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《一元二次不等式及其解法》课件3(人教A版必修5)


一元二次不等式及其解法二
邻水二中 欧 江

一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x O x1 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) x O 没有实根 x

△=0

/>y

△<0
y

有两相等实根 b x1=x2= ? 2a

ax2+bx+c>0 {x|x<x1,或 x>x2} (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ

Φ

根据二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三 者之间的内在联系,下表中空格内的相应内容分别 是什么?
? ?x0( x1? bx2? c ?1 , ax2 ? x ) a?2 x? y

??0
x2

??0
y

??0
y
x

二次函数

y ? ax ? bx ? c
2

y x1

x1=x2

(a ? 0)

o
x 有两相等实根 b x1 ? x2 ? ? 2a

o

x

的图象
一元二次方程

o

ax 2 ? bx ? c ? 0
(a ? 0) 的根

有两相异实根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

无实根

(a ? 0)的解集

ax 2 ? bx ? c ? 0 ax 2 ? bx ? c ? 0
(a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x2 ?
1 2

?
? b? xx?? ? ? 2a ? ?

?

?x x ? x 或x ? x ?

R

请同学们考虑: 解一元二次不等式的一般 步骤是什么? 1、先将二次项系数化为正数; 2、解对应的一元二次方程(注意 计算判别式) 3、依一元二次方程的根,结合不 等号方向,写出不等式的解集。

一般地,若a<b,则不等式 (x-a)(x-b)<0和(x-a)(x-b) >0的解集分别是什么?

例1

解下列不等式:

(1)x2+2x-15>0;
【解】 (1)x2+2x-15>0

?(x+5)(x-3)>0?x<-5或x>3,

∴不等式的解集是{x|x<-5或x>3}.

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(2)x2>2x-1;
(2)x2>2x-1?x2-2x+1>0?(x-1)2>0?x≠1,

∴不等式的解集是{x∈R|x≠1}.

(3)x2<2x-2.
(3)x2<2x-2?x2-2x+2<0. ∵Δ=(-2)2-4×2=-4<0,

∴方程x2-2x+2=0无解.
∴不等式x2<2x-2的解集是?.
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变式训练1

解下列不等式:

(1)2+3x-2x2>0;

(2)x(3-x)≤x(x+2)-1.

解:(1)原不等式可化为 2x2-3x-2<0, ∴(2x+1)(x-2)<0. 1 故原不等式的解集是{x|- <x<2}. 2 (2)原不等式可化为 2x2-x-1≥0, ∴(2x+1)(x-1)≥0, 1 故原不等式的解集为{x|x≤- 或 x≥1}. 2
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求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图:

△≥0

b x?? 2a

x< x1或x> x2

例2:不等式x2+px+q<0的解集为 {x|-3<x<2},则p+q=_______.

解析:依题意,x1=-3和x2=2
是方程x2+px-q=0的根, ∴x1+x2=-p,即p=1,

x1x2=q=-6,∴p+q=-5.

例3.求函数 f ( x) ?

2 x 2 ? x ? 3 ? log 3 (3 ? 2 x ? x 2 )

的定义域。
解:由函数f(x)的解析式有意义得
?2 x 2 ? x ? 3 ≥ 0 ? 3 ? 2 x ? x2 ? 0 ?

?(2 x ? 3)( x ? 1) ≥ 0 即 ? ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ?

解得

3 ? ? x ≤ ? 或x ≥ 1 2 ? ? ?1 ? x ? 3 ?

因此1≤x<3,所求函数的定义域是[1,3).

1 1 例4:已知ax ? 2 x ? c ? 0的解集为 ? ? x ? , 3 2 2 试求a, c的值,并解不等式 ? cx ? 2 x ? a ? 0。
2

三个“二次”之间的关系

答案

解集?x ? 2 ? x ? 3?

a ? ?12, c ? 2

例5 解下列不等式:
(1)
(2)

2 - 3< 0 x 3 ? 1 x- 1

2 {x | x < 0或x > } 3

{x | 1 < x

4}

例6:高次不等式的解法 不等式x ? x ? 0的解集为 ____.
3

变式:不等式 ________.

< 0 的解集为

解析:原不等式等价于

??x-3??x+1?<0 ? ?x+1≠0 ?-1<x<3且x≠2.或用穿根法. ??x-2?2≠0 ?
答案:{x|-1<x<2或2<x<3}

1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)具备哪 些条件时,解集为R或?? 答案:当a>0,Δ<0时,解集为R.当a<0,Δ≤0 时,解集为?. 2.ax2+5x+1>0是关于“x”的二次不等式吗?
答案:ax2+5x+1>0不一定是一元二次不等式 ,当a=0时它是一元一次不等式.若题目中给出 的条件是“一元二次不等式ax2+5x+1>0”则隐含的 条件是a≠0.

