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2013年8月暑假高三数学(文)试题套题练习(一)


广东省广州市 2014 届高三 8 月份试题



学 (文科)问卷

本试卷共 5 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选

项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式:锥体的体积公式: V ?

1 Sh 3

(其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求.) 1.已知集合 U ? ?1,3,5, 7,9? , A ? ?1,5, 7? ,则 ? A ? ( U A. ?1, 3? B. ?3, 7, 9? C. ?3, 5, 9? )

D. ?3, 9? ) D. a ? 1, b ? 3

2.设 a, b 为实数,若复数 ?1 ? i ? ? ? a ? bi ? ? 1 ? 2i ,则(

3 1 B. a ? 3, b ? 1 ,b ? 2 2 1 1 3. sin ? ? ”是“ cos 2? ? ”的( “ 2 2
A. a ? A.充分不必要 4.给定下列四个命题: B.必要不充分

C. a ? )条件

1 3 ,b ? 2 2

C.充要

D.不充分也不必要

①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( A.①和② ) C.③和④ D.②和④

B.②和③

第 1 页 共 13 页

? x ? 1, ? 5.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 ? x ? 3 y ? 4 ? 0, ?
A.-4 B.0 C.

4 3

D.4 )

6.等比数列 {an } 中, a3 ? 6 ,前三项和 S3 ? 18 ,则公比 q 的值为( A.1 B. ?

1 2

C.1 或 ?

7.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?)( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? 如图示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 图象解析式为 ( A. y ? sin 2x ) B. y ? cos 2x

?

1 2

D.-1 或 ?

y
1

1 2
11? 12

? 个单位后,得到的 6
2? ) 3

) 的部分图象 2

O

? 6

x

C. y ? sin(2 x ?

D. y ? sin(2 x ?

?
6

)

x2 y2 8.设 F1 和 F2 为双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点,若 F1,F2 , P(0, 2b) 是正三 a b
角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( A. ) D.3

3 2

B. 2

C.

5 2

9.已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) f ( x) ,且当 ? ,则 f (?2011) ? f (2012) 的值为( x ?[0, 2) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1) A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2 )

10.定义平面向量之间的一种运算“ ? ”如下:对任意的 a ? (m, n) , b ? ( p, q) ,令

?

?

? ? a ? b ? mq? np,下面说法错误的序号是(
①若 a 与 b 共线,则 a ? b ? 0 ③对任意的 ? ? R ,有 (? a) ? b ? ? (a ? b) A.② B.①② C.②④

) . ②a? b ? b? a

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

④ (a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ?| a |2 | b |2 D.③④

?

?

? ?

?

?

第 2 页 共 13 页

广东省广州市 2014 届高三 8 月份试题



学 (文科)答卷

本试卷共 5 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) (一)必做题(第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。 ) 11.右图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是__ __.
开始

? ? ? ? 12.已知平面向量 a ? (1, 2) , b ? (?2, m) , 且 a // b ,

s ? 0, n ? 1 s ? (s ? n) ? n

? ? 则 2a ? 3b =

. 否

n ? n ?1

13.若圆心在 x 轴上、半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线

n ? 3?

输出 s 结束

x ? y ? 0 相切,则圆 O 的方程是

.

(二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第一题的分。 ) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点 ? 2 2, 则切线的极坐标方程是 .

? ?

??

? 作圆 ? ? 4sin ? 的切线, 4?
C

15.(几何证明选讲选做题)如图, AB 是⊙ O 的直径, P 是 AB 延 长线上的一点,过 P 作⊙ O 的切线,切点为 C , PC ? 2 3 , A 若 ?CAP ? 30? ,则⊙ O 的直径 AB ? . O B P

第 3 页 共 13 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos 2

x ? 3 sin x . 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?

?

1 cos 2? 的值. ) ? ,求 3 3 1 ? cos 2? ? sin 2?

第 4 页 共 13 页

17. (本小题满分 12 分) 编号为 A1 , A2 , ???, A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: 运动员编号 得分 运动员编号 得分 区间 人数 (Ⅱ)从得分在区间 ? 20,30 ? 内的运动员中随机抽取 2 人, (i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这 2 人得分之和大于 50 的概率.

