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《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿


《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会
一、教材分析 1 教材的地位和作用
“函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修 1—1,第三章《导数及其应用》的函数 的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题 后, 结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。 例题精讲强化函数单调性的判断 方法,例题的

选择有梯度,由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式,再解关于含 参数的问题, 最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。 培养学生数形结合思想、 转化思想、 分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性;会求函数的单调区间.在高考中常利 用导数研究函数的单调性,并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问 题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用,形成初步的知识体系,培养学生掌握一定 的分析问题和解决问题的能力。 (一) 知识与技能目标: 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间; 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 (二) 过程与方法目标: 1、通过本节的学习,掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力,数形结合思想、转化思想、分类讨 论的数学思想。 (三) 情感、态度与价值观目标: 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结, 2、培养学生的探索精神,渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思 考和创新的意识,让学生有创新的机会,充分体验成功的喜悦,开发了学生的自我潜能。 (四)教学重点,难点 教学重点:利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 探求含参数函数的单调性的问题。

二、教法分析
针对本知识点在高考中的地位、作用,以及学生前期预备基础,应注重理解函数单调性 与导数的关系,进行合理的推理,引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法,无 参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。 解关于含参数的问题, 注意分类讨论点的确 认,灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学,强调数形结合思想、 转化思想、分类讨论的数学思想的应用,培养学生的探究精神,提高语言表达和概括能力,
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提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力,形成良好的思维品质。启发诱导、研究探 讨、类比联想、总结反思、学会应用、发展潜能、形成能力、提高素质。同时给予存在着数 学学科基础知识较为薄弱, 对数学学习有一定的困难学生激励性评价调动参与的积极性, “面 向全体学生”等教学思想,贯穿于课堂教学之中。

三、学法指导
教师是教学的主导,学生是教学的主体。教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心, 会学是目的。因此,在教学中要不断指导学生学会学习。学生经过会考复习对基本初等函数 掌握较扎实,前面复习了函数的单调性的基本概念,判断方法、导数的概念,以及导数的计 算,为综合应用导数与函数单调性作好充分的准备。但学生学习基础还存在较大的分化,应 抓住基本概念,强化基础知识、基本技能、基本方法的训练,循序渐进的提高,因此在引入 和例题上注重梯度、注重类比、注重数学思想。增加了学生主动参与的机会,增强了参与意 识,教给学生获取知识的途径;思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。也只有这样 做,才能使学生“学”有新“思” , “思”有所“得” , “练”有所“获” 。学生才会逐步感到 数学美,体会成功的喜悦,从而提高学生学习数学的兴趣;也只有这样做,才能适应素质教 育下培养“创新型”人才的需要。

四、教学流程 【教学过程】 一.回顾与思考 1、判断函数的单调性有哪些方法?比如判断 y=x2 的单调性,如何进行?(分别 用定义法、图像法完成) 2、如果遇到函数:y=x3-3x 判断单调性呢?还有其他方法吗? 二.新知探究 函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时, 了解函数的增与减、 增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要 的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变 化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函数的导 数一样都是反映函数变化情况的,那么函数的单调性 与函数的导数是否有着某种内在的联系呢? 【思考】 如图(1) ,它表示跳水运动中高度 h 随 时间 t 变化的函数 h(t ) ? ?4.9t2 ? 6.5 t ? 10的图像,图 (2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函 数 v(t ) ? h' (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像.运动员从起跳到最 高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 【引导】 随着时间的变化,运动员离水面的高度的变化有什么趋势?是逐 渐增大还是逐步减小? 【探究】通过观察图像,我们可以发现:
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(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加,即 h(t ) 是 增函数.相应地, v(t ) ? h' (t ) ? 0 . (2)从最高点到入水,运动员离水面的高 h 随时间 t 的增加而减少,即 h(t ) 是减 函数.相应地, v(t ) ? h' (t ) ? 0 . 【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的 切线的斜率,函数图象上每个点处的切线的 斜率都是变化的,那么函数的单调性与导数 有什么关系呢? 【引导】可先分析函数的单调性与导数的符 号之间的关系. 提出问题 2: 上例得出的结果是不是具有一般 性? 【设计意图】 新课标强调,要“加强几何直观,重视图形 在数学学习中的作用,鼓励学生借助直观进行思 考。 ”所以,我在此处让学生借助几何直观理解函数的单调性与导数的关系,并用几 何画板动态演示,有效促进了学生探索问题的本质。 (三)追踪成果 深入探究 为突破本节课的难点,我通过继续举例,引导学生进一步探究:

探讨:函数的单调性与其导函



正负的关系, 进一步引导学生经历从具体实例揭示数学本质的过程,鼓励学生发 现数学的规律和解决问题的途径,使他们经历知识的形成过程。通过学案,

3

展示学生的探究成 果: 函数 y=f(x) y=x

x ? (??, ??)时,f ?( x) ____ 0 导函数y ? f ?( x)的正负

函数 y=f(x)单调 函数 y=f(x)的单调性

x ? (??,0)时,f ?( x) ____ 0

函数 y=f(x)单调 函数 y=f(x)单调 函数 y=f(x)单调 函数 y=f(x)单调 函数 y=f(x)单调 函数 y=f(x)单调

y ? x2

x ? (0, ??)时,f ?( x) ____ 0
x ? (??,0)时,f ?( x) ____ 0

y ? x3

x ? (0, ??)时,f ?( x) ____ 0 x ? (??,0)时,f ?( x) ____ 0

1 y? x

x ? (0, ??)时,f ?( x) ____ 0

对所展示的学生成果予以及时的鼓励和肯定。 递减,那么 .

【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系? 【探究】如图,导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率. 在 x ? x0 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“ 这时,函数 f ( x) 在 x0 附近单调 ; ”式的,这 ”式的,

在 x ? x1 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“ 时,函数 f ( x) 在 x1 附近单调 .

【设计意图】 上述探究所得结论将是后面利用导数求函数单调区间的理论依据, 重要性不言而 喻。而学生只学习了导数的意义和一些基本运算,要想得到严格的证明不现实。 因此,我采用由易到难,逐步过渡的教学策略,让学生进一步直观观察,并借助
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几何画板动态演示,分析问题的本质。 (四)归纳结论 揭示本质 经历上述探究之后,将学生分成 6 小组,进行讨论交流,揭示函数的单调性与导 数的本质关系,让小组派代表归纳结论。对回答问题的学生进行及时鼓励。在此 基础上,我和学生共同完善结论,并板书结论: 函数的单调性与其导函数正负的关系: 在某个区间(a,b)内, 若 f ' (x)>0,则 f(x)在(a,b)上是增函数; 若 f ' (x)<0,则在 f(x)(a,b)上是减函数.
若 f ?( x) ? 0 ,则为 常数函数(与 y 轴平行)

强调正确理解“某个区间”的含义,它必须是在定义域内的某个区间。 考虑到本节课堂容量较大, 这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性 的情况(如 y=x3 在 x=0 处) ,这一问题将在第二课时探究。
(二)例题精讲

例 1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
(1) f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3; (2) f ( x ) ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 1; (3) f ( x ) ? sin x ? x , x ? (0, ? ).

【设计意图】 求单调区间是导数的一个重要应用,也是本节重点. 通过例 1(1) ,引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤,并给学生示范; 通过例 1(2) ,让学生在黑板解答,进一步规范解题步骤; 通过例 1(3) ,回答本节刚开始提出的问题,解决学生的疑惑.体会用导数解决函 数单调性时的有效性、优越性.
练习 (1) f ( x) ? x ? 3x ? 2
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(2) f ( x) ? x ? ln x

分析: (1)学生动手解题,得出单调区间; (2)学生分析求可导函数单调区间的一般步骤和方法: ①确定定义域; ②求 f ?( x) 、令 f ( x) ? 0 得实根;③间断点与根分区间; ④确定各开区间的符号,得出结论。

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(3)提出可否直接解关于导函数的不等式,列出、解出。

例 1.已知导函数 f ' (x)的下列信息: 当 3<x<5 时,f ' (x)<0; 当 x<3 或 x>5 时,f ' (x)>0; 当 x=3 或 x=2 时,f ' (x)=0. 试画出函数 f ( x )图象的大致形状. 【设计意图】 应用所学,使具体知识形成方法和技能。鼓励学生先自己动手,培养学生积极主 动的学习态度.再通过教师示范,培养学生良好的作图习惯.对于学生在分析过程 中出现的问题,及时指正. 本题是一道开放性的题目,学生的答案也许图象可能向“内”弯曲,可能向“外”弯 曲,也可能是条直线. 举典例进行说明:左图是折线图,右图是平滑的曲线,追 问:两种做法是否都行呢?

y

y = f(x)

y

y = f(x)

o

3

5

x

o

3

5

x

解决办法: 让学生回顾前面所学习, 导数为零的点的附近图象应该几乎没有升降变化, 而“折 点”附近图象升降变化很大,让学生再次动手操作,得到正确图如上,右图.
例题 2、求函数 f ( x) ? x ? mx ? 1 的单调减区间。
3 2

分析: (1)学生观察题目,发现与上例不同之处?如何解决? (2)学生解题得出结果; (3)反思:解关于含参数的导函数问题,应对参数进行讨论(抓住“讨论点”以 及其完整性) 。 (三)课堂小结: 导数与单调性的关系影响到后面函数与极值、最值的求法,对后续学习有着重要地位, 再次强调掌握: (1)利用导数研究函数的单调性的步骤,并与不等式、不等式的解法相结合,注重对参数
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的讨论; (2) 函数单调性与导数关系的充要性; (3)本节课用到的数学思想方法:数形结合、分类讨论、转化思想以及分离变量的方法。 (四)作业布置:1、4、已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax ? 1 ,若在实数集 R 上单调递增,求实数

a 的取值范围;

七.板书设计
附:板书设计 函数的单调性与导数 一、 二、 函数单调性与导数的关系 三、 例题讲解 利用导数求单调性的步骤 例 1: 例 2: 另解: 四、 多媒体

(六)教学反思 1. 导数与单调性的关系影响到后面函数与极值、最值的求法,对学生要强调对后续学习有 着重要地位,是基础中的重点。 2.本节课注重例题的逐步深化,对学生的要求逐步提高。应多引导学生多分析、培养学生学 习——总结——学习——反思的良好习惯,同时通过自我的评价来获得成功的快乐,提 高学生学习的自信心。 3.数学思想方法对解题的指导意义的认识:数形结合、分类讨论、转化思想以及分离变量的 方法。 4.学生两极分化,注重基础。让学生都有所收获,有所提高。

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