例6:不等式ax2 +(a-1)x+ a-1<0对 所有实数x∈R都成立,求a的取值范围.
分析:开口向下,且与x轴无交点 。 解:由题目条件知: (1) a < 0,且△ < 0. 因此a < -1/3。 (2)a = 0时,不等式为-x-1 <0 不符合题意。 1? ? 综上所述:a的取值范围是 ?a | a ? ? ?
? 3?

变式: 若函数f(x)= 的定义域为R,求a的取值范围. ? 解:已知函数定义域为R. ? 即2x -2ax-a-1≥0在R上恒成立. ? 也即x2-2ax-a≥0恒成立, ? 所 以 有 Δ = ( - 2a)2 - 4( - a)≤0 , 解 得 - 1≤a≤0.
2

? 作业:若x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1恒成 立,则a的取值范围是________.

.

探究(一):对根的大小讨论
例7

解关于x的不等式x2-ax-2a2<0. 解答本题通过因式分解,结合二次函数图

【思路点拨】

象分类讨论求解. 【解】

方程x2-ax-2a2=0的判别式Δ=a2+8a2=9a2≥0,

得方程两根x1=2a,x2=-a. (1)若a>0,则-a<x<2a,

此时不等式的解集为{x|-a<x<2a};

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(2)若a<0,则2a<x<-a,
此时不等式的解集为{x|2a<x<-a};

(3)若a=0,则原不等式即为x2<0,此时解集为?.
综上所述,原不等式的解集为

当a>0时,{x|-a<x<2a};
当a<0时,{x|2a<x<-a};

当a=0时,?.
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探究(二):对二次项系数讨论

例8: 解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.

? [例9] 若方程kx2 -(2k+1)x-3=0在(- 1,1)和(1,3)内各有一个实根,则实数k的取 值范围如何? ? [分析] 此为二次方程根分布问题.

[例10] 若方程 kx2 -(2k +1)x -3=0在 (-1,1)和(1,3)内各有一个实根,则实数k的 取值范围如何?
[解] 由题意可知 f(-1)f(1)<0 且 f(1)f(3)<0,
??3k-2??-k-4?<0, ? 即? ??-k-4??3k-6?<0, ?

∵函数 f(x)=kx2-(2k+1)x-3 的图象是连续曲线,

?k>2或k<-4, ? 即? 3 ?k>2或k<-4, ?
解得 k<-4 或 k>2. 故所求的实数 k 的取值范围是 k<-4 或 k>2.

1.

2.

? 变式3 m为何值时,关于x的方程(m+1)x2+ 2(2m+1)x+(1-3m)=0有两个异号的实根.
解:若有两个异号实根,则此问题等价于

?m+1≠0, ?m≠-1, ?m+1≠0, ? ? ? ? 即?1-3m ?? 1 ?x1·2<0, ? x ?m<-1,或m>3, ? m+1 <0 ? ?
1 ∴m<-1 或 m>3.

? [例11] 设A={x|x2 -(a+a2)x+a3<0},B ={x|x2 -3x+2<0},若A∩B=A,求实数a 的取值范围. ? [分析] 由A∩B=A?A?B,又因为B是可解 集合,因此可以求出B集合.对于A集合, 要明确不等式的解集,需判断对应方程两 根的大小,故要就两根的大小对参数a加以 讨论,再借助数轴由A,B两集合的关系, 求出a的具体取值范围.

? ? ? ? ? ?

[解] 因为A∩B=A,所以A?B. B={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2}. 因为x2-(a+a2)x+a3=(x-a2)(x-a)<0, 所以x介于a与a2之间. 当a<a2,即a>1或a<0时,A={x|a<x<a2}. 若A?B,则需满足 如图1所示,

解得 1≤a≤ 2. 故 1<a≤ 2. 当 a>a2,即 0<a<1 时,A={x|a2<x<a}. 又因为
?a2≥1, ? A?B,需满足? ?a≤2, ?

如图 2 所示.

解得 a≤-1 或 1≤a≤2,故 a 不存在. 当 a=a2,即 a=0 或 a=1 时,A=?,满足 A?B. 综上所述,a 的取值范围为{a|1≤a≤ 2或 a=0}.

? 变式 已知集合A={x|x2-x-6>0},B= {x|0<x+a<4},若A∩B=?,求实数a的取 值范围.

解:由 x2 - x -6>0,得(x -3)(x +2)>0, ∴x<-2或x>3. ∴A={x|x<-2或x>3}. 由0<x+a<4,得-a<x<4-a. ∴B={x|-a<x<4-a}. 又∵A∩B=?,∴ 解得1≤a≤2. 故所求实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}.

谢谢欣赏!!!!


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