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食饵—捕食者模型


《数学模型》课程
食饵—捕食者模型
3. 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型,首先根据该两种群的相互 关系建立模型,解释参数的意义,然后进行稳定性分析,解释平衡点稳定的实 际意义,对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性,并用 matlab 软件画 出图形。

自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、 又有相互制约的 生活方式:种群甲靠丰富的天然资源生长,而种群乙靠捕食甲为生,形成鱼和鲨 鱼,美洲兔和山猫,落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型,生态学称种群 甲为食饵,种群乙为捕食者。二者共同组成食饵—捕食者系统。

一食饵—捕食者
选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设 x(t ) / x1 (t ) 为食饵(食用鱼)在 时刻 t 的数量, y(t ) / x 2 (t ) 为捕食者(鲨鱼)在时刻 t 的数量, r1 为食饵(食用鱼)的 相对增长率, r2 为捕食者(鲨鱼)的相对增长率; N1 为大海中能容纳的食饵(食用 鱼)的最大容量,N 2 为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量,? 1 为单位数量 捕食者(相对于 N 2 )提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于 N1 )消 耗的供养甲实物量的 ? 1 倍;? 2 为单位数量食饵(相对于 N1 )提供的供养捕食者 的实物量为单位数量捕食者(相对于 N 2 )消耗的供养食饵实物量的 ? 2 倍; d 为捕 食者离开食饵独立生存时的死亡率

二模型假设
1.假设捕食者(鲨鱼)离开食饵无法生存;

2.假设大海中资源丰富,食饵独立生存时以指数规律增长;

三模型建立
食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长, 且食饵(食用鱼)的相对增长率为

r1 ,即 x ? ? rx ,而捕食者的存在使食饵的增长率减小,设减小的程度与捕食者数
量成正比,于是 x(t ) 满足方程

x?(t ) ? x(r ? ay) ? rx ? axy

(1)

比例系数 a 反映捕食者掠取食饵的能力。 由于捕食者离开食饵无法生存,且它独立生存时死亡率为 d ,即 y ? ? ?dy , 而食饵的存在为捕食者提供了食物,相当于使捕食者的死亡率降低,且促使其增 长。设这种作用与食饵数量成正比,于是 y(t ) 满足

y ?(t ) ? y(?d ? bx) ? ?dy ? bxy

(2)

比例系数 b 反映食饵对捕食者的供养能力。 方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系,这里没 有考虑种群自身的阻滞作用,是 Volterra 提出的最简单的模型。结果如下。 不考虑自身阻滞作用:数值解 令 x(0)=x0,y(0)=0,设 r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2 求解如下 1)先建立 M 文件 function xdot=shier(t,x) r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02; xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)]; 2)在命令窗口输入如下命令: ts=0:0.1:15; >> x0=[25,2];
>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],

使用 Matlab 求解

>> ts=0:0.1:15; x0=[25,2]; [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x], ans = 省略

>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),

>>>> pause
>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,

(可以猜测,x(t),y(t)是周期函数,与此相应地相轨线 y(x)封闭曲线,从数值 解近似定出周期为 10.7,x 的最大最小值分别为 99.3,2.0,y 的最大,最小值分 别为 28.4 和 2.0,容易算出 x(t),y(t)再一个周期的平均值为 25,10.) 考虑阻滞作用 前面我们没有考虑种群自身的阻滞作用, 接下来我们考虑种群自身的阻滞作 用,在上面(1),(2)两式中加入 Logistic 项,即建立以下数学模型:

? x x ? 1 ?? 2 ? x? (t ) ? r x ? 1 ? 1 1 1? N 1N ? 1 2? ?
? x x ? 1? 2? x ? (t ) ? r x ? ? 1 ? ? 2 2 2? 2N N ? 1 2? ?

