书签。 第 29 讲 复数与算法初步经典回顾 ......................................................................... 错误!未定义书签。 第 30 讲 推理与证明经典问题回顾 ......................................................................... 错误!未定义书签。 第 31 讲 选修 4 经典回顾 ......................................................................................... 错误!未定义书签。 讲义参考答案 .......................................................................................................................................... - 50 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

第1讲 函数性质与研究(一)
主讲教师:周沛耕 全国著名数学特级教师

考查方向
? ? ? 函数的代数性质与函数的几何图形互相依存,互相制约,是对立统一的关系 研究函数性质,利用函数性质 用函数观点理解方程、不等式

金题精讲
题一:定义在 R 上的偶函数 f (x)与奇函数 g (x),满足 f (x)+ g (x) = ex,求 f (x)-g (x)<

1 的解集. e

题二:定义在 R 上的函数 f (x) = |x+1|+|x+a|,问 f (x)的图像有无对称性?

题三:关于 x 的方程 x2-

2 = a 有 3 个不等实根,求实数 a 的取值范围. x

第2讲 函数性质与研究(二)
主讲教师:周沛耕 全国著名数学特级教师

考查方向
? ? ? 对解析式变形,化为熟悉问题 对解析式变形,发现函数性质 单调区间的两类求法

-1-

金题精讲
题一:定义在[0, 1]上的函数 f (x)= a ? (b ? a) x ? b ? (a ? b)x ,其中常数 0<a<b,求函数 f (x) 的值域.

题二:对 ? x ? 0,都有 k 1 ? x ? 1 ? x ,求实数 k 的取值范围.

第3讲 集合经典精讲
主讲教师:王春辉 北京数学高级教师

引入
题一:已知集合 A ? {1,2,3} ,且 A 的元素中至少含有一个奇数,则满足条件的集合 A 共有(

?

).

A.6 个

B.5 个

C.4 个

D.3 个

重难点突破
题一: 设函数 f ( x ) 在 R 上存在导数 f ( x) , 对任意的 x ? R 有 f (? x) ? f ( x) ? x , 且在 (0, ??)
'

2

上 f ( x) ? x .若 f (2 ? a) ? f (a) ? 2 ? 2a, 则实数 a 的取值范围为(
'

).

A. [1, ??)

B. (??,1]

C. ( ??, 2]

D. [2, ??)

-2-

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

金题精讲
题一: U 为全集, S1、S 2、S3 均为 U 的非空子集,且 S1 A. ?U S1 C. ?U S1
S2 S3 ? U ,下面正确的是(

).

(S2 痧 U S2

S3 ) ? ?
U

B. S1 ? (痧 U S2 D. S1 ? (痧 U S2

U

S3 ) S3 )

S3 ? ?

U

x ? ? ? ?1? ? 题二:已知全集为 R ,集合 A ? ? x ? ? ? 1? , B ? ?x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0? ,则 A CR B ? ( ? ? ? ?2? ?

).

A. ? x | x ? 0? C. ?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?

B. ?x | 2 ? x ? 4? D. ?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?

2 2 题三:已知 A ? {x x ? ax ? b ? 0}, B ? {x x ? 8 x ? 15 ? 0} ,且 A ? B .

(1)设 A ? {m} ,求 a ? b 的值;(2)求 a ? 4b 的取值范围.
2

题四:集合 A ? {x ? R | x2 ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0, p ? R} ,且 A [0, ??) ? ? ,求实数 p 的取值范围.

题五:设集合 M ? ?1, 2,3, 4,5,6 ? , S1 , S2 ,

, Sk 都是 M 的含有两个元素的子集,且满足:对任意的
-3-

Si ? ?ai , bi ? 、S j ? a j , bj ( i ? j, i, j ??1,2,3,
示两个数 x, y 中的较小者),则 k 的最大值是( A.10 B.11

?

?

? ?a b ? ? a j bj ? ? , k? )都有 min ? i , i ? ? min ? , ? , ( min ? x, y? 表 b a b a ? j j? ? ? i i? ?
). D.13

C.12

题六: A ? {1, 2,
1023 i =1

,10} ,非空子集记为 A1 , A2 ,

, A1023 ,记 s i 为 Ai 中最大数与最小数的和,则

?s

i

1023

?



第4讲 平面向量经典精讲
主讲教师:周沛耕 全国著名数学特级教师

考查方向
? ? 向量的整体运算 向量运算的几何意义

金题精讲
题一: 边长为 1 的正六边形 ABCDEF, 以 A 为起点, 其余点为终点的 5 个向量分别为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ; 以 D 为顶点,其余点为终点的 5 个向量分别为 d1 , d2 , d3 , d4 , d5 . 记 M,m 分别 ( ai ? a j ? ak ) ? (d r ? d s ? d t ) 的最大值和最小值,(i, j, k∈{1,2,3,4,5}且两两不相等; r, s, t∈{1,2,3,4,5}且两两不相等)则( A.m = 0, M >0 ). C.m <0, M =0 D.m <0, M <0

B.m <0, M >0

-4-

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

题二:梯形 ABCD 中,AB//CD,∠ABC = 60° ,|AB|=1,|BC|=3,|CD|=2,动点 P 在线段 BC 上. 求(1)| PA ? 2 PD |最小时 P 点的位置;(2)| PD ? 2 PA |最小时 P 点的位置.

题 三 : 扇 形 AOB 的 圆 心 为 O , 半 径 为 1 , ∠AOB=120°. 动 点 P 在 AB 上 , 且 满 足

OP ? 2? OA ? ?OB (? , ? ? R) ,求 2? ? ? 的最大值.

第5讲 不等式经典精讲
主讲教师:王春辉 北京数学高级教师

引入
?x ? 0 ? 从一道题谈起:不等式组 ? 3 ? x 2 ? x 的解是( ). ?| | ? ?3 ? x 2 ? x A. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | 0 ? x ? 2.5}
C. {x | 0 ? x ? 6 } D. {x | 0 ? x ? 3}

重难点突破
-5-

题一:若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是( A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2 C.a1b2+a2b1 D.

).

1 2

金题精讲
题一:已知三个不等式: ab ? 0, bc ? ad ? 0,

c d ? ? 0 (其中 a, b, c, d 均为实数),用其中两个 a b
).

不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3

题二:若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是 ( A. ?

).

?? ? ? , ? ?3 2?

B. ?

?? ? ,? ? ?3 ?

C. ?

? ? 4? ? , ? ?3 3 ?

D. ?

? ? 3? ? , ? ?3 2 ?

题三:不等式 | x ? log 1 x |? x? | log 1 x | 的解集为(
2 2

).

? ?) A. (1,

? ?) B. (0,

1) C. (0,

1 D. ( ,1) 2

2 题四:已知函数 f ( x) ? ? x ? 2x , g ( x) ? kx ,定义域都是 [0,2] ,若 | f ( x) ? g ( x) |? 1 恒成立,

则实数 k 的取值范围是



-6-

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

题五:解关于 x 的不等式:

a ( x ? 1) ? 2. x?2

题六:已知: a, b, c ? R, 函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,g(x)=ax+b,且当 ? 1 ? x ? 1 时,|f(x)| ? 1 . 求证:(1) |c| ? 1 ;(2)当 ? 1 ? x ? 1 时,|g(x)| ? 2 ;(3)设 a>0,当 | x |? 1 时,g(x)最大值为 2,求 f(x).

第6讲 三角函数经典精讲
主讲教师:王春辉 北京数学高级教师

引入
从一道题谈起:函数 y ?

sin x ? cos x (0 ? x ?

?
2

) 的最小值是_______.

重难点突破
题一:已知 sin 2(? ? ? ) ? n sin 2? ,则 A.
tan(? ? ? ? ? ) ?( tan(? ? ? ? ? )

). D.

n ?1 n ?1

B.

n n ?1

C.

n n ?1

n ?1 n ?1

-7-

金题精讲
1 题一:已知函数 f ( x) ? (2cos2 x ? 1)sin 2 x ? cos 4 x . 2
2 π (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及最大值;(Ⅱ)若 ? ? ( , π) ,且 f (? ) ? ,求 ? 的值. 2 2

题二:若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是( A. ?

).

?? ? ? , ? ?3 2?

B. ?

?? ? ,? ? ?3 ?

C. ?

? ? 4? ? , ? ?3 3 ?

D. ?

? ? 3? ? , ? ?3 2 ?

题三:要得到函数 y ? ( ).

2 cosx 的图象,只需将函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) 的图象上所有的点的

1 ? 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 ? B.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度 2 4
A.横坐标缩短到原来的

? 个单位长度 4 ? D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度 8
C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平行移动

? ?? 4 ? 题四:设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为 6? 5 12 ?



-8-

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

题五:△ ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B . (Ⅰ)求 B ;(Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

题六:是否存在 0 ? x ?

?
2

,使得 sin x, cos x, tan x, cot x 的某种排列为等差数列.

第7讲 三角函数新题赏析
主讲教师:王春辉 北京数学高级教师

引入
从一道题谈起:数列 {an } 的项由下列递归关系定义: a1 ? 试证明数列 {an } 是单调的.

1 ? an 1 * , an ?1 ? ,其中 n ? N . 2 2

重难点突破
题一:设函数 y ? tan( x ?

2 ? ) 的中心是 (? ,0) ,则 | ? | 的最小值是 3



-9-

金题精讲
题一:在 △ABC 中, a ? 3 , b ? 2 6 , ? B ? 2? A . (Ⅰ)求 cos A 的值;(Ⅱ)求 c 的值.

题二:已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

? x ) ? cos( x ? ),g ( x) ? 2sin 2 . 6 3 2
3 3 .求 g (? ) 的值; 5

(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合.