A1
15

A2
35

A3
21

A4
28

A5
25

A6
36

A7
18

A8
34

A9
17

A10
26

A11
25

A12
33

A13
22

A14
12

A15
31

A16
38

(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格;

?10, 20 ?

? 20,30 ?

?30, 40?

第 5 页 共 13 页

18.(本小题满分 14 分) 如图所示的长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,O 为 AC 与 BD 的交点, BB1 ?

2 , M 是线段 B1 D1 的中点.

(1)求证: BM / / 平面 D1 AC ; (2)求三棱锥 D1 ? AB1C 的体积.

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (1)证明数列 ?

x ,数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? f (an )(n ? N * ) . 3x ? 1

?1? ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; ? an ?

(2)记 Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an ?1 ,求 S n .

第 6 页 共 13 页

20.(本小题满分 14 分) 一动圆与圆 O1 : ( x ? 1) ? y ? 1 外切,与圆 O2 : ( x ? 1) ? y ? 9 内切.
2 2 2 2

(1)求动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程; (2)设过圆心 O1 的直线 l : x ? my ? 1与轨迹 L 相交于 A 、 B 两点,请问 ?ABO2 ( O2 为 圆 O2 的圆心)的内切圆 N 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直 线 l 的方程,若不存在,请说明理由.

第 7 页 共 13 页

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ln x. (1)求函数 f ? x ? 的极值点;(2)若直线 l 过点 (0, ? 1) 且与曲线

y ? f ? x ? 相切,求直线 l 的方程;(3)设函数 g ( x) ? f ( x) ? a( x? 1),其中 a ? R, 求函数

g ( x) 在 [1,e] 上的最小值.( e ? 2.71828?)

第 8 页 共 13 页

数学(文科)参考答案与评分标准
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 D 5 D 6 C 7 D 8 B 9 C 10 A

二.填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上) 11.27; 12. (?4, ?8) ; 13. ( x ? 2) ? y ? 2 ;
2 2

14. ? cos? ? 2 ;

15.4

11.【解析】答案:27.由框图的顺序,s=0,n=1,s=(s+n)n=(0+1)*1=1,n=n+1=2,依次循环 s=(1+2)*2=6,n=3,注意此刻 3>3 仍然是否,所以还要循环一次 s =(6+3)*3=27,n=4, 此刻输出 s=27. 12.【解析】由 a // b 可知 m=-4,,则 2a ? 3b = (?4, ?8) . 13. 【 解 析 】 设 圆 心 为 (a,0)(a ? 0) , 则 r ?

? ?

?

?

| a ? 2?0 | 12 ? 12

? 2 , 解 得 a ? ?2 . 即

( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 .
14. 【解析】 对应直角坐标系中的点和方程分别为 (2,2), x ? ? y ? 2? ? 4 , 切线方程为 x ? 2 ,
2 2

故对应的极坐标方程为 ? cos? ? 2 . 15. 【解析】连接 OC,BC,易知 PB=OC=OB=r,由切割线定理知 r=2,故 AB=4. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解: (1)∵ f ( x) ? 1 ? cos x ? 3 sin x ??1 分

? 1 ? 2 cos( x ? ) ,???2 分 3

?

∴函数 f ( x) 的周期为 2? ,值域为 [?1,3] .??4 分
(2)∵ f (? ?

?

1 1 1 ) ? ,∴ 1 ? 2cos ? = ,即 cos ? ? ? ??5 分 3 3 3 3
??8 分



cos 2? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2? ? sin 2? 2cos 2 ? ? 2sin ? cos ?

?

(cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) cos ? ? sin ? ,???10 分 ? 2 cos ? (cos ? ? sin ? ) 2cos ?

第 9 页 共 13 页

又∵ ? 为第二象限角, 所以 sin ? ?