(3)

(4)

四平衡点进行理论分析
下面对(3)(4)进行平衡点稳定性分析: 由微分方程(3)、(4)

? ? x x ? 2? ? f ( x1 , x 2 ) ? r x ?1 ? 1 ? ? 1 1? N 1N ? ? 1 2? ? ? ? ? x x ? ? ? 1? 2? ? g ( x1 , x2 ) ? r x ? ? 1 ? ? 2 2 2N N ? ? 1 2? ? ?
令 f(x1,x2)=0,g(x1,x2)=0 得到如下平衡点:

P1 ( N1 ,0) , P2 (

N1 (? 1 ? 1) N 2 (? 2 ? 1) , ) , P3 (0,0) 1 ? ? 1? 2 1 ? ? 1? 2

因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时( x1 , x2 ? 0 )才有意义,所以, 对 P2 而言要求 ? 2 >0。 按照判断平衡点稳定性的方法计算:
? fx A?? 1 ? ? g x1 ? 2x ? x r (1 ? 1 ? 1 2 ) f x2 ? ? 1 N1 N2 ??? g x2 ? r2? 2 x 2 ? ? ? ? N1 ? ? ? ? 2 x1 2 x 2 ? r2 (?1 ? ? ) N1 N2 ? ? ? r1? 1 x1 N2

根据 p 等于主对角线元素之和的相反数,而 q 为其行列式的值,我们得到下 表: 平衡点
p

q

稳定条件

P1 ( N1 ,0)

r1 ? r2 (? 2 ? 1)

? r1r2 (? 2 ? 1)

? 2 <1

P2 (

N1 (1 ? ? 1 ) N 2 (? 2 ? 1) r1 (1 ? ? 1 ) ? r2 (? 2 ? 1) , ) 1 ? ? 1? 2 1 ? ? 1? 2 1 ? ? 1? 2

r1 r2 (1 ? ? 1 )(? 2 ? 1) ? 2 >1 1 ? ? 1? 2

P3 (0,0)

?r 1 ? r 2

? r1r2

不稳定

五模型分析与检验
1.平衡点稳定性的分析及其实际意义: 1) 对 P1 ( N1 ,0) 而言,有 p = r1 ? r2 (? 2 ? 1) , q = ? r1r2 (? 2 ? 1) ,故当 ? 2 <1 时, 平衡点 P1 ( N1 ,0) 是稳定的。 意义:如果 P1 ( N1 ,0) 稳定,则种群乙灭绝,没有种群的共存。 2) 对 P2 (

N1 (1 ? ? 1 ) N 2 (? 2 ? 1) r (1 ? ? 1 ) ? r2 (? 2 ? 1) , , ) 而言,有 p = 1 1 ? ? 1? 2 1 ? ? 1? 2 1 ? ? 1? 2

q=

r1 r2 (1 ? ? 1 )(? 2 ? 1) N (1 ? ? 1 ) N 2 (? 2 ? 1) , 故当 ? 2 >1 时, 平衡点 P2 ( 1 , ) 是稳定的。 1 ? ? 1? 2 1 ? ? 1? 2 1 ? ? 1? 2
意义:如果 P2 (

N1 (1 ? ? 1 ) N 2 (? 2 ? 1) , ) 稳定,则两物种恒稳发展,会互相依 1 ? ? 1? 2 1 ? ? 1? 2

存生长下去。 3)对 P3 (0,0) 而言, 由于 p ? ?r1 ? r2 ,q ? ?r1r2 , 又有题知 r1 >0, r2 >0,故 q <0, 即 P1 ( N1 ,0) 是不稳定的。

六用 MATLAB 求解验证
下面将进行 MATLAB 软件求解此微分方程组中的 x1 (t ) 、x 2 (t ) 的图形及相轨线

图形。 设 ? 1 ? 2 , ? 2 ? 6 , r1 ? 1, r2 ? 0.3 , N1 ? 3000, N 2 ? 400,使用MATLAB软件求 1)建立 M 文件 function y=fun(t,x) y=[x(1).*(1-x(1)./3000-2*x(2)./400);0.3.*x(2).*(-1+6.*x(1)./3000-x(2) ./400)]; 2)在命令窗口输入如下命令: ts=0:0.1:20 ts =省略 >> x0 =[3000 60] x0 = 3000 60

>> [t,x]=ode45('fun',[0,20],[3000,60]) t =省略

>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')

图1.数值解 x1 (t ) , x 2 (t ) 的图形

>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,

图2.相轨线图形 从数值解及 x1 (t ) , x 2 (t ) 的图形可以看出他们的数量变化情况,随着时间的 推移,都趋于一个稳定的值,从数值解中可以近似的得到稳定值为:(750,150)。

参考文献:数学模型(教材,第三版)P192-P196


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