当前位置:首页 >> 数学 >>

2.3.1双曲线及其标准方程课件


2.3.1 2.2.1双曲线及其 标准方程

复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题:

/>Y

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B),
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.

| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 思考: (1)2a<2c ; (2)2a >0 ;
F1 o F2 M

(1)若2a=2c,则轨迹是什么? (1)两条射线 (2)若2a>2c,则轨迹是什么? (2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是什么? (3)线段F1F2的垂直平分线

双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1. 建系.

y
M

以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点. 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式

F1

O

F2

x

|MF1| - |MF2|=±2a


4.化简

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

? ( x ? c)

2

?y

2

? ? ?? 2a ?
2

( x ? c) ? y
2

2

?

2

cx ? a 2 ? ? a ( x ? c) 2 ? y 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2
x2 a2

? b 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

y2

此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程

若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M

y
M F2 x

F1

O

F2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y
M

y
M F2

F ( ±c, 0)

F1

o

F2

x
F1

x

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

F(0, ± c)

说明: (1)双曲线的标准方程用减号 “-” 连接; (2)双曲线方程中a>0,b>0,但a不一定大于b (3)如果x2的系数是正的,则焦点在x轴上; 如果y2的系数是正的,则焦点在y轴上; (4)双曲线标准方程中,a,b,c的关系是c2=a2+b2; (5)双曲线的标准方程可统一写成Ax2-By2=1(AB>0)

双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

1.写出下列椭圆或双曲线的焦点坐标, 四 并归纳出确定焦点位置的方法:

、 基 本 练 习

x2 y2 (1) ? ?1 25 9 x2 y2 (2) ? ?1 9 25 x2 y2 (3) ? ?1 9 16
y x (4) ? ?1 16 9
2 2

F1(4,0), F2(-4,0) F1(0,4), F2(0,-4) F1(5,0), F2(-5,0) F1(0,5), F2(0,-5)

把椭圆方程化成标准 形式后,

焦点跟着大值走

把双曲线方程化成标 准形式后,

焦点跟着正项走

x2 y 2 ? ? 1上一点 P 到 例1、已知双曲线 9 16
双曲线的一个焦点的距离为9,则它到另一个焦点 的距离为 3或15 .
思考: 思考:

若把距离9改为3, 则现在有几解?

若把距离9改为7, 则现在有几解?

例2 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线 的标准方程.
解:根据题意可知,双曲线的焦点在 x 轴上, 设它的标准方程为: x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 2 a b

定焦点 设方程



2a = 6,

c=5




a = 3, c = 5

确定a、b、c
b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为:
x2 y2 ? ?1 9 16

变式训练 1:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 ? 10 ,求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1F2 ? 10 ,

PF1 ? PF2 ? 10

∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y ? 0( x ≥ 5 或x ≤ ?5) .

变式训练 2:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足

PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程.

变式训练 2:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足

PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 解: ∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6
∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x y ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
2 2

练习
写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1.a=4,b=3,焦点在x轴上;

2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
3.a=4,过点(1,
4 10 3

)

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在x轴上的双曲线, 例 3、 2? m m ?1 求m的取值范围.
略解: 2+m>0, m+1>0

若上述方程表示焦点在y轴的双曲线时,求m的范 围? 。 解: 2+m<0, m+1<0

变题:若条件为方程表示双曲线, m的取值范围又为何?

解: (2+m)(m+1)>0

例4.已知双曲线的焦点在y轴上,并且两点P1 (3, ?4 2 ) 、 P2 (9/4 ,5)在双曲线上,求双曲线的标准方程。
y2 x2 (a ? 0,b ? 0) 解:由题意可设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 a b 把点P1,P2坐标代入得 待定系数法 ?(?4 2)2 9
? 2 ? 1 ? 2 b ? a ? 9 2 ( ) ? 25 ? 2 ? 42 ? 1 ?a b

?a 2 ? 16 ? ? 2 ?b ? 9

y2 x2 ? ?1 所以所求双曲线的标准方程为 16 9
说明:本题只要解得 必要求出

a ,b

2

2

即可得到双曲线的方程,没有

a, b

的值;在求解的过程中也可以用换元思

想,可能会看的更清楚。

例4变式. 已知双曲线的焦点在坐标轴上,并且双曲线上两点 P 1, P 2

坐标分别为 (3, ?4 2), ( ,5) ,求双曲线的标准方程。

9 4





法1. 运用待定系数法分类讨论求解. 法2.已知双曲线过两点,而又不能确定其焦点 位置时,可不讨论用待定系数法直接设方程 为 mx2+ny2=1(mn<0) 避免讨论.