2 2 .?11 分 3
???12 分

∴原式 ?

cos ? ? sin ? 1 ? 2 2 ? 2 cos ? 2

17. (本题满分 12 分) 本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、 古典概型及其概率计算公式的等 基础知识, 考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力, 满分 13 分。 (Ⅰ)解:4,6,6 (Ⅱ) (i)解:得分在区间 [20,30) 内的运动员编号为 A3 , A4 , A5 , A10 , A11 , A13 . 从中随机 抽取 2 人,所有可能的抽取结果有:

{ A3 , A 4 },{ A3 , A5 },{ A3 , A10 },{A3 , A11},{A3 , A13 },{A4 , A5 }, { A4 , A10 } , { A4 , A11},{ A4 , A13 },{ A5 , A10 },{ A5 , A11},{ A5 , A13 },{ A10 , A11},{ A10 , A13 },{ A11 , A13 } , 共
15 种。 (ii)解: “从得分在区间 [20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 50” (记为事件 B)的所有可能结果有:{ A4 , A5 },{ A4 , A10 },{ A4 , A11},{ A5 , A10 },{ A10 , A11} , 共 5 种。 所以 P( B) ?

5 1 ? . 15 3

18.(本小题满分 14 分) 解:(1)连结 D1O ,如图, ∵ O 、 M 分别是 BD 、 B1 D1 的中点, BD1 D1 B 是矩形, ∴四边形 D1OBM 是平行四边形, ∴ D1O / / BM . --------2 分

∵ D1O ? 平面 D1 AC , BM ? 平面 D1 AC , ∴ BM / / 平面 D1 AC .-------------------6 分 (2)解法 1 连结 OB1 ,∵正方形 ABCD 的边长为 2,

BB1 ? 2 ,∴ B1 D1 ? 2 2 , OB1 ? 2 , D1O ? 2 ,则 OB12 ? D1O 2 ? B1D12 ,
∴ OB1 ? D1O . --------------------------------------------------------8 分

又∵在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AC ? BD , AC ? D1 D ,且 BD ? D1 D ? D , ∴ AC ? 平面 BDD1 B1 ,又 D1O ? 平面 BDD1 B1 ,

第 10 页 共 13 页

∴ AC ? D1O ,又 AC ? OB1 ? O , ∴ D1O ? 平面 AB1C ,即 D1O 为三棱锥 D1 ? AB1C 的高. ----------10 分 ∵ S?AB1C ?

1 1 ? AC ? OB1 ? ? 2 2 ? 2 ? 2 2 , D1O ? 2 2 2 1 1 4 ? S?AB1C ? D1O ? ? 2 2 ? 2 ? 2 . --------------------------------14 分 3 3 3

∴ VD1 ? AB1C ?

解法 2: 三棱锥 D1 ? AB1C 是长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 割去三棱锥 D1 ? DAC 、三棱锥

B1 ? BAC 、三棱锥 A ? A1 B1 D1 、三棱锥 C ? C1 B1 D1 后所得,而三棱锥 D1 ? DAC 、 B1 ? BAC 、 A ? A1 B1 D1 、 C ? C1 B1 D1 是等底等高,故其体积相等.

?VD1 ? AB1C ? VABCD ? A1B1C1D1 ? 4VB1 ? BAC ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 4 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 4 2 .
3 2 3
19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由已知得 an ?1 ?

an 1 1 即 ? ? 3 ----------2 分 3an ? 1 an ?1 an

∴数列 ?

?1? ? 是首项为 1,公差 3 的等差数列. ----------4 分 ? an ?

所以

1 1 ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 ,即 an ? (n ? N * ) ---------------6 分 an 3n ? 2

(2) ∵ an an ?1 ?

1 1 1 1 ? ( ? ) ----------8 分 (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1 1 1 1 ? ? ?? ? ----------10 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1)

Sn ? a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? ?? ? an ? an?1 =


=

1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 n ?(1 ? 4 ) ? ( 4 ? 7 ) ? ?? ? ( 3n ? 2 ? 3n ? 1) ? ? 3 (1 ? 3n ? 1) ? 3n ? 1 --------------3? ?

14 分
20. (本小题满分 14 分) 解: (1)设动圆圆心为 M ( x,y) ,半径为 R . 由题意,得 MO1 ? R ? 1 , MO2 ? 3 ? R , ∴ MO1 ? MO2 ? 4 . ????3 分

第 11 页 共 13 页

由椭圆定义知 M 在以 O1,O2 为焦点的椭圆上,且 a ? 2,c ? 1 ,

∴b2 ? a2 ? c2 ? 4 ? 1 ? 3 .

x2 y2 ? 1 . ??6 分 ∴动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程为 ? 4 3
(2) 如图,设 ?ABO2 内切圆 N 的半径为 r ,与直线 l 的切点为 C, 则三角形 ?ABO2 的面积 S△ ABO2 ? =

1 ( AB ? AO2 ? BO2 )r 2

1 ?( AO1 ? AO2 ) ? ( BO1 ? BO2 ) ? r ? 2ar ? 4r ? 2?