题三:已知 a =(cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ;(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

题四:设 f ( x) ? sin(?x ? ? ), (? ? 0, ? ? R) ,设 T ( T ? 0 ),若存在 T 使 f ( x ? T ) ? Tf ( x) 恒成 立,则 ? 的取值范围为 .

题五:求所有满足 tan A ? tan B ? tan C ? [tan A] ? [tan B] ? [tan C ] 的非直角三角形. (注: [ x] 表示不超过 x 的最大整数)

- 10 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

题六:是否存在 0 ? x ?

?
2

,使得 sin x, cos x, tan x, cot x 的某种排列为等差数列.

第8讲 数列经典精讲
主讲教师:王春辉 北京数学高级教师

引入
从一道题谈起:在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 ).

重难点突破
谈谈递推公式求通项 题一:已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , n ? N ? (1)若 an +1 ? 2an ? 1 , n ? N ? ,求数列的通项 an ;

(2)若 an +1 ? 2an ? n ? 1, n ? N ? ,求数列的通项 an ;

(3)若 an +1 ? 2an ? 4 +2 , n ? N ? ,求数列的通项 an .
n

- 11 -

金题精讲
题一:在公比为 q (q ? 1) 的等比数列 {bn } 中, b2 ? 4 , b1 ? b2 ? b3 ? 14 ,设 n ? N , 则 q ? q 4 ? q7 ?

? q3n?10 ?



题二:设 {an } 满足: a1 ? 2 , an?1 ? Sn ? n , n ? N * .则数列 {an } 的通项公式为



第9讲 数列 2013 新题赏析
主讲教师:王春辉 北京数学高级教师

引入
从一道题谈起:看一个问题: A, B 两人轮流掷一枚骰子,第一次由 A 先掷,若 A 掷到一点,下次仍 由 A 掷,若 A 掷不到一点,下次换 B 掷,对 B 同样适用规则.如此依次投掷,记第 n 次由 A 掷的概 率为 An .
n (1)求 An ;(2)根据公式 lim q ? 0 ( | q |? 1 ),求 lim An .

n ??

n ??

新题赏析
题一:已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 a4 ? 2a1a6 ? a3a5 ? 9 . (1)求 a3 ? a4 的值; (2)若公比 q ? 2 ,求 a5 ? a6 ? a7 ? a8 的值; (3)若 S3 , S9 , S6 成等差数列,求 a1 的值.

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2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

题二: Sn 表示数列 {an }n?1 前 n 项的和,已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2, ?n ? 1, 则 a2013 等于 (A) 3019 ? 2 (C) 3018 ? 22012
2012



(B) 3019 ? 2 (D) 以上三个答案都不对
2013

题三: 设函数 f ( x) ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? 成立.

且对一切正整数 n 都有 f (1) ? n2 ? an xn ( x ? R, n ? N*),

(1)求数列 {an } 的通项公式;(2)求数列 {

1 } 的前 n 项和 P n; an an ?1

(3)求证:f (

3 1 1 1 )<1;(4)设数列 { 2 } 的前 n 项和为 Rn ,求证: Rn ? ? . 2 4n ? 2 3 an

第10讲 导函数的概念与法则和定积分初步
主讲教师:周沛耕 全国著名数学特级教师

考查方向
? ? ? ? 导函数存在的条件 导函数的几何意义 导函数的概念 导函数的法则

金题精讲
题一:定义在 R 上的函数 f (x),命题甲:f (x)是奇函数;命题乙:f ‘ (x)是偶函数;则命题甲是命题 乙的( ). - 13 -

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

题二:求过曲线 y = x3 上的一点 M (?2,?8)的切线方程.

题三:定义在 R 上的函数 f (x),对 ? x∈R,都有 x f ’ (x)+2f (x)>x2. 求证:f (x)>0.

题四:直线 y =a 分别与曲线 y = e 和 y ?
x

1 x2

交于点 P,Q,求|PQ |的最小值.

题五:已知 x>?1,求证:x>ln(1+ x).

x2 ) x1 1 . 题六:在区间(x1,x2)( x1>0)上,求证:存在 x1< ? <x2,使得 ? ? x2 ? x1 ln(

题七:求 ? (sin x ? cos x)dx .
4

?

5? 4

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2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

第11讲 导函数的综合题
主讲教师:周沛耕 全国著名数学特级教师

考查方向
? ? ? ? ? 函数的极值点,单调区间与导函数的关系 分离参数,通过最值求参数取值范围的一般方法 数形结合的思想方法 分情况讨论的思想方法 导函数值的符号与不等式

金题精讲
题一:曲线 y =

x 与曲线 y =alnx 相切的定义如下:

1.两条曲线有公共点; 2.在公共点处有公切线,称这样的公共点为切点. (1)求曲线 y =

x 与曲线 y =alnx 的切点;(2)设 h(x)= f (x) ?g (x),其中 f (x)= x ,g (x) = alnx,

记 P(a)为 h (x)的最小值,变化 a,求 P(a)的最大值.

题二:f (x) =

1 2 x ?ax +(a?1)lnx (a>1), 2

(1)讨论 f (x)的单调情况;(2)设 1<a<5,对 ? x1,x2∈(0,+ ? ),x1≠x2. 求证:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) >?1. x1 ? x2

题三:f (x) = (x?a)2lnx, - 15 -

(1)求 a 使 x =e 是 f (x)的极值点;(2)对 ? x∈(0,3e],都有 f (x)≤ 4e2,求 a 的取值范围.

第12讲 概率与统计
主讲教师:陈孟伟 北京八中数学高级教师

金题精讲
题一:总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的 第 5 个个体的编号为( 7816 3204 A.08 B.07 C.02 ) 6572 9234 D.01 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4369 4869 9728 6938 0198 7481

题二:已知 x 与 y 之间的几组数据如下表: x 1 2

3 1

4 3

5 3

6 4
(1,0 )

y

0

2

? ?a ? ? bx ? .若某同学根据上表中前两组数据 和 ( 2,2) 求 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y

得的直线方程为 y ? b ' x ? a ' ,则以下结论正确的是( A. b ? b ', a ? a ' B. b ? b ', a ? a ' C. b ? b ', a ? a '

) D. b ? b ', a ? a '

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2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义
题三:某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件、80 件、60 件.为了解它 们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查,其中从丙 车间的产品中抽取了 3 件,则 n ? ( A.9 B.10 C.12 D.13 )

题四:将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91,现场 做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示:

8 9
则 7 个剩余分数的方差为( A. ) D.

7 4

7 0 1 0 x 9 1

116 36 B. 9 7

C.36

6 7 7

题五:对一批产品的长度(单位: mm )进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和 [30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为( A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45 )

频率 组距
0.06 0.04 0.02

0.06 0.04 0.03

0.02

10 15 20 25 30 35 长度 - 17 -

题六:盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数 的概率是_______(结果用最简分数表示).

题七:已 知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P ,使△ APB 的最大边是 AB ”发生的概率为

1 AD ,则 ?( 2 AB
A.

) B.

1 2

1 4

C.

3 2

D.

7 4

题八:下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优 良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达 该市,并停留 2 天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率; (Ⅱ)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率;

(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

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2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

题九:某产品的三个质量指标分别为 x, y, z ,用综合指标 S ? x ? y ? z 评价该产品的等级.若 S ? 4 , 则该产品为一等品.先从一批该产品中,随机抽取 10 件产品作为样本,其质量指标列表如下: 产品编号 质量指标 ( x, y, z ) 产品编号 质量指标 ( x, y, z )

A1
(1,1,2)

A2
(2,1,1)

A3
(2,2,2)

A4
(1,1,1)

A5
(1,2,1)

A6
(1,2,2)

A7
(2,1,1)

A8
(2,2,1)

A9
(1,1,1)

A 10
(2,1,2)

(Ⅰ)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;

(Ⅱ)在该样品的一等品中,随机抽取两件产品, (1)用产品编号列出所有可能的结果;

(2)设事件 B 为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于 4”,求事件 B 发生的概率.

第13讲 立体几何经典精讲
主讲教师:陈孟伟 北京八中数学高级教师

引入
在高中阶段,立体几何是培养空间想象能力不可或缺的章节;同样,立体几何是高考考查空间 - 19 -

想象能力必考的内容.

重难点突破
1、 三视图. 高考中常常以三视图为载体考查学生的空间想象能力, 基本题型有从三视图还原直观图、 由直观图得到三视图等. 2、平行垂直的推理证明.主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的平行于垂直关系,要 求学生能清晰分辨图形中的线面的位置关系,证明逻辑清楚、推理严密. 本讲围绕这两个重难点进行讲解.

金题精讲
题一:将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如下图所示,则该几何体的侧视图为( ).

题二:(Ⅰ)某三棱锥的三视图如左图所示,该三棱锥的表面积是__________. (Ⅱ)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为__________.

题三:如图, ABC ? A1B1C1 是各棱长均相等的正三棱柱, D, E 分别 CC1 , AC 的中点.若 P 为 BB1 上一 点,当 PE //平面 AB1 D ,试确定点 P 的位置.

- 20 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义
B1 P A1 D C1

B A

C E

题四:如图,矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 4 . E , F 分别在线段 BC 和 AD 上, EF ∥ AB ,将矩形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面 ECDF . (Ⅰ)求证: NC ∥平面 MFD ; (Ⅱ)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值.
M

A

F

D
N F E C D

A

B

E

C

B

学习提醒
题海无边,总结是岸!

第14讲 立体几何新题赏析
主讲教师:陈孟伟 北京八中数学高级教师

引入
“稳定与创新”永远是高考的主题,高考中的立体几何也不例外.我们不能把数学念成了“八 股文”,不能只把某几个类型的题目练熟,不应该被新颖题目所吓倒.学习数学应该提高分析问题 和解决问题的能力. 本讲我们一起来看看近几年有哪些新颖的题目出现,我们又是利用了哪些不变的方法和能力加 以应对的.