例5. 已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

如图所示,建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上,并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y), 则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 A o B x 即 2a=680,a=340 ? AB ? 800 ? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44400 ? 800 ? PA ? PB ? 680 ? 0 , ? x ? 0 x 2 y2 ? ? 1( x ? 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400

思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.

思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差,可以确定爆炸点在某条曲线上,但不能确定 爆炸点的准确位置 . 而现实生活中为了安全,我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
答:再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两处 测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方 程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

学习小结: 本节课主要是进一步了解双曲线的定义 及其标准方程 , 并运用双曲线的定义及其标 准方程解决问题, 体会双曲线在实际生活中 的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根 据例 3 这个原理来定位的. 运用定义及现成的模型思考 , 这是一个 相当不错的思考方向 . 即把不熟悉的问题往 熟悉的方向转化,定义模型是最原始 ,也是最 容易想到的地方.

作业:
1. 已知动圆 ⊙P 与 ⊙F1 : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 36 外切 , 且 过点 F2 (5,0) ,求动圆圆心 P 的轨迹方程.
x2 2.设 F1 , F2 是双曲线 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上, 4
且满足 ?F1 PF2 ? 90 ,求 △F1 PF2 的面积.
?

课堂练习(巩固及提高): 1. 已知在 △ ABC 中 , B(?5,0) , C (5,0) , 点 A 运动时满足 3 sin B ? sin C ? sin A ,求点 A 的轨迹方程. 5 2 2

2.如图,圆 O 的半径为定长 r ,A 是 圆 O 外一定点,P 是圆上任意一点, 线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆 O 上运动时, 点 Q 的轨迹是什么?为什么?

x y ? ? 1( x ? ?3) 9 16

练习:证明椭圆

x y ? ?1 25 9

2

2

与双曲线

x2-15y2=15的焦点相同. 变式: 上题的椭圆与双曲线的一个交点为P, 焦点为F1,F2,求|PF1|.
分析:
? |PF1|+|PF2|=10, ? ?| PF1 | ? | PF2 |? ?2 15.


相关文章:
选修2-1教案2.3.1双曲线及其标准方程、几何性质
选修2-1教案2.3.1双曲线及其标准方程、几何性质选修2-1教案2.3.1双曲线及其标准方程、几何性质隐藏>> 2.3.1 双曲线及其标准方程 教学要求:学生掌握双曲线的...
高中数学选修2-1新教学案:2.3.1双曲线及其标准方程
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...高中数学选修2-1新教学案:2.3.1双曲线及其标准方程_数学_高中教育_教育专区。...
2.2.1双曲线及其标准方程教案
2.2.1 双曲线及其标准方程教案 一、教学目标 1.知识与技能目标 理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义 解决实际问题; 2.过程与方法目标 理解...
双曲线及其标准方程(说课稿)
为此本课的目标设定如下: 1.理解双曲线的概念及其标准方程2.通过多媒体课件演示、数形结合,从运动变化观点来认识、掌握双曲线及其方程,增 强学生分析问题,...
...第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案...
浙江省台州市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案新人教A版选修2-1课件_高考_高中教育_教育专区。2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标: ...
高中数学选修2-1同步练习 2.3.1双曲线及其标准方程(含...
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 高中...高中数学选修2-1同步练习 2.3.1双曲线及其标准方程(含答案)_数学_高中教育_...
双曲线及其标准方程
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...2.双曲线的标准方程和几何性质 x2 y2 -=1 a2 b2 标准方程 (a>0,b>0)...
双曲线及其标准方程(1)的教学设计
法的应用.学好概念是本课的关键,在辅助媒 体的选用上我选择了实物投影和课件...课程标准实验教科书选修 2-12 章第 3双曲线的课时,双曲线是...
2.3双曲线及其标准方程和其性质
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...高二数学组 理科 选修 2-1 § 2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标(1)了解...
2.3双曲线 教学设计 教案
2.3双曲线 教学设计 教案。教学准备 1. 教学目标 1 知识与技能 [1] 理解...[2] 能根据已知条件利用定义或待定发系数法求双曲线的标准方程.理解双曲线标准...
更多相关标签: