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选修4-4-2.2圆锥曲线的参数方程


zxl

复习

参数方程
参数方程与普通方程互化 圆的参数方程

椭圆的参数方程
x2 y 2 椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? a b
参考 cos
2

? ? sin ? ? 1
2



x 设: cos ? ? a

y sin ? ? b
?的意义?

? x ? a cos? ??为参数? ? ? y ? b sin ?

探究 椭圆规是用来画椭圆的一种器械,它的构造 如下

你能说明椭圆 规构造原理吗?

y

M(x,y) x=acos? y=bsin? (?为参数)

a
B

M

?

b

x

A

是椭圆的参数方程

例1

x2 y2 在椭圆 ? ? 1上求一点M ,使点M到直线x ? 2 y ? 10 ? 0 9 4 的距离最小, 并求出最小距离.

x ? 3 cos ? , ? 因为椭圆的参数方程为 ? ??为参数? ? y ? 2 sin ? ,

所以可设点M的坐标为(3cos?,2sin?)
d? 3 cos ? ? 4 sin ? ? 10 5

3 4? ? 5? cos ? ? ? sin ? ? ? ? 10 5 5? ? ? 5 1 ? 5 cos?? ? ? 0 ? ? 10 5

3 4 其中 cos ?0 ? , sin ?0 ? 5 5 当?-?0=0时,d取最小值 ? 9 3 cos ? ? 3 cos ? 0 ? , 5 8 2 sin ? ? 2 sin ? 0 ? . 5

?9 8? 当点M位于? , ?点M与直线x+2y-10=0的距离取小值? ?5 5?

双曲线的参数方程
x2 y 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 2 a b
O B?

A

M

B

A?

以原点O为圆心,a,b(a>0,b>0)为半径分别作同心圆C1,C2. 设A为圆C1上任一点,作直线OA,过点A作圆C1的切线AA? 与x轴交于点A?,过C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB?与直 线OA交于点B?.过点A?,B?分别作y轴,x轴的平行线A?M,B?M 交于点M

设Ox为始边,OA为终 边的角为?,点M的坐 标是(x,y)

A
? O

B?

M

A?( x, 0 ), B?(b, y ), A( acos?,asin? ) OA ? ?a cos? , a sin ? ?, AA? ? ?x ? a cos? ,?a sin ? ?.
OA? AA? ? 0 2 a cos? ?x ? a cos? ? ? ?a sin ? ? ? 0 a x? cos?

B

A?

1 记 ? sec? , 则x ? a sec? cos?

因为点B ' 在角?的终边上,由三角函数的定义有
y tan ? ? b y ? b tan?

? x ? a sec? ??为参数? 点M的参数方程为? ? y ? b tan?

?∈[0,2?),且?≠??,?≠??

?有什么意义?

参数?是点M对应的圆 的半径OA的旋转角(称 为点M的离心角)

A ? O

B?

M

B

A?

x2 y2 例 如图,设M为双曲线 2 ? 2 ? 1?a, b ? 0? 上任意一点,O a b

为原点,过点M作双曲线两渐近线的平行线,分别与 两渐近线次于A,B两点.探求平行四边形MAOB的面 积,由此可以发现什么结论?

解 双曲线的渐近线方程为
b y?? x a

设M为双曲线右支上一点, 其坐标为(asec?,btan?)
MA: y ? b tan ? ? ?
b ?x ? a sec ? ? a

a x A ? ?sec ? ? tan ? ? 2
b 设?AOx ? ? , 则 tan ? ? a

a xB ? ?sec ? ? tan ? ? 2

?MAOB的面积为
S MAOB ?| OA | ? | OB | sin2? xA xB ? ? ? sin 2? cos? cos? a 2 sec2 ? ? t an2 ? ? ? sin 2? 2 4 cos ? a2 a 2 b ab ? ? t an? ? ? ? 2 2 a 2

?

?

MAOB的面积 恒为定值

抛物线的参数方程 回顾 以时刻t作参数的抛物线的参数方程 x=100t
? 1000 ? ? t为参数, 且0 ? t ? ? ? ? g 2 ? y=500-?gt ?

一般的抛物 线的参数方 程又是怎样?

y2=2px M(x,y)为抛物线上除顶 点外的任意一点,以射线 OM为终边的角记作? 取?为参数求抛物线的参数方程
y ? tan ? x
2p ? x? ? ? t an2 ? ? ?y ? 2 p ? t an? ?
y M(x,y)

?
O x

不包括顶点

??为参数?

? y 2 ? 2 px ? ?y ? ? t an? ?x

1 如果令 t ? , t ? ?? ?,0? ? ?0,?? ?, 则有 tan ?
? x ? 2 pt 2 , ?t为参数 ? ? ? y ? 2 pt

t=0时,由参数方程表示的点是抛物线的 顶点(0,0) t∈(-∞,+∞)时,参数方程表示整条抛物线. t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原 点连线的斜率的倒数.

小结

?椭圆的参数方程
?双曲线的参数方程 ?抛物线的参数方程

?利用参数方程求f (x,y)的最值较方便.

作业
课本第36页习题2.2题2,3,4,5


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