新题赏析

- 21 -

题一:已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB ? 3 , AC ? 4 , AB ? AC ,
AA1 ? 12 ,则球 O 的半径为(

). C.

A.

3 17 2

B. 2 10

13 2

D. 3 10

B1 A1 O

C1

B A

C

题二:如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm ,将一个球放在容器口,再向 容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( A. ).

500? cm3 3

B.

866? cm3 3

C.

1372? cm 3 3

D.

2048? cm3 3

题三:如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, P 为 BC 的中点, Q 为线段 CC1 上的动点,过 点 A, P, Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ,则下列命题正确的是 题的编号). (写出所有正确命

- 22 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义
D1 A1 B1 D P A ①当 0 ? CQ ? B C1 Q C

1 1 时, S 为四边形;②当 CQ ? 时, S 为等腰梯形; 2 2 3 1 3 ③当 CQ ? 时, S 与 C1 D1 的交点 R 满足 C1 R ? ;④当 ? CQ ? 1 时, S 为六边形; 4 3 4
⑤当 CQ ? 1 时, S 的面积为

6 . 2

题四:如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为对角线 BD1 的三等分点,则 P 到各顶点的距离 的不同取值有_________个. D1 A1 B1 C1

D A

P

C B

题五:如图所示,圆柱的高为 2 ,点 A,B,C ,D 分别是圆柱下底面圆周上的点, ABCD 为矩形, PA 是 圆柱的母线, AB ? 2 , BC ? 4 , E , F , G 分别是线段 PA, PD, CD 的中点. (Ⅰ)求证:平面 PDC ? 平面 PAD ;(Ⅱ)求证: PB //平面 EFG ;

(Ⅲ)在线段 BC 上是否存在一点 M ,使得 D 到平面 PAM 的距离为 2?若存在,求出 BM ;若不存 在,请说明理由.

- 23 -

学习提醒
平时全面备考,考时熟题不错、新题不慌!

第15讲 直线与圆经典精讲
主讲教师:王春辉 北京数学高级教师

引入
从一道题谈起:已知点 P 到两定点 M (?1,0) 、 N (1,0) 距离的比为 2 ,点 N 到直线 PM 的距离为 1,求直线 PN 的方程.
y P

M -1

0

N 1

x

重难点突破
x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, sin ? ) ,则( ). a b 1 1 2 2 2 2 A. a ? b ≤1 B. a ? b ≥1 C. 2 ? 2 ≤ 1 a b
题一:若直线

D.

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

金题精讲
题一:对于圆 C1 : (1)若 r (2)若 r (3)若 r (4)若 r

x2 ? y2 ? 1 ,圆 C 2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? r 2 ,
. . . ;它表示的是 - 24 -

? 4 ,两个圆的公切线方程是 ? 5 ,两个圆的公共弦方程是 ? 6 ,两个圆的公切线方程是 ? 3 ,则两圆方程相减所得的直线为

的轨迹.

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义
0) , AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 题二:矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, T (?1 , 1) 在 AD 边所在直线上.
(I)求 AD 边所在直线的方程;

(II)求矩形 ABCD 外接圆的方程;

0) ,且与矩形 ABCD 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的轨迹方程. (III)若动圆 P 过点 N (?2,

题三:如图,已知定圆 C : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 ,定直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 ,过 A(?1,0) 的一条动直线

l 与直线相交于 N ,与圆 C 相交于 P, Q 两点, M 是 PQ 中点.
(Ⅰ)当 l 与 m 垂直时,求证: l 过圆心 C ;

(Ⅱ)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程;

(Ⅲ)设 t ?

AM ? AN ,试问 t 是否为定值,若为定值,请求出 t 的值;若不为定值,请说明理由.

- 25 -

y l C M P O N x Q

A

m

第16讲 圆锥曲线经典精讲
主讲教师:王春辉 北京数学高级教师

引入
从一道题谈起:若椭圆 率的取值范围是

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上存在一点 P ,使得 ?A1 PA2 ? 120? ,则椭圆离心 a 2 b2


归纳与总结

x2 y2 ,a ? b ? 0 上的点 P 看长轴两端点的视角达最大时,点 P 位于 (1)从椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 a b x2 y2 ? ? 1,a ? b ? 0 上的点 P 看两焦点的视角达到最大时,点 P 位于 a2 b2



(2)从椭圆 C :



(3)从椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1,a ? b ? 0 上的点 P 看短轴两端点的视角达最小时,点 P 位于 a2 b2



- 26 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

重难点突破
x2 y 2 题一:已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 和圆 O: x2 ? y 2 ? b2 ,过椭圆上一点 P 引圆 O 的两条切 a b
线,切点分别为 A、B. (1)①若圆 O 过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率 e;

②若椭圆上存在点 P,使得∠APB=90° ,求椭圆离心率的取值范围;

(2)直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N,求证:

a2 b2 ? 为定值. | ON |2 | OM |2

金题精讲
题一:过抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 的直线与抛物线交于 M , N 两点,过 M , N 两点分别作抛物线 的切线,这两条切线的交点为 T . (Ⅰ)求 FT ? MN 的值;

(Ⅱ)求证: FT 是 MF 和 NF 的等比中项. - 27 -

题二:已知双曲线 C : 点,且 ?F1 PF2 =

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , F1、F2 分别为 C 的左、右焦点.P 为 C 右支上一 a 2 b2

?
3

, ?F1 PF2 的面积为 3 3a2 .

(Ⅰ)求 C 的离心率 e;

(Ⅱ)设 A 为 C 的左顶点,Q 为第一象限内 C 上的任意一点,问是否存在常数 ? (? ? 0) ,使得

?QF2 A ? ??QAF2 恒成立.若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

第17讲 圆锥曲线 2013 新题赏析
主讲教师:王春辉 北京数学高级教师

引入
x2 ? y2 ? 1 上的三个点, O 是坐标原点. 4 (Ⅰ)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积;
从一道题谈起:已知 A , B , C 是椭圆 W :

(Ⅱ)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

新题赏析
题一: 已知 C , D 及 A(1, 1)是抛物线 y ? x 上的点, 直线 AC , AD 的倾斜角互补, 求直线 CD 的斜率.
2

- 28 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

题二:已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 F (0, 2) ,且长轴长与短轴长的比是 2 :1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)若椭圆 C 在第一象限的一点 P 的横坐标为 1 ,过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA ,

PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A , B ,求 ?PAB 面积的最大值.

y2 ? 1 短轴的左右两个端点分别为 A, B ,直线 l : y ? kx ? 1 与 x 轴、 y 轴 题三:如图,椭圆 C : x ? 4 分别交于两点 E , F ,与椭圆交于两点 C , D .设直线 AD, CB 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k1 : k2 ? 2 :1 , 求 k 的值.
2

y

l D F

A E C O

B

x

第18讲 复数经典精讲
主讲教师:王春辉 北京数学高级教师

引入

- 29 -

从一道题谈起:复数 A. i

i?2 ?( 1 ? 2i

).

B. ?i

4 3 C. ? ? i 5 5

4 3 D. ? ? i 5 5

重难点突破
题一:已知 1 ? i 是方程 x2 ? bx ? c ? 0 的一个根( b, c 为实数). (1)求 b, c 的值;(2)试判断 1 ? i 是否是方程的根.

金题精讲
题一:设 a, b ? R .“ a ? 0 ”是“复数 a ? bi 是纯虚数”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ).

题二:在复平面内,复数 A. (1, 3 )

10 i 对应的点的坐标为( 3?i
C. ( ? 1, 3)

). D. ( 3, ? 1)

B. ( 3, 1)

题三:已知复数 z 满足 | z |? 1 ,则 | z ? 1 ? i | 的最大值为________.

- 30 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

题四:解方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 .

题五:复数 A, B, C 的模都等于 1 且 A ? B ? C ? 0, 则复数 A.

AB ? BC ? CA 的模等于________. A? B ?C

1 2

B. 1 D.不能确定

C. 3

第19讲 算法经典精讲
主讲教师:王春辉 北京数学高级教师

引入
从一道题谈起:下面程序输出的结果是______________.

s ? 1; for k =0:1:3

s ? s ? 2^ k;
end

s

重难点突破
题一:执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为( A. 8 B. 16 C. 64 ). D. 128

- 31 -

金题精讲
题一:执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为( A. ?3 B. ? ).

1 2

C.

1 3

D. 2

题二:阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i ?



- 32 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义
题三:阅读如图所示的程序框图,若输入的 k ? 10 ,则该算法的功能是( A.计算数列 2n ?1 的前 10 项和 B.计算数列 2n ?1 的前 9 项和 C.计算数列 2n ? 1 的前 10 项和 D.计算数列 2n ? 1 的前 9 项和 ).

? ?

? ? ? ?

?

?

题四:根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为( A.25 B.30 C.31

). D.61

输入x If x≤50 Then y=0.5 * x Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y

题五:将两个数 a ? 8, b ? 17 交换,使 a ? 17, b ? 8 ,下面语句正确一组是( c=b b=a a= c B. a= c c=b b= a D. - 33 -

).

a=b b=a A.

b=a a=b C.

题六:利用秦九韶算法求多项式 an xn ? an?1 xn?1 ? 法的次数各是多少?

? a2 x2 ? a1 x ? a0 的值,所作乘法的次数和加

第20讲 逻辑推理与证明方法
主讲教师:周沛耕 全国著名数学特级教师

考查方向
? ? ? 分情况讨论式的推理 逆向思维的反证方式的推理 命题转化,演绎推理与归纳推理

金题精讲
题一:已知 x1, x2,……xn∈R,x12+x22+……+xn2≤1,求证:对 ? y1, y2,……yn∈R,(n∈N+), (x12+x22+……+xn2?1)(y12+y22+……+yn2?1)≤ (x1y1+ x2y2+……+xnyn?1)2.

题二:梯形 ABCD 中,AD//BC,AB⊥BC,DC 不垂直 BC,AD+BC=CD,E 为 AB 的中点,EF⊥CD 于 F. (1) 求证:DE⊥EC;(2) 求证:DE 平分∠ADC,CE 平分∠BCD;(3) 求证:AF⊥FB.

题三:数列{an}中,0<a1<1,an+1= an(1?ln an),证明:an<an+1<1.

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2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

题四:已知 x∈R,求证:|sinx|+|cosx|≤ 2 .

第21讲 选修 4 系列部分知识经典精讲
主讲教师:陈孟伟 北京八中数学高级教师

重难点突破
极坐标、参数方程、平面几何、不等式、矩阵

金题精讲
题一:在极坐标系中,圆 ? ? 2cos? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为( A. ? =0(? ? R)和? cos? =2 C. ? = (? ? R)和? cos? =1 2 B. ? = (? ? R)和? cos? =2 2 D. ? =0(? ? R)和? cos? =1 ).

?

?

题二:在极坐标系中,曲线 ? ? cos? ? 1 与 ? cos? ? 1 的公共点到极点的距离为__________.

题三:如图,以过原点的直线的倾斜角 ? 为参数,则圆 x2 ? y 2 ? x ? 0 的参数方程为_____________.

- 35 -

?x ? t ? x ? 3cos ? 题四: 在平面直角坐标系 xOy 中, 若l :? ( t 为参数)过椭圆 C : ? ( ? 为参数)的右顶点, ?y ? t ? a ? y ? 2sin ?

则常数 a 的值为_____________.

题五:如图,在 ?ABC 中, ?C ? 90 , ?A ? 60 , AB ? 20 ,过 C 作 ?ABC 的外接圆的切线 CD ,
BD ? CD , BD 与外接圆交于点 E ,则 DE 的长为__________.

题六:如图, ?ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦,且 BD // AC .过点 A 做圆的切线与 DB 的延 长线交于点 E , AD 与 BC 交于点 F .若 AB ? AC , AE ? 6 , BD ? 5 ,则线段 CF 的长为______.

题七:若不等式 | kx ? 4 |? 2 的解集为 {x |1 ? x ? 3} ,则实数 k ? __________.

1 1 5 题八:已知实数 x, y 满足: | x ? y |? , | 2 x ? y |? ,求证: | y |? . 18 3 6

? a 0? 2 2 题九: 设曲线 2 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 1在矩阵 A ? ? ? (a ? 0) 对应的变换作用下得到的曲线为 x ? y ? 1 . b 1 ? ?

(Ⅰ)求实数 a , b 的值;(Ⅱ)求 A2 的逆矩阵.

- 36 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

第22讲 选修 4 系列部分知识新题赏析
主讲教师:陈孟伟 北京八中数学高级教师

新题赏析
? ? x ? 2 cos t 题一:已知曲线 C 的参数方程为 ? ( t 为参数), C 在点 ?1,1? 处的切线为 l ,以坐标原点为 y ? 2 sin t ? ?
极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为___________.

题二:在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。若极坐标方程
2 ? ?x ? t 为 ? cos ? ? 4 的直线与曲线 ? ( t 为参数)相交于 A, B 两点,则 | AB |? ___________. 3 y ? t ? ?

题三: 如图,AB 是圆 O 的直径, 点 C 在圆 O 上, 延长 BC 到 D 使 BC ? CD , 过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E ,若 AB ? 6 , ED ? 2 ,则 BC ? _________. A

E

. O
B

D C

- 37 -

题四: 如图, 弦 AB 与 CD 相交于圆 O 内一点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已 知 PD ? 2DA ? 2,则 PE ? _________.

B

C O E D A

P

题五:已知 a, b, m, n 均为正数,且 a ? b ? 1 , mn ? 2 ,则 (am ? bn)(bm ? an) 的最小值为_______.

题六:在实数范围内,不等式 || x ? 2 | ?1|? 1 的解集为_________.

题七:若

x x x2 y 2 ,则 x ? y ? ______ . ? y ?y ?1 1

? ?1 0 ? ?1 2 ? ,B ? ? 题八:已知矩阵 A ? ? ,求矩阵 A?1 B . ? ? ?0 2 ? ?0 6 ?

第23讲 高考数学一轮复习综合验收题精讲(一)
主讲教师:王春辉 北京数学高级教师

选择题
- 38 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义
注:本讲课程内容较多,故有些题目不在课堂中讲解,没讲到的题目请同学们课下自己练习并对照 详解进行自测.

16 ? x 2 的定义域是( ). x A. ? ?4, 0? ∪ ? 0, 4? B. [-4,4] C. ? ??, ? 4? ∪ ? 4, + ? ? D. ? ?4, 0? ∪ ? 4, + ? ?
题一:函数 y=

题二:设 I 为全集, S1、S 2、S3 是 I 的三个非空子集,且 S1 ? S 2 ? S3 ? I ,则下面论断正确的是 ( ). A. CI S1 ? (S 2 ? S3 ) ? ? C. C I S 1 ? C I S 2 ? C I S 3 ? ? B. S1 ? (CI S 2 ? CI S3 ) D. S1 ? (CI S 2 ? CI S3 )

题三:设 p, q 是两个命题,在下列四个命题中:○ 1 p? q; ○ 2 p?q; 随机抽取一个,恰取到真命题的概率是( ). D.

3 ○

?p ;

4 ?q , ○

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

2 3

题四:函数 f ( x) ? sin x ? (cos x ? sin x) 的最小正周期是( A.

). D. 2?

? 4

B.

? 2

C. ?

题五 题面:一高为 H 的鱼缸,满缸时水量为 V,今不小心将鱼缸底部碰了一个洞,满缸水从洞中流出。 设鱼缸中剩余水的体积为 ..........v ,剩余水的深度为 .......h ,则 v 用 h 表达的函数 v ? f (h) 的图象可能是 ( ). - 39 -

v
V
V

v
V

v
V

v

H

h

H

h

H

h

H

h

A

B

C

D ).

题六:将函数 y ? sin 2 x 按向量 a ? ( ? A. y ? sin( 2 x ? C. y ? sin( 2 x ?

?
6

, 1) 平移后的函数解析式是(
B. y ? sin( 2 x ? D. y ? sin( 2 x ?

? ?
3

) ?1 ) ?1

? ?
3 6

) ?1 ) ?1

6

2 3) ” 题七: 若集合 A ? {x | x ? 5x ? 4 ? 0} ,B ? {x || x ? a |? 1} , 则 “ a ? (2, 是 “B ? A” 的 (

) .

A.充分但不必要条件 C.充要条件

B.必要但不充分条件 D.既不充分又不必要条件

题八:已知实数 a1 , a2 , a3 , a4 依次成等比数列,则下面叙述中错误 的是( .. A.若 a1 ? a2 ,则 2a2 ? a1 ? a3 C.若 a1 ? a2 ,则 a3 ? a4 B. a2 ? a3 ? a4 ? 0

).

D. a1 ? a2 , a2 ? a3 , a3 ? a4 也成等比数列

题九:某老师要把四个学生分派到不同的两个班,每班至少一人,则所有不同的分派方法共( 种. - 40 -



2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义
A.14 B.24 C.40 D.48

? x ? a, ? 题十:设不等式组 ? y ? 1, 表示的平面区域是 W ,若 W 中的整点(即横、纵坐标均为整数 ?2 x ? 3 y ? 35 ? 0 ?
的点)共有 91 个,则实数 a 的取值范围是( ).

? 1] A. (?2,

0) B. [?1,

1] C. (0,

, 2) D. [1

填空题
题一:已知|a|=4,|b|=5,a 与 b 的夹角为 60 ,则|3a -b|=
?

.

题二:数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? ?2 n2 ? 30n ,若对 ?n ? N ,有 St ? Sn ,则整数 t 的取值
*





题三:函数 f ( x) ?

1 2 x ? ln(1 ? x) 的单调增区间为 4



- 41 -

题四:已知函数 f ? x ? ?

sin ? x . ? x ? 1?? x2 ? 2x ? 2?
2

(1)那么方程 f ( x) ? 0 在区间 [?100,100] 上的根的个数是__________.

(2) 对于下列命题: ①函数 f ? x ? 是周期函数; ②函数 f ? x ? 既有最大值又有最小值; ③函数 f ? x ? 的定义域是 R,且其图象有对称轴;④对于任意 x ? (?1,0) , f ' ? x ? ? 0 ( f ' ? x ? 是函数 f ? x ? 的导 函数).其中真命题的序号是 .(填写出所有真命题的序号)

解答题
? 题一:已知函数 f ( x) ? 4cos x sin ( x ? ) ? 1 . 6 ? ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [? , ] 上的最大值和最小值. 6 4

? ??2 ? x ? 2 ? 题二:设不等式组 ? 确定的平面区域为 U, ? x ? y ? 2 ? 0 确定的平面区域为 V. ? ?0? y?2 ?y ? 0 ?

?x ?

y?2?0

(I)定义坐标为整数的点为“整点”.在区域 U 内任取 3 个整点,求这些整点中恰有 2 个整点在区域 V 的概率;

- 42 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

(II) 在区域 U 内任取 3 个点, 记此 3 个点在区域 V 的个数为 X, 求 X 的概率分布列及其数学期望.

2x ? a ( x ? R) 在区间 [ ?1,1] 上是增函数。 x2 ? 2 (1)求实数 a 的值所组成的集合 A ;
题三:已知 f ( x) ?

