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黑龙江省大庆铁人中学2014届高三上学期期中数学理试题 Word版含答案


大庆铁人中学 2013-2014 学年度上学期高三期中考试
数学试题(理科)
考试时间:120 分钟 2013.11 总分:150 分

9、如图,设 D 是图中边长分别为 1和2 的矩形区域,E 是 D 内位于函数 y ? 下方的阴影部分区域,则阴影部分 E 的面积为(
y
2

1 ( x ? 0) 图象 x



一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共计 60 分,每个选项中,只有一个是正确的)
2 1、已知集合 A ? {x ? N x ? 1 ? 2}, B ? {x x ? x ? 6 ? 0} ,那么 A ? B ? (


O

A

[?1,3]
y? 1 x

B [?1,3) B y ? e?x C y ? lg x

C {?1,0,1,2}

D {0,1,2} )

2、下列函数中,即是偶函数又在区间 (0,??) 上单调递减的是( A D

y ? ?x 2 ? 1

ln 2 A B 1 ? ln 2 C 2 ? ln 2 D 1 ? ln 2 2 10、 设对任意实数 x ? [?1,1] , 不等式 x ? ax ? 3a ? 0 总成立, 则实数 a 的取值范围是 (
A a?0 B a ? 0或a ? ?12 C a?

1

x



1 , 则 f (x) 的递增区间为( ) 11、如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, x ln x 点 P 所转过的弧 AP 的长为 l ,弦 AP 的长度为 d ,则函数 d ? f (l ) 的图象大致是( ) 1 1 1 A (?? , ) B ( 0, ) C ( ,1) D (e,??) e e e ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,则“ a ? 2b cos C ”是“ ?ABC 是等腰三角 4、在
3、设函数 f ( x ) ? 形”的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 5、在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 b ? c ? 2a,3 sin A ? 5 sin B, ,则 角C ? ( A ) B
a

1 2

D

a?

1 4

2 12、已知函数 f ( x) ? x ln x 若关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? 1 有实数解,求实数 k 的取值范

? 3

2? 3
b

C

3? 4

D

5? 6


围是( ) A (??,?1] ? [1,??) C (??,?2] ? [1,??)

B (??,?2] ? [2,??) D (??,?1] ? [2,??)

6、已知 log2 ? log2 ? 1, 则

1 2 ? 的最小值为( a b

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)

A

2 2

B

2 2

C 2

1 D 2

7、已知命题 p : ?x0 ? R 使得 sin x0 ? cos x0 ? 则下列结论正确的是( ) A p ? q 为真 B p ? q 为假 8、为得到函数 y ? cos( 2 x ?

1 3 x ? ;命题 q : ?x ? R ,都有 2 ? x ? 2 , 2 2
D ? p 为真

?y ? x ? 0 ? 13、若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 7 ? 0 则 2 x ? y 的最大值为__________ ?x ? 0 ?
x l 14、 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时,f ( x) ? x ? e , f n 6) 的值为_______ 设 当 则 (

C (?p) ? q 为真

?
3

) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象( )
5? 个长度单位 12 5? D 向右平移 个长度单位 6
B 向右平移

1 1 ? ? 在 x ? (0, ) 上的值域是_________ sin x cos x 2 16、关于函数 f ( x) ? cos x sin 2 x, 下列说法中正确的是_________
15、求函数 y ? ① y ? f (x) 的图象关于 (? ,0) 中心对称;② y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ③ y ? f (x) 的最大值是

5? 个长度单位 12 5? C 向左平移 个长度单位 6
A 向左平移

?
2

对称

3 ; 2

④ f (x) 即是奇函数,又是周期函数

三、解答题(本大题共 6 小题,其中 17 题 10 分,18-22 每题各 12 分,共 70 分)

3? 3? sin(?? ? ) cos( ? ? ) tan2 (? ? ? ) 2 2 17、已知 f (? ) ? ? ? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2 (1)化简 f (? ) 2 (2)若 sin ? 是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,且 ? 是第三象限的角, 求f (? ) 的值

22、已知函数 f ( x) ? ?

1 2 x ? t ln x ? (t ? 1) x 2

(1)求函数 f (x) 的单调区间 (2)若 t ? 0, 不等式 tx 2 ? 2t 2 ln x ? 2t (t ? 1) x ? 1 ? 0 对 x ? 0 恒成立,求 t 的取值范围

18、在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 cos A ? (1)求 tan C 的值 (2) 若a ?

2 , sin B ? 5 cos C 3

2 , 求 ?ABC 的面积。

1 ? ? ) ? sin 2 x ? 2 sin( x ? ) sin( x ? ) tan x 4 4 (1)若 tan? ? 2, 求 f (? ) 的值 (2)求 f (x) 的单调递增区间
19、已知函数 f ( x) ? (1 ? (3)若 x ? [

, ) ,求 f (x) 的取值范围。 12 2

? ?

20、已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 (2) 若对任意 x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 , 有 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立, a 的取值 求 范围。

21、已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ), (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,且其图象上相邻最高点、 最低点间的距离为 4 ? ? 2 (1)求函数 f (x) 的表达式

2 (2)若已知 sin ? ? f (? ) ? ,求 3

2 sin(2? ? ) ? 1 4 的值 1 ? tan?

?

大庆铁人中学 2013-2014 学年度上学期高三期中考试
数学试题(理科)答题卡
题号 得分
一、 题 号 答 案 二、 13 选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共计 60 分) 1 D 2 D 3 B 4 A 5 B 6 C 7 A 8 A 9 D 10 C 11 C 12 A

18 解: (1)由 cos A ?

2013.11
因为

选择题

填空题

17

18

解答题 19 20

2 5 得 sin A ? 3 3 所以 sin(A ? C) ? 5 cosC si n ? 5c o C , B s

21

22

总分

sin A cosC ? cos A sin C ? 5 cosC ,化简得 sin C ? 5 cosC ,即 tanC ? 5
(2)由 tanC ? 5 可知 sin C ?

30 6 , , cosC ? 6 6

sin B ? 5 cosC ?


30 6


a b ? sin A sin B

2 5 3

?

b 30 6

解得 b ?

3

填空题: (本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分)

21 2

14

ln 6 ?

1 6

S ?ABC ?

15 [2 2 ,??)

16 ① ④ ②

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)

cos? ? (? sin ? ) ? tan2 ? ? ? tan2 ? 解: (1) f (? ) ? sin ? ? cos?
2 (2)因为 sin ? 是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,所以 sin ? ? ?

3 5

? 是三象限的角, cos ? ? ? ,
f (? ) ? ? 9 16

4 5

所以 tan ? ?

3 , 4

1 1 30 5 ab sin C ? 6? ? 2 2 6 2 cos x ? ? ) ? sin 2 x ? 2 cos( x ? ) sin( x ? ) 19 解: (1) f ( x) ? (1 ? sin x 4 4 1 ? 1 1 1 ? sin 2 x ? sin 2 x ? sin( 2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2 2 sin ? cos ? 2 tan ? 4 sin 2? ? ? ? 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5 cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan2 ? 3 cos 2? ? ? ?? 2 2 2 5 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 1 1 1 3 所以 f (? ) ? sin 2? ? cos 2? ? ? 2 2 2 5 2 ? 1 (2)由(1)得 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 4 2 ? ? ? 3 ? 令 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? ,解得 ? ? ? k? ? x ? ? k? , 又x ? k? , 2 4 2 8 8 3 ? 所以 f (x) 的增区间为 [? ? ? k? , k? ), (k? , ? k? ], k ? Z 8 8 1 ? ? f ( x) ? (1 ? ) ? sin 2 x ? 2 sin( x ? ) sin( x ? ) tan x 4 4 ? ? ? ? 5? 5? , ) (3) x ? [ , ), 得 2 x ? [ , ? ), 即 2 x ? ? [ 12 2 6 4 12 4

sin(2 x ?
20、

?
4

) ? (?

2 2 ?1 ,1] , f ( x) ? (0, ] 2 2

20(本题满分 12 分) 解: (1) a ? 1 时, f ( x) ? x 2 ? 3x ? ln x , f (1) ? ?2

f ?( x) ? 2 x ? 3 ?

1 , x

f ?(1) ? 0 y ? ?2

所以在 (1, f (1)) 处的切线方程为

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? ax2 ? ax ? ln x, ( x ? 0) 由题可知 g (x) 在 (0,??) 单调递增,所以

g ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立,即
2ax ? a ? 1 ? 0 在 (0,??) 上恒成立,即, x

2ax2 ? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上恒成立,即,
令 h( x) ? 2ax2 ? ax ? 1, ( x ? 0) ① a ? 0, h( x) ? 1 ? 0 恒成立 若 ② a ? 0, h( x) ? 0 不恒成立舍去 若 ③ a ? 0, 若 a ? 0, h( x) ? 0 恒成立只需满足 若

1 a a h ( ) ? 0 ,即 ? ? 1 ? 0 ,解得 0 ? a ? 8 4 8 4
综上 a 的取值范围是 [0,8]

21 (本题满分 12 分) 解: (1)因为函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ), (0 ? ? ? ? ) 为偶函数,所以 ? ?

?
2



f ( x) ? cos?x

设 f (x) 最小正周期为 T ,由题可的得

T ( ) 2 ? 4 ? 4 ? ? 2 ,所以 T ? 2? , 2
2? ? 1 ,所以 f ( x) ? cos x T 2 2 (2)因为 sin ? ? f (? ) ? ,所以 sin ? ? cos ? ? 3 3 5 所以 2 sin ? cos ? ? ? 9

??

2 sin(2? ? ) ? 1 sin 2? ? cos 2? ? 1 4 原式= ? 1 ? tan? 1 ? tan?
? 2 sin ? cos? ? 2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? sin ? ? cos? cos?
5 9

?

??

22 (本题满分 12 分) 解: (1) f (x) 的定义域为 (0,??)

f ?( x) ? ? x ?

t x 2 ? (t ? 1) x ? t ? t ?1 ? ? x x

① t ? 0 时, f (x) 的增区间 (0,1) ,减区间 (1,??) 当 ② 0 ? t ? 1 时, f (x) 的增区间 (t ,1) ,减区间 (0, t ) 和 (1,??) 当 ③ t ? 1 时, f (x) 的减区间 (0,??) 当 ④ t ? 1 时, f (x) 的增区间 (1, t ) ,减区间 当

(0,1)和(t ,??)
(2)原不等式化为 ? 2t[?

1 2 x ? t ln x ? (t ? 1) x] ? ?1 ,即 2 1 1 ? f ( x) max ? f (1) ? t ? 由题设 2t 2 1 2 即 2t ? t ? 1 ? 0 ,解得 t ? ?1或t ? , 2 结合 t ? 0 得 t ? ?1

f ( x) ?

1 , , 2t


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