当 S△ ABO2 最大时, r 也最大, ?ABO2 内切圆的面积也最大, ????7 分 设

A( x1 , y1 )



B( x2 , y2 )

(

y1 ? 0, y2 ? 0

),



S△ ABO2 ?

1 1 O1O2 ? y1 ? O1O2 ? y2 ? y1 ? y2 , ??8 分 2 2

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 ,得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
解得 y1 ? ∴ S△ ABO2 有 S△ ABO2

?3m ? 6 m 2 ? 1 ?3m ? 6 m 2 ? 1 , y2 ? , 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4

????10 分

12 m 2 ? 1 2 2 2 ? ,令 t ? m ? 1 ,则 t ? 1 ,且 m ? t ? 1 , 2 3m ? 4 1 1 12t 12t 12 ,令 f (t ) ? 3t ? ,则 f ?(t ) ? 3 ? 2 , ? 2 ? 2 ? t t 3(t ? 1) ? 4 3t ? 1 3t ? 1 t

当 t ? 1 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 在 [1, ??) 上单调递增,有 f (t ) ? f (1) ? 4 , S△ ABO2 ? 即当 t ? 1, m ? 0 时, 4r 有最大值 3 ,得 rmax ?

12 ? 3, 4

3 9 ,这时所求内切圆的面积为 ?, 4 16 9 ∴存在直线 l : x ? 1 , ?ABO2 的内切圆 M 的面积最大值为 ????14 分 ?. 16
21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ??x ? ? ln x ? 1, x >0 而 f ?? x ? >0 ? lnx+1>0 ? x > ????1 分

1 1 , f ?? x ? <0 ? ln x ? 1 <0 ? 0< x < , 所以 f ? x ? 在 e e

? 1? ?1 ? ? 0, ? 上单调递减,在 ? ,?? ? 上单调递增.??????3 分 ? e? ?e ?

第 12 页 共 13 页

所以 x ?

1 是函数 f ? x ? 的极小值点,极大值点不存在.???????4 分 e

(2)设切点坐标为 ?x0 , y0 ? ,则 y0 ? x0 ln x0 , 切线的斜率为 ln x0 ? 1, 所以切线 l 的方程为 y ? x0 ln x0 ? ?ln x0 ? 1??x ? x0 ?. ????6 分

又切线 l 过点 ?0,?1? ,所以有 ? 1 ? x0 ln x0 ? ?ln x0 ? 1??0 ? x0 ?. 解得 x0 ? 1, y0 ? 0. 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1. ???8 分 (3) g ?x ? ? x ln x ? a?x ? 1? ,则 g ??x ? ? ln x ? 1 ? a. g ?? x ? <0 ? ln x ? 1 ? a <0 ? 0< x <e
a ?1

, g ??x ? > 0 ? x > e a ?1 , 所 以 g ? x ? 在 ?0, e a ?1 ? 上 单 调 递减 , 在 e a ?1 ,?? 上 单 调 递
? 1, 即 a ? 1 时 , g ? x ? 在 ?1, e ? 上 单 调 递 增 , 所 以 g ? x ? 在 ?1, e ? 上 的 最 小 值 为

?

?

增.??????9 分 当e
a ?1

g ?1? ? 0. ??10 分
当 1< e
a ?1

<e,即 1<a<2 时, g ? x ? 在 1, e

?

a ?1

? 上单调递减,在 ?e
???12 分

a ?1

, e 上单调递增.

?

g ? x ? 在 ?1, e ? 上的最小值为 g ?e a ?1 ? ? a ? e a ?1.
当e

? e a ?1 , 即 a ? 2 时, g ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递减,

所以 g ? x ? 在 ?1, e ? 上的最小值为 g ?e? ? e ? a ? ae. ??13 分 综上,当 a ? 1 时, g ? x ? 的最小值为 0;当 1<a<2 时, g ? x ? 的最小值为 a ? e 当 a ? 2 时, g ? x ? 的最小值为 a ? e ? ae. ???14 分
a ?1



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