( 2 ) 设 关 于 x 的 方 程 f ( x) ?

1 的 两 个 根 为 x1、x2 , 试 问 : 是 否 存 在 实 数 m , 使 得 不 等 式 x

m2 ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 | 对任意 a ? A 及 t ? [?1,1] 恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,
请说明理由.

题四: 数列 {an } 中,a1 ? 1 ,an?1 ?

1 2 an ? an ? c ( c ? 1 为常数,n ? 1, 2,3, 2

) , 且 a3 ? a2 ?

1 .(Ⅰ) 8

求 c 的值;(Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 2 ;(Ⅲ)比较

?a
k ?1

n

1
k



40 an ?1 的大小,并加以证明. 39

- 43 -

第24讲 高考数学一轮复习综合验收题精讲(二)
主讲教师:王春辉 北京数学高级教师

选择题
注:本讲课程内容较多,故有些题目不在课堂中讲解,没讲到的题目请同学们课下自己练习并对照 详解进行自测. 题一:计算 (A)2

?

1

0

x 2 dx ? (

). (C)

(B) 1

1 3

(D)

1 4

题二:圆 ?

? x ? 1 ? cos ? 的极坐标方程是( (? 为参数) ? y ? sin ?
(B) ? ? 2 cos ? (C)

). (D) ? ? 2sin ?

(A) ? ? cos ?

? ? sin ?

题三:若双曲线 x ? ky ? 1 的离心率是 2 ,则实数 k 的值是(
2 2

). (D)

(A) ?3

(B) ?

1 3

(C) 3

1 3

题四:下列四个正方体图形中, A、B 为正方体的两个顶点, M 、N、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB // 平面 MNP 的图形的序号是( ).

- 44 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

(A) ①、③

(B) ①、④

(C) ②、③

(D) ②、④

题五:已知向量 a ? ( 3, 1), b ? (0, ? 1), c ? (k , (A) 1 (B) 2 (C) 3

3) .若 a ? 2 b 与 c 共线,则 k ? (
(D) 4

).

题六:在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的 标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人”.根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似 病例数据,一定符合该标志的是( ). (A)甲地:总体均值为 3,中位数为 4 (B)乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 (C)丙地:中位数为 2,众数为 3 (D)丁地:总体均值为 2,总体方差为 3

题七: ?ABC 中, | AB |? (A) ?

?

3 , | BC |? 1 , | AC | cos B ? | BC | cos A ,则 AB ? BC ? (
(C) ?

?

?

?

?

?

).

3 或?1 2

(B)

3 或1 2

3 或? 2 2

(D)

3 或2 2

题八:在 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 3 , D 是边 BC 的中点,则 AD? BC ? ( - 45 -

?

?

).

(A) 5

(B)

5 2

(C)

3 2

(D) 4

题九: 函数 f ( x) ? loga ( x 3 ? ax) (a ? 0, a ? 1) 在区间 ( ? (A) [ ,1)

1 4

(B) [ ,1)

3 4

(C) ( ,?? )

9 4

1 ,0) 内单调递增, 则 a 的取值范围是 ( ) . 2 9 (D) (1, ) 4

题十:设 A (0, 0) , B ( 4, 0) , C ( t ? 4, 3) , D ( t , 3) ( t ? R ) .记 N ( t ) 为平行四边形 ABCD 内部 (不含边界) 的整点的个数, 其中整点是指横、 纵坐标都是整数的点, 则函数 N ( t ) 的值域为 ( ) . (A) {6,8,9} (B) {7,8,9} (C) {6,7,8} (D) {7,8,9}

填空题
? ?2 ≤ x ≤ a ? (a ? 0) 确定的平面区域为 U.在区域 U 内任取一个点 M ( s, t ) , 题一:设不等式组 ?0 ≤ y ≤ 2 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
已知 s ? t 的最大值为 4,则此点到坐标原点的距离不大于 2 的概率是 .

题二:直线 l1 : y ? 3( x ? 2) 关于直线 l : y ? kx 对称的直线 l 2 与 x 轴平行,则 k ?



- 46 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

题三:中国象棋中规定:马每走一步只能按日字格(也可以是横日)的对角线走.例如马从方格中 心点 O 走一步,会有 8 种走法.则从图中点 A 走到点 B,最少需______步,按最少的步数走,共有 ______种走法.

题四: 把函数 f : k ? ik (k ? 1, 2,

, n) 称为 1, 2,

?1,2,?, n ? ? , n 这 n 个整数的一个 “置换” , 记作: ? i , i ,?i ? ?, n? ?1 2

其中 {1,2, ??, n} ={ i1 , i2 ,??, in }.

置换 f 与 g 的积(记作 f ? g )仍为置换,且 f ? g (k ) ? f [ g (k )] , k ? 1,2,?, n . (1) 1, 2,

, n 这 n 个整数的不同“置换”共

个;

(2)求置换的积: ? ?

?1,2,3,4,5 ??1,2,3,4,5 ? ? ? ?? ? ?= ? 5,4,2,1,3 ?? 3,2,1,5,4 ?



解答题
题一:(理)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC , AC ? BC ? AA1 ? 2 . - 47 -

(1)求直线 AC1 和 A1B1 所成角的大小;

(2)求直线 AC1 和平面 ABB1 A1 所成角的大小.

题二:(文)已知:点 P 到定点 M (?1,0) 、 N (1,0) 的距离之比为 2 . (1)求动点 P 的轨迹方程;

(2)若点 N 到直线 PM 的距离为 1,求直线 PN 的方程.

题三:某村子有 1000 人,因附近工厂有毒物质泄漏,现要对每个人的血液进行化验。化验结果呈阳 性的为患病. 把每个人的血样分成两份,先取 k 个人的血液混在一起化验一次.若结果呈阳性,再对这 k 个 人的另一份血样逐个化验。如此继续,直至把患病的人都找到. 假定对所有人来说,化验结果呈阳性的概率是 p ,而且这些人的反应是独立的. 令 ? ? “平均每人检验次数”. (1) k 个人的血液混在一起化验一次,结果呈阳性的概率是多少?

(2)求 ? 的分布列及 E? ;

(3)由以往经验知道 p ? 0.004,要使工作量最小,每次应把多少人的血液混合一起?

- 48 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

(4)估计需要检验的次数. 参考数据:下表给出了使函数 f ( x) ?

1 x ? t ( x ? Z ) 达最小时的 x 的值. x
0.99 11
13

t x

0.984 8
12

0.986 9

0.988 10

0.992 12
16

0.994 13

0.996 16
23

0.998 23

参考数据: 0.992 ? 0.9081; 0.994 ? 0.9247; 0.996 ? 0.9379; 0.998 ? 0.9550.

题四:定义在 R 上的函数 f ( x) ? x2 (ax ? 3) , a 为常数. (Ⅰ)若 x ? 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值;

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 (?1, 0) 上是增函数,求 a 的取值范围;

(Ⅲ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) , x ?[0,2],在 x ? 0 处取得最大值,求正数 a 的取值范围.

- 49 -

讲义参考答案
第1讲 函数性质与研究(一)
金题精讲
题一: (1,

? ?)

题二:有,关于 x

?

?1 ? a 对称 2

题三: (3,

? ?)

第2讲 函数性质与研究(二)
金题精讲
题一:A 题二: [

a ? b , 2(a ? b)]

第3讲 集合经典精讲
引入
题一:B

重难点突破
题一:B

金题精讲
题一:C 题四: (?4, ??) 题二:C 题五:B 题三:(1)15 或 35;(2) (-?,0] 题六:11

{4}

第4讲 平面向量经典精讲
金题精讲
题一:D 题二:(1)P 点距离 B 点

7 17 1 5 或 ;(2) P 点距离 B 点 或 6 3 3 6

题三:2

第5讲 不等式经典精讲
引入
答案:C

重难点突破
题一:A

金题精讲
题一:D 题二:C 题三:C 题四: ?

1 ?k?0 2

- 50 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义
题五: 当 a=2 时, {x|x>2}; 当 a=0 时, 空集; 当 a>2 时, {x| x 当 a<0 时,{x|

?

a?4 a?4 或x ? 2 }; 当 0<a<2 时, {x| 2 ? x ? }; a?2 a?2

a?4 ? x?2} a?2

题六:(1) (2)证明略;(3) f (x)=2x2?1

第6讲 三角函数经典精讲
引入
题一:1

重难点突破
题一:D

金题精讲
题一:(Ⅰ)最小正周期为

2 π 9π ,最大值为 ;(Ⅱ) 2 2 16

题二:C

题三:C

题四:

17 2 50

题五:(Ⅰ)

? 4

;(Ⅱ)

2 ?1

题六:不存在

第7讲 三角函数新题赏析
引入
题一:证明略

重难点突破
题一:

? 6
6 ;(Ⅱ)5 3

金题精讲
题一:(Ⅰ)

1 2? ], k ? Z ;(II) x ? [2k? , 2k? ? 5 3 5 1 题三:(1)证明略;(2) ? ? ? , ? ? ? 6 6
题二:(I) 题四:(2k+1)π, k∈N 题五:三个角的正切值分别是 1,2,3

第8讲 数列经典精讲
引入
题一:B

- 51 -

重难点突破
题一:(1) an =2
n

1 ? 1 ;(2) an =2n +1 ? n ? 2 ;(3) an =2n ?1 + ? 4 n ? 2 2

金题精讲

2 n?4 ? 1) 题一: (8 7

?2n ? 1, n ? 2 题二: an ? ? ?2, n ? 1

第9讲 数列 2013 新题赏析
引入
题一:(1)

An ?

