山东省济宁市鱼台一中2013届高三上学期期中考试 数学文

鱼台一中 2013 届高三上学期期中考试

数学（文）试题
一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）
x 1．已知全集 U ? R ，集合 A ? x 0 ? 2 ? 1 , B ? x log 3 x ? 0 , 则A ? ? CU B ? ? （

?

?

?

?

）

A． x x ? 1

?

?

B． x x ? 0

?

?

C． x 0 ? x ? 1

?

?

D． x x ? 0

?

?

2． ? 是第四象限角， tan ? ? ? A．

1 5

5 ，则 sin ? ? （ ） 12 12 5 B． y ? ? C． 13 13
）

D． ?

5 13

3．设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ，则 a8 的值为（ A．15 B．16

C．49

D．64 ）

4．已知 a ? 3, b ? 4, a与b的夹角为 ? ，则 a 在 b 方向上的投影为（ 120

A．-

3 2

B．-

3 3 2

C．-2

D．- 2 3

5．函数 y ? cos x 在点 (

?
6

,

3 ) 处的切线斜率为（ 2
3 2
1 4

）

A． ?

3 2

B．

C． ?

2 2
）

D． ?

1 2

6．设向量 a ? (cos ? ,2), b ? ( ,1) 且 a // b ，则 cos 2? 等于（ A． ?

3 2

B．

3 2

C． ?

1 2
）

D．

1 2

7．等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ， S13 ?

13 ? ，则 tana7 ? （ 3
C． ? ） C． ?4

A．

3 3

B． 3

3 3

D． ? 3

8．在等比数列 ?an ? , a3 ? 2, a7 ? 8, 则a5 ? （ A． ?4 B．4

D．5

9．在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 2c ? 2a ? 2b ? ab ，则△ABC 是（
2 2 2

）

A．钝角三角形

B．直角三角形 则z ? x? y（

C．锐角三角形

D．等边三角形

? 2 x ? y ? 4, ? 10．设 x, y 满足 ? x ? y ? ?1, ? x ? 2 y ? 2, ?
A．有最小值 2，最大值 3 C．有最大值 3，无最大值

）

B．有最小值 2，无最大值 D．既无最小值，也无最大值

11． 将函数 y ? sin x 的图象向左平移 ? ?0 ? ? ? 2? ?个单位后， 得到函数 y ? sin( x ? 等于（ A． ） B．

?
6

) 的图象， ? 则

? 6

5? 6

C．

7? 6

D．

11? 6

12．已知函数 f ? x ? 是定义域为 R 的偶函数，且 f ? x ? 1? ? ? f ? x ? , 若f ? x ? 在??1,0? 上是增函数， 那么 f ? x ? 在?1,3? 上是（ ）

A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 二、填空题： （本大题共有 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分） 13．函数 f ( x) ? 2|x?1| 的递增区间为 14．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边为 a，b，c，若 a ? 3, b ? 2, B ? 45? ，则角 A= 15． a ? 2 是函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 3 在区间 ?1, 2? 上单调的
2

条件

（在“必要而不充分”，“充分而不必要”， “充要”，“既不充分也不必要”中选择填写） 16．若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 ．

三、解答题： （本大题共有 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17． （本小题满分 10 分） 已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x), 设函数 f ( x) ? m ? n. （1）求 f (x) 的最小正周期与单调递减区间； （2）在△ABC 中 a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边，若 f ( A) ? 4, b ? 1, △ABC 的面积为 求 a 的值．

3 ， 2

18． （本小题满分 12 分） 在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中，AC=4,CB=2,AA1=2，

A1

E

C1

B1
?ACB ? 60? ，E、F 分别是 A1C1 , BC 的中点。
（1）证明：平面 AEB ? 平面 BB1C1C ； （2）证明： C1 F // 平面 ABE； A F B P

C

（3）设 P 是 BE 的中点，求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积。

（本小题满分 12 分） 19． △ ABC 中，D 为 BC 边上一点, BD ? 33 , sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? , 求 AD． 13 5

20． 本小题满分 12 分） （ 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ， ?a ? R ?． （1）当 a ? 2 时,求 f (x) 的单调区间与最值； （2）若 f (x) 在定义域 R 内单调递增，求 a 的取值范围．

21． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a (a, b ? R)
3 2 2

（1）若函数 f ( x)在x ? 1 处有极值 10，求 b 的值； （2）若对任意 a ???4, ??? , f ( x)在x ?[0,2] 上单调递增，求 b 的取值范围。 22． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ， g ( x) ? ? | x ? 3 | ? m ． （1）解关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 （ a ? R ） ； （2）若函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方，求 m 的取值范围．

参考答案
1-5 DDAAD 13． ?1 ? ? ? ， 6-10 CBBAB 11-12 DC 14． 60 或120
? ?

15．充分而不必要

16． （-2，2）

17．解： （1）? m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x),

?? ? ? f ( x) ? m ? n ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? 2 ? 2 sin( 2 x ? ) ? 3 6 2? ?T ? ?? 2 ? 2? ] (k ? Z ) f ( x) 的单调减区间为 [k? ? , k? ? 6 3 ? ? 1 （2）由 f ( A) ? 4 得 f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ? 3 ? 4 ， sin(2 A ? ) ? 6 6 2 ? 又? A为?ABC的内角 ? A ? 3
? S? ABC ? 3 , b ? 1 ?c ? 2 3
1 ? 3 ?a ? 3 2
0

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ?

18． （1）证明：在 ?ABC 中，∵ AC=2BC=4, ?ACB ? 60 ∴ AB ? 2 3
2 2 2 ∴ AB ? BC ? AC ∴ AB ? BC

由已知 AB ? BB1 BB1 ? BC ? B

∴ AB ? 面BB1C1C

故 又∵ AB ? 面ABE， ABE ? 面BB1C1C
， （2）证明：取 AC 的中点 M，连结 C1M , FM 在 ?ABC 中 FM // AB ,
∴ 直线 FM//面 ABE 在矩形 ACC1 A1 中，E、M 都是中点 ∴C1 M // AE ∴ 直线 C1 M // 面ABE 又∵C1 M ? FM ? M 故 C1F // 面AEB （3）在棱 AC 上取中点 G，连结 EG、BG，在 BG 上取中点 O， 连结 PO，则 PO// BB1 ， ? 点 P 到面 BB1C1C 的距离等于点 O 到平面 BB1C1C 的距离。 ∴面ABE // 面FMC1

过 O 作 OH//AB 交 BC 与 H，则 OH ? 平面 BB1C1C

在等边 ?BCG 中可知

CO ? BG,? BO ? 1 在 Rt?BOC 中，可得 OH ?
19． 由 cos ?ADC ?

3 3 ?VP ? B1C1F ? 2 3

12 4 ,sin ?ADC ? ， 13 5 4 12 3 5 33 ? ? ? 从而 sin ?BAD ? sin(?ADC ? B) = sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B ? ? ． 5 13 5 13 65 5 33 ? AD BD BD ? sin B 13 =25 ． ? 由正弦定理得 , 所以 AD ? = 33 sin B sin ?BAD sin ?BAD 65
由已知得 cos B ? 20．解:（1） 当 a ? 2 时， f ( x) ? e x ? 2x ? 1 ，∴ f ?( x) ? e x ? 2 ．
x 令 f ?( x) ? 0 ，即 e ? 2 ? 0 ，解得： x ? ln 2 ；

3 ? ? 0知B ? 5 2

令 f ?( x) ? 0 ，即 e ? 2 ? 0 ，解得： x ? ln 2 ；
x

∴ f (x) 在 x ? ln 2 时取得极小值，亦为最小值，即 f (ln 2) ? 1 ? 2 ln 2 ． ∴ a ? 2 时，函数 f (x) 的单调增区间是 ?ln 2,???，递减区间为 ?? ?, ln 2? 当

f (x) 的最小值为: 1 ? 2 ln 2
（2）∵ f ( x) ? e ? ax ? 1 ， ∴ f ?( x) ? e ? a ． ∵ f (x) 在 R 上单调递增，∴ f ?( x) ? e ? a ? 0 恒
x x x

成立，
x x 即 a ? e ， x ? R 恒成立．∵x ? R 时， e ? ?0,??? ，∴a ? 0 ．即 a 的取值范围为 ?? ?,0? ．

21．解： （1） f ' ( x) ? 3x ? 2ax ? b
2

∵

f (x) 在

?1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ? a?4 x ? 1 处有极值 10∴ ? 解得 ? ? 3 ? 2a ? b ? 0 ?b ? ?11

?a ? ?3 ? ?b?3

2 当 a ? 4, b ? ?11 时， f ' ( x) ? 3x ? 8x ? 11，其中 ? ? 0 ，所以函数有极值点， 2 当 a ? ?3, b ? 3 时， f ' ( x) ? 3( x ? 1) ? 0 ，所以函数无极值点，∴

b 的值为－11

（2）

f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 对任意 a ? ?? 4,? ?? ， x ? ?0,2? 都成立
2

则 F (a) ? 2xa ? 3x ? b ? 0 对任意 a ? ?? 4,? ?? ， x ? ?0,2? 都成立

∵

x?0

∴F (a ) 在 a ? ?? 4,? ?? 上单调递增或为常函数

∴ F (a) min ＝ F (?4) ? ?8x ? 3x 2 ? b ? 0 对任意 x ? ?0,2? 恒成立 即

4 16 16 ? b ? (?3x 2 ? 8x) max ，又 ? 3x 2 ? 8 x ? ?3( x ? ) 2 ? 3 3 3 x? 4 3
时取得最大值 ……（11 分） ∴b 的取值范围 ?

当

?16 ? ,? ? ? ?3 ?

另解（2） f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 对任意 a ? ?? 4,? ?? ， x ? ?0,2? 都成立 即 b ? ?3x 2 ? 2ax 对任意 a ? ?? 4,? ?? ， x ? ?0,2? 都成立，即 b ? (?3x 2 ? 2ax) max 令 F ( x) ? ?3x ? 2ax ? ?3( x ?
2

a 2 a2 ) ? 当 a ? 0 时 F ( x) max ? F (0) ? 0 ，∴b ? 0 3 3

当－ 4 ? a ? 0 时， F ( x) max

a2 a2 a2 16 16 ? ∴b ? …（10 分）又 ( ) max ? ∴b ? 3 3 3 3 3

综上可知 b 的取值范围是 ?

?16 ? , ?? ? ?3 ?

22．解： （1）不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 即为 | x ? 2 | ?a ? 1 ? 0 ， 当 a ? 1 时，解集为 x ? 2 ， 即 (??, 2) ? (2, ??) ； 当 a ? 1 时，解集为全体实数 R ； 当 a ? 1 时，解集为 (??, a ? 1) ? (3 ? a, ??) （2） f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方， 即为 | x ? 2 |? ? | x ? 3 | ?m 对任意实数 x 恒成立， 即 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? m 恒成立， 又对任意实数 x 恒有 | x ? 2 | ? | x ? 3 |≥| ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 ，于是得 m ? 5 ， 即 m 的取值范围是 (??,5)