1 1 2 1 ? ? (? ) n?1 ;(2) lim An ? n?? 2 2 3 2
6 2 ?1

新题赏析
题一:(1) a3 题二:A

? a4 ? ?3 ;(2) a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? ?60 ;(3) a1 ? ?

3

题三:(1) an

? 2n ?1 (n ? N*);(2) Pn ?

n ;(3)证明略;(4)证明略 2n ? 1

第10讲 导函数的概念与法则和定积分初步
金题精讲
题一:A 题二:12x?y+16=0 或 3x?y?2=0 题三:证明略 题四:

1 2 ? ln 2 2

题五:证明略

题六:证明略

题七: 2

2

第11讲 导函数的综合题
金题精讲
题一:(1)(e 2,e);(2)1 题二:(1)当 1<a<2 时,函数 f (x)在(0,a?1],[1,+ ? )上单调递增,在[a?1,1]上单调递减;当 a=2 时,f (x) 在(0,+ ? )上单调递增;当 a>2 时,f (x)在(0,1],[a?1,+ ? )上单调递增,在[1,a?1]上单调递减;(2)证 明略 题三:(1)e 或 3e;(2)a∈ [3e ?

2e ,3e] ln 3e
- 52 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

第12讲 概率与统计
金题精讲
题一:D 题五:D 题八:(Ⅰ) 题二:C 题六: 题三:D 题七:D 题四:B

5 7

6 4 ;(Ⅱ) ;(Ⅲ)3 月 5 日. 13 13
2 . 5

题九:(Ⅰ)0.6;(Ⅱ)(1)略;(2)

第13讲 立体几何经典精讲
金题精讲
题一:D 题二:(Ⅰ)30+6

5 ;(Ⅱ)12?π

题三:点 P 位于线段 BB1 靠近 B1 的四等分点

题四:(Ⅰ)略;(Ⅱ)略;(Ⅲ)2

第14讲 立体几何新题赏析
新题赏析
题一:C 题二:A 题三:①②③⑤ 题四:4

题五:(Ⅰ)略;(Ⅱ)略;(Ⅲ) BM ? 2 3

第15讲 直线与圆经典精讲
引入
题一:

y ? x ? 1或 y ? ?x ? 1

重难点突破
题一:D

金题精讲
题一: (1)内公切线:6 x ? 8 y ? 10 (3) 6 x ? 8 y ? 10

? 0 ,外公切线: x ? ?1 和 y ?

7 4 ( x ? 1) ? ; (2)6 x ? 8 y ? 1 ? 0 ; 24 3

? 0 ;(4) 6 x ? 8 y ? 17 ? 0 ,到两个圆切线长相等的点
2 2

x2 y 2 ? ? 1( x ? ? 2) 题二:(I) 3x ? y ? 2 ? 0 ;(II) ( x ? 2) ? y ? 8 ;(III) 2 2
详解:(I)因为

AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,且 AD 与 AB 垂直,所以直线 AD 的斜率为 ?3 .又
- 53 -

, 在直线 因为点 T ( ?11)
所以

AD 上,

AD 边所在直线的方程为 3x ? y ? 2 ? 0 .

(II)由 ?

? x ? 3 y ? 6 ? 0, 解得点 A 的坐标为 (0, ? 2) , ?3x ? y ? 2 = 0
ABCD 两条对角线的交点为 M (2, 0) .所以 M
为矩形

因为矩形

ABCD 外接圆的圆心.



AM ? (2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 .
ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 .

从而矩形

(III)因为动圆 P 过点 N ,所以 所以

PN

是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切,

PM ? PN ? 2 2 ,即 PM ? PN ? 2 2 .
2 的双曲线的左支.

故点 P 的轨迹是以 M ,N 为焦点,实轴长为 2 因为实半轴长 a

? 2 ,半焦距 c ? 2 .所以虚半轴长 b ? c2 ? a2 ? 2 .
x2 y 2 ? ? 1( x ? ? 2) . 2 2

从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为

题三:(Ⅰ)证明略;(Ⅱ) x 详解:(Ⅰ)由已知 k m 将圆心 C

? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 ;(Ⅲ) t 是定值,且 t ? ?5 .
,故 k l

??

1 3

? 3 ,所以直线 l 的方程为 y ? 3( x ? 1) .
.

(0,3) 代入方程易知 l 过圆心 C

(Ⅱ) 当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x

? ?1 符合题意;

当直线与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为

y ? k ( x ? 1) ,由于 PQ ? 2 3 ,
4 . 3

所以

CM ? 1. 由 CM ?

?k ?3 k 2 ?1

? 1 ,解得 k ?

故直线 l 的方程为 x

? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 .

(Ⅲ)当 l 与 x 轴垂直时,易得 M (?1,3) , N ( ?1,?

5 ) ,又 A(?1,0) 则 AM ? (0,3), 3

AN ? (0, ? ) ,故 AM ? AN ? ?5 .
当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为

5 3

即t

? ?5 .

y ? k ( x ? 1) ,代入圆的方程得
- 54 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义

(1 ? k 2 ) x 2 ? (2k 2 ? 6k ) x ? k 2 ? 6k ? 5 ? 0 .
则 xM

?

x1 ? x 2 ? k 2 ? 3k 3k 2 ? k ? , y ? k ( x ? 1 ) ? M M 2 1? k 2 1? k 2

,

即M(

? k 2 ? 3k 3k 2 ? k , ), 1? k 2 1? k 2

AM ? (


? y ? k ( x ? 1), ? 3k ? 6 ? 5k 3k ? 1 3k 2 ? k , ), , ) .又由 ? 得 N( 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1? k 1? k ? x ? 3 y ? 6 ? 0,
?5 ?5k , ). 1 ? 3k 1 ? 3k

AN ? (

故t

? AM ? AN ?

?15k ? 5 ?5k (3k 2 ? k ) ?5(1 ? 3k )(1 ? k 2 ) ? ? ? ?5 . (1 ? k 2 )(1 ? 3k ) (1 ? k 2 )(1 ? 3k ) (1 ? 3k )(1 ? k 2 )
? ?5 .

综上, t 的值为定值,且 t

第16讲 圆锥曲线经典精讲
引入
题一: (0,

6 ] 3

重难点突破
题一:(1)①

2 2

,② [

2 ;(2)定值为 a 2 ,1) b2 2

,证明略

金题精讲
题一:(Ⅰ)0;(Ⅱ)证明略 题二:(Ⅰ)2;(Ⅱ)存在, ? =2.

第17讲 圆锥曲线 2013 新题赏析
引入
题一:(Ⅰ)

3 ;(Ⅱ)不可能

新题赏析
题一: ?

1 2

详解:设直线

AC 的 倾 斜 角 为 α , 直 线 AD 的 倾 斜 角 为 β , 由 直 线 A C, A D的 倾 斜 角 互 补 , 所 以 tan ? ? ? tan(? ? ? ) ? ? tan ? ,于是得: k AC ? k AD ? 0 .
- 55 -

y1 ? 1 y2 ? 1 ? ? 0. x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 1 y2 ? 1 y1 ? 1 y2 ? 1 1 1 又点 C、D 在抛物线上 ∴ ? ? 2 ? 2 ? ? ? 0, x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 1 y2 ? 1 y1 ? 1 y2 ? 1 y1 ? y2 ? 2 1 1 将 通分,得: ? ? 0 ??????????① y1 ? 1 y2 ? 1 y1 y2 ? y1 ? y2 ? 1
设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y2 ) ,则 k AC

? k AD ?

? kx ? b ,与抛物线联立,得: ky 2 ? y ? b ? 0 , 1 ?2 1 b 1 1 ? 2k k 于是 y1 ? y2 ? , y1 y2 ? .代入①式,得: ? ? 0 ,解得: k ? ? . b 1 k k 2 k ? b ?1 ? ?1 k k 2 2 x y ? ? 1 ;(Ⅱ) 2 题二:(Ⅰ) 2 4 x2 y 2 详解:(Ⅰ)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) b a 2 2 2 ?a ? b ? c ? x2 y 2 ? 2 2 ? ? 1. 由题意 ? a : b ? 2 :1 ,解得 a ? 4, b ? 2 .所以,椭圆的方程为 2 4 ? ? ? c? 2 x2 y 2 ? ? 1 ,得: P(1, 2) . (Ⅱ)由椭圆的方程 2 4 由题意知,两直线 PA、PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k,则 PB 的直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) .
由于直线 CD 存在斜率,设 lCD :y

? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 由? 得: (2 ? k ) x ? 2k ( 2 ? k ) x ? ( 2 ? k ) ? 4 ? 0 . x2 y 2 ? ?1 ? ? 2 4

k 2 ? 2 2k ? 2 k 2 ? 2 2k ? 2 设 A(xA, yA),B(xB, yB),则 xB ? 1 ? xB ? ,同理可得 xA ? 2 ? k2 2 ? k2 8k 4 2k 则 xA ? xB ? , y A ? yB ? ? k ( x A ? 1) ? k ( xB ? 1) ? . 2 2 ? k2 2?k y A ? yB 所以直线 AB 的斜率 k AB ? ? 2 为定值. xA ? xB

- 56 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义
? y ? 2x ? m ? 2 2 设 AB 的直线方程为 y ? 2x ? m ,由 ? x 2 ,得 4 x ? 2 2mx ? m ? 4 ? 0 . y2 ? ?1 ? ? 2 4
由△ ? (2 此时, x A

2m)2 ? 16(m2 ? 4) ? 0 ,得 m2 ? 8 .
? xB ? ?
m2 ? 4 2m , xA ? xB ? . 4 2

由椭圆的方程可得点 P(1,

2) ,根据点到直线的距离公式可得 P 到 AB 的距离为 d ?

|m| 3



由两点间距离公式可得 |

3 AB |? ( xA ? xB )2 ? ( yA ? yB )2 ? ? m2 ? 12 , 2

故S

1 1 3 2 | m| 1 m4 | AB | ?d ? ? m ? 12 ? ? ? ? 4m2 PAB ? 2 2 2 2 3 2

1 1 2 1 1 m2 ? (8 ? m2 ) 2 ? m (?m ? 8) ? ? ? 2. 2 2 2 2 2
因为 m2=4 使判别式等于零,所以当且仅当 m=±2 时取等号,所以△PAB 面积的最大值为 题三:3

2.

第18讲 复数经典精讲
引入
题一:A

重难点突破
题一:(1)b=2,c=2;(2)是

金题精讲
题一:B 题二:A 题三:

2+1

题四: x1,2 ?

?1 ? 4 ? 1i 1 3 ?? ? i 2 2 2

题五:B

第19讲 算法经典精讲
引入
题一:64

重难点突破
题一:C

金题精讲
题一:D 题二:5 题三:A 题四:C 题五:B 题六: n, n

- 57 -

第20讲 逻辑推理与证明方法
金题精讲
题一:证明略 题二:证明略 题三:证明略 题四:证明略

第21讲 选修 4 系列部分知识经典精讲
金题精讲
题一:B 题二:

1? 5 2

1 1 ? x ? ? cos 2? ? ? x ? cos2 ? ? 2 2 题三: ? (? ? R). 或 ? ? y ? cos ? ? sin ? ? y ? 1 sin 2? ? ? 2
题四:3 题七:2 题五:5 题八:证明略 题六:

8 3

题九:(Ⅰ) a

? 1 0? ? b ? 1 ;(Ⅱ) ( A2 )?1 ? ? ? ? ?2 1 ?

第22讲 选修 4 系列部分知识新题赏析
金题精讲
题一: ? sin ? ? ?

? ?

??

?? 2 4?

题二:16

题三: 2 3

题四: 6

题五:2

题六: [0, 4]

题七: 0

题八: ?

? ?1 ?2 ? ? ?0 3?

第23讲 高考数学一轮复习综合验收题精讲(一)
选择题
题一:A 题六:A 提示:依题意,即为把函数 题二:C 题三:C 题四:C 题五:A

y ? sin 2 x 向左平移

? 6

个单位再向上平移一个单位,得到的函数解析式为

- 58 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义
y ? sin( 2 x ?
题七:A 题十:C 提示:把整点一个一个找出来:横坐标为 16 的整点 1 个,横坐标为 15 的整点 1 个,横坐标为 14 的整点 2 个,横坐 标为 13 的整点 3 个,横坐标为 12 的整点 3 个,横坐标为 11 的整点 4 个,……,横坐标为 2 的整点 10 个,横坐标

?
3

) ? 1 ;选 A.
题九:A

题八:D

1] .选 C. 为 1 的整点 11 个,共计 91 个,所以 a 的取值范围是 (0,
填空题
题一:

109 . 109 .

略解:因为(3a -b)2= 9a -6 a · b+ b2 =109 ? |3a -b|= 题二:7 或 8. 略解: an

? ?4n ? 32 ,整数 t 的取值是 7 或 8.

题三: (?1,1) . 略解:

f / ( x) ?

1 1 x? ? 0 ? ?1 ? x ? 2 ,注意定义域 x ? 1 . 2 1? x 1 1 f ( ? x ) 与 f ( ? x ) 是否相等. 2 2
π π 时, f ( x) 取得最大值 2 ;当 x ? ? 时, f ( x) 取得最小 6 6

题四:(1)201;(2)②③. 提示:画出函数的草图。对于③,考察

解答题
题一:(Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 π ;(Ⅱ)当 x ? 值 ?1 详解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? 4cos x sin ( x ?

π ) ?1 6

? 4 cos x (

3 1 sin x ? cos x) ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2cos2 x ? 1 2 2

π ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin (2 x ? ) ,所以 f ( x) 的最小正周期为 π . 6
(Ⅱ)因为 ? 当 2x ?

π π π π π 2π π π ≤ x ≤ ,所以 ? ≤ 2 x ? ≤ .于是,当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 2 ; 6 6 4 6 6 3 6 2

π π π ? ? ,即 x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ?1 . 6 6 6

题二:(Ⅰ)

216 3 ;(Ⅱ)E(X)= 2 455

详解:(Ⅰ)由题意,区域U内共有 15 个整点,区域V内共 有 9 个整点,设所取 3 个整点中恰有 2 个整点在区域V

- 59 -

的概率为 P V ,则 P V

? ?

? ??

2 1 C9 ? C6 3 C15

?

216 . 455

(Ⅱ)区域 U 的面积为 8,区域 V 的面积为 4, ∴在区域 U 内任取一点,该点在区域 V 内的概率为 X 的取值为 0,1,2,3. X ∴X的分布列为 X 0 1 2 3

4 1 ? . 8 2

1 ~ B (3, ) 2

1 3 3 1 8 8 8 8 1 3 3 1 3 E? X ? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? . 8 8 8 8 2
P? X ?
题三:(Ⅰ)A={a|-1≤a≤1};(Ⅱ){m|m≥2 或 m≤-2}. 详解:(Ⅰ)f'(x)=

4 ? 2ax ? 2 x 2 ( x 2 ? 2) 2

=

? 2( x 2 ? ax ? 2) ( x 2 ? 2) 2




由 f(x)在[-1,1]上是增函数,知道 f'(x)≥0 对 x∈[-1,1]恒成立, 即 x2-ax-2≤0 对 x∈[-1,1]恒成立. 构造新函数 设 ? (x)=x2-ax-2,

? (1)=1-a-2≤0,
? -1≤a≤1,



?

? (-1)=1+a-2≤0.

∵对 x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f'(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. (Ⅱ)由

2x ? a 1 = x2 ? 2 x

,得 x2-ax-2=0,

∵△=a2+8>0

∴x1,x2 是方程 x2-ax-2=0 的两非零实根,x1+x2=a,x1x2=-2, 从而|x1-x2|=

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

=

a2 ? 8 .

∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=

a 2 ? 8 ≤3.

要使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 当且仅当 m2+tm+1≥3 对任意 t∈[-1,1]恒成立, 即 m2+tm-2≥0 对任意 t∈[-1,1]恒成立. 设 g(t)=m +tm-2=mt+(m -2), g(-1)=m2-m-2≥0, ②
2 2



?
g(1)=m +m-2≥0,
2

? m≥2 或 m≤-2.

所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2 或 m≤-2}.

- 60 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义
题四:(Ⅰ) c

? 2 ;(Ⅲ) ?

1 40 ? an?1 39 k ?1 ak
2

n

详解:(Ⅰ)依题意, a2

1 1 1 2 1? 1? 1 ? a12 ? a1 ? c ? c ? , a3 ? a2 ? a2 ? c ? ? c ? ? ? . 2 2 2 2? 2? 2

2 1 1? 1? 1 ? 1? 1 由 a3 ? a2 ? ,得 ? c ? ? ? ? ? c ? ? ? ,解得 c ? 2 ,或 c ? 1 (舍去). 2? 2? 2 ? 2? 8 8

(Ⅱ)证明:因为 an ?1 ? an 当且仅当 an 因为 a1

?

1 2 1 an ? 2an ? 2 ? (an ? 2) 2 ? 0 , 2 2

? 2 时, an?1 ? an .
( n ? 1, 2,3, ) .

? 1 ,所以 an?1 ? an ? 0 ,即 an ? an?1
*

下面证明:对于任意 n ? N ,有 an 当n

? 2 成立.

? 1 时,由 a1 ? 1 ,显然结论成立. (1)

假设结论对 n ? k 因为 an?1 所以 ak ?1 即当 n

(k ? 1) 时成立,即 ak ? 2.

1 3 1 2 1 3 2 ? an ? an ? 2 ? (an ? 1)2 ? ,且函数 y ? ( x ? 1) ? 在 x ? 1 时单调递增, 2 2 2 2 2 ? 1 3 (2 ? 1) 2 ? ? 2 . 2 2
于是,当 n ? N 时,有 an
*

? k ? 1 时,结论也成立.

? 2 成立.

(2)

(2) 得 根据 (1)、
(Ⅲ)由 an?1

1 ? an ? 2 .

1 2 ? an ? an ? 2 ,可得 an (an?1 ? an ) ? (an ? 2)(an?1 ? 2) , 2

从而

1 1 1 . ? ? an an ? 2 an ?1 ? 2
? 1 ,所以

因为 a1

?a
k ?1

n

1
k

n ? 1 1 ? 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? 1. ?? ak ?1 ? 2 ? a1 ? 2 an ?1 ? 2 2 ? an ?1 k ?1 ? ak ? 2

所以

2 40an (5an?1 ? 3)(8an?1 ? 13) 1 40 1 40 ?1 ? 41an ?1 ? 39 ? a ? ? 1 ? a ? ? . ? n ?1 n ?1 39 2 ? an?1 39 39 ? (2 ? an?1 ) 39 ? (2 ? an?1 ) k ?1 ak n

由 a1

3 13 1 2 ? 1 及 an?1 ? an ? an ? 2 , 经计算可得 a2 ? , a3 ? . 2 8 2
- 61 -

所以,当 n

? 1 时,

1 40 ? a2 ; a1 39

当n

? 2 时,

1 1 40 ? ? a3 ; a1 a2 39

当n
n

? 3 时,由

13 ? an ?1 ? 2 , 8



(5an?1 ? 3)(8an?1 ? 13) 1 40 ? an?1 ? ?0 ? ? 39 39 ? (2 ? an?1 ) k ?1 ak

?a
k ?1

n

1
k

?

40 an?1 . 39

第24讲 高考数学一轮复习综合验收题精讲(二)
选择题
题一:C

1 1 3 略解: x dx ? x ? ,选 C. ?0 3 0 3
1 2

1

题二:B 略解:圆 ( x ? 1) 题三:B 题四:B 题五:A 略解:a ? 2 b ? ( 3, 3) ,因为 a ? 2 b 与 c 共线,所以 3 ? 3 ? k ? 3 ? 0 ,解得 k ? 1 . 题六:D 题七:A 提示: b cos B ? a cos 题八:B 题九:B 题十:C 详解:解法 1:如图,线段 AD , BC 与直线 y ? 1, y ? 2 的交点为 E , F , G, H ,则四边形 ABCD 内部的整点只能出 现在线段 EF , GH 上,而 | EF |?| GH |? 4 ,所以符合条件的整点最多有 8 个,最少有 6 个,通过作图可知 N ( t ) 的 所有可能取值为 6,
2

? y 2 ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? 2 x ,即 ? 2 ? 2? cos? , ? ? 2 cos ? ,选 B.

A ,而

a b ? sin A sin B

,得 sin 2 A ? sin 2 B ,即

A ? B 或 A? B ?

?
2



7, 8 .

- 62 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义
y D 3 2 1 A C

H E
1 2 3 B

G

F

x

解法 2:如图,设 E (t ,1) ,则 F (t ? 4,1) , H (2t , 2) , G (2t ? 4, 2) ,分三种情况讨论: (1)若 t ? Z ,则 2t ? Z ,此时线段 EF , GH 上符合条件的整点各有 3 个, 即 N ( t ) ? 6 . (2)若 t ? Z ,但 2t ? Z ,此时线段 EF , GH 上符合条件的整点分别为 4 个和 3 个, 即 N ( t ) ? 7 . (3)若 2t ? Z ,则 t ? Z ,此时线段 EF , GH 上符合条件的整点各有 4 个, 即 N ( t ) ? 8 . 综上所述, N ( t ) 的所有可能取值为 6,

7, 8 .

填空题
题一:

? ?2
2

.

略解: a

? 2 ,平面区域 U 的边界为三角形, P ?
y 2

? ?2
2

.

O

2

x

题二: k

?

3 3

略解:数形结合,利用“直线平行,内错角等”及“外角等于不相邻两内角之和”.

- 63 -

y

O

30

30 30 60 2

x

题三:4,8 提示:由 A 点出发,第一步可向右,也可向上,选其中一个方向,查数走法数,把结果乘以 2 即可. 题四:(1) n ! (2) ?

?1,2,3,4,5 ??1,2,3,4,5 ? ?1,2,3,4,5 ? ? ? ? 5,4,2,1,3 ? ?? ? ?=? ? ? (注意: f ? g ( k ) 是先经 g 作用,再经 f ? ?? 3,2,1,5,4 ? ? 2,4,5,3,1?

作用).

解答题
题一:(1)直线 AC1 和 详解:(1)因为

A1B1 所成角的大小是 60? ;(2)直线 AC1 与平面 ABB1 A1 所成角的大小是 30



ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 CC1 ? 平面

ABC ,又 AC ? BC ,故 CA , CB , CC1 两两垂直.如图,
以 C 为原点, CA , CB , CC1 分别为 x 轴, 建立空间直角坐标系.

y 轴, z 轴,



A(2, 0, 0) , A1 (2,0, 2) , C1 (0,0, 2) , B1 (0, 2, 2) .

所以

AC1 ? (?2,0, 2) , A1B1 ? (?2, 2,0) .
- 64 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义
因为

cos? AC1 , A1B1 ? ?

AC1 ? A1 B1 AC1 A1 B1

?

1 , 2

所以直线 AC1 和 (2)设平面

A1B1 所成角的大小是 60? .

ABB1 A1 的一个法向量是 n ? (a, b, c) ,则 n ? A1B1 ? 0 , n ? AA1 ? 0 ,
取a



??2a ? 2b ? 0, ? ?2c ? 0,

? 1 ,得 n ? (1,1, 0) .
,其中 0
?

设直线 AC1 与平面

ABB1 A1 所成的角为 ?

??

≤ 90 .

?

因为

sin ? ? cos? AC1,n? ?

| AC1 ? n | 1 ? , | AC1 || n | 2


所以

? ? 30

,即直线

AC1 与平面 ABB1 A1 所成角的大小是 30

题二:(1) x ? y ? 6 x ? 1 ? 0 ;(2)直线 PN 的方程为
2 2

y ? x ? 1或 y ? ?x ? 1 .

详解:(1) x ? y ? 6 x ? 1 ? 0
2 2

(2)方法(一) ?PMN ? 30

?

| PM | | PN | ? ? ?PNM ? 45? 或135? sin ?PNM sin ?PMN
直线 PN 的方程是:x+y-1=0,x-y-1=0 方法(二) ?PMN

? 30? ,做 PQ 垂直 x 轴于 Q 点,设|PN|=a,则

|PM|=

2a ,|PQ|=

2 a ,则 ?PNM ? 45? 或135? 2
y ) ,由题意有 | PM
| ? | PN | 2 ,即

直线 PN 的方程是:x+y-1=0,x-y-1=0 方法(三)设 P 的坐标为 ( x,

2 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ,整理得 x ? y ? 6 x ? 1 ? 0

令点 P( x 0 , y 0 ) ,则直线 y ?

y0 ( x ? 1) ,即 y 0 x ? ( x0 ? 1) y ? y 0 ? 0 x0 ? 1
| 2 y0 | y 0 ? ( x0 ? 1) 2
2

因为点 N 到 PM 的距离为 1, 故

?1

而 ( x0 ? 1) 2 ? y 0

2

2 ? 2 ? ( x0 ? 1) 2 ? y 0 ,

- 65 -

联立方程组,解得 x 则点 P 坐标为 (2 ? 直线 PN 的方程为

? 2 ? 3, x ? 2 ? 3

3,1 ? 3) 或 (2 ? 3,?1 ? 3) 、 (2 ? 3,?1 ? 3) 或 (2 ? 3,?1 ? 3) .

y ? x ? 1 或 y ? ?x ? 1.

题三:(1) 1 ? (1 ?

p) k ;(2) E? ? 1 ? (1 ? p) k ?

1 ;(3) k ? 16 ,使得 E? k

最小;(4)125.

详解:(1)因为这些人的反应是独立的,所以一次检验的 k 个人中,至少有一人呈阳性的概率是: 1 ? (1 ? (2)若 k 个人的血液混在一起化验,结果呈阴性,则 ? 若 k 个人的血液混在一起化验,结果呈阳性,则 ?

p) k

?

1 k



?

1 ? 1; k

1 1 P (? ? ) ? (1 ? p) k , P (? ? ? 1) ? 1 ? (1 ? p ) k k k
分布列为

?
P

1 k

1 ?1 k

(1 ? p) k

1 ? (1 ? p) k

1 1 1 (1 ? p) k ? ( ? 1)(1 ? (1 ? p) k ) ? 1 ? (1 ? p) k ? k k k 1 k (3) p ? 0.004时, E? ? ? (0.996) ? 1 ,这里 E? 是 k 的函数,查表,知道选取 k ? 16 ,使得 E? 最小. k 1 16 ? 0.1246 ,村子有 1000 人,估计需检测 125 次,此时,工作量大约减少了 (4) E? ? 1 ? (1 ? 0.004) ? 16 87.5% . E? ?
6 ? 2 ;(Ⅱ) a ? ?2 ;(Ⅲ) a ? (0, ] . 5

题四:(Ⅰ) a 详解:(Ⅰ )

f ( x) ? ax3 ? 3x2 , f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 3x(ax ? 2) ,

x ? 1 是 f(x)的一个极值点,? f ?(1) ? 0 , a ? 2 ;
(Ⅱ )① 当a ② 当a 当a

? 0 时, f (x) ? ?3x 2 在 (?1, 0) 上是增函数, ? a ? 0 符合题意;

2 ? 0 时, f ?( x) ? 3ax( x ? ) a

,令 f ?( x )

? 0 得: x1 =0, x 2 =

2 a



? 0 时,对任意 x ? (?1, 0) , f ?( x ) ? 0 , ? a ? 0 符合题意;

- 66 -

2014 年高考数学(文)第一轮复习(新课标)课程讲义
2 2 ? 0 时,当 x ? ( , 0) 时 f ?( x ) ? 0 ,? ? ?1 ,? ?2 ? a ? 0 ; a a 综上所述, a ? ?2 .
当a (Ⅲ )当 a

? 0 时, g ( x) ? ax3 ? (3a ? 3) x2 ? 6x , x ? [0, 2] .

g ?( x) ? 3ax2 ? 2(3a ? 3) x ? 6 ? 3[ax2 ? 2(a ?1) x ? 2] ,令 g ?( x) ? 0 ,即

ax2 ? 2(a ?1) x ? 2 ? 0 x1 ? 0, x2 ? 0 .
当0? 当 x2

(*) ,

设方程

(*) 的两个根为 x1 , x2 ,有 x1 x2 ? ?2 ? 0 ,不妨设 x1 ? x2 ,则

x2 ? 2 时, g ( x2 ) 为极小值,所以 g ( x) 在[0,2]上的最大值只能为 g(0)或 g(2);

? 2 时,由于 g ( x) 在 [0, 2] 是单调递减函数,所以最大值为 g(0),所以 g ( x) 在[0,2]上的最大值只能为 g(0)
6 5

或 g(2), 已知

g ( x) 在 x ? 0 处取得最大值,所以 g (0) ? g (2) ,即 0 ? 20a ? 24,解得 a ?

, 又因为 a

? 0 ,所以

6 a ? (0, ] . 5

- 67 -


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